Генерация уединенных волн деформации в нелинейных твердых телах

Актуальность работы. Генерация и усиление волны деформации, т. е., рост ее амплитуды по мере распространения, является важной во многих отношениях проблемой. В частности, увеличение амплитуды может привести к достижению предела текучести, что способствует появлению зон пластичности или микротрещин в волноводе. Усиление волны может быть свидетельством таких факторов, как геометрическая неоднородность водновода [43, 52, 62, 89, 107, 77, 274], микроструктура материала [109, 129, 157, 158, 231], движущиеся точечные дефекты [44, 45, 60, 61], температурные эффекты [38, 39, 55, 83, 167, 232, 77, 274]. Особо следует отметить проблему адекватного описания усиления в сейсмологии, в частности, наблюдаемые аномально высокие сейсмические волны деформации [12, 67, 68, 69, 118, 173]. Это усиление может быть обусловлено свойствами почв, их неоднородной структуры, наличия трещин. В последнее время стали исследоваться локализованные длинные сейсмические волны [12, 69]. Важно отметить, что ряд особенностей поведения сейсмических волн и их усиления может быть объяснен в рамках формализма теории упругости с микроструктурой [12, 159]. Усиление волны может быть вызвано влиянием внешней среды посредством нормальных и тангенциальных напряжений на поверхность упругого волновода. В ряде случаев только воздействие посредством нормальных напряжений существенно, тогда имеем контакт с проскальзыванием [15, 18, 66, 176, 180, 187, 189, 195]. Особый интерес вызывает контакт с трением [18, 66, 121, 176, 180, 189, 292], где исследуются обобщения закона Кулона-Амонтона зависимость от скорости проскальзывания и размеров области контакта [18, 66, 153, 180, 272, 292]. Все вышеизложенные проявления усиления волны деформации позволяет использовать данные о характере усиления для исследования прочности твердотельных конструкций, развития методов неразрушающего контроля, определения физических свойств упругих материалов. Актуальность исследования именно локализованных волн связана с их способностью генерироваться из достаточно произвольного возмущения [1, 11, 72, 148. 201], распространяться с сохранением своей формы и сохранять свою локализованную природу при усилении/ослаблении. Знание особенностей эволюции уединенной волны деформации может способствовать решению упомянутых выше проблем.

Очевидно, что существенным фактором, влияющим на усиление волны деформации, является нелинейность. Как правило, нелинейность обусловлена двумя факторами, геометрическим, связанным с нелинейной зависимостью деформаций от смещений, и физическим, проистекающим от необходимости нелинейного обобщения закона Гука. Таким, образом, актуальной проблемой является построение адекватной теории усиления нелинейных волн деформации. Теория волн деформации в твердых телах начала разрабатываться более двухсот лет назад, см. об этом [43, 56, 53, 57, 71, 228]. При этом долгое время развивалась лишь линеаризованная теория, что объяснялась невозможностью определения нелинейных эффектов в приложениях. Впоследствии исследования в области физических свойств материалов [21, 22, 57, 220], акустических сигналов [7, 77, 274] и.т.д. потребовали разработки нелинейных моделей. Недавние достижения в области общей классической нелинейной теории упругости могут быть найдены, в частности, в [43, 57, 122, 208, 209, 220], в то время как результаты, но изучению нелинейных волн деформации представлены [13, 31, 32, 33, 65, 73, 81, 115, 155, 156, 215, 230. 236, 274, 282[. В последнее время наметился прогресс в нелинейном описании волновых процессов в неклассических средах. В частности, волны деформации в микроструктурах раньше рассматривались лишь в линейном приближении [19, 59, 109, 126]. Теперь же получили развитие как нелинейные модели недиссипативных сред с микроструктурой [31, 157, 164, 165], так и модели, учитывающие влияние диссипативных факторов [82, 129, 156, 157, 159]. Аналогичные модели развиваются для моделирования смесей [35] и сейсмических процессов [12, 69]. Несмотря на множество работ в данном направлении, во многих случаях остается открытым вопрос о выборе модели, адекватно описывающей нелинейный процесс, с одной стороны, и подлежащей математическому анализу с другой.

Среди типов волн, имеющих наиболее важное значение в приложениях, представляются нелинейные волны, способные сохранять свою форму при распространении. Среди волн деформации, способных сохранять свою форму при распространении, в нелинейной акустике основное внимание уделялось высокочастотным волнам огибающей [7, 14, 30, 65, 77, 73, 161, 162, 215, 237, 274]. В то же время известно, что баланс между нелинейностью и дисперсией может приводить к появлению длинной колоколообразной волны деформации постоянной формы (уединенной волны или солитона), которая может распространяться и передавать энергию на большие расстояния. Начиная с первого зарегистрированного наблюдения уединенной волны на воде, сделанного Джоном Скоттом Расселлом в 1834, солитоны в жидкостях были соблюдены и произведены много раз. Достижения теории солитонов широко отображены в литературе [1, 4, 11, 24, 37, 51, 72, 100, 145, 146, 148, 152, 156, 229, 191, 225, 235, 301]. Другой тип волны постоянной формы в виде слабой ударной волны, или кинка, возникает обычно вследствие баланса между нелинейностью и диссипацией. Такие волны также исследованы во многих областях физики [1, 51, 72, 100, 124, 277]. Включение в рассмотрение диссипативных или активных факторов приводит к выводу неинтегрируемых модельных уравнений. Поэтому только некоторые решения могут быть найдены аналитически, обычно это решения в виде бегущей волны [41, 51, 200, 239, 282]. Очевидно, что последние существуют лишь при специальных начальных условиях, порой требуются даже дополнительные ограничения на коэффициенты уравнения, или амплитуда и скорость волны могут принимать определенные фиксированные значения. Поэтому многие исследователи пренебрегают точными решениями, предпочитая сугубо численной исследование модельных уравнений. В результате интенсивно разрабатываются численные методы исследования, см., например, [6, 24,16, 90, 91,101, 215, 277, 303]. Применительно к уравнениям для длинных волн результаты по моделированию разностными методами можно найти в [6, 24, 137, 139, 140, 141, 277], в то время как псевдоспектральные методы представлены в работах [101, 134, 135, 277]. Известно, что решения нелинейных уравнений чувствительны как к выбору начальных условий, так и к значениям коэффициентов уравнения. Поэтому велика вероятность, что тот или иной режим может быть пропущен или неверно истолкован при использовании только численного моделирования. Следовательно, нужно искать возможности использования даже частных аналитических решений неинтегрируемых уравнений для разработки численного алгоритма, предсказания поведения решения и подтверждения найденных численных решений.

Исследованию длинных нелинейных волн деформации постоянной формы в волноводах посвящено множество работ, результаты которых представлены в монографиях [7, 31, 32, 45, 52, 65, 73. 81, 108, 155, 164, 211, 282]. Полное описание трехмерного нелинейного континуума является трудной проблемой. Именно поэтому трехмерные задачи обычно редуцируются до одномерного (1-D) вида, чтобы иметь возможность объяснения качественно новых аналитических решений. Конечно цилиндрический упругий стержень представляется подходящим реальным одномерным волноводом. Нелинейность, вызванная конечностью деформаций и упругими свойствами материала, и дис.

Персия, следующая из конечного поперечного размера стержня, могут сбалансировать друг друга, что приводит к распространению колоколообразной уединенной волны деформации [32, 34, 58, 73, 74, 155, 211, 282]. В соответствии с теоретическими предсказаниями, было проведено успешное экспериментальное возбуждение уединенной волны в стержне из полистирола со свободной боковой поверхностью, используя голографическую интерферометрию [26, 27, 282], друние эксаериментальные данные можно найти в [82, 181]. Следовательно, было доказано, что нелинейные волны деформации постоянной формы, действительно существуют. Простейшим двумерным волноводом является упругая пластина. Нелинейные волны деформации в пластине изучались, в частности, в работах [33, 42, 84, 93, 99, 143, 144, 215, 274, 196, 282]. В основном работы по исследованию длинных нелинейных волн деформации касались вопросов генерации и распространения локализованных волн в волноводах, как правило, без учета диссипативных факторов. Наличие диссипации или подкачки энергии разрушает баланс между нелинейностью и дисперсией, и колоколообразная нелинейная волна деформации может затухать или усиливаться. Аналогичным образом, наличие дисперсии приводит к искажению кинка.

Для неклассических материалов рассмотрение, в основном, ограничивалось одномерной постановкой задачи и обычно в среде, а не в волноводах [31, 73, 129, 157]. существующие общие нелинейные теории содержат огромное количество неизвестных параметров, что делает их непригодными для практического применения. Недавние результаты по теории микроструктур можно найти, например, в [5, 157, 109, 59, 71, 231]. Большинство исследований относятся к линейной теории упругости, однако, есть также данные по нелинейной теории [5, 25, 31, 54, 82, 157, 109]. Волны деформации исследовались, более всего, в линейном приближении [109, 59, 71, 231], по нелинейным волнам в недиссипативной среде с микроструктурой следует отметить.

5, 31, 54, 157, 162, 165, 87, 88]. Волны в упругих волноводах с микроструктурой не рассматривались широко. Кроме того, значения параметров, характеризующих микроструктуру, известны довольно скудно [88, 82].

Решения задач о генерации и усилении нелинейных волн деформации требуют разработки нового метода вывода модельных уравнений. Ранее при выводе использовались упрощающие гипотезы, следующие из физических предположений о характере деформации. Такие гипотезы являются, естественно, приближенными, они не учитывают граничных условий на боковой поверхности волновода. Порождаемые таким образом даже малые ошибки не могут существенно повлиять на поведение решения линеаризованной задачи, однако они приводят к существенным искажениям при решении нелинйеной задачи.

Важным моментом является то, что применимость нелинейных моделей для материалов обусловлена знанием значений параметров, характеризующих эти модели. В частности, для изотропных упругих сред это значения модулей Мурнагана высоких порядков, а для феноменологических моделей сред с микроструктуройзначения параметров, характеризующих свойства микроструктуры. До последнего времени они были известны только для некоторых материалов.

Исходя из приведенных выше соображений, был поставлены следующие цели работы:

— Разработка метода получения адекватных модельных уравнений для нелинейных волн деформации с учетом граничных условия на поверхности волновода.

— Использование метода для вывода модельных уравнений для нелинейных волн деформации в системах с внутренними источниками усиления/затухания, при наличии геометрической неоднородности, микроструктуры, а также с учетом воздействия внешней среды.

— Исследование генерации и усиления/гослабления нелинейных волн деформации с учетом воздействия дисперсионных, активных/ диссипативных факторов, а также диффракционной расходимости.

— Разработка метода аналитико-численного исследования неинтегрируемых нелинейных уравнений, позволяющая описать нестационарные волновые процессы.

— Исследование применимости полученных аналитических результатов для оценки свойств упругих классических и неклассических материалов, определения параметров, характеризующих их свойства посредством оценки поведения волны деформации и возможного измерения ее амплитуды и скорости.

Диссертация состоит из шести глав. В первой главе строится теория вывода модельных уравнений для нелинейных волн деформации. Рассмотрение ведется для изотропных материалов, описываемых моделью Мурнагана. Вначале в разделе 1.1 вводятся основные понятия и поясняются источники нелинейности. Затем приводится вывод одномерного уравнении для продольных волн деформации в нелинейно-упругом цилиндрическом стержне. После постановки задачи в разделе 1.2.1, в разделе 1.2.2 следует обоснование и объяснение процедуры, позволяющей редуцировать исходную трехмерную постановку задачи к одномерному модельному уравнению для продольных волн деформации с учетом граничных условий на боковой поверхности волновода. В результате в разделе 1.3 выводятся соотношения для компонент вектора смещения с учетом граничных условий на поверхности стержня, а результирующее модельное уравнение оказывается известным уравнением с двумя дисперсиями (УДД), полученным ранее другим способом на основании физических гипотез плоских сечений и Лява [32, 92, 282]. Показывается, что отличие в коэффициентах при дисперсионных слагаемых оказывают существенное влияние на параметры точного решения УДД в виде локализованной колоколоообразной волны, а также на генерацию уединенных волн деформации из начального импульса произвольной формы. В то же время, отклонение от плоских сечений оказывается очень малым, что позволяет применять построенную теорию для объяснения экспериментальных данных [27] по наблюдению солитона продольной деформации в стержне. Эволюция произвольного начального импульса исследуется численно, показано, что точное решение в виде бегущей волны позволяет предсказать важнейшие свойства решения, в частности, зависимость локализации волны от знака коэффициента при нелинейном слагаемом УДД. Однако некоторые экспериментальные данные недостаточно хорошо описываются в рамках модели УДД, поэтому для уточнения модели в разделе 1.4 выводится новое уравнение для продольных волн с учетом кубической нелинейности. Вывод модельного уравнения в разделе 1.4.1 осуществляется при помощи разработанного ранее в разделе 1.2.2 алгоритма. В разделе 1.4.2 найдено новое точное решение в виде бегущей уединенной волны, проводится сравнение с аналогичным решением УДД. Раздел 1.4.3 посвящен численному исследованию формирования локализованных волн в рамках выведенного уравнения, устанавливаются свойства решения, позволяющие более точно описывать экспериментальные данные. Наконец, раздел 1.5 посвящен исследованию отражения уединенной волны от торца стержня. Строится асимптотическое решение задачи позволяющее описать поведение бегущей уединеной волны на торце в зависимости от условий закрепления торца стержня. Далее получено численное решение задачи в рамках уравнения УДД, показано хорошее совпадение с предсказаниями, сделанными на основании частного асимптотического решения. Отмечено сходство аналитических решений с экспериментами по наблюдению отражения от торца стержня из полистирола.

Во второй главе исследуется усиление волны деформации в стрежне, происходящее без притока энергии в волновод извне. В разделе 2.1 рассматривается усиление уединенной продольной волны деформации в сужающемся стержне. Процедура из раздела 1.2.2 используется в разделе 2.1.1 для вывода модельного уравнения, модифицирующего ранее известное. В разделе 2.1.2 строится аимптотическое решение, позволяющее получить аналитическую зависимость амплитуды и скорости волны от характера сужения (расширения) стержня. Анализ полученного соотношения позволяет определить основные особенности усиления, связанные с одновременным сужением волны и ее стремлением к асимметричному виду. Проведенное сравнение с экспериментальными данными показывает хорошее совпадение с предсказаниями теории.

Затем, в разделе 2.2 рассматривается влияние внешней упругой среды на эволюцию уединенной волны деформации в стержне. Распространяющаяся в данной системе волна деформации является объемной для стержня и поверхностной для среды. Рассматривается контект с проскальзванием, г. е, только по нормальным напряжениям, а внешняя среда полагается линейно-упругой. В разделе 2.2.1 приводится постановка задачи. Вначале, в разделе 2.2.2 строится решение для окружающей среды, затем полученные результаты используются в разделах 2.2.3, 2.2.4 для вывода уравнения для продольных волн деформации в стержне, используя методику Раздела 1.2. Найдены три режима распространения волн, зависящие от соотношений между характерными скоростями линейных волн деформаций в стержне и в окружающей среде. Это позволяет определить в разделе 2.2.5 пары материалов стержень-среда, в которых возможно распространение уединенной волны постоянной формы. Поскольку амплитуда и скорость возможной волны при наличии среды отличаются от случая стержня со свободной поверхностью, усиление уединенной волны деформации может быть достигнуто, если только часть стержня контактирует с внешней средой. Используя полученные аналитические результаты в разделе 2.2.6 проведено численное исследование этой ситуации. Показано, что в полном согласии с теорией волна может усиливаться или ослабляться при переходе из зоны со свободной поверхностью в зону, контактирующую с внешней средой. Также возможны случаи делокализации уединенной волны или, наоборот, локализации волнового пакета. Поскольку эти процессы хорошо описываются явными аналитическими выражениями, т. е., зависимостями амплитуды и скорости от параметров материалов стержня и внешней среды, в разделах 2.2.7 и 2.2.8 предложено приложение решения для оценки модулей Мурнагана и коэффициента поверхностного натяжения посредством оценок параметров уединенной волны деформации.

Наконец, раздел 2.3 посвящен исследованию влияния микроструктуры на эволюцию нелинейной волны деформации в стержне со свободной боковой поверхностью. Вначале, в разделе 2.3.1 описаны две известные модели псевдоконтинуума Коссера и континуума Леру («вмороженной микроструктуры»). Затем, в разделе 2.3.2 выводится модельное уравнение для первой модели, а для второй модели уравнение получаено в разделе 2.3.3. В обоих случаях оно имеет вид УДД, однако коэффициенты при дисперсионных слагаемых теперь зависят от параметров микроструктуры. Оказывается, что влияние двух микроструктур на поведение уединенной волны диаметрально противоположное. Так, континуум Леру способствует усилению и сужению уединенной волны деформации, а псевдоконтинуум Коссера — ее ослаблению и расширению. Математическое подобие рассматриваемой ранее задаче о воздействии внешней среды позволяет использовать численные результаты раздела 2.2.6 для стержня, часть которого содержит микроструктуру. Предложено возможное применение найденных решений, как и в разделе 2.2, заключается в возможности оценки параметров микроструктуры и распознавании того или иного вида микроструктуры.

В третьей главе рассматривается влияние внешней среды на усиление и селекцию уединенной волны деформации в стержне. В разделах 3.1 и 3.2 используется феноменологическая модель взаимодействия с активной/диссипативной средой по нормальным напряжениям, применявшаяся ранее в сейсмологии и для моделирования воздействия замерзших грунтов. Раздел 3.1 посвящен рассмотрению эволюции колоколообразной волны в стержне. Новое модельное уравнение для волн деформации выводится в разделе 3.1.2 при помощи разработанного метода, который позволяет выводить уравнения и при неоднородных граничных условиях на поверхности волновода. В разделе 3.1.3 исследуется новое точное решение в виде уединенной волны. Далее в разделе 3.1.4 построено асимптотическое решение, описывающее влияние актив-ных/диссипативных возмущений на уединенную волну УДД, выведено уравнение для изменения скорости и амплитуды волны, позволяющее описать усиление или ослабление волны до некоторого уровня, предписанного параметрами задачи. Этот конечный уровень определяется не начальным условием, а параметрами задачи. Это позволяет говорить о селекции уединенной волны, поскольку найденное асимптотическое решение показывает, что все начальные уединенные волны могут стремиться к уединенной волне с одной и той же амплитудой и скоростью. В разделе 3.2.2 выведено другое новое модельное уравнение, описывающее эволюцию слабых ударных волн при воздействии внешней активной/диссипативной среды. Для этого уравнения в разделе 3.2.3 приводится ряд точных решений (см. главу 6 о получении решения), в том числе, периодическое решение, имеющее своим пределом уединенной волны волну в форме кинка. Далее, в разделе 3.2.4 исследуется слабо-диссипативный предел выведенного уравнения, численное исследование указывает на отсутствие квазистационарного профиля волны нагрузки/разгрузки (кинка) в этом случае. Напротив, слабо-диснерсионный предел, исследованный в разделе 3.2.5, демонстрирует такую возможность, причем даже квазистационарное асимптотическое решение хорошо описывает форму профиля постоянной формы, которая возникает при численном исследовании эволюции начального профиля достаточно произвольного вида. Раздел.

3.3 посвящен исследованию влияния активной/диссипативной среды посредством касательных и нормальных напряжений. В разделе 3.3.2 показано, что и при таких граничных условиях разработанный в первой главе метод позволяет получить модельное уравнение для описания эволюции нелинейных волн деформации в стержне. В дальнейшем получены два вида аисмптотических решений, с учетом введения медленного времени, раздел 3.3.3, и медленной координаты, раздел 3.3.4, описывающих селекцию уединенной колоколооб-разной волны. Установлено, что они описывают эволюцию начальной волны к одной и той же селектированной уединенной волне.

В четвертой главе исследуются объемные активные/диссипативные факторы, оказывающие влияние на усиление нелинейной волны деформации в среде. Раздел 4.1 посвящен моделированию нелинейных волн деформации в среде с с активной/диссипативной микроструктурой. В разделе 4.1.1 предложена феноменологическая модель такой среды и выведено модельное нелинейное уравнение для одномерных волн деформации. Раздел 4.1.2 посвящен исследованию возможности существования ко л околообразных уединенных волн. Найдены соотношения между параметрами микроструктуры, при которых может распространяться уединенная волна постоянной формы или происходить ее селекция. Получено асимптотическое решение, описывающее селекцию уединенной волны. В разделе 4.1.3 найдены условия, при которых возможно распространение кинка (волны нагрузки/разгрузки), построено асимптотическое решение, описывающее отклонение от формы классического кинка уравнения Бюргерса из-за влияния слабой дисперсии или диссипации высокого порядка. Раздел 4.2 посвящен анализу усиления и селекции уединенной сейсмической волны на основании разработанной ранее модели. Полученное решение позволяет объяснить процесс передачи энергии сейсмической волне от среды, что вызывает рост амплитуды сейсмической волны. Так, построенное в разделе 4.2.2 асимптотическое решение, как и для ранее решенных задач, позволяет описать процесс усиления и селекции локализованной сейсмической волны. Проведенное в разделе 4.2.3 численное исследование позволило подтвердить правильность предсказаний аисмптотического решения за пределами его формальной применимости, в частности, при распаде начального импульса произвольного вида и при учете взаимодействия между волнами. Важно отметить, что получено хорошее количественное согласие в значениях амплитуды селектированной волны. Раздел 4.3 посвящен применению разработанного алгоритма исследования усиления нелинейных волн деформаций к модельным уравнениям, описывающим влияние движущихся точечных дефектов, индуцированных внешним потоком энергии. Рассматриваются как волны в среде, раздел 4.3.2, так и волны в пластине, раздел 4.3.3. Установлено подобие модельных уравнений исследованным в Главе 3, что позволяет применить полученные в них решения для объяснения связи между усилением уединенной волны и характеристиками движущихся дефектов.

Пятая глава посвящена исследованию нелинейных волн деформации в двумерной постановке. В разделе 5.1 исследуется влияние внешней среды на локализацию и усиление волны деформации в пластине. После постановки задачи в разделе 5.1.1, в разделе 5.1.2 выводятся различные варианты модельных нелинейных уравнений. Раздел 5.1.3 посвящен исследованию плоских уединенных волн, локализованных только в направлении своего распространения. Получена связь между параметрами внешней среды и знаком амплитуды уединенной волны, найдены области допустимых значений скоростей волны. В разделе 5.1.4 рассматриваются волны, локализованные в плоскости или двумерные локализованные волны. Найдены области значений параметров внешней среды, при которых изначально плоская волна вследствие поперечной модуляции превращается в цепочку двумерных локализованных волн, при этом обнаружено увеличение амплитуды двумерных волн по сравнению с плоской, т. е., усиление волны деформации. В разделе 5.1.5 проводится численное исследование усиления начального двумерного локализованного импульса деформации в пластине. Показано, что степень усиления зависит от формы и гладкости начальною возмущения. Другой механизм усиления обнаружен в разделе 5.1.6. Он связан с резонансным взаимодействием плоских полубесконечных уединенных волн или волн с искривленными фронтами. Численное исследование позволило установить связь между усилением двумерной локализованной волны, полученной в результате взаимодействия, и высотой начальных волн. Кроме того, существенную роль в усилении двумерной локализованной волны играет кривизна фронтов начальных волн. Раздел 5.2 посвящен исследованию влияния кубической нелинейности на эволюцию продольных волн в пластине. Постановка задачи, раздел 5.2.1, и вывод модельных уравнений, раздел 5.2.2, осуществляется по использова. нной в предыдущих главах методике. В разделе 5.2.3 рассматривается точное решение в виде уединенной волны и проводится сравнение с моделью, основанной на учете только квадратичной нелинйености. Показано, что изменения, вызванные кубической нелинейностью в решении для пластины, отличаются от аналогичных изменений в стержне, полученных в главе 1. Влияние кубической нелинейности на устойчивость плоской уединенной волны, рассмотрено в разделе 5.2.4. Оказалось, что неустойчивость, приводящая к поперечной модуляции плоской волны, обеспечивается взаимным влиянием кубической нелинейности и смешанной дисперсии. Наконец, в разделе 5.3 исследуется селекция и усиление двумерных локализованных волн в среде, связанные с влиянием активной/диссипативной микроструктуры. В разделе 5.3.1 обобщены на двумерный уравнения, выведенные в разделе 4.1 в одномерной постановке. Асимптотическое решение, найденной в разделе 5.3.2, позволило определить условия усиления и селекции двумерной локализованной волны деформации.

Шестая глава посвящена математическим аспектам задач, решенных в работе. Основное внимание уделено разработке комбинированного метода анализа модельных неинтегрируемых нелинейных уравнений, основанного на получении и использовании частных точных и асимптотических решений для нужд численного моделирования нестационарных волновых процессов. Раздел 6.1 посвящен нахождению некоторых точных решений уравнений, полученных ранее в работе. Методика поиска решений изложена в Разделе 6.1.1. Затем, в разделе 6.1.2 получено точное периодическое решение для модельного уравнений из Раздела 3.1, а в разделе 6.1.3- из раздела 3.2. Рассматриваемые в разделах 3.1 и 3.2 решения являются частными случаями периодических решений. В разделе 6.1.4 получен ряд решений для связанных модуляционных уравнений Шредингера и уравнения Гинзбурга-Ландау. Отличительной особенностью последних решений является их сложная структура, отличная от обычного точного решения в виде бегущей волны. Все полученные точные решения являются частными, требующими специальных начальных условий. Однако, нами показано в разделе 6.2, что многие из них точно предсказывают эволюцию начального возмущения произвольного вида, причем не только качественно, но и количественно. Аналогичный вывод можно сделать относительно применимости частных асимптотических решений, см. раздел 6.3. В качестве примера рассматривается уравнение, являющееся аналогом уравнений из раздела 3.1, что позволяет использовать численные решения из раздела 6.3.2 для объяснения селекции волны деформации в разделе 3.1. В разделе 6.4 показано, что не только асимптотические колоколообразные решения, но и решения кинкового типа также описывают важнейшие особенности численных решений при произвольном начальном условии. Наконец, в разделе 6.5 помещен краткий обзор по численным методам, использованным в настоящей работе.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

— Новая нелинейная теория генерации уединенных волн продольной деформации в стержне и в пластине с учетом кубической нелинейности.

— Новая нелинейная теория описания роста и затухания уединенных волн деформации в стержне с микроструктурой, и в упругих волноводах (стержень и пластина), взаимодействующих с внешней упругой средой, а также в стержне, с изменяющемся поперечным сечением.

— Асимптотическая и численная нелинейная теория отражения уединенной волны от торца полу-бесконечного стержня.

— Новая теория усиления и селекции нелинейных волн деформации в стержне, воздействующем с внешней активной/диссипативной средой, в сейсмической среде и в среде с микроструктурой.

— Новая теория локализации и усиления двумерных волн деформации в пластине и в среде с микроструктурой.

— Новая процедура аналитико-численного исследования неинтегрируемых нелинейных уравнений, основанная на использовании частных аналитических решений для нужд численного моделирования нестационарных волновых процессов.

Практическая значимость работы заключается во-первых, в применении найденных решений для расчета прочности конструкций, например, стержневых, подвергающихся импульсному ударному воздействию. Предсказание особеннностей усиления локализованной волны в зависимости от свойств почвы имеет важное значение в сейсмологии. Во-вторых, возможно применение полученных аналитических результатов для оценки и измерения параметров (например, модулей упругости высоких порядков) используемых моделей упругих классических и неклассических материалов (материалов с микроструктурой, почв и др.). В-третьих, многие задачи механики деформируемого твердого тела в ограниченных областях могут быть успешно решены при помощи развитого в работе метода вывода модельных нелинейных уравнений. Наконец, процедура аналитико-численного исследования нестационарных нелинейных волновых процессов может быть использована для широкого класса задач математической и теоретической физики, связанных с нелинейными волновыми процессами.

Достоверность полученных результатов основана на на строгом использовании математического аппарата, соответствии аналитических и численных решений, физической обоснованности полученных решений.

Положения, выносимые на защиту.

• Новый метод вывода модельных уравнений для нелинейных волн деформации с учетом граничных условия на поверхности волновода.

• Новые модельные нелинейные уравнения для волн продольной деформации в стержне и в пластине с учетом кубической нелинейности. Новая теория генерации уединенных волн деформации на основании решений этих уравнений.

• Теория отражения уединенной волны от торца полу-бесконечного стержня.

• Теоретическое исследование влияния геометрической неоднородности волновода, недиссипативной микроструктуры и внешней упругой среды на генерацию и усиление уединенных волн деформации.

• Теория усиления и селекции нелинейных волн деформации в стержне, воздействующем с внешней активной/диссипативной средой.

• Исследование локализации и усиления нелинейных волн деформации для моделей сейсмической среды и среды с активной/диссипативной м и кростру ктурой.

• Теория локализации двумерных нелинейных волн деформации.

• Приложение полученных результатов для оценки значений упругих модулей высоких порядков, параметров микроструктуры, поверхностного натяжения на боковой поверхности волновода, свойств сейсмической среды.

• Разработка процедуры аналитико-численного исследования неинтегри-руемых нелинейных уравнений, позволяющая описать нестационарные волновые процессы. Построение ряда новых точных решений.

• Исследование применимости полученных аналитических результатов для оценки свойств упругих классических и неклассических материалов, определения параметров, характеризующих их свойства посредством оценки поведения волны деформации и возможного измерения ее амплитуды и скорости.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на многих международных конференциях, в частности, на международной конференции «FPU+50: Nonlinear waves 50 years after Fermi-Pasta-Ulani» (PyaH, Франция, 2005), ISASUT Intensive Seminar on Non-Linear Waves, Generalized Continua and Complex Structures (Typmi, Италия, 2005), RIAM Symposium No. 16ME-S1 «Physics and Mathematical Structures of Nonlinear Waves» (Фукуока, Япония, 2004), XII Winter School «Nonlinear Waves-2004″ (Нижний Новгород, 2004), GAMM 2003 (Падуя, Италия, 2003), Международных конференциях 'Advanced Problems in Mechanics» (Санкт-Петербург, 2002;2006), Euromech 436: Nonlinear Waves in Microstructured Solids (Таллинн, Эстония, 2002), International Workshop on Nonlinear Lattice Structure and Dynamics (Дрезден, Германия, 2001), Fourth International Seminar on «Geometry, Continua and Microstructures» (Турин, Италия, 2000), Международной конференции «Нелинейные волны в твердых телах» (Гонконг, Китай, 2000), Международных конференциях «Дни Диф-фракции» (Санкт — Петербург, 2000;2006), Четвертого международного Кон.

— 19 гресса по индустриальной и прикладной математике (Эдинбург, Великобритания, 1999), Конференции по явлениям на поверхности раздела (Мадрид, Испания, 1998), Euromech Colloquium 378 «Nonlocal Aspects in Solid Mechanics» (Мулуз, Франция 1998), 10-я Зимней школе no механике сплошных сред (Пермь 1995) — научных сессиях МИФИ в 2005 и в 2006 годах. Кроме того, результаты докладывались на семинарах ФТИ им. А. Ф. Иоффе РАН, Института Проблем Машиноведения РАН, СПб отделения Математического института им. В. А. Стеклова РАН, Университетов им. Пьера и Марии Кюри в Париже, Руана, Кашана (Франция), Турина (Италия), Эдинбурга и Глазго (Великобритания), Мадрида (Испания), Киото, Фукуоки (Япония).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 36 печатных работ, из них 1 монография (издательство World Scientific, 2003), 2 главы в коллективных монографиях (Birkhauser, 2002; Наука, 1997), 23 статьи в реферируемых международных журналах, 8 статей в сборниках трудов международных конференций.

Вклад автора. Работы [242, 243, 244, 245, 246, 247, 248[ выполнены без соавторов. Работы [28, 79, 80, 94, 198, 240, 241, 249, 284] выполнены на паритетной основе. В работах [250]-[270] автору принадлежит основной вклад в постановку задач и получение конечных результатов.

Заключение

.

Таким образом, в работе получены следующие основные результаты:

• Разработан новый метод вывода модельных уравнений для нелинейных волн деформации с учетом граничных условия на поверхности волновода.

• При помощи этого метода выведен ряд новых модельных нелинейных уравнений для волн деформации в стержне и в пластине.

• Для решения выведенных уравнений разработана процедуры аналитико-численного исследования неинтегрируемых нелинейных уравнений, позволяющая описать нестационарные волновые процессы.

• Найденные при помощи этой процедуры решения позволили описать условия и особенности генерации, усиления и селекции уединенных волн деформации.

— при учете кубической нелинейности в геометрически однородных стержне и пластине;

— вследствие влияния геометрической неоднородности стержня, недис-сипативной микроструктуры и внешней упругой среды;

— при воздействии внешней активной/диссипативной среды на боковую поверхность стержня;