Интегральные представления решений и граничные задачи для некоторых квазилинейных уравнений гиперболического типа

Сингулярные и вырождающиеся гиперболические уравнения, а также уравнения смешанного типа и их исследования являются одним из важных вопросов современной теории дифференциальных уравнений в частных производных. Интерес к этому классу уравнений поддерживается как теоретической значимостью полученных результатов, так и их многочисленными приложениями в газовой динамике, гидродинамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхности, в различных разделах механики сплошных сред и других областях науки и техники.

Основы теории сингулярных и вырождающихся уравнений заложены в работах известных математиков Ф. Трикоми, И. Н. Векуа, С. Геллерстедта, Ф. И. Франкля, М. А. Лаврентьева, К. И. Бабенко, A.B. Бицадзе. Наиболее пристальное внимание к данным уравнениям стало уделяться с конца 40-х годов XX века, после того, как Ф. И. Франкль указал их приложения к проблемам околозвуковой и сверхзвуковой газовой динамики. Позже были найдены приложения этих уравнений в других разделах физики и механики. Так, И. Н. Векуа указал их в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей безмоментной теории оболочек.

Теоретические основополагающие результаты принадлежат Ф. Трикоми, который поставил и решил первую граничную задачу для уравнения.

Uxx + Uxy=0. и С. Геллерстедту, который провел исследования для уравнения nH-1uxx + uyy = 0, meN.

М.А. Лаврентьев, с целью упрощения исследований граничных задач подобных уравнений, предложил новую модель уравнений.

A.B. Бицадзе принадлежат исследования задачи Трикоми и ее обобщений для этого уравнения. Теперь оно называется уравнением ЛаврентьеваБицадзе.

C.JI. Соболев для волнового уравнения в трехмерном пространстве i—utt-{uxx + uyy + uZ2)= О.

С^Л1, у, Z) разработал метод сведения задачи Коши к интегральному уравнению.

Задача Коши для линейных уравнений гиперболического типа была решена Адамаром иным методом с использованием особого понятия интеграла.

Одними из основных направлений современной теории дифференциальных уравнений с частными производными являются постановка граничных задач, как по граничным условиям, так и условиям сопряжения, и поиск методов их решения.

Во второй половине XX века в этом направлении появляются новые работы, среди которых можно отметить исследования A.B. Бицадзе [9], М. М. Смирнова [74], С. П. Пулькина [58], В. Ф. Волкодавова [15], A.M. Нахушева [50], Н. Р. Раджабова [62], JI.C. Пулькиной [60] и других ученых.

Для общего уравнения гиперболического типа и^ + а {.х, у) их + Ь{х, у) иу + с (х, у) и = f (x, у) решение задачи Коши получено методом Римана через решения однородного сопряженного уравнения.

В работах М. М. Смирнова указано, что задача Гурса для этого уравнения сводится к решению системы двух линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода. Данное уравнение и его пространственные аналоги встречаются при исследовании вибрации и играют существенную роль в теориях аппроксимации и отображений [11].

Следует отметить проведенный в этом направлении ряд работ Н. Р. Раджабова [61] - [65], которым в 1985 году был разработан метод разложения главной части дифференциального оператора второго порядка гиперболического типа в виде композиции двух линейных операторов первого порядка. На основе данного метода для линейного дифференциального уравнения второго порядка гиперболического типа общего вида была получена явная формула интегральных представлений многообразия решений через две произвольные функции одного независимого аргумента.

В работе Н. Р. Раджабова «Интегральные представления и граничные задачи для некоторых гиперболических уравнений с одной и двумя сингулярными линиями» впервые было исследовано уравнение с двумя сингулярными линиями вида.

Для него найдено интегральное представление через две произвольные функции одной переменной и изучены граничные задачи. В частности, требуется найти в области где g{y) и Ь (х) — заданные на некоторых контурах вещественные функции.

На ранних этапах своего развития теория уравнений в частных производных в качестве одной из основных выдвигала проблему нахождения и исследования уравнений, допускающих явное интегрирование. В начале XX века сильнейшее влияние математической физики привело к переоценке ценностей в теории уравнений в частных производных. В результате, ряд классических результатов, касающихся точного интегрирования, был забыт даже специалистами. Но в настоящее время интерес к этим результатам значительно возрос в связи с открытием новых фундаментальных методов точного интегрирования нелинейных уравнений в частных производных.

Общеизвестным примером точно интегрируемого уравнения в частных производных является уравнение Лиувилля и [ Ь{х, у) и [ с{х, у) Цх. у) у * ху *у.

П = {0<�х<�а, 0<�у<�р} 2 решение и (х, у) данного уравнения из класса С (Б) по граничным условиям и у = ?ieu, fi = const.

Уравнение быстрой диффузии ut = Ainu, и= y, t), в двумерном координатном пространстве, встречается во многих прикладных задачах, например, при описании процесса растекания сверхтонкой пленки жидкости под действием сил Ван дер Ваальса. Оно возникает при моделировании диффузионных явлений в полупроводниках, полимерах и т. п. Уравнение быстрой диффузии с линейным источником имеет вид ut = Aln и-Ли, где Ле Re{0}. Его стационарный аналог (эллиптического уравнения).

Д1п и = Ли заменой и = ехр{Лсо) сводится к уравнению Лиувилля Ао) = ехр (Ла)). А. Г. Попов для квазилинейного уравнения Лиувилля вида.

Э2 Э2 на основе разработанного им метода, построил формулу точного решения.

В работе В. И. Жегалова «О характеристиках граничных задач для уравнения Лиувилля» выводятся формулы решения задач с граничными условиями первого, второго и третьего типов. В области.

D = {0.

Задача 1. (Гурса): найти функцию и{х, у) е C (D) n CU{D), являющейся в D решением рассматриваемого уравнения, и удовлетворяющую условиям.

1) u{x, 0)=ju{x), xe Р=[0,а],.

2) u{Q>y)=v{y), yeQ=[Q, bl.

3)//(0)=i/(0).

Эта задача, в том числе для общего уравнения и^ = у, и, их, иу), изучалась в работах А. В. Бицадзе [9], М. М. Смирнова [74], Ф. Трикоми [76], А. Н. Тихонова [75]. В частности, в ([76], с.205) при определенных ограничениях на (методом последовательных приближений доказано существование единственного решения данной задачи. При этом условия Липшица для Г по последним трем аргументам должны выполняться в некотором пятимерном параллелепипеде, сужение которого на плоскость (х, у) может оказаться лишь частью области Б.

Задача 2. Найти функцию и (х, у) е С{0) п Сол (ИиР)п С1,0 (£>и (?) п С1'1 (?>), удовлетворяющую следующим условиям ди.

1}э/ ди.

2) у= О.

Ъх Ух (У), У? (?, (л-) и (/) заданные функции непрерывно дифференцируемые на Р и (?) соответственно.

Задача 3. Найти в Б решение и (х, у) того же класса, что и в задаче 2, удовлетворяющее условию ??(0,0) = 0 и соотношениям.

1) иу М) + Д (л) ехри{х, 0) = ¿-У, (л), Д (л) е [0, а], Д (л-) >0,.

2) их (0, у) + Ьг (/) ехр «(0, у) = со2 (у), Л2 (у) е [0, Ь И2 (у) > 0.

В работах Н. Р. Раджабова, С. Т. Фозилова [79], [80] изучены некоторые уравнения типа Лиувилля. В частности, для уравнения вида Г где а, р = {Ы/{1}}, а (у), %) — функции, заданные на некотором отрезке 1 = [о, ь], г Э а (у) а/ / ' при определенных ограничениях коэффициентов получена формула явного решения и исследован ряд граничных задач типа Гурса. 8.

В работе «Задачи с нормальными производными в граничных условиях для нелинейных гиперболических уравнений» A.A. Кунгурцева исследуется вопрос разрешимости в евклидовых пространствах различной размерности задач об отыскании решений уравнений вида ^—= F{U) п0 граничным условиям, содержащим значения нормальных производных от функции U. В частности, при л = 2, F{U) = к exр U, к — const > 0 является рассматриваемым уравнением Лиувилля. Частные случаи данного уравнения с линейным оператором f встречаются при изучении процессов, связанных с явлениями вибрации и другими задачами механики и математической физики, играют существенную роль в теориях аппроксимации и отображений, к ним сводится задача интегрального представления преобразований одних обыкновенных линейных дифференциальных операторов в другие. Известное нелинейное синус-уравнение Гордона и его обобщения, имеющие различные приложения (статистическая механика, теория поля, оптика, кристаллография) тоже являются частными случаями выше рассмотренного уравнения.

Диссертационная работа посвящена вопросам построения явных формул интегральных представлений некоторых классов квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных второго и третьего порядков гиперболического типа с регулярными и сингулярными коэффициентами, являющимися аналогами уравнения Лиувилля. Для рассматриваемых дифференциальных уравнений исследуются некоторые граничные задачи.

Во введении дана краткая историческая справка по рассматриваемым вопросам, раскрывается актуальность темы и приводится краткое содержание работы.

В первой главе исследуется линейное дифференциальное уравнение третьего порядка гиперболического типа с регулярными коэффициентами.

Обозначим через Q прямоугольный параллелепипед.

П{а, J3, у) = {{х, у $: 0 < х< а, 0 < у< Д 0 < z< у}.

Пусть.

Пх{а) = {(л-y, z):0< х<�а, у — z= О}, Пг{Р)~{(*.y*z):Q< у< р, х= О}, = {(*> у, z) :0 < z< у, х= у= 0} Грани данного параллелепипеда обозначим.

П, {а, Д) = {Uу, z): 0 < х< а, 0 < у< Д z=0}, Пг {а, у) = {(х, у, z): 0 < х < а, у = 0,0 < z < у Пъ{р, у)={{х, уг)'.х=Ъ, Ъ<�у<�р, Ъ<�г<�у.

В области ?2 рассмотрим уравнение д3и.. д2и, ч д2и V д2и,. Ъи.

— + a (x, у, z) —— + Ь{х, у, z) —— + d{x, у, z) —- + т{х, y, z) — + dxdyoz dxdz dyaz дхду dx du du i0−1) n{x, y, z) — + c{x, y, z)~ + ju (x, y, z) u = Ф (х, y, z), dy dz где а{х, y, z), a (x, y, z), c (x, y, z), d (x, y, z), m{x, y, z), n{x, y, z),/u (x, z) заданные функции в области ?2. Теорема 1. Пусть в уравнении (0.1) а (х, у, z) € C^Q), b{x, у, z), с (х, у, z) е С (i2) и выполнены условия ч да{х, у, г), ч, Л т{х, у, z) =-— + а (х, у, z) d (x, у, z), dz л (х, у, z) = b (x, у, z) d (x, y, z) +) dz.

JLI (яг, y, z) = dc (*>y>z) + c (Xi y> z) dyt z), dz t da (x, y, z) c{x, y, z) = а (x, y, z) b (x, y, z) +—. dx.

Тогда любое решение u{x, y) уравнения (0.1) из класса С3 (?2) представимо в виде и (х, у z) = ехр[— щ (х, у, z) }р (х, z) + у J ехр[бц (х, r, z)-o{x, y, z){ехр[- <ог {х, r, z) y/{r, z) +.

Уо х Jехр[<�у20,r, z)-co2{t, z, z)]- (ехр[— щ (t, г, z) ] • 77 (f, -г) + z |ехрЦ{Uт,?)-щ (х, т, г)]-Ф (t, т,?)dt }dr, где (р{х, z), y/{y, z), ri (х, у) произвольные непрерывные вещественные функции, причем<�р (х, z) е С3 {а, у), у/(у, z) е С2 (/?, у), г/{х, у) е C{a, fi), У, а (х, y, z) = f а (х, т, z) dt,.

Уо х.

0)г (х, y, z) = J b{t, у, z) dt, z щ {x, y, z) — j d{x, y, ?).

Во второй главе изучается квазилинейное дифференциальное уравнение второго порядка, которое является аналогом уравнения Лиувилля. Пусть область Р представляет собой прямоугольник.

П{а, Ъ) = {{х, у)0 < х<�а, 0 < у< Ъ}. Далее обозначим.

П1^)={{х>ур<�х<�а, у=о}.

В области Р рассмотрим уравнение.

— + а (х, у)^- + Ь{х, у) ехр^- + а{х, у) и} + с (х, у) и = 0. (0.2) дхду дх °У) где а (х, у), Ь (х, у), с{х, у) заданные непрерывные функции в области Р.

В параграфах 2.1 и 2.2 построена формула явных решений уравнения.

0.2).

Теорема 2. Пусть в уравнении (0.2) а{х, у) е С{р), Ь{х, у), с{х, у)<�Е С (р). Кроме того, пусть о.

Тогда всякое решение и (х, у) уравнения (0.2) из класса С2 (Р) представимо в виде и (х, у) = <�р{х) ехр (-й^ (х, у)) — |ехр[й} (х, т) — сох (х, у)]п (у/{т) + сог (х, т))ёт.

Уо.

0.3) где <�р{х), у/{у) произвольные непрерывные вещественные функции из классов.

У х.

Сг {П1 (а)), С{П2 (Ь)), Щ и у) — а г) М, 0)2 (х, у) =.

Уо -*о.

В параграфе 2.3 излагаются некоторые свойства решения уравнения.

0.2).

В параграфе 2.4 решены граничные задачи. Задача Кх. Требуется определить регулярное в области Р решение и (х, у) уравнения (0.2), удовлетворяющее условиям.

1) и{х, у0)= /¡-(л),.

2) и{х^у) = д,{у),.

3) /Каь) = йСУО) У где, А (л), gl (у) заданные функции точек.

Теорема 3. Пусть коэффициенты уравнения (0.2) удовлетворяют всем требованиям теоремы 2. Кроме того, пусть функции х) е Сг {П1{а)), gl{y) е Сг{П2(Ь)). Тогда задача Кг имеет единственное решение, которое дается формулой вида и (х, у) = fy (л) ехр (-щ (х, у)) у.

— Jexpfo {х, т) — ?x {х, у)]In сог (л, т) + ехр

Уо.

— зЛУЫУ)-^ dy. dt.

Задача Кг. В области Р требуется найти регулярное решение и{х, у) уравнения (0.2), которое удовлетворяет условиям.

1) и (х>У)у=у0 = Ш, Э и.

2).

Э/ 8 г (У), где f2 (*), § i (у) — заданные непрерывные функции контуров Пх (а), Пг (Ь). Теорема 4. Пусть коэффициенты уравнения (0.2) удовлетворяют всем условиям теоремы 2. Кроме того, пусть /2 (я) е С2 (П1 (a)), g2 (у) е С1 (Я2 (Ь)). Тогда задача кг имеет единственное решение, которое дается формулой (0.3), где р{х) = /2 (а) р{у) = ехр[а (/) (С-1 {g2 о7) + Ф) ехрНц (77)) f2 (х0)) drj] - g2 (у) — а{у) Гг {х0) ехр (-<�у, (/))). о.

Задача к3. Требуется найти в области Р регулярное решение и{х, у) уравнения (0.2), которое удовлетворяет условиям.

1) «(*.Уо)=.

2) где /3 (а), (у) — заданные непрерывные функции контуров П1 (а), Пг (Ь), р) — линейный регулярный дифференциальный оператор вида.

Теорема 5. Пусть коэффициенты уравнения (0.2) удовлетворяют всем условиям теоремы 2. Кроме того, пусть Г2(х)<= С2 (П^а)), g2(y) е Сх (П2(Ь)). Тогда задача К3 имеет единственное решение, которое дается формулой (0.3), где р{х) = /3(л), = ехр (-#3 {у}).

В третьей главе исследованы квазилинейное уравнение второго порядка с одной граничной сингулярной линией на плоскости, квазилинейное уравнение второго порядка с одной сингулярной точкой на плоскости, квазилинейное уравнение второго порядка с п внутренними сингулярными линиями на плоскости.

В параграфе 3.1 построена формула явных решений уравнения вида и] + Ь (х, у) ехр (4, [и]) = 0, (0.4) где ?(52).^п — линейные сингулярные дифференциальные операторы кл) =у2-^ + уа (х, у), д2 Э.

55 / Уа (х>У) ^+У1 У).

Через Г2 обозначим прямоугольник к (а,/3) = {(х, /): 0 < х< а, 0 < у< /?}.

Далее щ (а) = {(*, у):0<�х<�а, у= 0}, (Р) — {(*" у): 0,0 < у< /?}.

В области О, рассмотрим уравнение (0.4), а (х, у), Ь (х, у), с (х, у) -заданные функции в области ?2.

Теорема 6. Пусть в уравнении (0.4) з (х, у) е С, а в окрестности любой точки яг (/?) по переменной у удовлетворяет условию Гельдера а (х, у) — а{х, Щ ^ Н) Ь, где Я > 0, 0</г<1.

Кроме того, пусть Ь{х, у) е С (£2), с (^/)бС (й) и тождественно выполняется условие ус{х, у)—= дх.

Тогда любое решение и{х, у) уравнения (0.4) из класса С2 (?2) представимо в виде а{х'0) ехр (-?ци,/))х.

ЛЧ Г.

0.5) где (р{х), у/ {у) произвольные вещественные функции, (р{х) е С2 [я:1 (а)],.

Кх^с'М/?)], а^.т) — а (х, 0).

Уо о (х, у) = у с1т, X.

Поведение решения уравнения (0.4) вида (0.5) существенно зависит от значения функции а (х, 0). Поскольку а{х, 0)>1, то решение вида (0.5) в окрестности лг (/?) неограниченно, его порядок определяется из равенства при.

В параграфе 3.2 рассматриваются граничные задачи для уравнения (0.4). Задача Д. В области ?2 найти решение и (х, у) уравнения (0.4) из класса С2(£2), удовлетворяющее следующим условиям.

У=Уа.

2).

М-Г0') ЯЛУ), где, А (*)• Я1 (у) — заданные непрерывные функции точек контуров.

Теорема 7. Пусть коэффициенты уравнения (0.4) удовлетворяют всем требованиям теоремы 6. Кроме того, пусть С2[7Гх{сс)], g^{y)e С1 [я2(/?)]. Тогда задача Д имеет решение, притом единственное. Это решение дается при помощи формулы (0.5), где р{х) = ^ (л), уАу)=ехр сП.

Уо т.

— ехр (- Щ {у)М%)+gx (/) |.

Задача йг. Требуется найти в области, а решение и (х, у) уравнения (0.4) из класса С2 (?2), удовлетворяющее следующим условиям 1) и (х'Уу=уп = ^Ы,.

2).

-{и (х, уи^М (х, у)) ёг{у), где /2 (*)> 8 г (у) ~ заданные непрерывные функции контуров [а), к2 (/?),.

М (х, у) — ехр I.

Уо з (х, т)-з (х, 0) с/т.

Теорема 8. Пусть коэффициенты уравнения (0.4) удовлетворяют всем условиям теоремы 6. Кроме того, пусть /2 (лт)е С2 [а)), gг (у)е С1 (я" 2 (/?)). Тогда задача Б2 имеет единственное решение, которое дается в виде (0.5), где 1/оГ «0) • «, V{У) — еЧ>(- & Ш Ы» ^ <*р (- (* • /)))¦

В параграфе 3.3 получена формула интегрального представления уравнения вида.

А[и+Ь{х, у) ех?{В[и)=Ъ, (0.6).

16 л= в= д2 п д — + П (у-ак)а (х, у) — + П (уак)с (х, у),.

П (У-ак).

— + П (у-ак)а{х, у). ду.

Через Р обозначим прямоугольник.

П = {{х, у) :а < х< Ь, с<�у<�с/}.

Далее.

П1{а, Ъ) = {(х, у):а<�х<�Ъ, /=о},.

П2(с, с1) = {{х, у):х= 0, с < у< д}.

Пусть прямые у=ак (к = 1,2.л) лежат внутри данного прямоугольника р. Совокупность этих прямых, в дальнейшем, обозначим.

Гк={а<�х<�Ъ, у— ак } а (л-, /), Ь (х, у), с {х, у) — заданные функции в области Р.

В области Р рассмотрим уравнение (0.6). Теорема 9. Пусть в уравнении (0.6) функция а (х, у) е С1Х (Р), и в окрестности каждой точки прямых у—ак удовлетворяет условию Гельдера а (х, у)-а (х, ак)< Ну-ака, Н > 0, 0<а <1.

Кроме того, пусть Ь{х, у) еС{Р), с{х, у) еС (Р) и тождественно выполняется условие ч да (х, у) с[х>У)—— = 0. д х.

Тогда всякое решение уравнения (0.6) из класса С2(Р) представлено в явном виде и дается при помощи формулы к=1 х? у (а, г)] ехр х (а, т).

Ах.

Уо.

П (т-ак) Пт — а.

— тка{х, ак) к=1 к=У.

0.7) где.

О).

Щуг, со) = -1п {у/{у)+со (х, 7)), X со (х, у) =.

I ——-1-~.

3 т-а,.

Уо шк известные постоянные числа, зависящие от ак.

Решение вида (0.7) получено при предположении, что тка (х, ак)> 1, и.

В этом случае решение уравнения (0.7) в окрестности точек прямых у — ак обращается в бесконечность следующего порядка и (х, у)= о|/-а1Г" <" *)).

В параграфе 3.4 рассмотрена и решена граничная задача. Задача М. Требуется найти в области Р решение и (х, у) уравнения (0.6) из класса С2 (Р), которое удовлетворяет условиям.

1) «М^'М.

2) — р{х, у) и{х, у) я (у),.

Х=Хо где f{x), Я (у) ~ заданные непрерывные вещественные функции контуров.

Пх {а, Ь), Пг (с, </), р{х, у) = П1 Уактка{х-ак) ехр к=I тксок (х, у) к=1.

Теорема 10. Пусть в уравнении (0.6) коэффициенты удовлетворяют всем требованиям теоремы 9.

Кроме того, пусть f{x) е С2 {Пу (а, Ъ)), q (y)e С1 (Я2 (с, d)), q{y) Ф 0, шка{х0,ак) >1.

Тогда задача М имеет единственное решение вида (0.7), в которой функции i р{х)= f{x)Y[y0-ak тка (х.ак) к=1 in п.

W (y)=exV ехР it ткй) к (х0,у) к= а*).

У~ак.

V к=1 *=1.

В параграфе 3.5 исследуется квазилинейное уравнение второго порядка с одной сингулярной точкой на плоскости вида.

Т / Ь (х, у) (а (х, у) Л у+^^и =0, (0.8) г г) где.

Г — и i а (х' У) д i 2 2, 2.

Через I2 обозначим прямоугольник л (а,/3) = {0 < х< а, 0 < у< 0}, и пусть лг («) = {0< х<�а, у=0}, К{0) = {*= 0.0 < у< a (x, у), b (x, у), с (х, у) за данные функции области Q,. В области I2 рассмотрим уравнение (0.8). Теорема 11. Пусть в уравнении (0.8) b (x, у), с (х, у) е С (0), а (х, у) е С1Х (0.) и удовлетворяет условию Гельдера а (х, у) — а (0,0)| < г°1 Нх .где Нх > 0, 0 < ах < 1 и 0 < а (0,0) < 1, функция Ь (х, у) удовлетворяет условию Гельдера ь{х, у)-фЩ< га^Н2,гд& #2>0, 0 < ос2 < 1.

Кроме того, допустим, что тождественно выполняется условие гс (х, у)-г2^- + ха{х, у)=0. дх.

Тогда всякое решение уравнения (0.8) из класса С2(0) представимо в виде и{х, у) = х э (0,0) ехр (- о [х, j/))x х Z.

W-jln у/(т) + 0)2 (лг, -г) + ь (0,0) 1п.

Г Х+л1×2 +т2 jj ехр (^ (л-, т)].

I Т + л/х2 +Т2 X з (0,0.

В четвертой главе получена формула явных решений квазилинейного дифференциальному уравнению третьего порядка гиперболического типа с регулярными коэффициентами на плоскости.

Пусть О представляет собой прямоугольный параллелепипед.

П{а, р, у) = {(л-, у, г): 0 < х< а, 0 < у< /?, 0 < у} Грани этого параллелепипеда обозначим.

Пх {а, р) = {(*, у, г): 0 < а, 0 < у< /?, 0}, Пг {а, /)={(х, у, г):0<�х<�а, у=0,0<�г< 0}, Щ (/?, у) = {(*, у, г): х= 0, 0 < у < /?, 0 < х< у}.

В области О, рассмотрим уравнение д3и (ч д2и ,/ ч д2и, чЭи тт+++ oxdyaz oxoz oyoz az d (x, y) ex p f ZSI ddu tdu.

Ju a (x, y) — + b (x, y) — + c (x, y) u axay ax ay 0,.

0.9) где а (х, y), b{x, y), c{x, y) заданные функции в области Q. Теорема 11. Пусть в уравнении (0.9) а (х, у), с (х, у), d (x, yh Ф), Ь (х, у) е ф).

Кроме того, выполняется условие а (х, у) Ь (х, у)+*^-с (х, у) = 0. ¿-У.

Тогда, любое решение уравнения (0.9) из класса С3 {О} представимо в виде х и{х, у, z) = (рг (у ^)ехр (- сц {х, у)) + ]У2 О, ^)ехр {о у)-щ (х, у) — сог {и /)).