Исследование властивостей прямокутного тетраэдра

Общеобразовательная муніципальна середня школа № 5.

ДОСЛІДЖЕННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ ПРЯМОКУТНОГО ТЕТРАЭДРА.

Автор работы:

Андрєєва Олена Валеріївна учениця 11 «б» класса.

Науковий руководитель:

Солдаткина Клавдія Дмитриевна.

Учитель математики.

Місто Кузнецьк, 2004 год.

ПЛАН.

І. Об'єкт исследования.

ІІ. Мета исследования.

ІІІ. Докази властивостей прямокутного тетраэдра.

ІV. Практичне застосування властивостей прямокутного тетраэдра.

V. Використана литература.

І. ОБ'ЄКТ ИССЛЕДОВАНИЯ.

Діяльність вперше вводиться поняття «Прямокутний тетраэдр». Тетраэдрбагатогранник, у якому 4 межі. Тетраэдр є трикутною пірамідою і містить 4 трёхгранных кута (рис. 1) Трёхгранный кутпостать, освічена трьома площинами (гранями), мають загальну точку (вершину) (рис 2) [1,2].

Про О.

А В.

А В.

З С.

Рис. 1 Тетраэдр.

Рис. 2 Трёхгранный угол.

Трёхгранный кут містить три пласких кута, освічених рёбрами, лежать в одній межі. Введемо поняття прямого трехгранного кута. Назвемо прямим трёхгранным кутом тригранний кут, у якому три прямих пласких кута (рис3), тобто. ребра трёхгранного кута взаємно перпендикулярні. Введемо також поняття прямокутного тетраедра. Тетраэдр називається прямокутним, якщо містить прямий трёхгранный кут (рис 4).

А.

А.

В.

В.

Про О.

С.

Рис. 3 Схема прямого Рис. 4 Схема прямокутного трёхгранного кута, тетраэдра.

Введемо також поняття катетных граней, гипотенузной межі, катетів і гіпотенуз прямокутного тетраедра. Прямокутний тетраэдр містить три катетные межі (межі, містять прямий плаский кут) і гипотенузную грань (яка містить прямий кут). Прямокутний тетраэдр містить три катета (ребра прямого трёхгранного кута) і трьох гіпотенузи (ребра, що лежать на гипотенузной межі). Тетраэдр, катеты якого рівні, назвемо равнокатет-ным.

ІІ. МЕТА ИССЛЕДОВАНИЯ.

Встановлення чи доказ властивостей прямокутного тетраэдра Актуальность теми: прямокутний тетраэдр є найпростішої геометричній постаттю, яка має унікальні корисні властивості. Вивчення цих властивостей в шкільному курсі математики має розвитку абстрактного логічного мислення в учащихся.

ІІІ. ДОКАЗАТЕЛЬСТВА [pic] ВЛАСТИВОСТЕЙ ПРЯМОКУТНОГО ТЕТРАЭДРА.

I. Квадрат площі гипотенузной межі дорівнює сумі квадратів площ катетных граней.

А.

Дано:

ОАВС — прямокутний тетраэдр

SОАВ= S1 SABC= S.

[pic]SOBC= S2 SOAC= S3 В.

Довести: О.

D.

SІ=S1І+S2І+S3І.

С.

Доказательство.

Нехай ADвисота гипотенузной межі АВС, проведена до ребру ЗС з вершини А,.

ОDпроекція AD на катетной межі ОВС, OD перпендикулярно ЗС, т.к. AD перпендикулярно ВР і АТ перпендикулярно ОВС (зворотна теорема про трьох перпендикулярах). SABC= ½ BC (AD.

SOBC=½ BC (OD.

SOAB =½ OA (OB.

SOAC=½OA (OC.

SІ OBC+S ІOAB +P.S ІAOC= ¼(BCІ(ODІ+OAІ(OBІ+OAІ(OCІ)=.

=¼(BCІ(ODІ+OAІ(OBІ+OCІ))=¼(BCІ(ODІ+OAІ(BCІ), т.к.

ОВІ+ОСІ=ВСІ (по теоремі Пифагора).

SІOBC+SІOAB+SІOAC=¼ BCІ(ODІ+OAІ)=¼ BCІ(ADІ, т.к.

ODІ+OAІ=ADІ (по теоремі Піфагора) тобто. SІOBC+SІOAB+SІOAC=SІABC.

SІ1+SІ2+SІ3=SІ, що потрібно було доказать.

II. Сума квадратів гіпотенуз дорівнює подвоєною сумі квадратів катетов.

Дано: А.

ОАВСпрямокутний тетраэдр де, а, b, з — катеты. В.

АВ, ВР і АСгіпотенузи а.

Довести: b.

АВІ+ВСІ+АСІ=2(аІ + b І +сІ).

Доказательство.

О.

АВІ = аІ + b І з С.

ВСІ = b І + сІ (по теоремі Пифагора).

АСІ = аІ + сІ.

АВІ + ВСІ + АСІ =2аІ + 2 b І +2сІ, що потрібно було доказать.

III. Обсяг прямокутного тетраедра дорівнює 1/6 твори катетов.

А.

Дано:

ОАВС — прямокутний тетраэдр, а, b, з — катеты. В.

Довести: а b.

V=(1/6) а · b · с.

Доказ. Про із Оскільки тетраэдр є трикутною пірамідою, його объём.

V=(1/3)Sосн · h.

Виберемо як підставу катетную грань ОВС, тоді катет, а буде заввишки тетраедра, т.к. а перпендикулярний ОВС, т. е.

V=(1/3) SOBC· а, т.к.SOBC=(½) b · .с Имеем V=(1/6) а · b · з, що потрібно було доказать.

IV. Відстань від вершини прямого трёхгранного кута до гипотенузной межі визначається по формуле:

_______________ h = (a?b?c)/?aІ· bІ + bІ· cІ + aІ· cІ.

де a, b, з — катеты тетраэдра.

Дано: А.

ОАВСпрямокутний тетраэдр

ОА = а, ВВ = b, ОС = з катеты Д.

ОД = h — перпендикуляр до грани.

АВС, а h В.

Довести: b.

____________ Про h = (a· b·c) / ?aІbІ+bІcІ+aІcІ з С.

Доказательство.

Обсяг тетраэдра:

V = (1/3)SАВС· h, А з другого боку: V = (1/6)abc (властивість 3 прямокутного тетраедра). Отже, h = (abc) / (2SАВС) З першого властивості прямокутного тетраэдра:

___________________.

SАВС = ?ЅІОАВ + SІОВС + SІ ОАС.

____________ тобто. SАВС = (½)?aІbІ+bІcІ+aІcІ.

Следовательно,.

____________ h = (abc) / ?aІbІ+bІcІ+aІcІ, що потрібно було доказать.

V. Косинуси направляють кутів нормальний до гипотенузной межі визначаються по формулам:

____________ co? = h / a= (bc) / ?aІbІ+bІcІ+aІcІ.

____________ сos? = h / b = (ac) / ?aІbІ+bІcІ+aІcІ.

____________ co? = h / з= (ab) / ?aІbІ+bІcІ+aІcІ.

де a, b, з — катеты тетраэдра;

? — кут між катетом чи нормалью.

? — кут між катетом b і нормалью.

? — кут між катетом сек. і нормалью.

h — нормаль.

Дано:

ОАВС — прямокутний тетраэдр.

ОА = а, ВВ = b, ОС = з — катеты.

ОД = h — нормаль до межі АВС А.

Довести: Д.

____________.

co? = (bc) / ?aІbІ +bІcІ +aІcІ h.

____________ а У co? = (ac) / ?aІbІ +bІcІ +aІcІ? b.

____________? co? = (ab) / ?aІbІ +bІcІ +aІcІ.

С.

Про с.

Доказательство.

З'єднаємо точку Д до точки Проте й одержимо прямокутний трикутник ОАД co? = ОД/ОА = h/a.

____________.

Оскільки h = (abc) / ?aІbІ+bІcІ+aІcІ.

____________ co? = (bc)/?aІbІ+bІcІ+aІcІ, що потрібно було доказать.

Аналогично:

____________ co? = ОД/ОВ = d/b = (ac)/?aІbІ+bІcІ+aІcІ.

____________ co? = ОД/ОС = d/c = (ab)/?aІbІ+bІcІ+aІcІ.

VI. Радіус сфери, яка описує прямокутний тетраэдр, визначається по формуле:

________.

R = (Ѕ) · ?aІ+bІ+cІ.

де a, b, з — катеты тетраэдра.

До L.

Дано:

ОАВСпрямокутний тетраэдр, А М.

ОА = а, ВВ = b, ОС = з — катеты.

R — радіус сфери, яка описує тетраэдр.

Довести: а.

_______ У Д.

R = (½)?aІ+bІ+cІ b.

О.

Доказ. з С.

На базі прямокутного тетраедра ОАВС достраиваем прямокутний паралелепіпед ОВДСАКЛМ. Діагоналі прямокутного паралелепіпеда є діаметрами яка описує його сфери, т.к. центр симетрії прямокутного паралелепіпеда збігаються з центром описаної сфери т. е.:

_______ _____.

________.

КС = D = ?aІ+bІ+cІ (ЗС = ?bІ+cІ, ВК = а, КС = ?ВСІ+ВКІ).

Поскольку дана сфера одночасно описує прямокутний тетраэдр, имеем:

_______.

R = (½)D = (½)?aІ+bІ+cІ, що потрібно було доказать.

VII. Радіус сфери, уписаної в прямокутний тетраэдр, визначається по формулі: abc r = ____________ ,.

?aІbІ+bІcІ+aІcІ + ab + bc + ac.

где a, b, з — катеты тетраэдра.

Дано: ОАВС — прямокутний тетраэдр ОА = а, ВВ = b, ОС = з — катеты. О1 — центр уписаної сферы.

r — радіус уписаної сферы Доказать: r = h / (1 + co? + co? + cos?).

[pic].

Доказательство: Нехай вписана сфера стосується гипотенузной межі у точці Д. Тоді О1Д перпендикулярна гипотенузной межі і О1Д = r.

_ _ Нехай do — одиничний вектор нормальний до гипотенузной межі, тобто. |dо| = 1.

Координаты цього одиничного вектора (co ?; co ?; co ?) є направляючими косинусами нормальний до гипотенузной грани.

__ Знайдемо проекцію вектора ОО1 з координатами (r; r; r) на вектор нормали:

___ __ ОК = |ОО1|cos?, де? — кут між вектором ОО1 і вектором нормали.

___ __ _ __ _.

|OO1|cos? = (OO1· do) = r· cos? + r· cos? + r· cos?, де (ОО1· dо) — скалярне твір двох векторов.

Нехай перпендикуляр до гипотенузной межі ВІН = h,.

тоді h = OK + KH, т. е.

h = |OO1|cos? + r, т.к. КН = r.

(оскільки КНДО1 є прямоугольником).

Имеем h = r co? + r co? + r co? + r тобто. r = h / (1 + co? + co? + cos?).

С урахуванням 4-го і 5-го властивостей прямокутного тетраедра маємо повну формулу:

____________.

(abc)/? aІbІ+bІcІ+aІcІ abc r = ____________ = ____________ ,.

1 + (bc + ac + ab) / ?aІbІ+bІcІ+aІcІ ?aІbІ+bІcІ+aІcІ + ab + bc + ac.

VIII. Властивості равнокатетного прямокутного тетраэдра.

А Дано:

ОАВСпрямокутний тетраэдр

ОА = ВВ = ОС = а — а катеты В.

Довести, що гипотенузная, а грань є правильною трикутником і косинуси Про Д двугранных кутів між гипотенузной межею і катетными, а гранями рівні С.

___.

?1/3.

Доказ. Сторони гипотенузной межі знаходимо по теоремі Пифагора:

_________ __.

АС =? ОАІ +OCІ = ?2 а.

_________ __.

АВ =? ОАІ +OBІ = ?2 а.

_________ __.

ЗС =? ОВІ + ОСІ = ?2 а.

тобто. трикутник АВС рівносторонній чи правильний, що потрібно було доказать.

Проведемо відрізок АТ перпендикулярно ЗС. Відтинок ОД є проекцією відрізка АТ до межі ОВС і тому ОД буде перпендикулярний ЗС по теоремі про трьох перпендикулярах. Отже, кут ОДА є лінійним кутом двугранного кута між гранями ОВС і АВС.

Оскільки АТ є заввишки правильного трикутника АВС:

_ _ _ ___.

АТ = (?3/2)АВ = (?3/2)?2 а = ?3/2 а.

ОД є заввишки рівнобедреного прямокутного трикутника ОВС, опущеної з вершини прямого кута. Следовательно:

_.

ОД = а/?2.

Косинус двугранного кута: __ сos _ОДА = ОД/АД = 1/?3, що потрібно було доказать.

Результати дослідження: дослідження дозволив встановити понад вісім найважливіших властивостей прямокутного тетраедра. Оскільки дослідження проводилися вперше, усі отримані результати мають наукової новизной.

Формула, що встановлює зв’язок між площами граней прямокутного тетраедра, є аналогом теореми Піфагора для тривимірних лідерів та тому має велику теоретичну значимость.

ІV. ПРАКТИЧНЕ ЗАСТОСУВАННЯ ВЛАСТИВОСТЕЙ ПРЯМОКУТНОГО ТЕТРАЭДРА.

Результати досліджень можна використовувати під час вирішення завдань на факультативних занять із тем «Піраміда» і «Прямокутний паралелепіпед» у неповній середній школі. З використанням властивостей прямокутного тетраедра можна знайти раціональні і спрощені варіанти вирішення завдань із порівнянню з традиційними методами.

Наприклад: завдання № 96 (стр.131) навчального посібника: В. М. Клопский, З. А. Скопец, М. И. Ягодовский. Геометрия.-М.: Просвітництво, 1979.

Підставою піраміди служить прямокутний трикутник з катетами чи b, висота піраміди проходить через вершину прямого кута основи, а дорівнює М. Знайти площа повної поверхности.

А.

Дано:

ОАВСпирамида, основанием є прямокутний H трикутник ОВС з катетами чи b У ОА = М, висота. Знайти: b.

S і. Про Д.

а.

С.

1) Рішення в традиційної схеме:

P.S і. = SАОС + SАОВ + SВОС + SАВС.

SАОС = (½)аН; SАОВ = (½)bН; SВОС = (½)аb;

Знайдемо основу і висоту бічний межі АВС з допомогою теореми Пифагора:

______ ________.

ЗС =? аІ +bІ; АТ =? ОДІ +НІ, де ОД — проекція висоти АТ на підставу ВОС.

Оскільки ОД _ ЗС, з подоби трикутників ВОС і ВОД имеем:

______.

ОД/ b = а/ВС чи ОД = (аb)/ВС = (аb)/? аІ +bІ.

Следовательно, _______________ ________________________.

АТ =? (аb)/(аІ +bІ) + НІ = ?[(аb)І +(bH)І + (аH)І]/(аІ +bІ).

_________________ У результаті дістаємо SАВС= (½)? (аb)І +(bH)І + (аH)І.

_________________ Cледовательно, P. S і.= (½) [? (аb)І +(bH)І + (аH)І + а + bН + аb].

2)Решение з допомогою першого властивості прямокутного тетраэдра:

P.S і.= SАОС + SАОВ + SВОС + SАВС.

SАОС = (½)аН; SАОВ = (½)bН; SВОС = (½)аb;

___________________ _________________.

SАВС=? SАОС І + SАОВІ + SВОС І = (½)? (аb)І +(bH)І + (аH)І.

_________________ Cледовательно, P. S і.= (½)(? (аb)І +(bH)І + (аH)І + а + bН + аb).

Завдання № 280 (стр.76) навчального посібника: Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та інших. Геометрия.-М.: Просвітництво, 1994.

Ребро куба одно а. Знайти площа перерізу, який струменіє через діагоналі його граней.

До L Дано: ОВДСАКLM — куб, А М.

ОА = а, ВВ = b, ОС = з — ребра.

?АВС — перетин куба площиною, проходящей через діагоналі суміжних, а граней. У Д Знайти: а SАВС Про, а С.

1) Рішення в традиційної схеме:

Найдем боку перерізу АВС з допомогою теореми Пифагора:

______ __.

АС = АВ = ЗС =? аІ + аІ = ?2 а.

Площа правильного трикутника АВС знайдемо по формуле:

_ _.

_ SАВС= (?¾)(АС)2, тобто. SАВС= (?¾)(2а2) = (?3/2)а2.

2)Решение з допомогою першого властивості прямокутного тетраэдра:

SАОС = SАОВ = SВОС = (½)а2 (оскільки тетраэдр равнокатетный);

___________________.

SАВС=? SАОС І + SАОВІ + SВОС І.

_________ _ Cледовательно, SАВС= (½)? аІ + аІ + аІ = (?3/2)а2.

V. Список використаної літератури: 1. М. Я. Выгодский. Довідник по елементарної математиці. Вид. 6-е,.

Гостехиздат, М.-Л., 1952. 2. А. П. Киселев. Геометрія. Підручник для середньої школи, ч.1 і 2. М.:

Учпедгиз 1951. 3. Л. С. Атанасян, В. Ф. Бутузов, С. Б. Кадомцев та інших. Геометрія. Підручник для середньої школы.-М.: Просвітництво, 1994.