И СТАБИЛИЗАЦИИ ДВИЖЕНИЯ ФАЗОВЫХ СИСТЕМ.
Работа посвящена исследованию устойчивости и стабилизации движения фазовых систем, описываемых дифференциальными уравнениями, правые части которых периодичны по угловой координате. В последние годы фазовые системы получили широкое распространение в различных областях науки и техники: механике, радиоэлектронике, энергетике, связи /I — 6/. К рассмотрению фазовых систем приводят задачи исследования динамики механических вибраторов, систем фазовой автоподстройки частоты, электроэнергетических систем, фазовых систем радионавигации и др.
В общем случае фазовые системы описываются нелинейными дифференциальными уравнениями вида /7/ Ф^Ч^-э^и (С «4,., ПО,.
А ГУ" av+i,-." txV) где переменные Cf±9. 9cf>rYL являются угловыми координатами, а функции 9 Х.^ периодичны относительно этих координат (без ограничения общности предполагают, что период их одинаков и равен Фазовое пространство системы (I) является цилиндрическим пространством Zn ((p±9″ '9 tfV+d. ЯчО * котоРое можно рассматривать как топологическое произведениепг-мерного тора на евклидово пространство переменных Xmtdf'> Изображающие точки с координатами (Cfr+zk^Г,• •gfc^j• где произвольные целые числа, соответствуют одному и тому же физическому состоянию рассматриваемой системы. Из периодичности по угловым координатам правых частей дифференциальных.
I) уравнений (I) следует, что стационарное множество фазовых систем либо пусто, либо бесконечно (причем состояния равновесия могут быть как устойчивыми, так и неустойчивыми по Ляпунову).
Исследованию динамики фазовых систем посвящены работы Ф. Три-коми, Л. Америо, Г. Зейферта, К. Бёма, В. Хейза, Л. Н. Белгостиной /8/, В. А. Табуевой /9/, Ю. Н. Бакаева, А. А. Гужа /10 — 12/, Г. А. Леонова /13/ и многих других ученых.
Наиболее строгим и математически обоснованным методом исследования устойчивости нелинейных систем является прямой метод Ляпунова /14/. Этот метод был в дальнейшем обобщен и развит в рабо—тах А. И. Лурье /15/, И. Г. Малкина /16/, А. М. Летова /17/, Е.А.Барба-шина, Н. Н. Красовского /18 — 21/, Н. Г. Четаева /22/, В. И. Зубова /23/, В. А. Плисса /24/, М. А. Айзермана, Ф. Р. Гантмахера /25/, Ж. Ла-Салля, С. Лефшеца /26/, В. М. Матросова /27/, В. М. Попова /28, 29/, Р. Калмана /30/, В. А. Якубовича /13, 31 — 33/, Е. С. Пятницкого /34/, К. П. Персидского /35/, С. А. Айсагалиева /36/, Б. Ж. Майгарина /37/ и других авторов. Обзоры работ, посвященных исследованию устойчивости нелинейных систем автоматического управления, приведены в /38 — 43/.
Метод функций Ляпунова непосредственно можно применить для анализа устойчивости «в малом» и «в большом» состояний равновесия систем с цилиндрическим фазовым пространством. Для исследования устойчивости «в целом» потребовалась разработка специальной теории в рамках второго метода Ляпунова, которая учитывает специфику фазовых систем, обусловленной наличием периодических нелинейнос-тей по угловым координатам. Так как стационарное множество Л. фазовых систем может содержать как устойчивые, так и неустойчивые в смысле Ляпунова положения равновесия, вместо понятия устойчивости «в целом» вводится определение глобальной асимптотической устойчивости /13/.
Определение. Фазовая система (I) называется глобально асимптотически устойчивой, если ее решение при любых начальных условиях стремится при t+ оо к некоторому состоянию равновесия из Л. .
Как видно из определения, глобальная асимптотическая устойчивость более широкое понятие чем устойчивость «в целом», поскольку здесь не требуется, чтобы положения равновесия системы (I) были устойчивыми по Ляпунову (устойчивыми «в малом»).
Так как физические состояния фазовых систем определяются с точностью до аддитивной постоянной вида SfeSt С fe, — произвольное целое число) по угловым координатам, критерий глобальной асимптотической устойчивости должен обладать свойством периодичности относительно этих координат. Однако в большинстве практических задач построение непрерывных, периодических по угловым координатам функций Ляпунова оказалась трудной проблемой. А непериодические функции в цилиндрическом фазовом пространстве представляют собой многозначные функции, т. е. они не могут быть использованы для глобального исследования систем с угловыми координатами в рамках имеющихся методов ляпуновского типа.
Существенный вклад в развитие второго метода Ляпунова для систем с цилиндрическим фазовым пространством внесли работы Ю. Н. Бакаева, А. А. Гужа /10 — 12/. В статье Ю. Н. Бакаева /10/ изложены основы теории разрывных функций Ляпунова применительно к фазовым системам. Рассматривается динамическая система с одной угловой координатой, описываемая дифференциальными уравнениями вида где <р±- - угловая координата, ОС = (сс^., эс^)*- вектор евклидовых (неугловых) координат размерности [(*1-±)*0″ определяющие состояние системыр — скалярная постояннаяС, % - постоянные (и,-1)-мерные векторыД — постоянная Z ((n.-d.)3 -матрицанепрерывная-периодическая функция удовлетворяет условию Липшица и обращается в нуль только в двух точках Ср^-0 и Cp4 = (pd0 на интервале С О"Я31″).
Производя развертку цилиндрического фазового пространства ос *) по угловой координате (f±, можно перейти к евклидо-вому пространству R*1 «)• Из периодичности Srследует, что эта функция принимает нулевые значения в точках, f±~ tfifc ~ ^ю4» & k ЗС для ЛК) бого feeZ (^ - множество целых чисел). При выполнении условия г)+0 стационарное множество Л системы (2) состоит из бесконечного счетного множества точек фазового пространства К^бр* которое можно рассматривать как объединение двух непересекающихся подмножеств и А^: Ъ^О (VkeZ)}, A^U^^I, О)} .
Можно показать, что если состояния равновесия из подмножества А^ устойчивы по Ляпунову, то точки из Ад неустойчивы (и наоборот). Для определенности предполагается, что подмножество A.
Через точки неустойчивого равновесия проводятся гиперплоскости {С^л., 3^) > d } «тем самым евклидово фазовое пространство ^•^(ср^Х*) разбивается на бесконечное счетное множество полос { Х) | tf^fc-d. < (fa <fe * Хб-Р?» 4^. (Vfct Z). Все эти гиперплоскости П^ отображаются в одну гиперплоскость Л в цилиндрическом фазовом пространстве. Если траектория системы, начинающаяся с некоторой точки на П через определенное время снова попадает на эту поверхность, то говорят, что система (2) осуществляет точечное преобразование гиперплоскости П.
В евклидовом пространстве для полосы Q0, заключенной между гиперплоскостями и И0 > строится непрерывная функция Ляпунова. Если продолжить ее периодически в соседние полосы, то в пространстве R^C^^X) будет построена функция, которая в общем случае будет иметь разрывы на граничных гиперплоскостях П^ Z). Оказывается, такая функция может быть использована для глобального исследования фазовых систем вида (2). Здесь мы приведем только формулировку теоремы о разрывных функциях Ляпунова, доказанной, а работе /10/.
Теорема Бакаева. Пусть в полосе бг0 построена функция удовлетворяющая следующим условиям: а) Y (cpi><0 является бесконечно большой по неугловым координатам, т. е. для любого числа L>0 существует число В. > О такое, что при 11Х1|>^1 имеет место неравенство б) -> ОС) — положительно определенная функция в полосе.
0 — в) производная по времени V^^OC), вычисленная в силу системы (2), является отрицательно полуопределенной функцией в полосе бг0, причем уравнение V^^X) — О не определяет положительных полутраекторий в ?0, кроме начала координат.
Кроме того, предположим, что существует функция *СГ (х) (не зависящая от угловой координаты), такая, что г) 17(00 — положительно определенная функцияд) приращение Т этой функции при точечном преобразовании поверхности Л удовлетворяет условию ДТГ<�°С< о (ос, — cons*t.
Тогда система (2) глобально асимптотически устойчива.
В статье /12/ Ю. Н. Бакаев приводит частную формулировку этой теоремы, где условия (г), (д) заменены неравенством (здесь aY — превращение функции Ляпунова V^tf^sc) , — скачок значения функции на границе при точечном преобразовании поверхности разрыва). В обоих вариантах теоремы для вычисления приращений функции необходимо знать точные или хотя бы приближенные решения системы (2) в пределах полосы Gr0. Это существенно ограничивает класс систем, для исследования устойчивости которых можно применить теорему Бакаева, т. к. не всегда удается получить оценку приращений функции вдоль траекторий системы.
Если в полосе G-0 удается построить функцию Ляпунова Vftjki, при периодическом продолжении которой в соседние полосы получается функция, непрерывная во всем фазовом пространстве В^СЦ^Х) > то Для глобальной асимптотической устойчивости системы (2) достаточно выполнения условий (а) — (в) теоремы Бакаева, т. е. в этом случае не требуется оценка приращений функции. В работе Ю. Н. Бакаева и А.А.Г^жа /II/ приводится процедура построения непрерывной, периодической] по угловой координате функций Ляпунова для глобального исследования фазовых систем.
Для системы (2) предлагается функция Ляпунова, заданная в.
Ау евклидовом пространстве в следующем виде (в /II/ она записана для конкретной фазовой системы третьего порядка):
Та.
V (cfA,.
V при (4) tVfteZ). у" ПРИ fcfcltscp.^.
Если выбрать постоянные величины V, v" таким образом, чтобы выполнялось условие о «Рю ftcf&tо.
ТО V (cfi, X) будет непрерывной, периодической относительно угловой координаты функцией, причем она будет принимать нулевые значения только в точках устойчивого равновесия (на подмножестве), а в остальных точках фазового пространства будет положительной.
Процедура Бакаева — Гужа в дальнейшем была распространена на другие классы систем, в частности, на фазовые системы со многими угловыми координатами /44/, дискретные фазовые системы /45/, фазовые системы с запаздыванием /46/.
Среди исследований, опубликованных за последнее десятилетие, следует отметить серию работ Г. А. Леонова /13, 47 — 50 и др./, в которых получены частотные критерии глобальной асимптотической устойчивости, ограниченности решений, существования круговых движений и предельных циклов второго рода для различных классов систем с цилиндрическим фазовым пространством. Разработанный Г. А. Леоновым метод нелокального сведения позволяет сводить исследование динамики фазовых систем к рассмотрению системы второго порядка вида d±~ ' (6) при выполнении частотного критерия и тем самым классические результаты, полученные для простейших фазовых систем (б), удается распространить на системы более высокого порядка. Отметим, что метод нелокального сведения применим не только для систем с угловой координатой, он используется также для систем автоматического управления общего вида, содержащих нестационарную нелинейность /51/.
Наиболее полное качественное исследование фазовых систем второго порядка проведено в книге Е. А. Барбашина и В. А. Табуевой /7/, где рассматриваются также системы с разрывными характеристиками и маятниковые системы. На основе теоремы о дифференциальных неравенствах С. А. Чаплыгина /52/ доказывается существование единственного бифуркационного значения параметра $ - S^p, разграничивающего одну качественную картину расположения траекторий от другой. В случае вся фазовая плоскость (^а > «О разбивается сепаратрисами седловых точек на полосы — области притяжения соответствующих устойчивых состояний равновесия, т. е. в этом случае система (б) является глобально асимптотически устойчивой. В книге приводятся различные нижние и верхние оценки -COftsrt), приводятся в исследованиях Ф. Трикоми, Л. Америо, Г. Зейферта, К. Бёма, В.Хейза. В работе Л. Н. Белюстиной /8/ проведено качественное исследование фазовой системы (б) при = S-t-tt + .Ра^УЪРо (> Ро = ^Onst), описывающей колебания ротора синхронного двигателя с асинхронным запуском.
Большое количество работ посвящено задачам определения полосы захвата в системах фазовой автоподстройки частоты (ФАПЧ) и анализа устойчивости электроэнергетических систем (ЭЭС). В статьях М. В. Капранова /53/, С. В. Первачева /54/, Л. Н. Белюстиной, В. В. Быкова, К. Г. Кивелевой, В. Д. Шалфеева /55/ исследуются системы ФАПЧ второго порядка с помощью качественно-численных методов. Наряду с методом функций Ляпунова, качественными и качественно-численными методами для изучения динамики систем фазовой синхронизации используются также приближенные методы: метод кусочно-линейной аппроксимации, метод усреднения, метод гармонического баланса и др. /2, 56, 57/. Второй метод Ляпунова впервые был использован для анализа устойчивости электрических систем в работах А.А.Янко-Три-ницкого /58/, В. А. Андреюка /59/. В настоящее время этот метод находит широкое применение в исследованиях динамической устойчивости сложных ЭЭС /3−5, 60/. В книге М. Я. Ваймана /61/ приводятся существенно новые методы анализа устойчивости энергосистем, основанные на теории Бирхгофа, теоремы Пуанкаре — Дюлака и теории возмущений, рассматриваются вопросы устойчивости ЭЭС с программным iуправлением и построения функции Ляпунова с помощью матричного метода Печковского — Лю /62/.
Таким образом, вышеприведенный краткий обзор современного состояния проблемы показывает, что к настоящему времени разработаны различные точные и приближенные методы исследования фазовых систем. Кроме того, имеются многочисленные примеры использования этих методов для изучения динамики конкретных технических систем маятниковых систем, систем фазовой автоподстройки частоты, электроэнергетических систем и др.). Однако, некоторые аспекты проблемы исследования устойчивости систем с цилиндрическим фазовым пространством еще не изучены. Даже для простейшей системы второго порядка вида (6) не построены функции Ляпунова, с помощью которых можно было бы исследовать систему на глобальную асимптотическую устойчивость и достаточно точно оценить области притяжения устойчивых состояний равновесия. Изучение свойств фазовых систем второго порядка приобретает большое значение в связи с использованием метода нелокального сведения Леонова для исследования динамики многомерных фазовых систем. Большой практический интерес представляют задачи исследования устойчивости и стабилизации движения систем, снабженных нелинейными регуляторами. Такого типа задачи специально для систем с цилиндрическим фазовым пространством еще не рассматривались и в настоящей работе фактически делаются первые шаги в этом направлении.
Фазовая система второго порядка (6) является частным случаем системы (2) при р=0. В чем же трудность построения функции Ляпунова для таких систем? Оказывается, при о для системы (2) в общем случае невозможно построить непрерывную, периодическую по угловой координате <рА функцию Ляпунова (3) с применением описанной выше процедуры Бакаева — Гужа, а использование разрывных функций Ляпунова, как было указано, связано с трудностями оценки приращений функции при точечном преобразовании поверхности разрыва. Действительно, производная по времени функции (3), взятая в силу системы (2), равна y (<�РО[с*я + (.
При О условие отрицательной полуопределенности этой функции равносильно соотношениям.
HA+A*H<0, Нг+v'c «о, = которые являются противоречивыми, т. к. величины Vх, V» определяются из (5) ив общем случае v VV. Таким образом, при для системы (2) процедура Бакаева — Гужа (3) — (5) неприменима.
Однако, основную идею процедуры Бакаева — Гужа, а именно, использование кусочно-постоянных параметров, можно распространить на другие классы функций Ляпунова. В диссертации для исследования глобальной асимптотической устойчивости фазовой системы второго порядка (6) предлагается новая функция Ляпунова с кусочно-постоянными параметрами, отличная от вида (3). При этом использование кусочно-постоянных параметров не приводит к получению непрерывной во всем фазовом пространстве функции Ляпунова. Оказалось, что предлагаемая функция позволяет достаточно точно оценить области притяжения устойчивых состояний равновесия в полосах непрерывности этой функции. При исследовании глобальной асимптотической устойчивости фазовых систем с помощью разрывных функций Ляпунова, как было отмечено, требуется вычисление оценок приращений функции вдоль траекторий системы при точечном преобразовании граничных гиперплоскостей. Эту трудность удалось преодолеть с помощью некоторых вспомогательных построений на фазовой плоскости.
В диссертации рассматривается также задача исследования глобальной асимптотической устойчивости одного класса фазовых систем с нелинейной характеристикой регулятора на основе метода нелокального сведения Леонова и теории периодических функций Ляпуноваполучены оценки областей притяжения устойчивых положений равновесиянайдены стабилизирующие управления.
Приведем некоторые конкретные примеры систем с цилиндрическим фазовым пространством, которые принадлежат к рассматриваемым в работе классам фазовых систем.
Пример I. Колебания математического маятника в вязкой среде. Пусть груз, подвешанный при помощи нерастяжимого и невесомого стержня к неподвижной точке, может совершать движения в вертикальной плоскости. Обозначим через 1U массу груза,? — длину стержня, 5 — угол отклонения маятника от вертикали (рис. I). Предположим, что кроме силы тяжести на груз действует сила сопротивления среды, по величине пропорциональная скорости движения груза (-), а на ось маятника приложен постоянный вращающий момент Н0. Уравнение движения такого маятника будет иметь вид /63/ где ^(S) — S-ttv 8 — • Введем в рассмотрение угловую скорость 6 = тогда уравнение (7) сведется к системе дифферен.
ЛТ циальных уравнений.
М. А t ' oL4 (8) полностью совпадающей с видом рассматриваемых уравнений (6).
Рис. I.
Отметим, что система вида (8) описывает также работу простейшей системы фазовой автоподстройки частоты (с ?С-цепочкой в качестве фильтра нижних частот) /2/.
Пример 2. Система «синхронный генератор — паровая турбина». Упрощенная математическая модель синхронного генератора, работающего на шины бесконечной мощности (т. е. на шины энергосистемы большой мощности, с неизменной частотой и постоянным по модулю и фазе напряжением), тоже приводится к виду (8) (это так называемая «классическая модель» синхронного генератора /64/):? % (9)Г = Рт — Ж * - Г-f — aCrtcf^ Щ- (frcC4ftVl, tЛХ L =14. J где 8 — угол ЭДС генератора- -i — скольжение генератораТ^ -постоянная инерции вращающихся массрт — мощность паровой турбины;
— коэффициент демпфированияВ — расчетная ЭДС генератораV — напряжение на шинах бесконечной мощности- -собственное сопротивление генератора- - взаимное сопротивление между генератором и шинамиоСщ — дополнительный угол собственного сопротивления- - дополнительный угол взаимного сопротивления.
Основным элементом в системе регулирования паровой турбины является автоматический регулятор частоты вращения (АРЧВ), принципиальная схема которого изображена на рис. 2 /65/. Измерительным органом является центробежный маятник, который приводится во вращение синхронным электродвигателем, питающимся от пендель-генератора, насаженного на вал турбины. Изменение частоты вращения турбины приводит к смещению муфты центробежного маятника по вертикали. Это смещение через усилитель (золотник и серводвигатель) передается регулирующему клапану, который изменяет количество пара, поступающего в турбину, восстанавливая тем самым частоту ее вращения. центробежный маятник.
Рис. 2.
Процессы в паровой турбине приближенно описываются системой двух дифференциальных уравнений /66/.
ЛТ о (1о: Т*,^ = f>01|> (JV) — рт? где — открытие окон золотникаjvt<, — перемещение поршня серводвигателяТс — постоянная времени серводвигателяf>T — мощность паровой турбиныТ^, — постоянная времени парового объема- 6 — скольжение генератораа — управляющее воздействие механизма управления турбиной (МУТ) — 60 — статизм АРЧВ- ?0, -р0 — заданные постоянные величиныJ4C) — функция, определяющая нелинейную характеристику регулирующего клапана.
Таким образом, приходим к необходимости рассмотрения динамической системы, описываемой дифференциальными уравнениями вида.
Л S to— ЭС&—> oli.
II).
I2) где 8 — угловая координата- 6 — угловая скоростьАС — tl-век-тор состояния регулятораtAJ* - управляющее воздействие регулятора;
— коэффициент демпфированияС, (Х,±-,, CL, J — постоянные 11-мерные векторыА — постоянная (tt*^-матрицаfe", в — скалярные переменныеMj — управление. Символ к означает операцию транспонирования.
Дифференциальные уравнения второго порядка (II) описывают процессы в объекте управления, а векторное дифференциальное уравнение (12) определяет состояние регулятора. Особенностью полученной системы дифференциальных уравнений является наличие двух не-линейностей: нелинейности в объекте управления и нелинейности в регуляторе. Предполагается, что •J (fr') является непрерывно дифференцируемойпериодической функцией, обращающейся в нуль только в двух точках на периоде, а Ц?(6) является непрерывной функцией, лежащей в некотором секторе (например, нелинейность типа «насыщение»).
Фазовое пространство системы (II), (12) представляет собой цилиндрическое пространство Zri*z (8, 4,3с). Для удобства рассуждений необходимо перейти к евклидовому пространству х), которое получается при развертке ZП+г (S — -S, ОС) по угловой координате $. Стационарное множество, А рассматриваемой системы состоит из бесконечного множества изолированных точек фазового пространства В-^*2 (?, ОС.), причем среди этих точек имеются как устойчивые, так и неустойчивые по Ляпунову состояния равновесия.
При отсутствии управляющего воздействия регулятора СЫГ=0) уравнения (II) приводятся к виду (8). Целесообразно предварительно изучить свойства объекта управления (8), а затем использовать полученные результаты для исследования системы «объект управления — регулятор» (II), (12). Для рассматриваемых классов фазовых систем можно сформулировать следующие задачи.
Задача I. Оценить области притяжения устойчивых состояний равновесия фазовой системы второго порядка (8) и исследовать ее глобальную асимптотическую устойчивость.
Задача 2. Получить частотные критерии глобальной асимптотической устойчивости фазовой системы Ог + £)-го порядка (II), (12), оценить области притяжения устойчивых положений равновесия и определить стабилизирующие управления.
Данная диссертационная работа состоит из трех глав.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
.
Задачи, поставленные и решенные в данной работе, возникли в связи с исследованием переходных процессов в электроэнергетических системах (ЭЭС). Упрощенные модели ЭЭС описываются системой нелинейных дифференциальных уравнений, правые части которых периодичны по угловой координате. При этом кроме периодической нелинейности в объекте управления (синхронном генераторе) необходимо учесть также нелинейные характеристики регулятора (паровой турбины). Таким образом, приходим к необходимости рассмотрения систем с цилиндрическим фазовым пространством с двумя нелинейнос-тями, для которых можно поставить задачи исследования устойчивости «в большом» и в глобальном смысле. Поставленные задачи целесообразно рассмотреть сначала для объекта управления (без регулятора), а затем полученные результаты использовать для анализа устойчивости системы «объект управления — регулятор». Для исследования устойчивости «в большом» можно использовать второй метод Ляпунова, а для глобального исследования устойчивости фазовых систем применяются методы, учитывающие специфику задач, обусловленную наличием периодической нелинейности.
Во введении приведена теорема Бакаева, в которой для анализа глобальной асимптотической устойчивости фазовой системы используется разрывная периодическая функция Ляпуноварассмотрена процедура Бакаева — Гужа для построения непрерывной периодической функции Ляпунова. Приводится краткий обзор работ, в которых изложены различные методы исследования устойчивости фазовых систем. Отмечается научная новизна, особенности изучаемого класса систем, а также актуальность задач, поставленных исходя из конкретных примеров фазовых систем.
В работе получены следующие результаты:
1) Проведено исследование устойчивости классической фазовой системы второго порядка. При этом использована функция Ляпунова с кусочно-постоянными параметрами, построенная с помощью процедуры Бакаева — Гужа. Конкретные значения параметров выбираются из условия максимизации оцениваемых областей притяжения устойчивых состояний равновесия.
2) На основе теории разрывных функций Ляпунова (теоремы Бакаева) получены критерии глобальной асимптотической устойчивости фазовой системы второго порядка.
3) Предложен численный алгоритм определения критического значения коэффициента демпфирования, основанный на теореме о качественной картине расположения сепаратрис системы второго порядка. Этот алгоритм является модификацией известного метода Урабе.
4) Для фазовой системы с нелинейным регулятором выведены достаточные условия глобальной асимптотической устойчивости на основе метода нелокального сведения Леонова и теории периодических функций Ляпунова. Эти условия получаются с помощью S-процедуры Лурье, частотной теоремы Якубовича — Калмана и леммы Барба-лата.
5) Проведено исследование устойчивости «в большом» системы «объект управления — регулятор» на основе прямого метода Ляпунова. При этом используется функция с кусочно-постоянными параметрами, построенная для исследования устойчивости фазовой системы второго порядка.
6) Результаты теоретических исследований приложены для изучения элетромеханических переходных процессов в системе «синхронный генератор — паровая турбина». Получены оценки областей притяжения устойчивых состояний равновесия системыпоказано, что функция Ляпунова с кусочно-постоянными параметрами позволяет достаточно точно оценить эти области. Для системы «синхронный генератор — паровая турбина» определены стабилизирующие управления, обеспечивающие устойчивость в глобальном смысле и «в большом» .
7) Разработан комплекс программ для исследования переходных процессов в электроэнергетических системах. Комплекс внедрен и используется в Казахском отделении ВГПИ и НИИ «Энергосетьпроект». В программах большое внимание уделено графическому представлению результатов счета на ЭВМ. С помощью написанных для графопостроителя «Атлас» прикладных программ вццаются графики переходных процессов, фазовые траектории, линии уровня и объемное изображение функции Ляпунова. Разработанная для графопостроителя «Атлас» система математического обеспечения внедрена в более чем 60 организациях страны.
