Разрушение полос переменной толщины

Пластины переменной толщины являются конструктивными элементами различных машин, строительных конструкций, летательных аппаратов, гидротехнических сооружений.

Одной из важнейших задач механики деформируемого тела является разработка и внедрение новейших методов оценки сопротивления материалов разрушению. В связи с широким использованием в технике высокопрочных материалов и крупногабаритных конструкций, сооружений в различных областях современной техники теория распространения трещин в твердых телах приобрела особую актуальность.

Создание любых изделий и сооружений неизбежно приводит к вопросу о величине их несущей способности, превышение которой часто именуется нарушением прочности.

В реальных материалах всегда имеется большое количество различного рода дефектов типа трещин, развитие которых под действием внешней нагрузки приводит к локальному или полному разрушению материала. Это особенно сказывается при изготовлении различных деталей машин, конструкций и аппаратов современной техники.

Механика разрушения, изучающая равновесие деформируемых тел с трещинами, является разделом нелинейной механики сплошных сред. Нелинейность ее задач вызвана тем, что контур трещин неизвестен заранее и его нужно определить в ходе решения задачи.

Первые фундаментальные результаты в механике разрушения относятся к началу двадцатого века. Здесь, в первую очередь, следует отметить работу А. Гриффитса [89], в которой трещина моделируется математическим разрезом, и напряженно-деформированное состояние описывается в рамках линейной теории упругости. Широкое практическое применение теория разрушения получила после 1957 года, когда американский ученый Дж. Ирвин на основе использования сингулярных решений линейной теории упругости установил связь между работой, затрачиваемой на разрушение, и критическим значением коэффициента интенсивности напряжений. Ограниченность силового критерия Ирвина обусловлена использованием для описания докритического и критического состояний аппарата линейной теории упругости.

Более общие интегральные критерии разрушения материала, справедливые и в рамках нелинейной теории упругости, связаны с именами Дж. Райса [94] и Г. П. Черепанова [107]. Описание разрушения в рамках нелинейной теории упругости приводится в работах К. Ф. Черныха [112]. Использование интегральных критериев для упругопластических материалов ограничено, как и применение силового критерия Ирвина, условием малости зоны пластического деформирования в окрестности концевой точки.

Впервые, в 1959 году, переход к непосредственному учету пластического деформирования был проведен М. Я. Леоновым и В. В. Панасюком и несколько позже Д. С. Дагдейлом.

Существенным отличием данного подхода была конечность напряжений в примыкающей к кончику разреза пластической зоне. Теории разрушения, исключающие бесконечные значения напряжений в упругих моделях, были предложены С. А. Христиановичем, Г. И. Баренблаттом, J1. Прандтлем, В. М. Битовым, P.JI. Салгаником.

С основными результатами в этой области можно ознакомиться в монографиях В. В. Панасюка [85], В. М. Финкеля [104], Снеддона и Ловенгрубба [130], Г. П. Черепанова [107, 108], В. З. Партона и Е. М. Морозова [87], Броберга [115], В. В. Болотина [114], В. В. Панасюка, М. П. Саврука и АД Дацышина [84], В. В. Панасюка, А. Е. Андрейкива и В. З. Партона [86], Л. Т. Бережницкого, М. В. Делявского и В. В. Панасюка [10], Н. Ф. Морозова [77], В. В. Панасюка, А. Е. Андрейкива и С. Е. Ковчика [83], Е. М. Морозова и М. В. Зернина [76], В. З. Партона и В. Г. Борисковского [88], Г. Плювинажа [92], Хеллана [105], Н. Г. Стащука [100], Г. С. Кита и М. Г. Кривцуна [53], В. А. Левина, Е. М. Морозова и Ю. Г. Матвиенко [60], В. И. Астафьева, Ю. Н. Радаева и Л. В. Степановой [7], К. Ф. Черныха [112], Э. Б. Завойчинской и И. А. Кийко [41], М. П. Саврука [95],.

М.П. Саврука, П. И. Осипова и И. В. Прокопчука [97], Е. М. Морозова и Г. П. Ни-кишкова [75], А. Н. Гузя [38, 39], Г. С. Кита и М. Г. Кривцуна [52], А. А. Каминского [52], В. М. Мирсалимова [66, 68], в отдельных главах монографии Н. И. Мусхелишвили [81], Л. И. Седова [98], а также в ряде обзорных статей Г. И. Ба-ренблатта [9], Д. Д. Ивлева [44], Гудьера Дж. и Либовца Г. [99], Си Г. и Либов-ца Г. [99], Райса [94], Р. В. Гольдштейна [29, 30], Г. П. Черепанова [109], П. М. Витвицкого, В. В. Панасюка, С. Я. Яремы [17] и других.

Достаточно полный обзор и анализ новых результатов исследований по разрушению дан в трудах IX Международной конференции по разрушению [40]. Отметим также справочное пособие [86, 96] под общей редакцией В. В. Панасюка.

Важным этапом для теории трещин оказались работы Ирвина [89] и Оро-вана, в которых был распространен подход Гриффитса на материалы, не являющиеся идеально хрупкими. Ирвин и Орован обратили внимание на тот факт, что многие пластичные материалы, т. е. ведущие себя как весьма пластичные при обычных испытаниях на растяжение, при появлении трещин разрушаются квазихрупким образом.

Концепция квазихрупкого разрушения позволила значительно расширить область применения теории хрупкого разрушения.

Значительному развитию механики разрушения способствовали модели Дагдейла[89], М. Я. Леонова, В. В. Панасюка [85], Уэллса [107], учитывающие наличие тонкой пластической области на продолжении трещины.

Жизнь всегда требует улучшения качества всех видов выпускаемой продукции, в том числе материалов, определяющих надежность и ресурс конструкций, машин и сооружений.

Анализ разрушения многих сооружений, машин, конструкций показывает, что разрушение, как правило, начинается с поверхности различных выточек, отверстий, щелей и других концентраторов напряжений, ослабляющих детали конструкций. Наличие устойчивых трещин в конструкциях и сооружениях, работающих в определенных режимах изменения внешних нагрузок, гораздо менее опасно, а искусственное усиление таких конструкций может значительно продлить их срок службы.

Следует отметить, что решению различных задач теории пластин и оболочек посвящена обширная литература [10, 11, 13, 16, 42], причем большей частью рассматривались задачи расчета напряжений и смещений в пластинах и оболочках постоянной толщины с заданной геометрией.

В настоящее время особую актуальность приобрела проблема развития имеющихся в изделиях трещин. В общем случае нагружения пластин, кроме растягивающих и касательных усилий, действующих в плоскости пластины, приложены также изгибающие, крутящие и перерезывающие усилия. Проблема определения напряженно-деформированного состояния около трещин в пластинах и оболочках переменной толщины еще недостаточно разработана. Впервые асимптотический характер изгибающих напряжений в окрестности конца трещины с учетом теории изгиба Кирхгофа методом разложения по собственным функциям был изучен Уильямом [99].

Асимптотическое разложение смещений и напряжений в окрестности вершины трещины впервые было получено на основе классической теории изгиба пластин. При этом имеет место высокий порядок особенности у поперечных сил, что является следствием приближенности применяемой теории изгиба пластин.

В работе [28] доказано, что теорию Кирхгофа-Лява можно рассматривать как математически обоснованный метод построения напряженно-деформированного состояния. В статье [14] показано, что теория Кирхгофа является частным случаем современной теории пластин, которую автор статьи предлагает называть теорией Кирхгофа-Рейсснера.

Си и Райе [99] распространили результат Уильямса на случай изгиба моментами и поперечной нагрузкой пластин, составленных из разных упругих материалов. Причем трещина считалась имеющейся на линии соединения материалов.

Ряд публикаций [10, 11] был посвящен развитию общей методики нахождения коэффициентов интенсивности напряжений для широкого класса концентраторов напряжений при изгибе моментами и перерезывающими силами пластин, ослабленных остроугольными дефектами.

В работах [10, 95] решение по теории Кирхгофа первой основной задачи изгиба тонкой пластины, имеющей конечное число сквозных трещин вдоль одной прямой или вдоль дуг одной окружности, сведено к задаче линейного сопряжения. Метод сопряжения использовался при решении задач теории изгиба также в работах [43,44, 61, 100].

Для ряда случаев найдены коэффициенты интенсивности напряжений. Обнаружено, что отклонение трещины от прямолинейной формы при изгибе сказывается слабее, чем при растяжении. Исида [25] с помощью метода рядов Лорана и классической теории жестких пластин исследовал изгиб пластин, ослабленных системой произвольно расположенных прямолинейных сквозных трещин. На основе классической теории Кирхгофа исследованы [95] задачи об изгибе пластин с криволинейными трещинами. Для рассматриваемых задач с помощью фундаментальных решений разрешающих уравнений теории изгиба получены сингулярные интегральные уравнения. В работах [10] рассмотрен изгиб круглой пластины постоянной толщины с центральной сквозной прямолинейной трещиной. Изгиб осуществлялся моментами, действующими вдоль внешнего контура пластины. Для коэффициентов интенсивности напряжений получены рекуррентные формулы, позволяющие проводить вычисления коэффициентов интенсивности напряжений с любой наперед заданной степенью точности.

В работе [42] рассмотрены задачи теории изгиба тонких пластин в виде полосы с разрезом, параллельным боковым сторонам. Задачи сведены к решению интегральных уравнений первого рода с особыми ядрами. Построены асимптотические методы решения интегральных уравнений по некоторому параметру. На основе полученных решений приводятся формулы для коэффициентов интенсивности напряжений на концах трещины для ряда практически важных задач.

При решении задачи изгиба пластины с трещиной по различным уточненным теориям, свободным от основной гипотезы классической теории недеформируемости нормалей к срединной поверхности пластины, показано, что поперечные силы при приближении к вершине трещины стремятся к нулю. Наблюдается различие в распределении изгибающих напряжений около концов разреза, вычисленных по классической и уточненным теориям [10].

Е. Рейсснером была предпринята попытка уточнить теорию изгиба пластин Кирхгофа, прежде всего, за счет учета деформаций поперечного сдвига, существенных у ряда современных материалов. Подробности о выводе уравнений Рейсснера и о соотношениях между решениями по теории Рейсснера и по теории Кирхгофа можно найти в [10].

В работе [125] рассматривалось взаимодействие двух произвольно ориентированных прямолинейных трещин на основе теории пластин Рейсснера. Задача сведена к сингулярным интегральным уравнениям, которые решались численно.

Обзор работ по изгибу пластин, ослабленных трещиной, по уточненным теориям, приведены в монографиях [10, 95].

В последние годы при решении задач о вытянутых поверхностных трещинах в пластинках и пологих оболочках, широкое применение получил приближенный метод «пружинок», предложенный Райсом и Леви. Этот метод позволяет свести указанную существенно трехмерную задачу для плоской в плане трещины к двум двумерным задачам: 1) задаче растяжения и изгиба пластинок (или задаче теории оболочек), в которой поверхностная трещина заменена сквозной с линейно-упругими связями между берегами- 2) плоской задаче о растяжении и изгибе полосы с надрезом [33].

Для уменьшения веса пластинчатых и оболочечных конструкций в большинстве случаев применяют оболочки и пластинки переменной толщины.

Пластины и оболочки переменной толщины со сквозными трещинами исследованы очень мало. Можно назвать работы Исиды [46], Зака и Вильямса [99], Эрдогана [119], А.Г. Таги-заде [101 — 103] и другие.

В работах А. Г. Тагизаде [101 — 103] и Ш. Г. Гейдарова [23, 24] проводились исследования малых выточек и утолщений на рост сквозной полубесконечной трещины в статическом случае нагружения. Проведен анализ развития трещины в пластине переменной толщины [103].

Дальнейшее развитие исследований в этом направлении было проведено в работах [2, 3] Т. М. Алиевым. Им исследовано влияние выточек или утолщений на разрушение пластинки, ослабленной сквозной трещиной конечной длины. Предполагается, что толщина пластины постоянна, за исключением некоторой области где толщина пластины представляет собой некоторую функцию координат. Рассмотрены локальные изменения в толщине пластины в виде выточек (выдавок) или, наоборот, наплавлений (утолщений) материала. В статье [3] рассматриваются вопросы торможения развития трещины в пластинчатом элементе конструкции с помощью локальных выточек (выдавок) или наплавлений (утолщений) вблизи концов трещины нормального разрыва. Рассмотрена упругопластическая задача для неограниченной пластины с одной прямолинейной сквозной трещиной длиной 2-Е, в концах которой имеются локальные изменения в толщине пластины в виде некоторых выточек или утолщений. Берега трещины свободны от внешних усилий. Материал пластины удовлетворяет условию пластичности Треска-Сен-Венана.

Найдены размеры пластических зон в зависимости от физических и геометрических параметров задачи и приложенной внешней нагрузки. Исследуется влияние переменности толщины пластины в пределах области ?> на концах трещины и пластических эффектов на развитие трещины. Рассмотрены наиболее распространенные на практике формы выточек и утолщений.

Следует отметить цикл работ [69 — 71], в которых впервые проведено исследование предельно-равновесного состояния пластин конечных размеров с переменной толщиной, ослабленных сквозной прямолинейной трещиной.

В работах [68, 72, 113] рассматриваются конкретные задачи теории изгиба пластин переменной толщины, ослабленных сквозными прямолинейными трещинами. Предполагается, что толщина пластинки меняется плавно, материал пластины однородный и изотропный. Используя метод малого параметра, получены уравнения нулевого, первого, второго и других приближений, которые по виду совпадают с уравнениями классической теории изгиба пластин постоянной толщины. Решение задачи в каждом приближении сводится к задаче линейного сопряжения. Во всех рассмотренных задачах получены формулы для коэффициентов интенсивности напряжений (моментов) на левом и правом концах трещины. Дан анализ возникновения устойчивого роста трещины в пластинах переменной толщины, которое связано непосредственно с изменением толщины пластины. Исследовано влияние на развитие сквозных трещин, имеющих на поверхности пластины технологические или конструктивные выточки или утолщения. В этой задаче предполагается, что толщина изгибаемой пластинки постоянна, за исключением некоторой области, и трещина расположена у этой области. Материал пластины считается однородным и изотропным. Рассмотрены наиболее распространенные на практике формы выточек и утолщений. Найдены локальные коэффициенты интенсивности напряжений (моментов).

На современном этапе развития науки о прочности материалов и конструкций значительное внимание уделяется концепциям механики разрушения материалов. При этом процесс разрушения, т. е. потеря прочности, трактуется как процесс зарождения и роста трещины в деформируемом твердом теле. Как известно, техническая прочность реальных материалов на два — три порядка меньше их теоретической. Это вызвано различными дефектами в структуре реальных твердых макротел, которые приводят к обеспечению начальных стадий разрушения материала.

Процессы разрушения реальных материалов имеют сложный характер и протекают для различных материалов по разному. Это зависит от особенностей структуры материала, его химического состава, вида нагружения и других.

Прочность твердых тел обеспечивается силами притяжения между частицами. Независимо от вида сил, возникающих при сближении частиц, общий характер их остается одинаковым: на относительно больших расстояниях появляются силы притяжения, быстро увеличивающиеся с уменьшением расстояния между частицами. В настоящее время известны различные механизмы образования трещин [60, 62, 85, 76]. В процессе движения дислокаций возможно возникновение ситуаций, приводящих к такому расхождению между атомными плоскостями, при котором между ними утрачивается силовое взаимодействие. Такие щелеобразные пустоты можно трактовать как микротрещины, с размерами порядка характерных размеров решетки.

На основании сказанного представляется актуальным рассмотреть зарождение поверхности разрыва в деформируемых телах без начальных дефектов.

Проблема зарождения трещин сложна, прежде всего, с физической и с технической точек зрения.

Отсутствуют исследования по зарождению дефекта типа трещины в пластинах (полосах) переменной толщины. Следует отметить, что в последние годы в виду важности этой проблемы появились некоторые работы по решению задач механики разрушения о зарождении дефекта типа трещины. В статьях [121, 122] проведены исследования об образовании зародышевой трещины и ее развития в фрикционных накладках тормозных механизмов автомобиля. В работах [63 — 65] М.В. Мир-Салим-заде поставлены и решены задачи механики разрушения о зарождении трещины в подкрепленных пластинах. В статьях [19 — 21, 67] построены модельные представления для исследования зарождения дефекта типа трещины в деталях контактной пары. В работах [49 — 51] Н. М. Калантарлы впервые исследован класс плоских задач механики разрушения о зарождении дефекта типа трещины в круговых дисках. Исследованы задачи о зарождении трещины в круговом диске при воздействии силовой нагрузки, повышенных температур и центробежных сил.

Следует отметить большой цикл работ В. В. Глаголева [25] и A.A. Маркина и В. В. Глаголева [26, 27, 61] по построению модели образования новых матермальных поверхностей и ее применение для постановки и решения задач деформирования и разделения упругопластических тел.

Приведенный обзор позволяет констатировать, что особую актуальность для исследования представляют пластины и оболочки переменной толщины, ослабленные дефектами типа трещин. Именно пластины и оболочки переменной толщины широко применяются в современных конструкциях. Это вызвано тем, что изделия требуемых свойств чаще всего можно достичь за счет использования различных листовых материалов с помощью варьирования их толщины при различных способах соединения. Оценка несущей способности пластин, (полос) переменной толщины при наличии трещин не получила к настоящему времени достаточного развития.

Исследование вопросов зарождения трещин в пластинах (полосах) переменной толщины при различных силовых нагружениях и неравномерном нагреве имеет важное значение для прогнозирования срока службы деталей машин и конструкций. В связи с этим необходимы исследования по построению математической расчетной модели, описывающей зарождение трещин в пластинах (полосах) переменной толщины при различных условиях эксплуатации строительных конструкций.

Данная диссертационная работа посвящена вопросам моделирования и решения задач о зарождении и развитии трещин в пластинах (полосах) переменной толщины при различных силовых нагружениях и неравномерном нагреве.

В диссертации рассматриваются некоторые задачи механики о зарождении и развитии трещин для пластин и полос переменной толщины при действии силовой и тепловой нагрузок.

Цель работы состоит в исследовании: напряженно-деформированного состояния пластин (полос) переменной толщины с прямолинейной сквозной трещинойзарождения и роста трещин в пластине (полосе) переменной толщины при действии силовой и тепловой нагрузок.

Научная новизна. Развита эффективная методика решения задач механики разрушения для пластин переменной толщины при воздействии силовой и тепловой нагрузок;

Впервые решен класс задач о зарождении трещины в пластинах переменной толщины при воздействии силовой и тепловой нагрузок;

Впервые решен новый класс задач теории упругости и пластичности для полос переменной толщины, ослабленных сквозными прямолинейными трещинами;

Получены зависимости коэффициентов интенсивности напряжений, контактных напряжений, длин полос пластичности и зоны контакта берегов трещины, раскрытие трещин в ее конце в зависимости от приложенной нагрузки, длины трещины, предела текучести материала пластины, а также параметров, характеризующих переменность толщины пластины;

Получены соотношения, описывающие докритическую и критическую стадии роста трещины в полосе переменной толщины.

Методика исследования. Решение задач осуществляется методом возмущений и аналитическими методами теории функций комплексного переменного и его приложениями к плоской задаче теории упругости. Предлагаемый способ решения поставленных в диссертации задач представляет собой комбинацию различных аналитических и численных методов.

Эффективность этой методики заключается, в частности, в том, что предложен единый путь построения решения методом возмущения в каждом приближении. Этот путь позволяет получить в каждом приближении точное решение единым методом теории аналитических функций.

Достоверность полученных результатов обеспечивается корректностью математической постановки задач и методов их решения, применением фундаментальных законов механики и сравнением получаемых результатов с уже имеющимися известными решениями в частных случаях.

Практическая ценность. Практическая значимость работы определяется широким кругом отмеченных выше практических приложений использования пластин (полос) переменной толщины в современной технике. Полученные результаты могут быть использованы непосредственно в инженерных расчетах прочности и долговечности пластинчатых конструкций, позволяют проанализировать развитие трещины (разрушение) в пластинчатых конструкциях переменной толщины, достоверно устанавливать их основные параметры, обосновывать пути повышения живучести листовых конструкций, прогнозировать скорость роста трещин и несущую способность поврежденных пластинчатых элементов конструкций, на стадии проектирования конструкций обосновано выбирать конструктивные параметры.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались:

— на I Международной’конференции «Деформация и разрушение материалов» DFM 2006, Москва, 13−16 ноября 2006 г.;

— на Международной научной конференции «Современные проблемы Математики, Механики, Информатики» Тула, 28 — 30 ноября 2006 г.;

— XIII Международном симпозиуме «Динамические и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред», им. А. Г. Горшкова, Москва, 12- 16 февраля, 2007 г.;

— на научном семинаре кафедры «Теория упругости» МГУ им. М. В. Ломоносова (2007 г. рук. профессор И.А. Кийко);

— на научно-исследовательских семинарах кафедры математического моделирования в ТулГУ (2007 г., рук профессор A.A. Маркин).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано шесть печатных работ [134−139].

Структура и объем работ. Диссертация состоит из введения, трех глав, выводов и списка литературы. Работа содержит 165 страниц машинописного текста, 25 рисунков, библиографию из 139 наименований отечественных и зарубежных авторов.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.

1. Развита эффективная методика приведения общих уравнений статического деформирования пластинчатых элементов конструкций переменной толщины, ослабленных сквозными трещинами конечной длины, к задачам плоской теории упругости.

2. Создана эффективная методика решения широкого класса задач механики разрушения о зарождении и развитии трещин в пластине (полосе) переменной толщины при действии силовой и тепловой нагрузок. Эффективность этой методики заключается, в частности, в том, что предложен единый путь построения решения методом возмущения в каждом приближении. Этот путь позволяет получить в каждом приближении точное решение единым методом теории аналитических функций.

3. На основе разработанной расчетной модели: а) исследовано зарождение трещины в пластине (полосе) при воздействии силовой нагрузки и неравномерного нагреваб) предложен метод расчета контактных усилий возникающих между берегами трещины входящих контакт, в полосах переменной трещины.

4. Решен новый класс задач механики разрушения о зарождении дефекта типа трещины в пластине (полосе) переменной толщины при различных видах силовой нагрузки и неравномерного температурного поля. Получены соотношения для определения предельной нагрузки, при которой происходит появление трещины в пластине (полосе) переменной толщины.

5. Найдены в общем виде формулы, определяющие коэффициенты интенсивности напряжений вблизи концов сквозной прямолинейной трещины в зависимости от геометрических параметров переменности толщины полосы в окрестности вершин трещин, параметра внешнего нагружения.

6. Решен новый класс задач теории пластичности для полос переменной толщины, ослабленных сквозными прямолинейными трещинами, при действии силовой нагрузки и неравномерного температурного поля. Получены формулы для определения размеров пластической зоны и раскрытия трещины в ее кончиках при изменениях толщины полосы в зависимости от параметра внешнего нагружения, длины трещины, предела текучести материала. Получены основные соотношения, описывающие докритическую и критическую стадию разрушения полос переменной толщины при монотонном нагружении.

7. Показано, что при определенном соотношении геометрических параметров полосы переменной толщины с трещиной возникают зоны сжимающих напряжений, в которых берега трещины входят контакт. Получены зависимости для контактных напряжений и длины зоны контакта берегов трещины в зависимости от приложенной нагрузки, длины трещины, а также параметров, характеризующих переменность толщины полосы.

8. Исследовано влияние взаимодействия полос предразрушения на появление трещины в пластинах переменной толщины при действии силовой нагрузки.

9. Созданная расчетная методика, отличаясь простотой и малой трудоемкостью, позволяет достоверно оценивать напряженно-деформированное состояние и прогнозировать возможность появления и развития трещин в пластине (полосе) переменной толщины при различных видах силовой и тепловой нагрузок.