Исследование устойчивости плоских пластинчатых систем

В настоящей работе рассматриваются вопросы расчета на устойчивость прямоугольных пластин и пластинчатых систем с особенностями в одном или двух ортогональных направлениях. Методика расчета основана на синтезе вариационного метода Канторовича-Власова и классических методов строительной механики, в частности, метода перемещений. Все задачи решаются в линейной постановке.

Проблема устойчивости пластинчатых систем, находящихся под действием сжимающих внешних сил, насчитывает уже более 200 лет. В литературе по устойчивости пластин исключительно важное значение имеют работы русских и советских ученых. Можно сказать, что исследования С. П. Тимошенко, И. С. Бубнова, Б. Г. Галеркина, П. Ф. Папковича, А. А. Ильюшина и др. заложили основы устойчивости пластин, как раздела математической физики. В то же время ими решены многие практические задачи. К числу трудов, в которых сконцентрированы результаты различных исследований по устойчивости пластинок, относятся работы П. Ф. Папковича, А. Н. Динника, И. Я. Штаермана и А. А. Пиковского, Б. М. Броуде, А. С. Вольмира, А. Р. Рзканицына, В. В. Болотина и др.

В настоящее время в машиностроении, кораблестроении, строительной индустрии и др. областях техники все более широко применяются экономичные пластинчатые и пластинчато-стержневые плоские и пространственные конструкции. В связи с этим дальнейшая разработка и внедрение в инженерную практику совершенных методов расчета пластинчатых систем на устойчивость, как способа повышения экономичности такого рода констззукций, является весьма актуальной задачей.

Дальнейшее развитие ЭВМ позволило получить решения многих новых задач теории пластин. При этом оказалось возможным эффективно использовать методы, заимствованные из строительной механики стержневых систем. Как известно, в соответствии с этими методами расчет сложной системы сводится к расчету отдельных составляющих ее элементов, каждый из которых может быть сравнительно просто рассчитан. Если в стержневых системах в качестве такого элемента принимают, как правило, однопролетный стержень, то в рассматриваемых наш конструкциях, т. е. в системах, составленных из прямоугольных пластин, в качестве расчетного элемента оказалось возможным принять изолированную пластинку.

Подобно тому, как это делается при расчете статически неопределимых стержневых систем, тонкостенную пространственную конструкцию в результате наложения на нее определенного числа дополнительных связей можно заменить другой, так называемой основной системой, представляющей совокупность нескольких изолированных однопролетных пластинок. После устранения дополнительных связей расчет всей конструкции сводится к расчету отдельных составляющих ее пластин, на которые действуют заданные внешние нагрузки и усилия от краевых перемещений, возникающих в результате устранения дополнительных связей.

На начальном этапе развитие методов статического расчета тонкостенных пространственных систем шло по направлению некоторого упрощения расчетных схем сооружений, сведения расчетных схем к модели стержневых систем и широкого использования вариационных методов. Общеизвестны в этом направлении труды В. З. Власова, П. А. Пастернака, А. А. Уманского и др., в работах которых широкое обобщение получили метод сил, метод перемещений и смешанный метод.

На последующих этапах для расчета пластинчатых систем стали применять сочетание методов технической теории упругости с методами расчета статически неопределимых стержневых систем. В частности, наибольшее признание получила уточненная расчетная схема, позволяющая учитывать как плоские, так и изгибные деформации жестких пластин, входящих в состав тонкостенной системы. Таковы, например, работы А. К. Мрощинского, Б. Е. Улицкого, А. В. Александрова и др. В указанных работах для изучения отдельной пластинки использовались решения Файлона (плоская задача) и М. Леви (изгиб пластинки), а условия сопряжения вдоль линий контакта пластин записывались на основе метода начальных параметров, сил и перемещений.

В задачах устойчивости указанное направление нашло отражение в работах А. С. Локшина (метод начальных параметров), В. А. Постнова, Ф. Блейха (метод сил). В. А. Александрова, В. Й. Климанова (метод перемещений) и др. В ряде работ П. Л. Амиро [б], П. П. Абовского [х] «Ф.Бпейха [15], А. И. Косухина [45], Л. Анга и И. Ньюмака [98] и др. при стыковке пластин учитывались лишь изгибные деформации, причем условия сопряжения записывались как в форме метода сил, так и в форме метода перемещений.

В последнее время развитию метода перемещений способствовали работы А. М. Черняка, И. Э. Гольберга, В. И. Жесткого, Л. И. Хазовой и др., относящиеся к проверке прочности, устойчивости и изучению свободных колебаний пространственных систем, состоящих из прямоугольных изотропных и ортотропных пластин.

Большой вклад в исследование прочности устойчивости и колебаний прямоугольных пластин и пространственных пластинчатых систем внес В. И. Климанов, который одним из первых стал применять для этой цели фундаментальные балочные функции.

Особое внимание исследователями уделяется задачам устойчивости пластин и оболочек, ослабленных отверстиями.

Проблемой устойчивости прямоугольных пластин, в том числе ослабленных прямоугольными вырезами, занимались А. А. Фельдман [эх] Г. П. Зиненко [зб], А. Баратов [ю^ и др. Их решения для пластинок с различными вариантами граничных условий были основаны на применении метода конечных разностей.

А.Н.1*узь [зз], подчеркивая общность задач устойчивости пластин и оболочек, ослабленных отверстиями, в связи с неоднородностью докритического напряженного состояния, подразделяет их на задачи трех типов, принимая в качестве критерия соотношение геометрических размеров пластины и выреза: а) задачи первого типа: отверстия и вырезы имеют размеры одного порядка с минимальными внешними размерами пластин. Такие отверстия и вырезы существенным образом влияют на величину критической силы и форму выпученной поверхности. Эти задачи наиболее сложные и требуют для решения громоздких математических методов. Имеется немного исследований устойчивости прямоугольных пластин с большими прямоугольными отверстиями (решение проведено в основном методом конечных разностей) — б) задачи второго типа: отверстия и вырезы имеют размеры значительно меньше минимальных внешних размеров пластин, что дает возможность для очень малых отверстий пренебречь влиянием отверстия на величину критической силы и характер волнообразованияв) задачи третьего типа: при растягивающих нагрузках в оболочках и пластинках возле отверстий возникают локальные зоны сжимающих напряжений. Локальная потеря устойчивости в этом случае происходит за счет концентрации напряжений.

Для исследования устойчивости изолированных элементов — пластинок различными исследователями применялись различные методы, которые можно свести к четырем основным: а) методу тригонометрических рядовб) методу конечных разностейв) методу конечных элементовг) вариационно^ методу.

Метод тригонометрических рядов для определения критической нагрузки при расчете прямоугольных пластин на устойчивость применялся П. М. Огибаловым [бз], С. П. Тиможенко [8б], Р. А. Римским [72], В. И. Климановым [44], В. С. Ширмановым [э?] и др.

Однако необходимо отметить, что метод тригонометрических рядов позволяет достаточно просто получить решения лишь для пластин, у которых из четырех краев два противоположных свободно оперты. При ином характере закрепления краев пластины метод оказывается затруднительным из-за большого объема вычислительной работы.

Метод конечных разностей применительно к задачам устойчивости пластин разработан в трудах П. М. Варвака [25], А. Ш. Боженова и К. А. Турсунова [18], А. А. Фельдмана [91], А. Баратова [ю], [12], Ю.И.ВДузыченко [бб] и др.

Метод конечных разностей (метод сеток), в развитие и приложение которого значительный вклад внес П. М. Варвак, обладает несомненными достоинствами, но для задачи устойчивости метод не нашел пока еще широкого применения в связи с тем, что определение необходимых характеристик пластин в основной системе (перемещений и реакций на линиях сопряжений) связано с обращением матриц коэффициентов полной системы конечно-разностных уравнений для каздой пластины. Эти матрицы весьма высоких порядков, а методика расчета, включающая подбор критических параметров, требует их многократного обращения [эв] .

В.Д.Шайкевич [95], [%] применил способ численного интегрирования исходных дифференциальных уравнений изгиба пластин и тем самым распространил канонические методы строительной механики на область расчета пластинчатых систем на устойчивость при изучении элементов основной системы методом сеток.

Методом сеток в уточненной постановке Ю.И.Лф'ЗЫченко [57] исследовал шарнирно опертую квадратную пластину, ослабленную квадратным отверстием, В результате точность удовлетворения граничным условиям не стала зависеть от густоты сетки.

Наряду с методом конечных разностей в последнее время интенсивно развивается метод конечных элементов.

В отличие от метода конечных разностей метод конечных элементов имеет отчетливое физическое содержание. Основная идея этого метода заключается в замене континуума дискретной структурой, состоящей из отдельных элементов, определенным образом сопряженных между собой в нескольких точках.

Несмотря на целый ряд преимуществ, метод конечных элементов требует большой вычислительной работы.

Основная трудность метода состоит в определении собственных значений матриц высокого порядка, поэтому для систем, содержащих несколько тысяч степеней свободы, приходится ограничиваться отысканием только части (несколько сот) собственных значений.

Обзор способов решения задач устойчивости с использованием метода конечного элемента дан в работе Р. Галахера [юв]. Исследование устойчивости пластин МКЭ провел В. Г. Вдохов [1б] .

Метод конечных элементов в уточненной постановке использовал В. Г. Налоев [58] для решения ряда задач устойчивости прямоугольных пластин.

П.Ф.Папкович [бб], показал принципиальную возможность решения задач изгиба и устойчивости пластин при помощи разложения искомых функций в ординарные ряды по фундаментальным балочным функциям. Применение этих функций дает возможность обобщить и распространить оригинальный расчетный прием М. Леви на расчет пластин с любыми комбинациями однородных граничных условий на двух противолежащих краях пластины.

Примерно одновременно В. З. Власов и Л. В. Канторович предложили методику получения разрешающей системы уравнений с помощью приведения уравнений в частных производных к системе обыкновенных дифференциальных уравнений.

По сравнению с известными вариационными методами Еубнова-Гадеркина и Ритца-Тимошенко метод Канторовича-Власова обладает двумя существенными особенностями, делающими его весьма эффективным для решения поставленной задачи.

Во-первых, при решении уравнений в частных производных по методу Канторовича-Власова в качестве неизвестных принимаются не числовые параметры, а функции, зависящие от одной из двух независимых переменных. Благодаря этому, точность получаемых решений оказывается более высокой, а их сходимость более быстрой, чем это имеет место в вариационных методах Е*убнова-Галеркина или Ритца-Тимошенко.

Во-вторых, будучи основанными на непосредственном приложении принципа возможных перемещений к задачам теории упругости вариационный метод Канторовича-Власова оказывается хорошо приспособленным для расчета пластинчатых систем методами строительной механики, в частности, методом перемещений.

Задача определения критических нагрузок аналитически в задачах устойчивости пластинчатых систем с достаточно высокой степенью точности сложна и громоздка, каким бы методом мы ни пытались ее решить".

Поэтому большое значение для проверки точности той или иной методики, того или иного расчетного случая приобретают экспериментальные исследования устойчивости пластин и пластинчатых систем.

В ряде случаев с помощью экспериментальных исследований мы можем получить данные (например, функции распределения прогибов) которые будучи подставлены в расчетную часть существенно упростят и уточнят последнюю.

Именно такому теоретико-экспериментальному методу, на наш взгляд, предстоит еще сказать свое слово,.

К сожалению, количество экспериментальных исследований устой чивости прямоугольных пластин весьма ограниченно. Вероятно, это следствие определенных трудностей и недостаточной точности экспериментальных методов.

Экспериментальные исследования устойчивости пластин с вырезом провел В. Г, Налоев [59] .

Б.М.Аллахвердов и др. [б] исследовали устойчивость анизотропных пластин ¦

Экспериментальные исследования напряженного состояния прямоугольной пластины после потери устойчивости провел В. Вальцак [l04]. Исследования были проведены при помощи тензометров омического сопротивления. Доказано достаточно точное совпадение результатов экспериментов с результатами теоретических вычислений, проведенных предварительно автором.

М.Скерли [ios] определял критическую нагрузку потери устойчивости квадратной пластины с круговым отверстием под действием равномерных сжимающих нагрузок. В работе приведены графики зависимости коэффициента устойчивости от размеров отверстия для двух видов закрепления сторон.

Вывод автора об увеличении жесткости пластины в связи с наличием отверстия по сравнению с отсутствием последнего при определенных значениях нагрузок и соотношениях размеров пластины и отверстия совпадает с результатами расчетов А. А. Фельдмана [91] Шлэк А. Л. в работе [Юб] изложил результаты экспериментального исследования устойчивости свободно опертых квадратных пластинок с круговым центральным отверстием. Опыты проводились на пластинках с различным отношением диаметра отверстия к длине стороны пластинки.

И.Хейманн [107] провел экспериментальное исследование плосконапряженного состояния треугольной пластины с вырезом и без методом муаровых полос в сочетании с методом фотоупругости.

Для определения формы потери устойчивости, а также с целью экспериментального определения функции распределения прогибов и, тем самым, уточнения принятого нами приема представления функции распределения прогибов в виде «балочных» функций в работе использовался метод муаровых полос.

Метод муаровых полос получил развитие в работах И. П. Сухарева [82], Б. И. Ушакова [90], Б. П. Соколова [102], Р. А. Дульнева [lOO], В. В. Новицкого [62], Е. Н. Андреевой [7] и др. Существенный вклад в развитие этого метода внесли П. Теокарис [*85j, Д. Дю-релли и В. Парке [33], рассмотревшие решение значительного числа задач динамики, пластичности и изгиба пластин.

Экспериментальный метод, основанный на использовании картин муаровых полос (метод муара), дополняет существующие экспериментальные методы, такие как тензометрия, поляризационно-оптический метод, методы хрупких покрытий, аналогий, делительных сеток и др., и в определенном круге задач имеет перед ними преимущества. Обладая наглядностью поляризационно-оптического метода, метод муаровых полос вследствие своего чисто геометрического характера позволяет исследовать деформации независимо от их физической природы: упругие, вязко-упругие, пластические, деформации ползучести в реальных элементах конструкций или моделях, изготовленных из натурального материала.

В результате применения метода муаровых полос получаем полную картину деформаций по всей поверхности пластины, а не в отдельных ее точках. Это важно, поскольку при исследовании сложных пластин под действием нагрузки, выраженной сложным законом, бывает трудно предсказать места наибольших напряжений и деформаций, rife нужно устанавливать индикаторы или наклеивать датчики.

Примечательно, что из опыта получаем функции изменения первых производных от прогиба, что важно для более точного сравнения с теоретической апроксимацией функции прогибов.

Метод муаровых полос является неконтактным методом определения деформаций и напряжений, т.о. искажения от контакта измерительного устройства с исследуемой поверхностью полностью отсутствуют. Метод прост и удобен на практике. Не требует сложного оборудования. Обработку картин можно проводить вне места проведения экспериментов, вручную или с использованием вычислительных средств.

Вот почему метод муаровых полос, получающий все большее распространение, выбран нами для исследования устойчивости пластин.

Настоящая работа ставит своей целью:

1. Исследовать вопрос о применении фундаментальных балочных функций для получения при расчете пластинчатых систем на устойчивость решений более высокой, чем первая, степени приближения.

2. Основываясь на полученных результатах, предложить практически приемлемый и вместе с тем достаточно общий метод расчета на устойчивость пластинчатых систем с особенностями в ортогональных направлениях.

3. Исследовать сходимость метода Канторовича-Власова в задачах устойчивости изолированных пластин.

4. Провести экспериментальное исследование устойчивости пластин с целью определения критических нагрузок, найденных с учетом начального искривления срединной поверхности, реальных способов осуществления граничных условий и нагружения.

5. Методом муаровых полос провести определение экспериментальной функции распределения прогибов для изолированных пластин с целью использования их в дальнейшем как функцию апрокси-мации в методе Канторовича-Власова.

6. Провести сравнение фундаментальной балочной функции с экспериментально полученной среднестатистической функцией распределения прогибов.

7. Показать на примерах применение экспериментально-теоретического метода исследования устойчивости пластин и пластинчатых систем.

С целью получения достаточно общих и вместе с тем практически приемлемых решений в работе широко используются методы строительной механики статически неопределимых систем. Применение этих методов придает расчетам компактную форму, дает возможность широко применять при решении задач заранее составленные таблицы и позволяет распространить полученные результаты на расчет не только изолированных пластин, но и на расчет различных плоских систем, составленных из пластин.

В большинстве случаев все выполненные нами исследования мы старались довести до получения численных результатов, которые можно было бы использовать непосредственно в расчетной практике.

Работа состоит из введения, четырех глав и заключения.

Первая глава посвящена расчету на устойчивость изолированных прямоугольных пластин вариационным методом В. З. Власова. В главе получил дальнейшее развитие метод Канторовича-Власова для расчета на устойчивость прямоугольных пластин, подвергнутых действию нормальных и касательных напряжений.

Изучен вопрос применения фундаментальных функций задачи о поперечных колебаниях стержня постоянного сечения в качестве функций, апроксимирующих деформированное состояние пластины в направлении координаты?. Выведены функции и определены собственные значения параметров для случая произвольного опирания с одной стороны и свободного края, усиленного ребром жесткости, -с другой.

Проведено интегрирование системы дифференциальных уравнений для П членов, удержанных в начальном разложении.

В главе исследуется сходимость метода Канторовича-Власова в задачах устойчивости изолированных пластин. Получены оценки сходимости приближенного решения к точному, позволяющие оценить результат конкретной задачи.

Дан пример расчета изолированной пластинки в случае удержания в исходном разложении одного, двух и трех членов.

Во второй главе метод расчета изолированных элементов-пластинок на устойчивость получил применение в качестве основного метода для расчета на устойчивость пластин с характерными особенностями в одном направлении. Сочленение элементов-пластинок в систему производится методом перемещений.

В заключении главы приводится расчет прямоугольной пластины на устойчивость со смешанными граничными условиями.

В третьей главе излагается расчет на устойчивость прямоугольных пластин с особенностями в ортогональных направлениях. Рассмотрена устойчивость пластин, имеющих в направлении осей? и? произвольно изменяющуюся касательную и нормальную нагрузку, приложенную в срединной плоскости, ступенчатое изменение жесткости, смешанные граничные условия.

Также как и в предыдущих главах, расчет элемента пластинки производится вариационным методом В. З. Власова с представлением деформированной поверхности в виде разложения в ряд по фундаментальным балочным функциям, а сочленение элементов в пластинчатую систему — методом перемещений.

Дан пример расчета прямоугольной пластинки, ослабленной прямоугольным вырезом.

В четвертой главе проведено экспериментальное исследование устойчивости пластин. Критическая нагрузка для односвязных и двусвязных пластин определена по методу Саусвелла.

Кроме определения экспериментального значения критической нагрузки методом муаровых полос получено поле перемещения при потере устойчивости.

Метод муаровых полос позволил графически представить поле деформации пластины и определить экспериментальную функцию распределения прогибов в одном направлении, которая будучи подставлена в расчетную часть, значительно упрощает и уточняет ее.

В главе описаны модели пластин, конструктивные особенности экспериментальной установки. Приведена методика исследования прямоугольных пластин на устойчивость при одноосном сжатии. Даны примеры обработки картин муаровых полос. Определены эпюры прогибов пластины и проведено их сравнение с графиками теоретических прогибов, полученных при использовании в качестве апрок-симирующих соответствующих фундаментальных балочных функций. Дана оценка точности метода муаровых полос.

В результате анализа поля деформации получена экспериментальная функция распределения прогибов в одном направлении.

Применение этой функции для расчета пластин на устойчивость по изложенной методике дало хорошую точность в первом приближении.

ГЛАВА X. РАСЧЕТ ИЗОЛИРОВАННЫХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН НА УСТОЙЧИВОСТЬ ВАРИАЦИОННЫМ МЕТОДОМ В.З.ВЛАСОВА.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. Синтез вариационного метода Канторовича-Власова и классических методов строительной механики позволяет осуществить практический расчет на устойчивость пластин и пластинчатых систем с особенностями в одном или двух ортогональных направлениях с любыми граничными условиями.

2. С помощью разработанной методики осуществлен инженерный расчет устойчивости пластин со смешанными граничными условиями, скачкообразным изменением нагрузки, жесткости и, в частности, пластин, ослабленных прямоугольным вырезом.

3. Проведенное исследование сходимости вариационного метода Канторовича-Власова в задачах устойчивости изолированных пластин при использовании в качестве координатных фундаментальных балочных функций подтверждает целесообразность применения последних для апроксимации искомого решения в одном направлении.

4. Проведенное экспериментальное исследование устойчивости сложных пластин с целью уточнения значений критической нагрузки дало небольшие отклонения относительно расчетного значения, полученного в третьем приближении.

5. С помощью метода муаровых полос для изолированных пластин получена экспериментальная функция прогибов, отличающаяся от балочной тем, что: а) точно удовлетворяя граничным условиям на краях? =0,? =1, она в то же время интегрально зависит от граничных условий на краях? =0,? — б) зависит от соотношения сторон пластины — в) зависит от механических характеристик материала пластины.

6. Экспериментально-теоретическое определение функции прогибов изолированных пластин позволяет получить достаточно точное.

V решение для односвязных и двусвязных пластин уже при удержании одного члена в исходном разложении (1.27).

7. Экспериментальное исследование устойчивости пластин методом муаровых полос значительно проще и дешевле других экспериментальных методов, а функции распределения прогибов, полученные таким образом и подставленные в расчетную часть, существенно упрощают и уточняют последнюю.

8. По существу в работе предложен экспериментально-теоретический метод исследования устойчивости сложных пластин, который в отличие от метода, описанного в ряде работ А. В. Саченкова, предлагает использование экспериментальных данных для дальнейшего теоретического исследования, при этом существенно упрощаются математические выкладки, появляется возможность использовать заранее составленные таблицы.

2 3.