Исследование устойчивости автономных нелинейных динамических систем без функций Ляпунова и потенциальной функции

В физике, технике, экономике, биологии и химии динамические процессы описывают нелинейными системами обыкновенных дифференциальных уравнений, системами уравнений в частных производных, интегральных и интегро — дифференциальных уравнений [1, 2, 3, 4, 5]. Нелинейности в таких системах могут быть гладкие и негладкие, непрерывные и разрывные [6, гл. 1, § 1.1].

Нелинейные динамические системы классифицируют на автономные и неавтономные. Автономными называют системы, описываемые дифференциальными уравнениями, правые части которых не зависят явно от времени, и неавтономными — все остальные.

К таким системам предъявляется одно общее требование — система должна обладать устойчивостью Рассматривают устойчивость динамическую и структурную. Термин «устойчивость» не имеет чёткой формулировки. Так, под динамической устойчивостью понимают свойство динамической системы, описываемой обыкновенными дифференциальными уравнениями, иметь малые отклонения от траектории первоначального движения при малых возмущениях начальных условий [8, гл. 1, § 1]. Выделяют различные виды динамической устойчивости: устойчивость по Ляпунову [8, гл. 1, § 1], устойчивость в малом, большом [6, гл. 5, § 5.1], равномерную [9, гл. 1, § 2], устойчивость в целом [10, гл. 1, § 2], [9, гл. 1, § 12], абсолютную устойчивость [6, гл. 5, § 5.1], асимптотическую устойчивость [9, гл. 1, § 2], [10, гл. 1, § 2], экспоненциальную устойчивость [10, гл. 1, § 2]. [11, гл. 1], [13, гл. IV, § 8], орбитальную устойчивость [15, гл. 1, § 1, 1.8], [13, гл. IV, § 19]- условную устойчивость[16, гл. пятая, § 2], [13, гл. IV, § 22], [8, гл. 1, § 1] стохастических систем, устойчивость по мере [10, гл. 1, § 2].

Понятие асимптотической устойчивости охватывает устойчивость по Ляпуновудля автономных систем асимптотическая устойчивость решения влечет равномерную устойчивость [17, гл. 1, § 1], устойчивость в малом, в большомасимптотическая устойчивость тривиального решения гарантирует его абсолютную устойчивость [9, гл. 1, § 12], а значит — устойчивость в целом [13, гл. IV, § 7].

Для исследования устойчивости нелинейных динамических систем.

1 Требования наблюдаемости, идентифицируемости, управляемости в настоящей работе не затрагиваются разработаны аналитические методы Линдштета [15, гл. III, § 8, 8.2], Пуанкаре [15, гл. Ш, § 8, 8.3], Крылова, Боголюбова и Ван-дер-Поля [15, гл. III, § 8, 8.4], Картрайта [15, гл. Ш, § 9, 9.7], Важевского [15, гл. Ш, § 9, 9.8], А. А. Первозванского [18], И. В. Войкова [10, 21]. Такие методы применимы для исследования систем с заданной структурой. Исследование нелинейных многомерных динамических систем качественными методами, в частности, анализ фазовых портретов [19, гл. 1], [20, гл. 3], на практике затруднительно.

Для нелинейных автономных динамических систем исследования асимптотической устойчивости проводятся согласно первому [22, гл. III-VI] и второму [23, гл. 4] подходам Ляпунова [8, гл. 1, § 5], [24, гл. 8].

Первый подход Ляпунова основан на линеаризации системы и исследовании линеаризованной системы с последующим переносом результатов исследования на исходную нелинейную систему. Результаты исследования на основе линеаризации системы могут не удовлетворить требованиям точности полного описания особенностей поведения исследуемой системы, так как известно [8], что линеаризованная система, или, иначе, система уравнений первого приближения [22, гл. Ш-VI], не всегда приводит к устойчивости или неустойчивости исследуемой системы. Устойчивость линеаризованного уравнения исследуется по критерию РауссаГурвица [13, гл. 2, § 9], [12, гл. 3], [25, гл. 13] или Льенара — Шипара [14, гл. 3], а также методами Михайлова [13, гл. 2, § 10], Найквиста [14, гл. 3], Попова [6, 7], асимптотических разложений [15, гл. IV] или построением фазовых портретов.

Второй подход основан на анализе функции Ляпунова. Однако универсального метода её построения к настоящему времени не найдено [26, гл. II, § 2], [27, гл. 4, предисловие]. Известны лишь частные методы: энергетический приём, метод БеллманаЛяпуноваЯкоби, метод подбора функций, задание вспомогательной функции желаемого вида.

Энергетический метод [27, гл. II, § 2] основан на формировании функции полной энергии исследуемого процесса. В общем случае функцию полной энергии выявить не представляется возможным.

Метод разделения переменных [1, § 6.5] основан на эвристическом построении структуры функции Ляпунова: функция Ляпунова берется в виде произведения функций, зависящих от одной из фазовых координат.

Метод Беллмана [27, гл. II, § 2] основан на решении системы уравнений БеллманаЛяпуноваЯкоби, однако решить такое уравнение не представляется возможным, так как неизвестна структура искомой функции.

Так, в связи с объективным обстоятельством, что существующие на сегодняшний день методы исследования устойчивости неприменимы для исследования любых нелинейных динамических систем, продолжает существовать актуальная необходимость в развитии методов исследования динамической устойчивости нелинейных автономных динамических систем.

Эта проблема усиливается тем, что при изменении параметров динамической системы, то есть при изменении её структуры, система может переходить из устойчивых состояний в неустойчивые — нарушается структурная устойчивость. Принято [28] считать структурно устойчивой системой ту, которая остается эквивалентной по своим топологическим свойствам исходной при малых её возмущениях.

Структурная устойчивость и неустойчивость определяется соответственно отсутствием и наличием бифуркаций [29, 30, 31]. Бифуркации определяются путём исследования потенциальной функции системы, однако такую функцию можно построить только для потенциальных систем.

Таким образом, существует необходимость в развитии методов исследования структурной устойчивости нелинейных автономных динамических систем без дифференциации на потенциальные и непотенциальные.

На начальных этапах проектирования сложных динамических систем исходные данные не определены и исследование динамической и структурной устойчивости таких систем необходимо проводить в широком диапазоне исходных данных. Проведение таких исследований вручную не возможно из-за ограничений по времени, накладываемых конструктором. Проблема усложняется большой размерностью нелинейных систем. В связи с этим исследование целесообразно проводить на ПЭВМ с помощью систем символьной математики.

Так, целями работы являются:

1. Теоретическое обоснование необходимых и достаточных условий динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений, системами уравнений с частными производными, интегральными и интегродифференциальными уравнениями, сводимыми к системам обыкновенных дифференциальных уравнений x (t) = X (x (t), к), где х (£) = (xi (t),., xn (t)) — вектор фазовых координат, п — размерность пространства фазовых координат, к = [к,., кт) — вектор параметров системы, т— размерность пространства параметров системы, X (x (t), к) = (Х (x (t), к),., Xn (x (t), к))) — в общем случае нелинейная векторфункция.

2. Теоретическое обоснование необходимых и достаточных условий структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем.

3. Разработка и программирование алгоритмов формирования необходимых и достаточных условий структурной и динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем.

4. Создание группы программ исследования структурной и динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем.

5. Выявление необходимых и достаточных условий динамической и структурной устойчивости конкурирующих систем, движения летательного аппарата, динамики численности вредителя леса, динамики загрязнения фосфатами эфтрофных озёр, движения воды в канале, процесса химического окисления, динамики изменения концентрации биомассы бактерий с учётом их возрастных изменений.

В основу формирования необходимых и достаточных условий динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем в работе принимается известный факт [32]: для основной и сопряжённой систем гамильтоновых уравнений одновременно невозможны асимптотически устойчивые положения равновесия и асимптотически устойчивые предельные циклы в фазовом пространстве, и устойчивость исходной системы однозначно соответствует неустойчивости сопряжённой. Последняя является линейной однородной относительно сопряжённых фазовых координат.

Основой формирования необходимых и достаточных условий структурной устойчивости является зависимость собственных значений сопряжённой системы от управляющих параметров основной системы, а точки изменения знака собственных значений сопряжённой системы есть точки перехода основной системы из устойчивых состояний в неустойчивые.

В [33] раскрывается важность результатов об устойчивости гамильтоновых систем, а в [34] исследуется устойчивость гамильтоновых систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными и периодическими коэффициентами, результаты исследования не перенесены на нелинейные динамические системы.

Особенностями разработанной группы программ являются: — Распределенность. Разные программы должны выполняться на разных ПЭВМ или на разных ядрах одной ПЭВМ, в том числе в облачных инфраструктурах.

— Параллельность. Вычисления в группе должны проводиться по возможности параллельно.

— Открытость. Группа программ должна быть адаптирована к наращиванию функциональности в смысле включения в нее новых вычислительных модулей.

— Интерактивность. Программы должны взаимодействовать с оператором посредством графического интерфейса интерактивно.

Основой распределённости вычислений в группе программ является сетевая прозрачность, реализуемая транспортным ядромоткрытость группы программ достигается путём декларирования программных интерфейсов ядра и расширяемостью нереляционной базы данныхраспараллеливание вычислений основано на системе асинхронных событий.

Группа программ разработана на основе системы символьной математики Maxima с использованием высокоуровневых языков программирования lisp, С++ и библиотек Qt.

Содержание работы изложено в 4 главах.

В первой главе проведен анализ математических моделей автономных систем по типу нелинейности, по свойству потенциальности и наличия изменяющихся параметров. Цель анализа сводится к выявлению типа динамической устойчивости автономных нелинейных систем и необходимости её исследования без применения качественных методов и функции Ляпунова, а также к выявлению необходимости исследования структурной устойчивости без построения потенциальной функции, опираясь на сопряжённую гамильтонову систему. В связи с этим рассмотрены основные определения устойчивости и связи между ними. Из анализа установлена целесообразность формирования необходимых и достаточных условий асимптотической динамической устойчивости также опираясь на сопряжённую гамильтонову систему. При этом критериями асимптотической динамической устойчивости линейных систем дифференциальных уравнений являются критерии Раусса-Гурвица и Льенара-Шипара, а для нелинейных динамических систем формальных универсальных критериев асимптотической устойчивости не предложено. В первой главе поставлена научная задача.

Во второй главе дано теоретическое обоснование методов формирования необходимых и достаточных условий динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем. Их достоверность дополнительно подтверждена сравнением результатов, полученных в фундаментальных работах [9, 35, 36, 18, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43] эвристико-качественными методами, с результатами, полученными разработанными методами.

Доказаны теоремы:

— по распространению необходимых и достаточных условий устойчивости нелинейных динамических систем, на системы, описываемые уравнениями в частных производных. В основу теоремы положена идея перевода уравнения в частных производных из временной области в частотную посредством преобразования Фурье с последующим применением теоремы Планшереля о равенстве норм пространства исходных фазовых координат и пространства частотных координат.

— по распространению необходимых и достаточных условий устойчивости нелинейных динамических систем, на системы, описываемые интегральными и интегро — дифференциальными уравнениями. Основой теоремы является известная возможность преобразования исходного интегрального или интегро — дифференциального уравнения к обыкновенному дифференциальному уравнению применением линейного оператора дифференцирования.

— по обоснованию необходимых и достаточных условий структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем. Сущность теоремы заключается в том, что собственные значения сопряжённой линейной системы как функции от изменяющихся параметров исходной системы в областях структурной устойчивости исходной системы положительно определены и меняют знак в точках бифуркации — при нарушении структурной устойчивости.

В третьей главе созданы и запрограммированы основные алгоритмы группы программ исследования динамической и структурной устойчивости нелинейных автономных динамических систем. Это алгоритмы:

— асинхронного управления ходом вычислений;

— работы системы управления базой данных;

— работы сетевого транспортного ядра;

— формирования необходимых и достаточных условий динамической устойчивости нелинейных автономных динамических систем;

— формирования необходимых и достаточных условий структурной устойчивости нелинейных автономных динамических систем;

— построения интерактивного графического интерфейса оператора.

Спроектирована и реализована группа программ на ПЭВМ исследования динамической и структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем. Разработанная группа программ удовлетворяет требованиям по распараллеливанию вычислений, по распределён-ности программ между ПЭВМ и по интерактивности режима работы.

Дано математическое обоснование выбора средств и инструментов разработки программного обеспечения.

Проведена калибровка группы программ на типовых математических моделях. В результате подтверждена достоверность формирования необходимых и достаточных условий динамической и структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем.

В четвёртой главе изложены результаты вычислительного эксперимента по исследованию динамической и структурной устойчивости различных автономных нелинейных динамических систем в биологии, экологии, физике, химии, а также аэродинамических и конкурирующих систем. Исследования проведены в широком диапазоне исходных данных и в результате сформированы необходимые и достаточные условия динамической и структурной устойчивости этих систем в аналитической форме.

Так, получены необходимые и достаточные условия динамической и структурной устойчивости автономной нелинейной непотенциальной динамической системы конкурирующих систем без допущений относительно поведения её изменяющихся параметров и фазовых переменных, введённых в работе М.В.Мелик-Гайказяна, В. Ф. Тарасенко [44].

Построено бифуркационное множество для движения летательного аппарата в развитие результатов, установленных Р. Гилмором [45] для конкретного самолёта.

Сформированы необходимые и достаточные условия, при которых могут наблюдаться вспышки численности насекомоговредителя, периодически разрушающего леса на больших территориях Северной Америки — листовертки.

Установлены исходные данные и степень необратимого загрязнения фосфатами эвтрофных водоёмов.

Результаты охватывают данные, полученные Дж. Касти [2] при исследовании конкретного водоёма с заданными усреднёнными исходными данными.

Сформированы необходимые и достаточные условия динамической и структурной устойчивости движения воды в канале.

Получены области значений исходных данных и параметров системы, при которых проведение химического эксперимента по окислению СО на кластере палладия безопасно.

Установлены необходимые и достаточные условия динамической устойчивости и бифуркационное множество для процесса развития бактерий с учётом старения клеток.

В заключении излагаются выводы о целесообразности использования на практике разработанных теорем и группы программ исследования динамической и структурной устойчивости нелинейных динамических систем различного назначения.

Результаты работы опубликованы в изданиях, включённых в перечень ведущих российских рецензируемых научных журналов, утверждённый Высшей Аттестационной Комиссией Минобрнауки России: «Труды МАИ» № 40 2010г.- «Нелинейный мир» № 10, т.8, 2010 г.

Разработанная группа программ зарегистрирована в Государственном реестре программ для ЭВМ, свидетельство № 2 011 611 938 от 3 марта 2011 года.

В ходе работы по теме диссертации полученные результаты были доложены на 17-ой Международной научно-технической конференции «Современное телевидение» (ФГУП МКБ «Электрон», Москва, 2009) — 18-ой международной научно-технической конференции «Современное телевидение» (ФГУП МКБ «Электрон», Москва, 2010) — XVI международном симпозиуме «Динамические системы и технологические проблемы механики конструкций и сплошных сред» имени А. Г. Горшкова (МАИ, Яро-полец, 2010) — второй Российской школыконференции с международным участием для молодых специалистов «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (ТвГУ, Тверь, 2010) — 19-ой Международной научно-технической конференции «Современное телевидение и радиоэлектроника» (ФГУП МКБ «Электрон», Москва, 2011).

Научная новизна диссертационной работы состоит в:

1. Развитии теории методов исследования динамической и структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем без использования функции Ляпунова, линеаризации, построения фазовых портретов и независимо от дифференциации систем на потенциальные и непотенциальные.

2. Решении проблемы Айзермана [46] для автономных нелинейных динамических систем.

Практическая значимость заключается в следующем:

1. Созданы алгоритмы и реализованы программы исследования устойчивости автономных нелинейных динамических систем, что составляет вклад в исследовательскую базу нелинейных динамических систем.

2. Получены аналитически необходимые и достаточные условия устойчивости автономных нелинейных динамических систем, существенно развивающие известные эвристические приемы Н. П. Еругина, В. А. Плиса, H.H. Красовского, A.A. Первозванского, М. А. Айзермана и Р. Гилмора.

Исследованы на ПЭВМ системы конкурирующих производителей, движения летательного аппарата, динамики распространения вредителя леса, динамики загрязнения фосфатами эфтрофных озёр, движения воды в канале, процесса химического окисления, динамики изменения концентрации биомассы бактерий с учётом их возрастных изменений. Установлены необходимые и достаточные условия их динамической и структурной устойчивости.

Условия получены в широком диапазоне исходных данных и без допущений, введённых в работах М. В. Мелика — Гайказяна, В. Ф. Тарасенко, Р. Гилмора, Дж. Касти и других авторов.

3. Разработанные программы по существу представляют группу программ исследования устойчивости автономных нелинейных динамических систем и используется в ФГУП «НИИИТ» при проектировании сложных динамических систем и процессов, имеется соответствующий акт о реализации от 15 ноября 2010 г. Группа программ используется в учебном процессе кафедры математического моделирования ГОУ ВПО ТвГУ, выписка из протокола заседания кафедры от 28 октября 2010 г.

Разработанные теоремы и группа программ могут применяться в научно — исследовательских организациях при проектировании и на других этапах создания сложных динамических систем с нелинейными элементами и в вузах при изучении теории и практики проведения исследований динамических систем и процессов.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Теоретическое обоснование необходимых и достаточных условий динамической устойчивости автономных нелинейных динамических систем.

2. Теоретическое обоснование необходимых и достаточных условий структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем.

3. Группа программ исследования динамической и структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем, реализованный на основе системы символьной математики Maxima и высокоуровневых языков программирования lisp и С++.

4. Необходимые и достаточные условия динамической и структурной устойчивости системы конкурирующих производителей, движения летательного аппарата, динамики численности вредителя леса, динамики загрязнения фосфатами эфтрофных озёр, движения воды в канале, процесса химического окисления, динамики изменения концентрации биомассы бактерий с учётом их возрастных изменений.

Теоретическое обоснование и практическая реализация изложенных положений составляют сущность диссертационной работы.

Основные результаты работы опубликованы в изданиях, включённых в перечень ведущих российских рецензируемых научных журналов, утверждённый Высшей Аттестационной Комиссией. В ходе работы по теме диссертации промежуточные результаты докладывались и обсуждались на международных научно — технических конференциях.

Заключение

.

Существует широкий класс нелинейных динамических систем, описываемых автономными нелинейными обыкновенными дифференциальными уравнениями второго, третьего и более высоких порядков, уравнениями с частными производными, интегро — дифференциальными и интегральными уравнениями, сводимыми к обыкновенным дифференциальным.

При этом, для полного прогнозирования динамики системы возникает необходимость разбиения пространства параметров системы на области с различными видами поведения, описания бифуркаций на границах различных областей, выявления устойчивых и неустойчивых состояний равновесия, предельных циклов, близости к бифуркационным границам и опасности бифуркационных процессов для динамической системы.

В связи с тем, что исходные данные могут быть заданы в широком диапазоне, исследование необходимо проводить в широком диапазоне значений начальных условий и широком диапазоне значений изменяющихся параметров.

Таким образом, возникает актуальная задача формирования необходимых и достаточных условий динамической и структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем вида (1.15) без введения функций Ляпунова, без применения качественных методов, в том числе построения фазовых портретов, без линеаризации и без введения потенциальной функции с учетом широких диапазонов изменения начальных условий и значений изменяющихся параметров исследуемой системы.

Сформулированные в работе теоремы составляют обоснование необходимых и достаточных условий динамической и структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений второго, третьего и более высоких порядков, системами уравнений с частными производными, интегральными и интегродифференциальными уравнениями, сводимыми к нелинейным системам обыкновенных дифференциальных уравнений.

Теоремы свободны от введения функции Ляпунова и дифференциа.

Достоверность формируемых необходимых и достаточных условий динамической и структурной устойчивости автономных нелинейных динамических систем дополнительно подтверждена сравнением их с результатами фундаментальных работ Н. П. Еругина, Е. А. Барбашина, H.H. Красовского, В. А. Плиса, A.A. Первозванского и И. В. Бойкова.

Разработана группа программ исследования динамической и структурной устойчивости динамических систем, описываемых нелинейными системами автономных обыкновенных дифференциальных уравнений, системами уравнений с частными производными, интегральными и инте-гро — дифференциальными уравнениями, сводимыми к нелинейным системам обыкновенных дифференциальных уравнений.

Разработанная группа программ удовлетворяет требованиям:

— Распределенность. Разные модули группы программ должны выполняться на разных ПЭВМ или на разных ядрах одной ПЭВМ, в том числе в облачных инфраструктурах.

— Параллельность. Вычисления в группе программ должны проводиться по возможности параллельно.

— Открытость. Группа программ должна быть адаптирована к наращиванию функциональности в смысле включения в нее новых вычислительных модулей.

— Интерактивность. Модули группы программ должны взаимодействовать с оператором посредством графического интерфейса интерактивно.

Группа программ прокалибрована путём исследования типовых нелинейных динамических систем.

На основе применения разработанной группы программ были получены результаты исследования динамических систем в развитие результатов, полученных М.В. МеликГайказяном, В. Ф. Тарасенко, Р. Гилмором, Дж. Касти.

Разработанная группа программ используется в ФГУП «НИИИТ» при проектировании сложных динамических систем и процессов, имеется соответствующий акт о реализации от 15 ноября 2010 г. Группа программ используется в учебном процессе кафедры математического моделирования ГОУ ВПО ТвГУ, выписка из протокола заседания кафедры от 28 октября 2010 г. Группа программ может применяться в научно — исследовательских организациях при проектировании и на других этапах создания сложных динамических систем с нелинейными элементами и вузах при изучении теории и практики исследования динамических си.