Помощь в написании студенческих работ
Антистрессовый сервис

Корректность начально-краевых задач для уравнений движения двухфазной смеси

Диссертация: Корректность начально-краевых задач для уравнений движения двухфазной смеси
ДиссертацияПомощь в написанииУзнать стоимостьмоей работы

Система уравнений (13)—(16) может быть преобразована к системе (см. пункт 4.1.1), близкой по структуре системе уравнений вязкого газа в случае зависимости вязкости от плотности, но в большей степени нелинейной. Другое отличие, усложняющее исследование задач для системы (13)—(16), состоит в знаконеопределенности давлений р и Р2 (или р — в схеме с общим давлением). Система (13)—(16) также возникает… Читать ещё >

Корректность начально-краевых задач для уравнений движения двухфазной смеси (реферат, курсовая, диплом, контрольная)

Содержание

  • 1. Вспомогательные сведения
    • 1. 1. Функциональные пространства
    • 1. 2. Специальные неравенства и теоремы вложения
  • 2. Глобальная разрешимость пространственных регулярных задач изотермической двухфазной фильтрации, обоснование приближенных методов решения регулярных и вырождающихся задач
    • 2. 1. Постановка задачи и основные результаты
    • 2. 2. Свойства «приведенного» давления
    • 2. 3. Оценка решений регулярной задачи в И^'ЧФт)
    • 2. 4. Классическая разрешимость пространственных регулярных задач
    • 2. 5. Приближенные методы решения регулярных задач двухфазной фильтрации
    • 2. 6. Вырождающаяся задача. Устойчивость, единственность, обоснование приближенного метода
  • 3. Разрешимость модельной задачи тепломассопереноса в тающем снеге
    • 3. 1. Постановка задачи и основные результаты
    • 3. 2. Автомодельное решение задачи тепломассопереноса в тающем снеге
    • 3. 3. Перенос динамически нейтральной примеси
  • 4. Разрешимость «в малом» краевых задач для одномерных уравнений неизотермического движения двухфазной смеси несжимаемых жидкостей
    • 4. 1. Постановка задачи и основные результаты
    • 4. 2. Вспомогательные уравнения
    • 4. 3. Разрешимость «в малом» по времени
    • 4. 4. Доказательство теоремы единственности
    • 4. 5. Разрешимость «в малом» по начальным данным
    • 4. 6. Пример глобальной разрешимости
  • 5. Существование решения «в целом» уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси
    • 5. 1. Постановка задачи и основные результаты
    • 5. 2. Локальная разрешимость вспомогательной задачи
    • 5. 3. Априорные оценки первых производных решений вспомогательной задачи. Оценки сверху и снизу для концентрации и температуры
    • 5. 4. Априорные оценки старших производных решений вспомогательной задачи. Разрешимость «в целом «
    • 5. 5. Компактность решений вспомогательной задачи
    • 5. 6. Предельный переход

Уравнения механики сплошной среды привлекают внимание многообразием постановок задач, сложностью их решения, а также разнообразием методов исследования. В последнее время все больше внимания уделяется моделям, учитывающим эффекты неоднофазности. Многофазные течения существенны для широкого круга задач: поведение зерновой и угольной пыли, газированной нефти, капель и аэрозолейгорение топливаобразование кокса, сажи и дымадвижение суспензий и пузырьков в жидкостяхдвижение жидкостей и газов в пористых средахпроцессы растворения и осаждения [152], [153], [64], [159], [47], [32], [244], [253], [255], [256], [259], [260], [261], [265], [272], [273], [279], [293], [295], [300]-[304]. Во всех этих задачах имеются отличительные характеристики, которые делают невозможным единый подход к многофазному моделированию. Поэтому в настоящее время существует много различных моделей многофазных смесей. Все они являются весьма сложными как с теоретической точки зрения, так и в отношении использования для решения конкретных задач.

Рассмотрим основные моменты построения замкнутой системы уравнений взаимопроникающего движения жидкостей.

1. Уравнения механики сплошных гетерогенных сред.

Описание методами механики сплошной среды различного рода смесей, как гомогенных (однородных), так и гетерогенных, связано с введением понятия многоскоростного континуума и определением взаимопроникающего движения составляющих. Многоскоростной континуум представляет собой совокупность N континуумов, каждый из которых относится к своей составляющей (фазе или компоненте) смеси и заполняет один и тот же объем, занятый смесью. Для каждого из этих составляющих континуумов в каждой точке объема можно ввести приведенную плотность рг (масса ьй составляющей в единице объема среды), скорость щ, температуру Т* (г = 1,., ЛГ) и другие кинематические и динамические параметры, относящиеся к своему континууму и своей составляющей смеси. Таким образом, в каждой точке объема, занятого смесью, будут определены N плотностей рг, N скоростей щ и т. д.

Феноменологический подход к описанию многофазных систем связан с представлением средних величин щ, 2 $ и др.) как непрерывно распределенных в занимаемом объеме V (ограниченная область трехмерного евклидова пространства Л3), ограниченном поверхностью в с единичной внешней нормалью п. Тогда законы сохранения массы, импульса и энергии можно записать в виде [152], [288]:

Г Г м дрЧУ дь «» v 5 v лад ¦ п)^ + I а+ I + I Е v 5 зу v i? v = - i рге{(уг • п) сг5 + j с- • пс^ + ^ • п) сги+.

V 5 в v / I] ПС/5.

Здесь? — время, характеризует интенсивность перехода массы изй в ью составляющую (или наоборот, из 1-й в ]-ю, тогда < 0) в единице объема смеси и в единицу времени. Из закона сохранения массы при различных физико-химических превращениях (формально полагая Зц = 0) имеем = —Зц. Аналогично Р^ и Е^ - соответственно интенсивность обмена импульсом и энергией между 1-й ий составляющими. Из закона сохранения импульса и энергии следует Рзг = Е^ — —Е^ (Рц — 0 и Ец ~ 0).

В уравнениях сохранения импульса <т" - вектор поверхностных сил, определяемый тензором di (erf = Oi (n)), gi ~ вектор внешних сил. В уравнениях сохранения энергии используются обозначения: Е{ = иг + ½| щ |2, щудельные внутренние энергии составляющих смеси, • п — характеризует работу внешних поверхностных сил (в частном случае ci • п — сг? • щ), дивектор потока тепла через поверхность S.

В области непрерывного движения от этой системы интегральных уравнений после применения формулы Гаусса-Остроградского переходим к дифференциальным уравнениям неразрывности, импульса, энергии для каждой составляющей: г = 1,., А0 (1) з=1 + = V4 + Pi9i + Е Pji, (2) з=i г) F N.

Щр + = V • (сг — Й + + (3).

J=1.

Здесь Vfc = а: = (ж1,.Т2,жз) декартова система координат в R3, V = ЫЬ вк) ~ оператор градиента, $ • V =Vfc = ELiV • Vj = XwL111 по повторяющемуся индексу используется «немое» суммирование.

В гетерогенной смеси каждая компонента (в дальнейшем фаза) занимает лишь часть объема смеси (Vi + Vi +. -f Удг = V). В связи с этим возникает необходимость введения концентраций 5г- > 0, (г = 1,., JV), характеризующих доли объема смеси, занимаемые каждой фазой (si + s^ +. + sn = 1), и, таким образом, помимо приведенных плотностей Pi определяются истинные плотности веществ фаз р®- = Pi/si (масса i-й фазы в единице объема i-й фазы).

Используя уравнения неразрывности (1) и обозначение ^ = -щ + щ • V, уравнения (2) и (3) можно представить в виде [152], [234]: — n.

Рг-~ = Wf + + Y^iPji — JjiVi), (4) j=i diE¦ N pi~~w = v' ~ ®+' ^+Ю-^* ~ J? Ei) — (5).

J'=1.

Система уравнений (1), (4), (5) является недоопределенной. Для ее замыкания необходимо конкретизировать величины, описывающие внутрифаз-ные (силовое аг, энергетическое сг и дг) и межфазные (массовое J?, силовое P?, энергетическое Е]г) взаимодействия.

Примерами такой конкретизации служат работы Н. Е. Жуковского [75], связанные с выводом уравнений фильтрации — Л. Д. Ландау и Е. М. Лившица [136] по гидродинамике жидкого гелияС.С. Кутателадзе, М.А. Стырикови-ча [129], М. Е. Дейча и Г. А. Филиппова [64] по газох<�идкостным системамH.H. Яненко, Р. И. Солоухина [234] по сверхзвуковым двухфазным течениямЯ.И. Френкеля, В. Н. Николаевского [154] по деформированию водона-сыщенных грунтовВ.Н. Доровского [66] - [70] по моделям континуальной теории фильтрации, не использующим закон ДарсиС.К. Годунова [57] -[60] по термодинамически согласованным моделям многофазных средК. Wilmanski [300] - [304] по моделированию процессов сорбции в деформируемой пористой среде. Обширная библиография имеется в работах [152], [153], [290], [159].

Так как цель данной работы — изучение взаимопроникающего движения жидкостей, то вопросы замыкания системы (1), (4), (5) рассматриваются для течений двух вязких жидкостей.

Следуя [152, с. 28], положим.

Pji = —Pij = R? + J? V?, (6) где R? — межфазная сила, J3lV? — обмен импульсом из-за фазовых превращений, V? — скорость вещества i-й фазы на границе с j-й (для гетерогенных смесей вязких жидкостей V? = щ [152, с. 28] и, следовательно, R? = ~R%j).

Для тензора напряжений <т?- и вектора fij? используется схема X. А. Рахма-тулина силового взаимодействия и совместного деформирования фаз ([193], [194]). В этой схеме тензор a i представляется в симметричном виде [152, с. 31]: о? = -siVi5kl + rf, slPi = -iaf, тгы = rf, rf = 0. (7).

В широком классе задач используется схема с общим давлением фаз: pi (p5,7i) = р2(р%Т2) =. = Pn (p%, Tn) = р, а для вязких компонент rf тензора напряжений и суммарной силы межфазного взаимодействия принимаются зависимости [213], [152, с. 31]:

Tkl — С. Г ?// jnmskl, о. Л1 Jtl — 1 (®Vi, ®Vi ч, ч.

ЛГ iV.

Fai = ~Fih (9) где.

— символ Кронекера, ?ii — коэффициент вязкости, pVs? — сила, возникающая из-за «расширения трубки тока фазы» [152, с. 57], Fjt — сила сопроi" тивления. Для Fji обычно используется соотношение F^ = Kji ('Uj — щ) [152], [213], [296].

Несовпадение давлений в фазах может иметь место, в частности, из-за капиллярных эффектов. Так, в классических моделях двухфазной фильтрации ([32], [279], [189], [190], [111]) предполагается, что давления в фазах отличаются на величину капиллярного скачка рс = P2~PiТакой же подход принят в работах [48], [76], [77], [260].

Зависимости вида (7), (8), (9) используются и в других моделях взаимопроникающего движения двух вязких жидкостей (жидкости и газа) [64], [294], [260]. Соотношения (7), (8) можно рассматривать как обобщение закона Навье-Стокса. В модели с одним давлением уравнение сохранения импульса (4) с учетом (6)-(9) приводится к виду [152, с. 33]:

Pi-~ = SiVp + VV + pwi + Y, iF3i + Mvji — **))¦ (10).

3=1.

Обобщение на случай разных давлений (с заменой р в уравнении (10) на р^) дается в [152, с. 57].

Другой способ построения тензора напряжений смеси двух вязких жидкостей изложен, например, в [290], [240].

Используя уравнение (4) и гипотезу (6), уравнение энергии (5) представим в следующем виде: V • - - ^ ¦

11) ¿-ЦЫ + 2^|2) ~ Яр ' % ~ ^г) ' Щ).

Интенсивность обмена энергией между ьй ий фазами может быть представлена в виде.

Еэг = -Е1} — \iji + <2л + ^-¿-(иу + ½| щ |2).

Здесь первые два слагаемых обозначают приток энергии в ью фазу за счет работы межфазных сил (трения, давления, сцепления и т. п.) и теплопередачи на границе между ьй и ]-й фазами. Третье слагаемое представляет собой перенос внутренней и кинетической энергии вместе с переносом массы из .]-й в 1-ю фазу, где и^ - удельная внутренняя энергия массы, претерпевающей переход з —> г и находящейся в ьй фазе. Аналогично скорости у^ величина и^ может рассматриваться как удельная внутренняя энергия ьй фазы на границе с >й фазой. Но в отличие от скоростей у^ внутренняя энергия фаз на межфазной границе терпит разрыв, т. е. и^ ф иц.

При рассмотрении термодинамических уравнений фаз принимается гипотеза о локальном равновесии в пределах фазы и, кроме того, о том, что фазы представляют собой двухпараметрические среды, т. е. термодинамические функции каждой среды зависят только от двух термодинамических параметров состояния (например, от истинной плотности р®и температуры Т{ или давления р{ и температуры 7]). Таким образом, щ = и^р®, 7}), Рг — Рг{рЬ энтропия = и для каждой фазы справедливо соотношение Гиббса [152].

12) замкнута, но является весьма сложной.

В широком классе задач для описания процессов теплопереноса в многофазной среде используется упрощенный подход [76], [77], [260], [51], [289]. Вместо уравнений сохранения энергии для каждой фазы применяется уравнение сохранения энергии смеси в целом. Вывод этого уравнения основан на следующих гипотезах: фазовые температуры в каждой точке сплошной среды совпадают (Тх = истинные плотности фаз р®постоянны, щ = ав, — теплоемкость г-й фазы при постоянном объеме, ф = — Хг коэффициент теплопроводности г-й фазы, фазовые переходы отсутствуют {Зц = игз — щ = 0), суммарная работа внутренних сил мала по сравнению с суммарным притоком тепла.

Суммируя уравнения (11) по г от 1 до ./V и отбрасывая в правой части получившегося равенства все слагаемые кроме получим [260], [289] где х ~ коэффициент теплопроводности смеси.

В диссертации рассматриваются следующие модели взаимопроникающего движения двух вязких жидкостей:

1. Модель одномерного изотермического движения двухфазной смеси несжимаемых фаз с общим давлением и в отсутствие фазовых переходов: Т&bdquo- = в),.

Рг <£>г + Р19.

Si + s2 = 1, 1 = K (v2 — Vi), lfl2 = —ipi, Pi = const.

2. Модель одномерного неизотермического движения двухфазной смеси несжимаемых фаз в отсутствие фазовых переходов и с учетом скачка давлений:

В приложениях [189], [192], [153, с. 295] широко используются упрощенные модели гетерогенных сред, в которых, в частности, пренебрегают инерционными силами из-за ускорений материальных частиц (с^ДЙ = 0). Как правило, это имеет место при медленных течениях, т. е. при малых числах Рейнольдса, например, при оседании мелких частиц или капель, при фильтрации газов и жидкостей через пористые среды.

Следуя [279], [32], [192], рассмотрим математическую модель процесса фильтрации двух несмешивающихся жидкостей (например, воды и нефти) через пористую среду.

2. Модель Маскета-Леверетта фильтрации двух несмешивающихся.

При описании движения двухфазной несжимаемой жидкости (плотности Pi, P2 постоянны) в неоднородном анизотропном грунте имеется ряд особенностей по сравнению с приведенными выше моделями. Во-первых, вводится понятие пористости среды, в которой происходит течение. Пористость га есть доля объема среды, приходящаяся на пустоты (поры). Учет пористости среды приводит к тому, что в теории фильтрации уравнения неразрывности (1) принимают вид [111], [32], [192]:

Pi 4>i + Pi9,.

14).

15).

16).

13) несжимаемых оюидкостей. n где щ ~ скорость фильтрации, связанная со скоростью йг движения частиц жидкости формулой щ = mSiUi. Другое отличие связано с тем, что вместо уравнений сохранения импульса (2) в теории двухфазной фильтрации используется обобщенный закон Дарси [279]: уг = -K0^(yPi + fig), г = 1,2, (18) где kq — тензор фильтрации, ксц — относительные фазовые проницаемости, ¡-лг — коэффициенты динамической вязкости, pi — давления фаз, g — вектор ускорения силы тяжести. При этом кщ должны зависеть от насыщенности Si, поскольку часть порового пространства занята другой жидкостью [111].

По определению, насыщенности Si меняются в пределах 0 < s® < S{ < 1 — s® < 1, г ф j, si + S2 = 1, и при достижении значений Si = движение iй компоненты прекращается, что обеспечивается выполнением условий.

Ы4)= 0, г = 1,2.

Учет капиллярных сил означает, что фазовые давления pi различаются на величину капиллярного скачка: si — s°.

Р2-Р1 =Pc (x, s), s = —о «о' 0.

1 Sj — s2.

Капиллярное давление pc определяется кривизной границы раздела двух несмешивающихся жидкостей, насыщенностью смачивающей жидкости, характеристиками пористой среды и жидкостей и выражается формулой Лапласа [192] pc{x, s) =]Tc (x)j{s), %{х) = a (j—^y/2cose, (20) где, а — коэффициент межфазного натяжения, j (s) — функция Леверетта, К0 — детерминант матрицы (если {/^о} - симметричный тензор фильтрации), в — контактный угол [32]..

Система уравнений (17)—(19) относительно характеристик^, и s = (si— si)/(l—5i—s2) несмешивающихся жидкостей, движущихся в пористой среде, в изотермическом случае (температура в потоке постоянная) замыкается предположением о несжимаемости жидкостей, т. е. = const..

Полученную математическую модель называют моделью Маскета-Леверетта [9], [76], [77]. Следует отметить, что в более позднем цикле работ В. Н. Монахова [150], О. Б. Бочарова и В. Н. Монахова [28]-[31] результаты о корректности основных начально-краевых задач для изотермической модели" Маскета-Леверетта были обобщены на случай неизотермического движения. При, этом к уравнениям (17)—(19) добавляется уравнение энергии вида (16), а капиллярный скачок рс и остаточные насыщенности s? становятся функциями, зависящими от температуры. Другое обобщение модели Маскета-Леверетта состоит в учете сжимаемости жидкостей. Вместо условия р®- = const задаются’уравнения состояния жидкостей р®- = pi (pi) [258]. Учету дополнительных факторов в задачах двухфазной фильтрации посвящены работы [106], [65]..

Функциональные параметры т, Ко и j модели Маскета-Леверетта предполагаются заданными функциями соответствующих переменных. т или s, а все числовые параметры [ц^ рs? и другие) — фиксированными. При этом фазовые проницаемости koi (s) = —ког обладают свойствами koi (s) > 0, s € (0,1), fcoi (0) = fc02(l) =.

Исследование вопросов корректности модели Маскета-Леверетта было начато в работах С. Н. Антонцева В.Н. Монахова и А. Н. Коновалова..

В работах [5]-[15], [115], [149] даны постановки основных краевых задач как в областях с заданными, так и со свободными границами..

Г. В. Алексеев и Н. В. Хуснутдинова [1] рассмотрели одномерную задачу, приводящуюся к одному вырождающемуся уравнению для насыщенности. Для исследования этой задачи применялся математический аппарат, разработанный в [195], [196], и. было в частности показано, что решения первой краевой задачи и задачи Коши, понимаемые в смысле теории распределений, являются непрерывными функциями..

С.Н. Антонцев [8] для плоской задачи методами е-регуляризации и Га-леркина доказал существование обобщенного решения, а также установил обобщенный принцип максимума, позволивший априори классифицировать все задачи на вырождающиеся с возможным достижением насыщенностями остаточных значений и регулярные. Позднее, в работах [12], [13], [14] эти результаты были обобщены на трехмерный нестационарный и стационарный случаи, а также изучены дифференциальные свойства обобщенного решения двумерной регулярной задачи..

Исследованию плоской регулярной задачи в случае однородного грунта также посвящены работы С. Н. Кружкова и С. М. Сукорянского [127], [128], в которых доказаны теоремы существования и устойчивости классического решения..

В [13] установлена единственность решений регулярной и вырождающейся задач. В последнем случае предполагалось, что суммарная скорость фильтрации является заданной ограниченной функцией. Частные случаи, при которых имеет место единственность решения вырождающейся задачи, изложены в работе [248]..

В работе [6] доказана конечная скорость распространения возмущений в задачах двухфазной фильтрации..

Следует отметить, что если в двумерном регулярном случае результаты о разрешимости основных краевых задач имели вполне завершенный характер [12], [13], а именно, было показано, что дальнейшая гладкость нестационарных и стационарных решений определяется гладкостью коэффициентов системы (17)—(19) и гладкостью границы и граничных условий, то в трехмерном регулярном случае аналогичная ситуация имела место лишь в «малом» по времени, либо при всех конечных ?, но при условии малости некоторых функциональных параметров системы (17)—(19) [12], [13], [127]. Позднее, в работе С. Н. Антонцева и A.A. Папина [16] был предложен способ, позволивший исследовать дифференциальные свойства обобщенного решения трехмерной задачи без предположений о «малости» ..

В связи с большой практической важностью задач о фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости, имеется значительное число работ, посвященных численному решению этих задач [23], [113], [114], [116], [159]. Однако в большинстве из них вопросы обоснования и сходимости используемых численных методов не рассматриваются. Впервые теоретическое обоснование приближенного метода решения плоской регулярной задачи и оценка его скорости сходимости была дана в работах [127], [128]..

В главе 2 диссертации обоснованы приближенные методы решения пространственных регулярных, а при определенных предположениях на1 данные, и вырождающихся задач двухфазной фильтрации..

Значительный интерес представляет исследование дальнейшей гладкости обобщенного решения вырождающейся двумерной и трехмерной задач. Основные трудности здесь связаны с получением достаточно хороших априорных оценок ограниченного решения квазилинейного вырождающегося параболического уравнения вида ut = div (a (t, х, u) Vu) + /(?, х, и, их), (21) где a (t, x, u) > 0, а функция f (t, x, u, ux) связана с a (t, x, u) некоторыми условиями типа подчиненности. Уравнения вида (21) описывают процесс фильтрации жидкости и газа, а также процесс теплопередачи в среде с теплопроводностью, зависящей от температуры. В связи с этим, частные решения различных уравнений вида (21) строились в ряде прикладных работ, например, в [24], [190], [191],'[199], [144], [143]..

Первые результаты о глобальной разрешимости задачи Коши и краевых задач для вырождающегося уравнения щ = [<�р{и)}хх, v>(0) = 0 (22) были получены O.A. Олейник, A.C. Калашниковым и Чжоу-Юй-Линем в работе [157]. При соответствующих предположениях относительно данных задачи доказано существование и единственность неотрицательного непрерывного обобщенного решения, ограниченного вместе с обобщенной производной [<-р (и)]х. Установлено, что в точках, где обобщенное решение положительно, оно удовлетворяет уравнению (22) в обычном смысле. В точках, где обобщенное решение обращается в нуль, оно может быть негладким..

Однозначная разрешимость задачи Коши для уравнения.

Щ = К) л.-х + Ъ{их)х + си?, (23) где? > 1, А > 1, и > 0, с > 0 и & € (—00,00) — постоянные, доказана A.C. Калашниковым [105]. Дифференциальные свойства обобщенного решения уравнения вида (23) исследовали D.G. Aronson [243], A.C. Калашников [104], С. Н. Кружков [122]—[125]. В работе Е. С. Сабининой [197] была доказана теорема существования и единственности обобщенного решения задачи Коши для многомерного уравнения (22) в предположении, что функция ф) е С2+а..

В работах Ю. Н. Благовещенского [27], O.A. Олейник [282] и М. Г. Фатеевой [214] рассматривались вопросы существования и единственности решения задачи Коши и краевых задач в «малом» для многомерного вырождающегося параболического уравнения, не содержащего квадратов первых производных. В работе М. И. Фрейдлина [216] указаны условия, обеспечивающие существование и единственность классического решения для такого уравнения в «целом». Следует отметить, что в работах [27], [216] применялись вероятностные методы. В работе [107] для многомерного уравнения вида (23) при некоторых предположениях относительно данных, основным из которых является условие близости? к единице, доказано существование и единственность непрерывного в смысле Гельдера обобщенного решения задачи Коши и первой краевой задачи. К аналогичному кругу вопросов относятся также работы [104], [105], [125], [74], [80], [52], [237], [238], [249], [250]..

В работе [160] методом-регуляризации устанавливаются априорные оценки старших производных ограниченного решения уравнения (21). При определенных предположениях на порядок вырождения, главным из которых является условие выпуклости вверх функции a (t, x, u) по и (заметим, что при a (t, х, и) = •и1″ -1 это эквивалентно условию, использованному в работе [107]) получены априорные оценки старших производных и дается оценка модуля непрерывности u (t, 2-) по переменной х. Согласно работам С. Н. Кружкова [122] - [125], из этого факта следует аналогичное свойство и по.

Наиболее сильный результат, в том числе и оценка постоянной Гельдера решения уравнения (17) при, а = и1+£°, где е0 > 0 достаточно малое число, получен в случае двух пространственных переменных. На основе этих оценок в главе 2 обоснован приближенный метод решения вырождающейся задачи фильтрации..

В последнее время все большее применение находят различные модели снежного покрова. Они используются при решении задач о движении снежных лавин [245], [280], вкладе снежного покрова в формировании стока на речном водосборе [130], [241], [242]- распространении загрязнений в тающем снеге [257], [291]..

При построении математической модели снежного покрова в период снеготаяния используются общие принципы динамики многофазной среды [152]. Особенностью этих моделей, является обязательный учет фазовых переходов и использование фильтрационного приближения, поэтому основными уравнениями модели являются законы сохранения масс и энергии, а также закон Дарси для подвижных фаз [130], [257]. Данный подход применяется при исследовании тепловой двухфазной фильтрации [76], [77], диссоциации гидратов, соседствующих со льдом в природных пластах ([219] - [221]), а также в работах по тепломассопереносу в промерзающих и протаивающих грунтах [47]. Рассматриваемая в главе 3 задача тепломассопереноса в тающем снеге актуальна в связи с оценкой водного стока на водосборе, а также при оценке переноса загрязняющих веществ..

3. Уравнения одномерного неизотермического двиоюения двухфазной смеси вязких несэкимаемых жидкостей.

Система (13)—(16) является весьма сложной нелинейной системой. Входящее в нее уравнение (16) для в является параболическим, уравнения (13) являются уравнениями первого порядка относительно концентраций, а из уравнений (14) и равенства Р2 — р = рс в (15) определяются скорости уг и давления рг, так что вся совокупность уравнений не имеет определенного типа. Теория таких систем (систем составного типа) развита еще недостаточно полно..

В связи с большой практической важностью задач о взаимопроникающем движении жидкостей имеется значительное число работ, посвященных построению частных решений, а также численному решению этих задач [64], [152], [159]. Проблема строгого обоснования модели (13)—(16) до последнего времени оставалась открытой..

Система уравнений (13)—(16) может быть преобразована к системе (см. пункт 4.1.1), близкой по структуре системе уравнений вязкого газа в случае зависимости вязкости от плотности, но в большей степени нелинейной. Другое отличие, усложняющее исследование задач для системы (13)—(16), состоит в знаконеопределенности давлений р и Р2 (или р — в схеме с общим давлением). Система (13)—(16) также возникает при моделировании совместного движения несмешивающихся жидкостей в пористой среде [48], т. е. является обобщением модели фильтрации Маскета-Леверетта двух вязких несжимаемых несмешивающихся жидкостей [32]. Следует отметить, что при использовании системы (13)—(16) для описания процесса фильтрации двух несмешивающихся жидкостей в недеформируемой пористой среде предполагается, что насыщенная двухфазной жидкостью пористая среда является трехфазной системой, состоящей из пористой недеформируемой матрицы, объемная концентрация которой равна S3 = 1 — т (т — пористость, v^ = 0) и двух взаимопроникающих жидкостей с объемными концентрациями s% = ms и s2 = m (1 — s), где s — фазовая насыщенность первой жидкостью порового пространства (]Cj=i sj = [48]).

При исследовании корректности модели (13)—(16) используются многие идеи и подходы, успешно примененные к модели сжимаемого вязкого газа. Целостная теория глобальной разрешимости основных краевых задач и задачи Коши для уравнений одномерного движения вязкого газа была построена в цикле работ A.B. Кажихова и его учеников [S3]—[100], [33]—[43], [222]—[231], а также в большом числе других исследований и, в частности, в [2], [145], [266], [267], [297]..

Вопрос о корректности начально-краевых задач о движении двухфазных смесей жидкостей (газов) исследован в значительно меньшей степени по сравнению с моделью вязкого газа. Это связано с большим разнообразием моделей многофазных сред и с существенным усложнением объекта исследования. Однако имеется ряд моделей многофазных сред (классические модели двухфазной фильтрации на основе закона Дарси здесь не рассматриваются), для которых установлены результаты о разрешимости..

Система уравнений одномерного движения многокомпонентной баротроп-ной смеси при постоянной температуре имеет вид [86] dvi dva do, ~pi + /??-^j, pi = pi (pi), fi = y~] kji (vj ~ vi)1.

Результаты о глобальной разрешимости начально-краевых задач для этой системы были получены А. В. Кажиховым и А. Н. Петровым [87]. Обобщение на случай неизотермического движения дано в работе [188]. Результат о стабилизации решения получен в [78]. В цикле работ [137], [138], [119], [70]—[73] исследована задача Коши при наличии вязкости в одной из фаз и без учета вязкости в фазах..

К числу многофазных моделей, интересных как с математической точки зрения, так и с точки зрения приложений относится модель движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил [51], [288], [4], [117]. Определяющие уравнения в этой модели близки по структуре к уравнениям системы (13)—(16):.

Ife + = pi = piSi' * = 1>2' (24) О де ч dt дх i дх дх V дх, г=1 4 7 4 ' i—1 vi — v2 = kg — si + 52 = 1, (к, L, p) = const, (26).

Результаты о локальной по времени классической разрешимости начально-краевых задач с однородными граничными условиями для одномерных уравнений (24)-(27) получены в работах [287], [288]. Разрешимость «в малом» по времени начально-краевых задач с другими краевыми условиями установлена в работах [185]—[187]..

Если в уравнениях (13)—(16) формально положить р — 0, = 0, то получим аналог системы (24)-(27). Такие системы уравнений-используются для моделирования течения газожидкостной смеси (газ, твердые частицы) [108], [119], [252], [264], [260], [261]. В работе [262] сведением системы уравнений газожидкостной смеси к системе уравнений однофазной вязкой сжимаемой жидкости доказана локальная разрешимость начально-краевой задачи с периодическими граничными условиями. Один из первых результатов по обоснованию фильтрационной модели газожидкостной смеси получен в работе А. В: Кажихова, В. Н. Монахова и A.A. Олейник [82]. '.

4. Краткое описание содержания диссертации.

Целью работы является математическое исследование проблемы разрешимости начально-краевых задач для систем уравнений движений двухфазных смесей жидкостей (газов) в различных функциональных пространствах..

В главе 1 приводятся некоторые известные сведения из теории функций, функционального анализа и дифференциальных уравнений, которые используются в процессе исследований..

В главе 2 для трехмерной регулярной задачи о фильтрации двух несме-шивающихся несжимаемых жидкостей при постоянной температуре в потоке и в отсутствие фазовых переходов доказывается существование сильного и классического решений и рассматриваются приближенные методы решения этой задачи. Для вырождающейся задачи установлена устойчивость по начальным данным, единственность и обоснован приближенный метод решения..

В пункте 2.1 дается постановка основной краевой задачи фильтрации двух несмешивающихся несжимаемых жидкостей и формулируются используемые в дальнейшем известные результаты для регулярных и вырождающихся задач фильтрации, установленные в работах [12], [13], [14], [5], [6], [7], [127], [128], а также и основные результаты главы. Теорема 2.1.1 содержит результат С. Н. Антонцева и В. Н. Монахова [12], [9] о существовании обобщенных решений пространственной задачи фильтрации. Основными результатами главы являются доказательство сильной (теорема 2.1.2) и классической (теорема 2.1.3, теорема 2.1.4) разрешимости «в целом» регулярной пространственной задачи. Теоремы 2.1.5 — 2! 1.8 содержат обоснование приближенных методов решения регулярной задачи. В теоремах 2.1.9 — 2.1.12 устанавливается устойчивость и единственность решения вырождающейся задачи и обосновывается приближенный метод ее решения..

В пункте 2.2 изучается сформулированная в пункте 2.1 задача при заданном распределении насыщенности. Теоремы 212.1 и 2.2.2 содержат результаты С. Н. Антонцева и В. Н. Монахова [12], [9] о диффреренциальных свойствах «приведенного» давления р (х, ?) и, в частности, свойство гельдеровской непрерывности р по пространственным переменным. Используя непрерывность р, устанавливается справедливость ряда лемм подготовительного характера. Полученные здесь априорные оценки для «приведенного» давления используются в дальнейшем при рассмотрении совместной задачи..

В пункте 2.3 доказано существование сильного решения «в целом», что является обобщением соответствующего результата работы [13], в которой аналогичное решение получено «в малом». Следует также отметить, что предлагаемый способ получения сильного решения, в отличии от работы [13], не использует непрерывность насыщенности..

В пункте 2.4 доказывается теорема существования классического решения пространственной регулярной задачи фильтрации и исследуется его дальнейшая гладкость. Основой доказательства этой теоремы является получение оценки постоянной Гельдера насыщенности в целом по времени. В двумерном случае эта оценка, ввиду свойств «приведенного» давления, следует из известных результатов для квазилинейных параболических уравнений [131]. В трехмерном же случае непосредственно воспользоваться указанными результатами уже не представляется возможным, ввиду сильной нелинейной связи уравнений. Поэтому предлагается иной способ получения оценки |И|?7"((3Х), основанный на совместном рассмотрении уравнений для я и р, а именно: сначала, используя непрерывность р, устанавливается вспомогательная оценка для р в некотором шаре 0, р С П радиуса /э, а затем, выбирая р достаточно малым и рассматривая уравнение для й, приходим к известному случаю, изложенному в монографии [131]. Указанный способ позволяет получить оценку |И|сп (<2:г) ПРИ любом числе пространственных переменных, а также для эллиптико-параболических систем более общего вида..

В пункте 2.5 доказана теорема существования слабого решения линейной задачи фильтрации и показано, что дальнейшая его гладкость определяется лишь гладкостью коэффициентов системы, а также гладкостью границы и граничных условий. На основе этой теоремы рассмотрены два приближенных метода решения пространственных регулярных задач и оценена их скорость сходимости. В каждом из методов на промежуточном шаге решается линейная дифференциальная задача, которая может быть аппроксимирована разностной. Для решений разностных схем также установлены оценки скорости их сходимости к решению исходных нелинейных уравнений..

В' пункте 2.6 изучается «слабо» вырождающаяся задача, а именно рассматривается случай, когда априори известно, что коэффициент а (х, з) в параболическом уравнении (2.1.1) в начальный момент времени суммируем с некоторой отрицательной степенью —д. Тогда оказывается, что при определенных условиях на коэффициенты вырождающегося параболического уравнения при всех конечных Ь > 0 функция [а (х, ?)]-1 принадлежит На основе этой оценки доказываются теоремы об устойчивости по начальным данным и единственность обобщенных решений, а также устанавливается оценка скорости сходимости решений е — регуляризованнойё задачи к обобщенному решению исходной. Рассмотрен приближенный метод решения вырождающейся задачи и оценена его скорость сходимости. При получении этих результатов используются полученные в работе [160]- глобальные априорные оценки старших производных решенийвырождающихся квазилинейных параболических уравнений- ..

В главе 3 на основе модели двухфазной фильтрации Маскетаг-Лёверетта. рассматривается-задача о распространении’загрязнений в тающем: снегеДоказана теорема существованиям азвтомодельного? решения: иисследована1 его структура. Установлено, что решение обладает свойством конечной скорости распространения-возмущений.,. ,.

В пункте 3:1 дается постановказадачи о движениш воды и воздуха в тающем снеге. В основу., математической — модели. положены уравнения* сохранения массы для каждой из фаз с учетом фазовых: переходов, уравнения, двухфазной' фильтрацииМаскета-Леверетта для воды й воздухай.уравнение. теплового баланса снегам После нахождения насыщенности и скорости* водной фазы движение растворенной в воде соли определяется из уравнения конвективной диффузии.: Данная задача рассматриваетсяв автомодельнойпостановке. Основным-результатом главы является доказательство теоремы, существования обобщенного решения (теоремы 3.1.1, 3.1.2)..

В пункте 3.2 изучается сформулированная в пункте 3.1 задача в автомодельной постановке. Дляскоростей фильтрации воды и воздухаполучены конечныеформулы, для температуры, и давлений — представления: Насыщенность водьь находится из решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка с вырождением на решении. Особенностью исходной постановки задачи является необходимость, обоснования для насыщенности еще и условияна бесконечности (в (—со) — = 0). Для преодоления этих трудностей используется метод е — регуляризации и устанавливается свойство конечной скорости распространения возмущений (лемма 3.2.3). Сначала рассматривается вспомогательная задача. При каждом.

-23? > 0 локальная разрешимость задачи Коши следует из теоремы Пикара. В силу доказанного в лемме 3.2.2 физического принципа максимума для насыщенности локальное решение может быть продолжено на любой конечный интервал. Кроме того, имея равномерные по е оценки, на основе теоремы Арцела можно осуществить предельный переход при е —" 0. Затем свойства решения задачи для насыщенности уточняются для такого интервала, на котором структура правой части уравнения для насыщенности позволяет установить свойство конечной скорости распространения возмущений (лемма 3.2.3). Последнее позволяет получить результат теоремы 3.1.1..

В пункте 3.3 доказано существование автомодельного решения задачи о движении динамически нейтральной примеси в тающем снеге. «Установлен физический принцип максимума для концентрации..

В главе 4 для одномерной начально-краевой задачи о движении двухфазной теплопроводной смеси вязких несжимаемых жидкостей доказывается существование и единственность сильного и классического решений «в малом» по времени. В случае постоянной температуры среды устанавливается разрешимость «в малом» по начальным данным и рассматривается пример разрешимости «в целом» ..

В пункте 4.1 даются постановки задач и формулируются основные результаты, а также излагается схема доказательства утверждений. Теорема 4.1.1. содержит результат о локальной по времени однозначной разрешимости в классе сильных и классических решений. Факт существования сильного и классического решений изотермической задачи «в целом» по времени, но при малых начальных данных отражен в теореме 4.1.2. Теорема 4.1.3. содержит результат о глобальной однозначной разрешимости задачи изотермического движения двухфазной смеси в автомодельной постановке..

В пункте 4.2 излагается вывод вспомогательных систем дифференциальных уравнений, среди которых особое место занимает система (4.2.3)-(4.2.6) и уравнение (4.2.11) для производной насыщенности, не имеющее в своей форме записи вторых производных скоростей..

В пункте 4.3 излагается доказательство локальной теоремы существования сильного решения вспомогательной задачи (4,2.3)-(4.2.7), (4.2.11), (4.2.12). Доказательство использует метод Галеркина и проводится в таких классах, в которых возможен переход к исходной задаче. В итоге приходим к результату теоремы 4.1.1..

В пункте 4.4 содержится доказательство теоремы единственности обобщенного решения. Доказательство опирается на вспомогательную задачу (4.2.3)-(4.2.7), (4.2.11), (4.2.12)..

В пункте 4.5 доказывается существование обобщенного решения «в целом'' по времени, но при малых начальных данных и при, постоянстве температуры среды. В основе доказательства теоремы 4.1.2. лежат априорные оценки, независящие от промежутка существования локального решения. При этом наиболее важным этапом является доказательство того факта, что норма Н/вд^,*) — /?22(2?, ?)||с (с?г) мала> если малы соответствующие начальные данные..

В пункте 4.6 излагается доказательство глобальной классической разрешимости начально-краевой задачи изотермического движения двухфазной смеси в автомодельной постановке..

В главе 5 рассматривается параболическая регуляризация задачи одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых теплопроводных жидкостей. На основе равномерных по параметру регуляризации оценок устанавливается существование слабого решения на любом конечном интервале времени. Исследования в этой главе в основном следуют идеям главы 4, однако получение равномерных по параметру регуляризации оценок является принципиальным отличием от исследований, проведенных в главе 4..

В5 пункте 5.1 дается постановка задачи и формулируются основные результаты, а также излагается схема доказательства утверждений. Теорема 5.1.1. содержит результат о существовании обобщенного решения на любом конечном интервале времени. Доказательство этой теоремы опирается на вспомогательную г — регуляризованную задачу, сильная и классическая разрешимость которой устанавливается в теореме 5.1.2..

В пункте 5.2 кратко излагается доказательство локальной теоремы существования сильного и классического решений вспомогательной задачи..

В пункте 5.3 содержится подробный вывод первого энергетического неравенства для решений вспомогательной задачи, а также оценки сверху и снизу для концентрации и температуры, не зависящие от параметра регуляризации г и величины [0, ¿-о] промежутка существования локального решения..

В пункте 5.4 осуществляется процедура доказательства оценок для старших производных, входящих в систему уравнений вспомогательной задачи. При этом наиболее важным этапом является вывод равномерных по? и ¿-о оценок для вторых производных функции /?11 ?) — На основе этих оценок локальное решение вспомогательной задачи продолжается на любой конечный интервал времени [0,7]..

В пункте 5.5 излагаются результаты о компактности решений вспомогательной задачи. При этом важными этапами являются леммы 5.5.1. и-5.5.2..

В пункте 5.6 доказывается существование обобщенного решения исходной задачи. Это решение получается как предел прие —> +0 последовательности решений вспомогательной задачи..

В приложении для системы уравнений одномерного нестационарного движения теплопроводной двухфазной смеси (газ — твердые частицы) в случае непостояннойистинной плотности газа доказана локальная разрешимость начально — краевой задачи. В’случае постоянства истинных плотностей фаз установлена разрешимость «в целом» по времени..

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17],[20], [162]-[184], [284]—[287]..

Автор искренне благодарен своему научному консультанту академику РАН, ныне покойному В. Н. Монахову за руководство и постоянное внимание..

Основные результаты, полученные в настоящей работе, можно сформулировать следующим образом:.

1. Для нестационарной регулярной задачи двухфазной изотермической фильтрации (модель Маскета-Леверетта) доказаны теоремы существования «в целом» сильного и классического решенийрассмотрены приближенные методы решения нестационарной регулярной задачи изотермической двухфазной фильтрации и установлены оценки скорости их сходимостиизучены дифференциальные свойства обобщенного решения нестационарной изотермической вырождающейся задачи, доказаны теоремы об устойчивости и единственности. Предложен приближенный метод решения и дана оценка его скорости сходимости..

2. Доказана теорема существования автомодельного решения задачи о движении консервативной примеси в тающем снеге. Установлено, что решение обладает свойством конечной скорости распространения возмущений..

3. Для нестационарной неизотермической одномерной задачи о движении двухфазной смеси вязких несжимаемых жидкостей доказаны теоремы существования «в малом» по времени сильного и классического решений. В случае постоянной температуре среды установлена разрешимость «в малом» по начальным данным и рассмотрен пример о разрешимости «в целом» ..

4. На основе параболической регуляризации для нестационарной неизотермической одномерной задачи о движении двухфазной смеси вязких несжимаемых жидкостей доказано существование обобщенного решения на любом конечном интервале времени..

5. Для нестационарной неизотермической одномерной задачи о движении смеси твердых частиц и сжимаемого газа доказана теорема существования «в малом» классического решения. В случае постоянной температуре среды установлена разрешимость «в целом» ..

Всего в работе имеется 10 определений, 23 теоремы, 36 лемм, 1 следствие, 2 примера и 20 замечаний..

Заключение.

Показать весь текст

Список литературы

  1. Г. В., Хуснутдинова Н. В. О разрешимости первой краевой задачи для уравнений одномерной фильтрации двухфазной жидкости // Докл. АН СССР. 1972. Т.203. N. 2. С. 310 — 312.
  2. A.A. Уравнения одномерного движения вязкого газа с негладкими данными и их квазиосреднепие // Диссертация докт. физ.-мат. наук. М. 1997. 307 с.
  3. И.Г., Папин A.A. Задача протекания для уравнений движения двух взаимопроникающих вязких жидкостей // Ред. «Сиб.мат.журн.» Новосибирск. 2004. 34 с. Деп. ВИНИТИ № 37 В 2004.
  4. JT.K., Копбосынов Б. К. Нестационарное движение капли в вязкой жидкости // Прикладная механика и техническая физика. 1986. N.2. С. 59−64.
  5. С.Н. Стационарные задачи двухфазной фильтрации с неизвестными границами // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1978. Вып. 36. С. 3−10.
  6. С.Н. Конечная скорость распространения возмущений в многомерных задачах двухфазной фильтрации // Зап. научн. семинаров Ленинградского отд. Матем. института. 1980. Т. 96. С. 3−12.
  7. С.Н. О характере возмущений, описываемых решениями многомерных вырождающихся параболических уравнений // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1979. Вып. 40. С. 114−122.
  8. С.Н., Кажихов A.B. Математические вопросы динамики неоднородных жидкостей // Новосибирск. Изд во Новосиб. Госуниверситета. 1974. 120 с.
  9. С.Н., Кажихов A.B., Монахов В. Н. Краевые задачи механики неоднородных жидкостей. Новосибирск: Наука. 1983. 316 с.
  10. С.Н., Монахов В. Н. Об общей квазилинейной модели фильтрации несмешивающихся жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1969. Вып. 3. С. 5−18.
  11. С.Н., Монахов В. Н. О некоторых задачах фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1969. Вып. 2. С. 156−160.
  12. С.Н., Монахов В. Н. Краевые задачи для некоторых вырождающихся уравнений механики сплошной среды // Новосибирск. Изд-во Новосиб. Госуниверситета. 1977. Часть 2. 48 с.
  13. С.Н., Монахов В. Н. Краевые задачи для некоторых вырождающихся уравнений механики сплошной среды // Новосибирск. Изд-во Новосиб. Госуниверситета. 1977. Часть 3. 76 с.
  14. С.Н., Монахов В. Н. Пространственные задачи нестационарной двухфазной фильтрации в неоднородных анизотропных средах // Докл. АН СССР. 1978. Т.243. N. 3. С. 553−556.
  15. С.Н., Монахов В. Н. О некоторых нестационарных задачах с неизвестными границами //В кн.: Некоторые проблемы математики и механики. Наука. Ленинград. 1970. С. 75.
  16. С.Н., Папин A.A. О глобальной гладкости решений уравнений двухфазной фильтрации // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1978. Вып. 35. С. 3−28.
  17. С.Н., Папин A.A. Приближенные методы решения задач двухфазной фильтрации // Докл. АН СССР. 1979. Т. 247. N. 3. С. 521 524.
  18. С.Н., Папин A.A. Приближенные методы решения задач двухфазной фильтрации //В кн.: Мат-лы Всесоюзного совещания-семинара «Краевые задачи теории фильтрации». Ровно 1979. С. 95.
  19. С.Н., Папин A.A. Приближенные методы решения регулярных и вырождающихся задач двухфазной фильтрации // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1982. Вып. 54. С. 15−48.
  20. С.Н., Папин A.A. Локализация решений уравнений вязкого газа с вязкостью, зависящей от плотности // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1988. Вып. 86. С. 24−40.
  21. PI.Г., Папин A.A. Разрешимость «в целом» уравнений одномерного движения газожидкостного слоя // Известия АлтГУ. Барнаул. 2007. Вып. 1 (53). С. 34−38.
  22. В.Ф., Гаипова А. Н. Об одной двумерной задаче нелинейной фильтрации // В сб.: Численные методы решения задач математической физики. М. 1966. С. 237−241.
  23. Г. И. Об одном классе точных решений плоской одномерной задачи нестационарной фильтрации газа в пористой среде // Прикл. математика и механика. 1953. Т. 17. N. 6. С. 739−742.
  24. Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства. Введение. М.: Мир. 1980. 160 с.
  25. О.В., Ильин В. П., Никольский С. М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука. 1975. 402 с.
  26. Ю.Н. Задача Коши для вырожденных квазилинейных параболических уравненияй // Теория вероятн. и ее примен. 1964. Т. 9. N. 2. С. 378−382.
  27. О.В., Монахов В. Н. Краевые задачи неизотермической двухфазной фильтрации в пористых средах // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1988. Вып. 86. С. 47−59.
  28. О.Б., Монахов В. Н. Неизотермическая фильтрация несмеши-вающихся жидкостей с переменными остаточными насыщениостями // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1988. Вып. 88. С. 3−12.
  29. О.Б., Монахов В. Н. О разрешимости краевых задач неизотермической фильтрации двух несмешивающихся неоднородных жидкостей в пористых средах // Докл. РАН. 1997. Т. 352. N.5. С. 583−586.
  30. О.Б., Монахов В. Н., Осокин А. Б. Численно-аналитические методы исследования задач тепловой двухфазной фильтрации // Математические модели фильтрации и их приложения. Новосибирск. 1999. С. 46−59.
  31. Бэр Я., Заславски Д., Ирмей С. Физико математические основы фильтрации воды. М.: Мир. 1971. 452 с.
  32. В.А. Проблема существования глобальных решений уравнений Навье Стокса сжимаемых сплошных сред // Диссертация докт. физ.-мат. наук. Новосибирск. 1998. 234 с.
  33. В.А. К вопросу о разрешимости «в целом» краевой задачи для уравнений Навье Стокса вязкой сжимаемой баротропной жидкости // В кн.: Актуальные проблемы современной математики. Новосибирск: Новосиб.гос. ун-т. 1995. Т.1. С. 43−51.
  34. В.А. Неоднородные граничные задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1990. Вып. 97. С. 3- 21.
  35. В.А. Пример несуществования «в целом» по времени решения уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой баротропной жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1993. Вып. 107. С. 39- 48.
  36. В.А. Стабилизация решений неоднородной краевой задачи для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1991. Вып. 101. С. 31−52.
  37. В.А. О задаче Коши для системы уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1992. Вып. 102. С. 3−10.
  38. В.А. Пример несуществования «в целом» по времени решений уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой баротропной жидкости // Докл. РАН. 1994. Т. 339. N. 2. С. 155−156.
  39. В.А., Кажихов A.B. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости // Докл. РАН. 1997. Т. 357. N. 4. С. 445−448.
  40. В.А., Кажихов A.B. О существовании глобальных решений двумерных уравнений Навье-Стокса сжимаемой вязкой жидкости // Сиб. мат. журн. 1995. Т. 36. N. 6. С. 1283−1316.
  41. В.А., Кажихов A.B. Разрешимость «в целом» начально-краевой задачи для уравнений потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса // Докл. РАН. 1995. Т. 340. N. 4. С. 460−462.
  42. В.А., Папин A.A. Глобальная разрешимость задачи Коши для уравнений баротропного газа с вязкостью, зависящей от плотности // Ред. «Сиб. мат. журн.» Новосибирск. 1989. 15 с. Деп. в ВИНИТИ. N. 8267.
  43. В.А., Папин A.A. Разрешимость начально-краевой задачи для уравнений баротропного газа с вязкостью, зависящей от плотности // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1987. Вып. 79. С. 3 9.
  44. Ван Вейнгарден JI. Некоторые проблемы составления уравнений для газожидкостных течений //В кн. Теоретическая и прикладная механика. Труды XIV международного конгресса IUTAM. М.: Мир. 1979. С. 528−552.
  45. В.И., Максимов A.M., Петров Е. Е., Цыпкин Г. Г. Тепломас-соперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. М.: Наука. 1997. 224 с.
  46. В.В., Николаевский В. Н. Уравнения механики пористых сред, насыщенных двухфазной жидкостью // Изв. АН СССР. Механика жидкости и газа. 1978. N. 5. С. 165−169.
  47. ВекуаИ.Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз. 1959. 628 с.
  48. B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1976. 544 с.
  49. О.В., Пухначев В. В. Термокапиллярное движение в газожидкостной смеси // Прикладная механика и техническая физика. 1980. N. 5. С. 38−45.
  50. А.И., Худяев А. И. О задаче Коши для составных систем нелинейных дифференциальных уравнений // Мат. сб. 1972. Т. 87. N. 4. С. 504−528.
  51. X., Грегер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир. 1978. 320 с.
  52. С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука. 1978. 304 с.
  53. С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука. 1979. 392 с.
  54. С.К., Гордиенко В. М. Простейшие галилеево-инвариантные и термодинамически согласованные законы сохранения // Прикладная механика и техническая физика. 2002. Т. 43. N. 1. С. 3−16.
  55. С.К., Гордиенко В. М. Усложненные структуры законов сохранения // Прикладная механика и техническая физика. 2002. Т. 43. N. 2. Новосибирск. С. 3−21.
  56. С.К. Галилеево-инвариантная и термодинамически согласованная модель составной изотропной среды // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45. N. 5. С. 3−12.
  57. С.К. Новый вариант термодинамически согласованной модели максвелловской вязкости // Прикладная механика и техническая физика. 2004. Т. 45. N. 6. С. 3−12.
  58. К.К. К теоремам вложения // Докл. АН СССР. 1960. Т. 134. С. 19−22.
  59. Д., Шварц Дж. Линейные операторы. Часть I. Общая теория. М.: Изд-во иностр. лит. 1962. 455 с.
  60. Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Часть II. Спектральная теория. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. М.: Мир. 1966. 456 с.
  61. М.Е., Филиппов Г. А. Газодинамика двухфазных сред. М.: Энер-гоиздат. 1981. 422 с.
  62. A.B. Фильтрация в смешанно-смачиваемых пористых средах и проблема повышения нефтеотдачи // Диссертация докт. физ.-мат. наук. Новосибирск. 2002. 181 с.
  63. В.Н. Уравнения континуальной теории фильтрации // Геология и геофизика. Новосибирск. 1987. 9 С.(Препр. / Ин-т геол и геофизики СО АН СССР- № 9).
  64. В.Н. Континуальная теория фильтрации // Геология и геофизика. Новосибирск. 1989. N. 7. С. 39−45.
  65. В.Н., Перепечко Ю. В. Реология фильтрационных систем // Теоремы вложения и их приложения к задачам математической физики. Новосибирск. 1989. С. 86−99.
  66. В.Н. Фильтрация в трещиновато-пористых средах. Новосибирск. 1990. 8 с. (Препр. / Ин-т геол и геофизики СО АН СССР- № 15).
  67. В.Н., Перепечко Ю. В. Феноменологическое описание двух-скоростных сред с релаксирующими касательными напряжениями // Прикладная механика и техническая физика. 1992. N. 3. С. 56−62.
  68. Г. Г. Корректность задачи Коши для уравнений Клигеля-Никерсона с вязкостью в газовой фазе // Новосибирск. 1991. 8 с. (Препр. / ИТПМ СО РАН- № 10−91).
  69. Г. Г. Начально-краевые задачи в неограниченных областях для уравнений Клигеля-Никерсона с вязкостью в газовой фазе // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1992. Вып. 105. С. 162−166.
  70. Г. Г. Корректность задачи Коши для уравнений Клигеля-Никерсона с вязкостью в газовой фазе // Моделирование в механике. Новосибирск. 1992. Т.6 (23). N. 2. С. 58−70.
  71. Ю.А. Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях // Мат. сб. 1965. Т. 67. (109) N. 4. С. 609 643.
  72. Н.Е. Полное собрание сочинений. Т. 7. М.: Гостехиздат. 1950. С. 296−332.
  73. .Т., Зубов Н. В., Монахов В. Н., Смагулов Ш. С. Новые компьютерные технологии в нефтедобыче. Алматы: Гылым. 1996. 167 е.
  74. .Т., Монахов В. Н. Гидродинамика нефтедобычи. Алматы: КазгосИНТИ. 2001'. 336 с.
  75. A.A. Равномерные оценки и стабилизация решений системы уравнений одномерного движения многокомпонентной баротропной смеси// Матем. заметки. 1995. Т. 58. N. 2. С. 307−312.
  76. Зи С. Физика полупроводниковых приборов. М.: Мир. 1984. 453 с.
  77. A.B. Квазилинейные вырождающиеся и неравномерно эллиптические и параболические уравнения второго порядка. Труды Матем. института им. В. А. Стеклова АН СССР. Т. 160. JI. Наука. 1982. 286 с.
  78. К. Функциональный анализ. М.: Мир. 1967. 493 с.
  79. A.B., Монахов В. Н., Олейник A.A. Об одной фильтрационной модели движения газа с частицами // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1971. Вып. 3. С. 27−33.
  80. A.B. Корректность «в целом» смешанных краевых задач для модельной системы уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1975. Вып. 21. С. 18−47.
  81. A.B. О краевых задачах для уравнений Бюргерса сжимаемой жидкости в областях с подвижными границами // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1976. Вып. 26. С. 60−76.
  82. A.B. О глобальной разрешимости одномерных краевых задач для уравнений вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1976. Вып. 24. С. 45−61.
  83. A.B., Шелухин В. В. Однозначная разрешимость «в целом» по времени начально-краевых задач для одномерных уравнений вязкого газа // Прикл.матем. и механика. 1977. Т. 41. N. 2. С. 282−291.
  84. A.B., Петров А. Н. Корректность начально-краевой задачи для модельной системы уравнений многокомпонентной смеси // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1978. Вып. 35. С. 61−73.
  85. A.B. Некоторые вопросы теории уравнений Навье-Стокса сжимаемой жидкости // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1979. Вып. 38. С. 33−47.
  86. A.B., Николаев В. Б. О корректности краевых задач для уравнений вязкого газа с немонотонной функцией состояния // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск. 1979. Т. 10. N. 2. С. 7784.
  87. A.B., Николаев В. Б. К теории уравнений Навье-Стокса вязкого газа с немонотонной функцией состояния // Докл. АН СССР. 1979. Т. 246. N. 5. С. 1045−1047.
  88. A.B. О стабилизации решений начально-краевой задачи для уравнений баротропной вязкой жидкости // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15. N. 4. С. 662−667.
  89. A.B. К теории краевых задач для уравнений одномерного нестационарного движения вязкого теплопроводного газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1981. Вып. 50. С. 37−62.
  90. A.B. О задаче Коши для уравнений вязкого газа // Сиб. мат. журн. 1982. Т. 23. N. 1. С. 60−64.
  91. A.B. Априорные оценки решений уравнений магнитной газовой динамики // В сб.: Краевые задачи уравнений математической физики. Красноярск. 1987. С. 84−94.
  92. A.B. Уравнения потенциальных течений сжимаемой вязкой жидкости при малых числах Рейнольдса. Существование, единственность и стабилизация решений // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34. N. 3. С. 70−80.
  93. A.B., Шелухин В. В. Метод верификационной компактности // Актуальные проблемы современной математики. Новосибирск. Новосиб. госуниверситет. 1996. Т.2. С. 51−60.
  94. A.B., Мамонтов А. Е. Об одном классе выпуклых функций и точных классах корректности задачи Коши для уравнения переноса в пространствах Орлича // Сиб. мат. журн. 1998. Т.39. N. 4. С. 831−850.
  95. A.B. К теории компенсированной компактности // Известия вузов. Северо-Кавказский регион. Математика и механика сплошной среды. Спецвыпуск. 2004. С. 131−136.
  96. A.B. Избранные труды. Математическая гидродинамика. Новосибирск: Изд-во Ип-та гидродинамики им. М. А. Лаврентьева СО РАН, 2008. 420 с.
  97. Я.И. Об одной модельной системе уравнений одномерного движения газа // Дифферен. уравнения. 1968. Т.4. N. 4. С. 721−734.
  98. Я.И. О задаче Коши для уравнений газовой динамики с вязкостью // Сиб. мат. журн. 1979. Т. 20. N. 2. С. 293−306.
  99. A.C. О возникновении особенностей у решений уравнений нестационарной фильтрации // Журн. выч. мат. и мат. физ. 1967. Т.7. N. 2. С. 440−444.
  100. A.C. Об уравнениях типа нестационарной фильтрации с бесконечной скоростью.распространения возмущений // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. механика. 1972. N. 6. С.'45−49.
  101. A.C. О дифференциальных свойствах обобщенных решений уравнений типа нестационарной фильтрации // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. механика. 1974. N. 1. С. 62−68.
  102. A.A. Математическое моделирование массопереноса в задачах взаимосвязи подземных и поверхностных вод // Диссертация докт. физ.-мат. наук. Новосибирск. 2001. 223 с.
  103. P.O. О некоторых свойствах обобщенных решений квазилинейных параболических уравнений // Acta Mathematika academiae scientiarum Hangaricae. 1978. Vol. 32. N. 3−4. P. 301−331.
  104. Дж., Никерсон Г. Течение смеси газа и твердых частиц в осе-симметрическом сопле// Детонация и двухфазное течение. М.: Мир. 1966. С. 183−201.
  105. В.М., Тарнавский Г. А., Черный С. Г. Применение метода расщепления в задачах аэродинамики. Новосибирск: Наука. 1990. 243 с.
  106. Р. Течение жидкостей через пористые материалы. М.: Мир. 1964. 310 с.
  107. А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1976. 542 с.
  108. А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск. Изд-во Новосиб. Госуниверситета. 1972. 128 с.
  109. А.Н. О некоторых вопросах, возникающих при численном решении задач фильтрации двухфазной несжимаемой жидкости // Труды МИ АН СССР. 1973. Т. 122. С. 2−23.
  110. А.Н., Монахов В. Н. О некоторых моделях фильтрации многофазных жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1976. Вып. 27. С. 51−58.
  111. А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. Новосибирск: Наука. 1988. 166 с.
  112. .К. Одномерное термокапиллярное движение в газожидкостной смеси // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1986. Вып. 74. С. 25−37.
  113. А.И. Регулярность решений эллиптических уравнений и систем. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1986. 240 с.
  114. А.Н. О корректности задачи Коши для двухжидкостной модели течения смеси газа с частицами // Прикл. математика и механика. 1982. Т. 46. N.3. С. 420−428.
  115. М.А. Топологические методы в теории нелинейных интегральных уравнений. М.: Гостехиздат. 1956. 268 с.
  116. М.А., Рутицкий Я. Б. Выпуклые функции и пространства Орлича. М.: Физматгиз. 1958. 272 с.
  117. С.Н. Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными // Труды Моск. мат. общ-ва. 1967. Т. 16. С. 329 354.
  118. С.Н. Об основной априорной оценке для решения квазилинейного параболического уравнения // Изв. АН Уз ССР. 1972. Т. 16. Серия физ.-мат. наук. N. 3. С. 16−20.
  119. С.Н. Результаты о характере непрерывности решений параболических уравнений и некоторые их применения // Матем. заметки. 1969. Т. 6. N. 1. С. 97−108.
  120. С.Н. Краевые задачи для вырождающихся эллиптических уравнений второго порядка // Матем. сб. 1968. Т. 77. (119) N. 3. С. 299 334.
  121. С.Н. Квазилинейные параболические уравнения и системы с двумя независимыми переменными // Труды семинара им. И. Г. Петровского. 1979. Вып. 5. С. 217−272.
  122. С.Н., Сукорянский С. М. Краевые задачи для систем уравнений двухфазной фильтрации, постановка задачи, вопросы разрешимости, обоснование приближенных методов // Матем. сб. 1977. Т. 104. (146): 1 (9). С. 69−88.
  123. С.С., Стырикович М. А. Гидродинамика газожидкостных систем. М.: Энергия. 1976. 296 с.
  124. JI.С., Демидов В. Н., Мотовилов Ю. Г. Формирование речного стока. Физико-математические модели. М.: Наука. 1983. 214 с.
  125. O.A., Солонников В. А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука. 1967. 736 с.
  126. O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. М.: Наука. 1970. 288 с.
  127. O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука. 1973. 732 с.
  128. O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука. 1973. 408 с.
  129. O.A., Солонников В. А. Об однозначной разрешимости начально-краевой задачи для вязких несжимаемых неоднородных жидкостей // Зап. научн. семинаров Ленинградского отд. Матем. института. 1975. Т. 52. С.52 109.
  130. Л.Д., Лившиц В. М. Гидродинамика. М.: Наука. 1988. 736 с.
  131. H.A. Об одной модельной системе механики гетерогенных сред // Числ. методы механ. сплош. среды. Новосибирск. 1978. Т.9. N. 7. С. 60−66.
  132. H.A. О разрешимости в целом задачи Коши для системы уравнений, «описывающей течение двухфазной смеси //В кн.: Механика жидкостей и газа. Ташкент. Фан. 1980. С. 35−40.
  133. H.A., Новиков В. А., Яненко H.H. Нелинейные уравнения переменного типа. Новосибирск: Наука. 1983. 308 с.
  134. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972. 478 с.
  135. Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука. 1970. 904 с.
  136. В.Ю. Моделирование двухфазных течений на основе законов сохранения // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1986. Вып. 76. С. 111−120.
  137. Л.К. Исследование математической модели процесса нелинейной теплопроводности в средах с объемным поглощением // В кн.: Математическое моделирование. Процессы в нелинейных средах. М.: Наука. 1986. 312 с.
  138. В.П., Данилов В. Г., Волосов К. А. Математическое моделирование процессов тепло-массопереноса. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1987. 352 с.
  139. В.П., Мосолов П. П. Уравнения одномерного баротропного газа. М.: Наука. 1990. 216 с.
  140. С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир. 1977. 504 с.
  141. A.M. Задача Стефана. Новосибирск: Наука. 1986. 240 с.
  142. В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука. 1976. 341 с.
  143. В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. Новосибирск: Наука. 1977. 420 с.
  144. В.Н. Автомодельные решения тепловой двухфазной фильтрации // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40. N. 3. С. 9−17.
  145. И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука. 1976. 218 с.
  146. Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 1. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1987. 464 с.
  147. Р.И. Динамика многофазных сред. Ч. 2. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1987. 360 с.
  148. В.Н., Басниев К. С., Горбунов А. Т., Зотов Г. А. Механика насыщенных пористых сред. М.: Недра. 1970. 336 с.
  149. С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука. 1969. 456 с.
  150. JI.B. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука. 1981. 368 с.
  151. O.A., Калашников A.C., Чжоу Юй — Линь. Задача Коши и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтрации // Изв. АН СССР. 1958. Серия матем. Т. 22. N. 5. С. 667−704.
  152. O.A., Вентцель Т. Д. Первая краевая задача и задача Коши для квазилинейных уравнений параболического типа //Матем. сб. 1957. Т. 41(83). N. 1. С. 105−128.
  153. Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. М.: Мир. 1990. 660 с.
  154. A.A. Априорные оценки решений вырождающихся квазилинейных параболических уравнений // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1980. Вып. 46. С. 107−121.
  155. A.A. Корректность начально-краевых задач для уравнений двухфазной фильтрации. Диссерт. канд. физ.-мат. наук. Новосибирск. 1980. 112 с.
  156. A.A. О разрешимости задач солепереноса в системе грунтовых вод //В кн.: Тезисы докладов 7 Всесоюзной школы по качественной теории дифференциальных уравнений гидродинамики.Барнаул. 1989. С. 51.
  157. A.A., Даев Ю. М., Образцова Т. О. Численное решение профильной задачи о выносе солей из берегов водохранилища // В сб.: „Управление, матем. моделирование и оптимизация на базе ПЭВМ“. Барнаул. 1993. С. 91−100.
  158. A.A., Мажирин А. П. Пример точного решения задачи о распределении ионизованной примеси в приповерхностной области полупроводника // Прикладная механика и техническая физика. 1998. Т.39. N. 4. С. 17−24.
  159. A.A., Первова Н. С. Автомодельное решение уравнений двухфазной среды (модель Х.А. Рахматулина) // Известия АлтГУ. Барнаул. 1998. Вып.1 (6). С. 9−11.
  160. A.A. Разрешимость „в малом“ по времени уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1999. Вып. 114. С. 64−70.
  161. A.A. Разрешимость „в малом“ по начальным данным уравнений одномерного движения двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 2000. Вып. 116. С. 73−81.
  162. A.A., Аносова И. Г. Глобальная разрешимость модельной задачи о движении двух взаимопроникающих жидкостей. Стабилизация решения // Известия АлтГУ. Барнаул. 2002. Спец. выпуск. С. 40−46.
  163. A.A. Разрешимость начально-краевых задач для уравнений движения двухфазной смеси //В кн.: Материалы Всерос. конф. „Задачи со свободными границами- теория, эксперимент, приложения“. Бийск. 2005. С. 60.
  164. A.A. Существование решения в „целом“ уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси. 1. Постановка задачи и вспомогательные утверждения // Сиб.журн.индустр.математики. Новосибирск. 2006. Т. 9. N. 2(26). С. 116−136.
  165. A.A. Существование решения в „целом“ уравнений одномерного неизотермического движения двухфазной смеси. 2. Результаты о разрешимости // Сиб. журн.индустр.математики. Новосибирск. 2006. Т. 9. N. 3 (27). С. 111−123.
  166. A.A. Автомодельное решение задачи солепереноса в тающем снеге // Известия АлтГУ. Барнаул. 2006. Вып. 1 (49). С. 39−47.
  167. A.A. Корректность начально-краевых задач для одномерных уравнений движения двухфазной смеси. Барнаул. Издательство АлтГУ. 2007. 126 с.
  168. A.A. Разрешимость начально-краевых задач для одномерных уравнений движения двухфазной смеси // В кн.: Материалы Межд.конф."Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения». Новосибирск. 2007. С. 612.
  169. A.A. Автомодельное решение задачи о движении консервативной примеси в тающем снеге // Материалы Всерос. конф. «Задачи со свободными границами- теория, эксперимент, приложения». Бийск. 2008. С. 83.
  170. A.A. Разрешимость модельной задачи тепломассопереноса в тающем снеге // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т. 49. N. 4. С. 13−23.
  171. A.A. Локальная разрешимость начально-краевой задачи для уравнений одномерного неизотермического движения газожидкостного слоя // Известия АлтГУ. Барнаул. 2008. Вып. 1 (57). С. 29−34.
  172. A.A. О разрешимости краевых задач неизотермической фильтрации двух взаимопроникающих жидкостей в пористых средах // Материалы Межд.конф. «Дифференциальные уравнения. Функциональные пространства. Теория приближений». Новосибирск. 2008. С. 620.
  173. A.A. О локальной разрешимости краевой задачи тепловой двухфазной фильтрации // Сиб.журн.индустр. математики. Новосибирск.2009.Т.12, N.1(37). С. 114−126.
  174. A.A. Разрешимость краевой задачи фильтрации двух взаимопроникающих вязких несжимаемых жидкостей в пористых средах // Вестник НГУ. Серия: Математика, механика, информатика. Новосибирск. 2009. Т. 9, Вып. 2. С. 80−87.
  175. A.A. Краевые задачи для уравнений двухфазной фильтрации. Барнаул. Издательство АлтГУ. 2009. 220 с.
  176. A.A., Токарева М. А. Модельная задача о движении сжимаемой жидкости в вязкоупругой горной породе // Известия АлтГУ. Барнаул.2010. Вып. 1 (65). С. 35−37.
  177. А.Г., Пухначев В. В. Одномерное движение эмульсии с затвердеванием // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40. N. 3. С. 128−136.
  178. А.Г. Автомодельное решение одномерной задачи термокапиллярного движения эмульсии // Прикладная механика и техническая физика. 2007. Т. 48. N. 5. С. 61−70.
  179. А.Г. Задача непротекания для одномерного движения эмульсии в поле микроускорений и термокапиллярных сил // Сиб.журн.индустр. математики. 2007. Т. 10. N. 3(31). С. 128−137.
  180. А.Н. Корректность начально-краевой задачи для одномерных уравнений взаимопроникающего движения совершенных газов // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1982. Вып. 56. С. 105−121.
  181. Полубаринова Кочина П. Я. Теория движения грунтовых вод.М.: Наука. 1977. 664 с.
  182. Полубаринова Кочина П. Я. Гидродинамика и теория фильтрации.М.: Наука. 1991. 351 с.
  183. В.А., Хавин З. Я. Краткий химический справочник. М.: Изд-во Химия. 1978. 392 с.
  184. Развитие исследований по теории фильтрации в СССР. М.: Наука. 1977. 545 с.
  185. Х.А. Основы газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред // Прикл. математика и механика. 1956. Т.20. Вып. 2. С. 183−195.
  186. Х.А. Газовая и волновая динамика.М.: Изд-во МГУ. 1983. 200 с.
  187. .Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике. М.: Наука. 1978. 656 с.
  188. Е.С. О задаче Коши для уравнений нестационарной фильтрации газа со многими пространственными переменными // Докл. АН СССР. 1961. Т. 136. N. 5. С. 1034−1037.
  189. Е.С. Об одном классе вырождающихся нелинейных вырождающихся параболических уравнений // Докл. АН СССР. 1962. Т. 143. N. 4. С. 794−797.
  190. С. Теория интеграла. М.: Изд-во иностр. лит-ры. 1949. 272 с.
  191. A.A., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболический уравнений. М.: Наука. Гл. ред. физ.-мат. лит. 1987. 480 с.
  192. A.A. Об одном экономическом методе решения многомерного параболического уравнения в произвольной области // Журн. выч. мат. и мат. физ. 1962. Т.2. N. 5. С. 787−811.
  193. С.Л. Избранные вопросы теории функциональных пространств и обобщенных функций. М.: Наука. 1989. 270 с.
  194. С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Новосибирск. Изд. СО АН СССР. 1988. 333 с.
  195. В.А. О краевых задачах для линейных параболических систем дифференциальных уравнений общего вида // Тр. Матем. инта им. В. А. Стеклова АН СССР. 1965. Т.83. С. 3−162.
  196. В.А. О разрешимости начально-краевой задачи для уравнений движения вязкой сжимаемой жидкости //В кн.: Исследования по линейным операторам и теории функций. 6. Л.: Наука. 1976. С. 128 142. (Зап. науч. семинаров ЛОМИ АН СССР. Т.56).
  197. И.М. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир. 1973. 340 с.
  198. В.А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980. 494 с.
  199. X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир. 1980. 664 с.
  200. Е.Б. Математическая модель снежного покрова как многофазной среды //В кн.: Тр. IV всесоюзн. гидролог, съезда. 1976. Т. 6. С. 317−323.
  201. Е.Б. Математическое описание тающего снежного покрова // В кн.: Труды САРНИГМИ. 1977. Вып. 52 (133) С. 122−127.
  202. Г. Одномерные двухфазные течения. М.: Мир. 1972. 440 с.
  203. Д.Ф., Умаров А. И., Шакиров A.A. Гидродинамика одно -и двухфазных сред и ее практическое приложение.Ташкент: Фан. 1980. 167 с.
  204. Г. М. О краевых задачах для квазилинейных вырождающихся параболических уравнений // Матем. сб. 1968. Т. 76(119). N. 3. С. 535 565.
  205. A.M. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука. 1985. 293 с.
  206. М.И. О существовании в «целом» гладких решений вырождающихся квазилинейных параболических уравнений // Матем. сб. 1969. Т. 78(120). N. 3. С. 332−348.
  207. А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир. 1968. 260 с.
  208. Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения.М.: Мир. 1970. 720 с.
  209. Г. Г. Математическая модель диссоциации газовых гидратов, сосуществующих с газом в пластах // ДАН РАН. 2001. Т.381. N. 1. С. 56−59.
  210. Г. Г. О возникновении двух подвижных границ фазовых переходов при диссоциации газовых гидратов в пластах // ДАН СССР. 1992. Т.323. N. 1. С. 52−57.
  211. Г. Г. Математическая модель диссоциации газовых гидратов, сосуществующих с газом в природных пластах // Изв. РАН МЖГ. 1993. N. 2. С. 84−92.
  212. В.В. Стабилизация решения одной модельной задачи о движении поршня в вязком газе // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1978. Вып. 33. С. 134−146.
  213. В.В. Существование периодических решений обобщенной системы Бюргерса // Прикл. математика и механика. 1979. Т.43. Вып. 6. С. 992−997.
  214. В.В. Периодические течения вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1979. Вып. 42. С. 80−102.
  215. В.В. Параболическая аппроксимация одной модели вязкого газа // Числ. методы механики сплошн. среды (Матем. моделиров.) Новосибирск. Ин-т теор. и прикл. мех-ки. 1979. Т.10. N. 5. С. 111−126.
  216. В.В. Ограниченные, почти периодические решения уравнений вязкого газа // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1980. Вып. 44. С. 147−163.
  217. В.В. Движение с контактным разрывом в вязком теплопроводном газе // Динамика сплошной среды. Новосибирск. 1982. Вып. 57. С. 131−152.
  218. В.В. Эволюция контактного разрыва в баротропном течении вязкого газа // Прикл. математика и механика. 1983. Т. 47. Вып. 5. С. 870−872.
  219. В.В. О структуре обобщенных решений одномерных уравнений политроиного вязкого газа // Прикл. математика и механика. 1984. Т. 48. Вып. 6. С. 912−920.
  220. В.В. Распространение начальных возмущений в вязком газе // Сиб. мат. журн. 1987. Т. 28. N. 2. С. 211−216.
  221. В.В. Об одном классе сдвиговых течений вязкой сжимаемой жидкости // Прикл. мех-ка и техн. физика. 1996. Т. 37. N. 4. С. 50−56.
  222. Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969. 1071 с.
  223. В.И. Некоторые оценки решений эллиптических уравнений // Мат. сб. 1962. Т.59-доп. С. 229−241.
  224. Н.Н., Солоухин Р. И., Папырин А. Н., Фомин В. М. Сверхзвуковые двухфазные течения в условиях скоростной неравновесности частиц. Новосибирск: Наука. 1980. 160 с.
  225. Adams R.A. Sobolev spaces. Academic Press. New York. 1975. 278 P.• 236. Albers B. On adsorption and diffusion in porous media // ZAMM.Z.angew. Math.Mech. 2001. Vol. 81. N. 10. P. 683−690.
  226. Alt H.W., Di Benedetto E. Regularity of the saturation in the flow of two immiscible fluids through a porous medium // Australian National University. Research Report: CMA-R21−85. 1985. 51 P.
  227. Alt H.W., Di Benedetto E. Nonsteady flow of water and oil through porous medium //Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa CI. Sci. 1985. Vol. 12. P. 335−392.
  228. Allaire G. Homogenization and two-scale convergence // SIAM J. Math. Anal. 1992. Vol. 23. P. 1482−1518.
  229. Ambrossi D. Infiltration through deformable porous media // Z. Angew. Math. Mech. 2002. Vol. 82. N. 2. P. 115−124.
  230. Anderson EA. Hydro-17 Snow Model. NWSRFS Users Manual. Part II.2. National Weather Service. NOAA. DOC. Silver Spring. MD. 1996.
  231. Anderson E.A. Development and testing of snow pack energy balance equations // Water Resources Research. Vol. 4. N. 1. 1968. P. 19−37.
  232. Aronson D.G. Regularity properties of flows through1 porous media // SJAM J. Appl. Math. 1969. Vol. 17. N. 2. P. 461−467.
  233. Broniarz-Press L., Agacinski P. and Rozanski J. Shear-thinning fluids flow in fixed and fluidised beds // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol. 33. Issue 6. P. 675−689.
  234. Blagovechshenskiy V., Eglit M. and Naaim M. The calibration of avalanche mathematical model using field data // Natural Hazards. 2002. N. 2. P. 203 209.
  235. Bresch D., Kazhikhov A.V., Lemoine J. On the two-dimentional hydrostatic Navier-Stokes equations // SIAM Journ. Math Anal. 2004. Vol. 36. N. 3. P. 796−814.
  236. Cagliardo E. Ulterori proprieta' di alcune classi di funzioni in piu' variabili // Ric. Math. 1959. Vol. 8. P. 24−51.
  237. Chavent G. A new formulation of diphaic incompressible flows in porous media // Lecture notes in Mathematics. Applications of method of functinal analisis to problem in mecanics. 1976. Vol. 503. P. 268−270.
  238. Chen Z. Degenerate two-phase incompressible flow I: existence, uniqueness and regularity of a weak solution // J. Differential Equations. 2001. Vol. 171. P. 203−232.
  239. Chen Z. Degenerate two-phase incompressible flow II: regularity, stability and stabilization // J. Differential Equations. 2002. Vol. 186. P. 345−376.
  240. Constantin P., Gallavotti G., Kazhikhov A.V., Meyer Y. and Ukai S. Mathematical foundation of turbulent viscous flows. Springer-Verlag Berlin Heidelberg: Netherlands. 2006. 252 P.
  241. Crooke P. S. On grown properties of solutions of the Saffman dusty gas model // ZAMP. 1972. Vol. 23. P. 182−200.
  242. Cui H. and Grace J.R. Flow of pulp fibre suspension and slurries: a review // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol. 33. Issue 9. P. 921−934.
  243. Douglas J. Jr., Peaceman D. W. Rachford Jr. A method for calculation multi dimentional immiscible displacemant // Frans. AJME. 1959. V. 17. N. 2. P. 461−467.
  244. De Boer R. and Didwania A.K. Two-phase flow and the capillarity phenomenon in porous solids a continuum themomechanical approach // Transport in porous media. 2004. Vol. 56. P. 137−170.
  245. De Wilde J., Constales D., Heynderickx G.J. and Marin G.B. Assessment of filtered gas-solid momentum transfer models via a linear wave propagation speed test // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol.33. Issue 6. P. 616−637.
  246. Fowler A.C. An introduction to mathematical modeling. Mathematical Institude. Oxford University. 2002. 94 P.
  247. Galusinski C., Saad M. On a degenerate parabolic system for compressible, immiscible, two-phase flows in porous media // Advances in Differential Equations. 2004. Vol.9. N. 11−12. P. 1235−1278
  248. Garcia F., Garcia J.M., Garcia R. and Joseph D.D. Friction factor improved correlations for laminar and turbulent gas-liquid flow in horizontal pipelines // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol. 33. Issue 12. P. 1320−1336.
  249. Gard S.K. and Pritchett J.W. Dynamics of gas fluidized beds // Journal of Applied Phisics. 1975. Vol. 46. N. 10. P. 4493−4500.
  250. Garg R., Narayanan C. and Subramaniam S. Accurate numerical estimation of interphase momentum transfer in Lagrangian-Eulerian simulations of dispersed two-phase flows // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol. 33. Issue 12. P. 1337−1364.
  251. Goz M. Existence and uniqueness of time-dependent spatially periodic solutions of fluidized bed equations // ZAMM.Z.angew. Math.Mech. 1991. Vol. 71. N. 6. P. 750−751.
  252. Gronwall T.N. Note on the derivatives with respect to a parameter of the • solutions of a system of differential equations // Ann. Math. 1919. Vol.20.1. P. 292−296.
  253. Hicks D.L. Well-posedness of the two-phase flow problem. Part 2: Stability analyses and microstructural models // Sandia National Laboratories. SAND-80−1276.
  254. Hadziabdie M.C. and Oliemans R.V.A. Parametric study of a model for determining the liquid flow-rates from the pressure drop and water hold-up in oil-water flows // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol. 33. Iissue 12. P. 1365−1394.
  255. Ito K. Weak solutions to the one-dimentional non-isentropic gas dynamics by the vanishing viscosity method // Electronic journal of diff. equations (http://www.emis.de/journals/EJDE). 1996. Vol. 1996. N.4. P 1−17.
  256. Kaliev I.A., Kazhikhov A. V. Well-posedness of a gas solid transition problem // Journal of Mathematical Fluid Mechanics. 1999. Vol. 1. N. 3. P. 282−308.
  257. Kazhikhov A.V. The equations of potential flows of compressible viscous fluid at low Reynolds number // Acta. Math. Appl. 1994. Vol.37. N. 1. P. 77−81.
  258. Kazhikhov A.V. Sur la solubilite globale des problemes monodomensionnells aux valeurs initiales-limites pour les equations d’un gas visqueux et calorifere // C.R.Acad. Sci. Paris. Ser. A. 1977. Vol. 284. P. 317−320.
  259. Kazhikhov A.V., Mamontov A.E. Transport equations and Orlicz spaces // Hyperbolic Problems: Theory, Numeries, Applications. Int. Ser. Numer. Math. 1999. Vol. 130. P. 535−544.
  260. Kazhikhov A.V. Approximation of weak limits via method of averaging with applications to Navier-Stokes equations // The Navier-Stokes Equations: Theory and Numerical Methods. Lect. Notes Pure Appl. Math. 2002. Vol. 223. P. 197−204.
  261. Kim H.D., Kim J. and Kim M.H. Experimantal studies on CHF characteristics of nano-fluids at pool boiling // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol. 33. Issue 7. P. 691−706.
  262. Kollar L.E. and Farzaneh M. Modeling the evolution of droplet size distribution in two- phase flows // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol. 33. Issue 12. P. 1255−1270.
  263. Kufner A., John O. and Fucik S. Function Spaces. Prague- Groningen: Academia- NoordhofF. 1977. 325 P.
  264. Lions P.L., Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Vol. 1. Incompressible Models. Clarendon Press. Oxford. 1996. 237 P.
  265. Lions P.L., Mathematical Topics in Fluid Mechanics. Vol. 2. Compressible Models. Clarendon Press. Oxford. 1998. 348 P.
  266. Melander O. and Rasmuson A. A dispersion force approach to modelling the effect of lift forces on fibre dispersion // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol.33. Issue 3. P. 333−346.
  267. Morel C. On the surface equations in two-phase flows and reacting singlephase flows // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol. 33. Issue 10. P. 10 451 073.
  268. Muskat M. The flow of homogeneous fluids through porous media. Edwards. Ann Arbor. 1937. 763 P.
  269. Naaim M., Gurer I. Two-phase Numerical Model of Powder Avalanche Theory and Application. Natural Hazards. 1998. Vol. 117. P. 129−145.
  270. Novotny A. and Straskraba I. Introduction to the mathematical theory of compressible flow. Oxford University Press. Oxford. 2004. 506 P.
  271. Oleynik O.A. Alcuni risultari sull equazioni lineari e quasi lineari elliptico paraboliche a derivate parziali del secondo ordine, eRnd // Acad. Naz. Lincei. 1966. Ser. 8. P. 775−784.
  272. Panfilova I. and Panfilov M. Near- critical gas-liquid flow in porous media: monovariant model, analytical solution and convective mass exchange effects // Transport in porous media. 2004. Vol. 56. P. 61−85.
  273. Papin A.A., Akhmerova I.G. Solvability of the system of equations of one-dimensional motion of a heat-conducting two-phase mixture // Mathematical Notes. 2010. Vol. 87. N. 2. pp. 230−243.
  274. Papin A.A. On the uniquenes of the solutions of an initial boundary-value problem for the system of a heat-conducting two-phase mixture // Mathematical Notes. 2010. Vol. 87. N. 4. pp. 594−598.
  275. Pukhnachov V.V., Voinov O.V. Termocapillary motion in an emulsion// Third NASA Conference «Fluid Physics in Microgravity». Cleveland. 1996. P. 337−342.
  276. Rajagopal K.L. and Tao L. Mechanics of mixtures. London: World Scientific Publishing. 1995. 195 P.
  277. Rankinen K., Karvonen T. and Butterfield D. A simple model for predicting soil temperature in snow-cover and seasonally forozen soil: model description and testing // Hydrology and Earth System Sci. 2004. N. 8(4). P. 706−716.
  278. Sanchez-Palencia E. Non-Homogeneous Media and Vibration Theory. Springer-Verlag. New-York. 1980. 472 P.
  279. Schmidt W. Interfacial drag of two-phase flow in porous media // Int. Journal multiphase flow. 2007. Vol.33. Issue 6. P. 638−657.
  280. Shelukhin V.V. Bingam viscoplastic as a limit of non-newtonian fluids // Journal of Mathematical Fluid Mechanics. 2004. Vol. 4. N. 3. P. 109−127.
  281. Soo S.L. Development of Dynamics of Multiphase Flows // Int. J. Sci. Eng. 1984. Vol. 1. P. 13−29.
  282. Steward H.B. and Wendroff B. Two-phase flows: models and methods // J. Comp. Phys.1984. Vol. 56. P. 363−409.
  283. Valli A. Periodic and stationare solutions for compressible Navier-Stokes equations via a stability method // Ann. Sc. Norm. Super. Pisa. 1983. Vol. 10. N. 4. P. 607−647.
  284. V.A. (Vaigant V.A.). An example of nonexistence globaly in time of a solution of the Navier-Stokes equations for a compressible viscous barotropic fluid // Russ. Acad. Sci. Dok. Math. 1995. Vol. 50. N. 3. P. 397 399.
  285. Wilmanski K. Lagrangean model of two-phase porous material // J. Non-Equilib.Thermodyn. 1995. Vol. 20. P. 50−77.
  286. Wilmanski K. Porous media at finite strains. The new model with the balance equation for porosity // Arch. Mech. 1996. Vol. 48. N. 4. P. 591 628.
  287. Wilmanski K. A thermodynamic model of compressible porous materials with the balance of porosity // Transp. Porous Media. 1998. Vol. 32. N. 4. P. 21−47.
  288. Wilmanski K. Note on the notion of incompressibility in thermodynamic theories of porous and granular materials // ZAMM.Z.angew. Math.Mech. 2001. Vol. 81. N. 1. P. 37−42.
  289. Wilmanski K. On a homogeneous adsorption in porous materials // ZAMM.Z.angew. Math.Mech. 2001. Vol. 81. N. 2. P. 119−124.
Заполнить форму текущей работой

Сессия? Спокойно!