Решение некоторых двумерных краевых задач электроупругости для тел с трещинами и включениями

Интенсивное развитие радиоэлектроники, электроакустики, измерительной техники привело в последние годы к бурному росту новых направлений физики диэлектриков, которые лежат на стыке с механикой сплошной среды и изучают связанные электро-уцругие процессы [з, 13,24,31,48]. Все это стимулировало интерес исследователей к электроупругости.

Линейная теория электроупругости была развита в работах Д. Берлинкура, Д. Керрана, Г. Йаффе [13], И. С. Желудева [зб], У. Мезона [48], Дж. Найя [49]. Согласно этой теории связь между сопряженными электрическими и механическими полями выражена в линейных уравнениях состояния.

Анализ решения краевых задач электроупругости представляет собой значительные трудности ввиду связанности электрических и механических полей в пьезокристаллах или пьезокерамиках. Двумерные задачи линейной электроупругости можно свести к краевым задачам теории функций комплексного переменного. Это в различных вариантах проделано в работах А. С. Космодамианского, А. П. Кравченко, В. Н. Ложкина [36, 37, 38], И.А.Векови-щевой [l6, I?], Л. В. Белокопытовой, Л. А. Фильштинским [7,8] .

В процессе изготовления различного рода пьезокерамик, в последних могут возникнуть дефекты типа разрыва сплошности, инородных включении и т. д. Согласно современным представлениям о прочности, развитие таких микродефектов под действием приложенных механических и электрических полей может привести к локальному или полному разрушению конструкций. Поэтому вопрос о взаимодействии включений и трещин в пьезокерамике при электрических или механических нагружениях является достаточно актуальным.

По-видимому, впервые задача о прямолинейных туннельных трещинах на границе пьезоэлектрика и упругого тела была рассмотрена Б. А. Кудрявцевым, В. З. Партоном, В. И. Ракитиным [зэ], там же бшш получены критерии разрушения пьезоэлектрического тела с трещиной.

Принципиальным при постановке электрических краевых задач для пьезокерамических тел с трещинами является вопрос о граничных условиях на её берегах. Механические граничные условия ставятся обычным образом. Электрические граничные условия для трещины-математического разреза ставятся таким же образом как на границе двух диэлектриков. Вопрос этот подробно обсуждался в работе И. Б. Половинкиной, А.Ф.7литко[б5].

При рассмотрении краевых задач электроупругости для пьезоэлектрических сред с криволинейными разрезами — трещинами целесообразно использовать запись соответствующих краевых задач в терминах функций комплексных переменных. Таким путем Л. В. Белокопытова, Л. А. Фильштинский, в [7] рассмотрели растяжение неограниченной пьезокерамической среды с криволинейными трещинами-разрезами. Идея решения была взята из [бб] и заключалась в построении интегральных представлений соответствующих аналитических функций, обеспечивающих скачок перемещений и непрерывную продолжимость вектора механических напряжений при переходе через разрезы. Краевая задача была сведена к системе сингулярных интегральных уравнений. Асимптотический анализ интегральных представлений решений дал возможность записать формулы для коэффициентов интенсивности механических и электрических величин.

Следует отметить, что метод сингулярных интегральных уравнений оказался эффективным при решении краевых задач теории трещин как в изотропных, так и в анизотропных средах. Решению соответствующих краевых задач дал изотропных сред посвящены монографии Л. Т. Бережницкого, В. В. Панасюка, Н. Г. Статута [ю], В. В. Панасюка, М. П. Саврука, А. П. Дацышина [52], Г. П. Черепанова [70^, семитоглная монография «Разрушение» американских авторов [57*] и др.

Растяжение анизотропных сред с криволинейными трещинами рассмотрено в работах Н. И. Волкова, Л. А. Фильштинского [18 В. А. Любчака, Л. А. Фильштинского [43], Л. А. Фильштинского 68 В частности, в [б8^| построена функция Грина дал анизотропной полуплоскости, с использованием которой записаны интегральные представления решений, автоматически обеспечивающие выполнение краевых условий на её границе. Из анализа существующей литературы по этому кругу вопросов следует эффективность сингулярных интегральных уравнений как в теоретическом аспекте, так и в вопросах численной реализации алгоритмов решения краевых задач.

Задачи о передаче нагрузки от упругого ребра к пластине (задачи включения) берут свое начало с работ Е. Мелана, В. Кой-тера. Подробный обзор соответствующих исследований дал изотропных сред можно найти в монографии [2о]. Обзор различных исследований о передаче нагрузки от упругого ребра к бесконечным или полубесконечным анизотропным пластинкам содержится в [60, 61].

К вопросам этого крута тесно примыкает теория ленточного композиционного материала (ЛКМ) с изотропной или анизотропной матрицей. ЛКМ представляет собой относительно не жесткий массив (матрица), армированный тонкими туннельными лентами. Здесь возникают вопросы, связанные с определением напряженного состояния матрицы, а также проблема осреднения упругих свойств таких материалов. Теория ЛКМ с изотропными и анизотропными компонентами рассматривалась В. Н. Долгих, Л. А. Филынтинским в [25, 28, 64]. Идея анализа заключалась в построении интегральных представлений решений, обеспечивающих скачек контактных усилий на границе волокно-матрица, с последущим сведением условия совместности деформаций волокна и матрицы к сингулярному тюегродифференциальному уравнению. Макроскопические параметры упругости ЛИЛ выражались в виде функционалов, определенных на решениях соответствующих интегральных уравнений.

Практически основной интерес представляет собой исследование взаимодействия различного рода дефектов типа трещин, включений и т. д., а также вопросы торможения трещин ребрами жесткости. Соответствующие исследования и обзор литературы можно найти в монографиях Л. Т. Бережницкого, В. В. Панасюка, Н. Г. Стащука [ю], М. П. Саврука [бэ], а также в работах Л. Т. Бережницкого [э, II, 12], Н. И. Волкова, Л. А. Филыптинского [к]. Влияние края на напряженное состояние в полубесконечной пластине с ребром исследовано в [бэ].

Представляется актуальным исследование взаимного влияния трещин и включений в бесконечных и полубесконечных пьезокерамических средах, а также построение структурной теории ленточного композиционного материала с пьезокерамической матрицей.

Существует несколько подходов к исследованию упругих и жесткостных свойств волокнистых композиционных материалов. Наиболее точный из них заключается в учете микроструктуры ячейки, т. е. в построении структурной теории КМ. При этом обычно рассматривается модель КМ с двоякопериодической утеладкой волокон. Исследование упругих и жесткостных свойств таких материалов стали возможны благодаря развитию методов решения краевых задач теории упругости, обладающих группо.

U «> 1 Л «г вой еимметриеи, в частности двоякопериодических задач [21,. Микроструктурная теория КМ с изотропными компонентами.

О О О О 1 «Г 1 т и простейшей структурой ячеики развита в [15J .В этих работах использовалось представление решения в виде рядов по эллиптическим функциям, развитое в [21^. Теория КМ с изотропными компонентами и произвольной микро структурой ячейки простроена М. Г. Грингаузом, Л. А. Филыитинским в [23*]. Здесь уже использовался метод интегральных уравнений. Краевые задачи обобщенной плоской деформации и в продольном сдвиге КМ сводились к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. В этой же работе решена проблема осреднения упругих свойств КМ в наиболее общем виде. Модель композиционного материала с анизотропными компонентами и произвольной микроструктурой ячейки рассмотрена В. Н. Долгих, Л. А. Фильштинским в [26, 27]. В [28] исследуются упругие и жесткостные свойства КМ с дефектами типа частичной отслойки волокна от матрицы.

Представляется актуальным развить и обобщить эти методы с целью построения теории волокнистых КМ с пьезокерамической матрицей.

Настоящая диссертационная работа является составной частью научных исследований, проводимых в рамках координационного плана АН УССР № 43 от 17 декабря 1979 года по комплексной проблеме «Физико-химическая механика хрупкого разрушения конструкционных материалов». Она посвящена разработ.

— 9 ке методов решения краевых задач электроуцрутости для бесконечных и полубесконечных тел с трещинами и линейными включениями, а также разработке структурной теории волокнистых композиционных материалов с пьезокерамической матрицей.

Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения.

Основные результаты и выводы:

1. На основе метода интегральных уравнений в работе развит единый подход к решению задач электроупругости.

2. Получено точное решение задачи о взаимодействии механических и электрических полей в пьезокерамической о «» пластине, усиленной достаточно жестким линеиным включением.

3. Построена модель регулярной среды, представляющей собой пьезокерамическую матрицу, армированную тонкими упругими лентами и (или) ослабленную туннельными трещинами.

4. Построена специальная модель волокнистого ЮЛ с пьезокерамической матрицей и достаточно произвольной микроструктурой ячейки.

5. Доказаны теоремы о разрешимости и единственности решения системы интегральных уравнений Фредгольма второго рода, которая получена для различных типов внешнего нагружешш ВКМ с пьезокерамической матрицей.

6. Рассмотрена проблема осреднения упругих, электрических и пьезоэлектрических свойств регулярных структур. Построена макромодель Ш с учетом дефекта типа туннельных трещин. Исследована зависимость макромодулей ЖМ от геометрических и физических параметров включений и трещин.

7. Решена задача об определении напряженного состояния в пьезокерамической полуплоскости с разрезом, включением или периодической системой включений, выходящих на границу полуплоскости.

8. Исследован порядок особенности контактных напряжений в окрестности конца ребра, выходящего на границу полуплоскости.

9. Все построенные алгоритмы строго обоснованы и завершены численной реализацией. Получена новая информация о коэффициентах интенсивности напряжений и напряженности электрического поля, а так же об осредненных упругих, электрических и пьезоэлектрических модулях макромодели, которые получены в замкнутом виде и определены через функционалы на решениях соответствующих краевых задач.

Все рассмотренные задачи являются новыми.

На основе полученных в работе решений и числовых результатов можно сделать следующие выводы:

1. При исследовании решения задачи о взаимодействии механических и электрических полей в пьезокерамической пластине с достаточно жестким линейным включением (§ 4) установлено, что.

— электрическое поле в окрестности концов ребра имеет особенность типа VVf* ;

— при одной и той же внешней нагрузке пластины нормальные усилия в ребре с ростом его длины увеличиваются;

— распределение контактных напряжений и внутренних усилий не изменится, если равномерное растяжение =1(н/м^) заменить однородным электрическим полем ^Ед) = -0,1(н/к);

— зона высоких уровней контактных напряжений локализуется в окрестности концов включений, что согласуется с результатами в анизотропной среде;

— линейное включение не реагирует на равномерный сдвиг пластины и однородное электрическое поле, ориентированное вдоль оси ОХ;

2. В случае равномерного растяжения ЛКМ без дефектов (§ 6).

— с ростом безразмерного параметра 2£/(й1 увеличивается усилие в нормальных сечениях волокна, максимальное значение соответствует середине включения;

— распределение контактных напряжений и внутренних нормальных усилий не изменится, если равномерное растяжение I (н/м^) заменить однородным электрическим полем .

3. Результаты вычислений для задачи о взаимодействии ленточных включений и туннельных трещин в КМ (§ 7), когда вершина трещины одинаково удалена от концов соседних включений, показали, что.

— рост параметра 2 вызывает увеличение механических напряжений и напряженности электрического поля в окрестности вершин трещин;

— когда перемычка между конгруэнтными трещинами уменьшится, механические напряжения и компоненты вектора напряженности электрического поля увеличиваются;

— при длинах трещин, больших четверти, но меньших половины длины периода происходит явление взаимной разгрузки, что соответствует отмеченному другими авторами явлению взаимного упрочнения трещин.

4. Рассмотрение предыдущей задачи при условии, когда вершина трещины близка к середине включения (§ 7), позволило сделать вывод.

— при удалении вершины трещины от элемента жесткости нормалыше напряжения на продолжении за вершину трещины растут, т. е. включение тормозит рост трещины, но эффект подкрепления в ЖМ можно вызвать не только действием однородного механического поля, но и электрического.

5. При исследовании макромодели ЛКМ с дефектами (§ 8), в котором сечение трещины практически параллельно оси предварительной поляризации, можно сделать следующие выводы.

— увеличение длины разреза или уменьшение длины включения существенно уменьшает жесткость структуры в направлении оси ОХ, но не меняет её в направлении оси QZ, что соответствующим образом отражается на значениях коэффициентов.

— наличие трещин и включений в регулярной структуре несущественно влияет на коэффициенты диэлектрической проницаемости;

— пьезомодули более чувствительны к изменению длин вклгочений, чем трещин, т. е. с увеличением длин включений пьезо-эффект КМ несколько уменьшается.

6. Расчеты, сделанные для полуплоскости, подкрепленной одним или периодической системой ребер (§ 9,11), показали, что.

— изменение ориентации ребра относительно оси предварительной поляризации пластины оказывает существенное влияние на порядок особенности контактных напряжений, так для углов наклона ребра от 0° до 51° контактные напряжения ограничены, в остальных случаях порядок особенности меньше, чем 0,5, кроме этого, он зависит от физико-механических свойств материала полуплоскости и не зависит от жесткости ребра;

— чем больше жесткость ребра, тем больше нормальные усилия в сечении ребра;

— с ростом параметра £/т усилия в сечениях периодической системы ребер увеличиваются, но для ребер, перпендикулярных к границе полуплоскости, это увеличение незначительно.

7. Из анализа влияния трещины на механические и электрические поля в пьезокерамической полуплоскости (§ 10) следует, что. .

— с ростом трещины уменьшаются нормальные усилия в ребре, но увеличиваются коэффициенты интенсивности, на продолжении за вершину трещины;

— граница полуплоскости (неэлектродированная, свободная от нагрузок) разгружает трещину, как в механическом, так и в электрическом плане, и чем больше трещина или включение, тем эта разгрузка ощутимее;

— чем меньше ребро или больше трещина, тем сильнее механические и электрические поля на концах трещины;

— в случае, когда на берегах трещины действует равномерная нормально распирающая нагрузка, а ребро свободно от внешней нагрузки, конец ребра, выходящий на границу, растянут, причем граница раздела существенно зависит от величины трещины.

8. Исследование зависимости макромодулей ВКМ (§ 15) от геометрических и физических свойств его компонент показало, что.

— с ростом радиуса жесткость структуры возрастает;

— диэлектрическая проницаемость увеличивается;

— пьезоэффект структуры практически не меняется.

Достоверность результатов и выводов диссертационной работы подтверждается строгостью математических постановок и теоретической обоснованностью методов решения задачхорошей согласованностью с имеющимися в литературе решениями для анизотропной средыфизической интерприта-цией результатов вычислений.

Об эффективности предложенного метода решения задач электроупругости свидетельствуют простота реализации, возможность распространения на другие классы задач.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В диссертационной работе решен ряд новых краевых задач теории электроупругости для пьезоэлектрических сред, усиленных упругими включениями и ослабленных криволинейными трещинами — разрезами. При решении всех задач применен единый подход. Вначале строились фундаментальные решения (функции Грина), для этого рассматривались вспомогательные задачи о действии сосредоточенной силы или заряда в пьезоэлектрической среде. На основе фундаментальных решений конструировались интегральные представления решений соответствующих краевых задач. Затем краевые задачи сводились к системам интегральных уравнений. Для численной реализации полученных систем составлялись программы на языке ФОРТРАН, которые затем пропускались на ЭВМ EC-I022.