Исследование устойчивости сильной ударной волны при сверхзвуковом обтекании бесконечного плоского клина
Блохин A.M., Роменский E.H. Устойчивость предельного стационарного решения при обтекании кругового конуса // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук., N 13, вып. 3. 1978. — С. 87−97. 1.18) в двойственных неремеиных. 2. Получены представления граничных функций u{x, O, t), u{O, y, t). 3. Определены условия устойчивости и неустойчивости сильной ударной. Чернецкий В. А. О конформной эквивалентности краевой… Читать ещё >
Исследование устойчивости сильной ударной волны при сверхзвуковом обтекании бесконечного плоского клина (реферат, курсовая, диплом, контрольная)
Содержание
Известно (см., например. [1]), что при стационарном сверхзвуковом обтекании бесконечного клина (рис. 1) возможны два решения этой газодинамической задачи: решение со слабой ударной волной (течение газа после ударной волны, вообще говоря, сверхзвуковое, то есть Wq +q > Cq), и решение с сильной ударной волной (течение газа после ударной волны дозвуковое, то есть Uq + vо
В случае, когда малые возмущения зависят (кроме времени t) только от одной переменной, в ряде работ (см., например, [2, 3]) было строго показано, что режим течения газа со слабой ударной волной устойчив по отношению к малым возмущениям, а режим течения газа с сильной ударной волной неустойчив.
В общем случае в [4] показано, что основное решение, соответствующее
Сильная ударная волна йо
Слабая ударная волна О х
Рис. 1. сверхзвуковому обтеканию клина со слабой ударной волной, при условии, что течение газа после ударной волны сверхзвуковое, а также о < 0 < в, устойчиво по отношению к малым возмущениям. Здесь м Uq cos 0 + vq sin в со
В то же время в [5] установлено, что линейная смешанная задача (см. задачу (1.1)—(1.4) в § 1) корректна при для случая малых углов клина, а (см. рис. 1). Однако устойчивость таких режимов обтекания в [5] не была доказана.
Mi (0) > 1 при
2, 22 uq + vq< с0
Надо также отмстить, что в ряде работ (см., например, [6, 7]) устанавливается факт отсутствия стационарного режима с сильной ударной волной для заостренных тел конечной толщины с помощью рассуждений, проведенных на качественном уровне. Правдоподобные соображения приводятся и в [8, 9].
Настоящая работа посвящена исследованию в общем случае устойчивости режима течения газа с сильной ударной волной. При этом проводятся дополнительные исследования, посвященные установлению корректности в общем случае задачи (1.1)—(1.4).
В первой главе приводится математическая формулировка линеаризованной задачи на малые возмущения начальных данных исходной газодинамической задачи. Проблема сводится к смешанной задаче для волнового уравнения в октанте. Формулируется соответствующая обобщенная задача, описывается класс функций, в котором ищется решение.
Во второй главе после преобразования Лапласа по t и Фурье по х, у формулируются краевые задачи для следов решения и (х, 0, t), u{0, у, t). Отдельно рассмотрены условия на газодинамические параметры исходной задачи, возникающие при постановке краевых задач для следов. Подходящие области значений параметров точно описаны.
В третьей главе решается краевая задача для функции u (0,y, t). Условия на гладкость решения позволяют определить значения в угле u (0,0,t), ux (0,0,t), Uy (0,0,t). Найдены представления граничных функций и (х, 0, t), it (0, у, t) и решения и (х, у, t) в двойственных переменных.
В четвертой главе находится представление функции и (х, 0, t) в явном виде, что позволяет определить асимптотику ее поведения при t —> оо. Это позволяет рассматривая отдельно случай финитных и не финитных начальных данных сформулировать и обосновать основные результаты работы об устойчивости и неустойчивости сильной ударной волны в задаче обтекания клина на линейном уровне.
В пятой главе представлен еще один важный результат работы — доказана теорема существования и единственности решения линеаризованной задачи на малые возмущения начальных данных исходной газодинамической задачи в классе функций и 6 H2, Sq{R+) (см. определение 1.1).
в заключение сформулируем основные результаты работы.
1. Получено представление решения линейной смешанной задачи (1.15);
(1.18) в двойственных неремеиных. 2. Получены представления граничных функций u{x, O, t), u{O, y, t). 3. Определены условия устойчивости и неустойчивости сильной ударной.
волны в задаче обтекания клина на линейном уровне. 4. Доказана корректность постановки линейной смешанной задачи (1.1);
Автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководите лю доктору физико-математический наук Дмитрию Леонидовичу Ткачеву за.
постоянное внимание и плодотворное руководство работой.
1. Courant R., Friedrichs K.D. Supersonic flow and shock waves. New York, 1. terscience Publishers, 1948.
2. Блохин A.M., Роменский E.H. Устойчивость предельного стационарного решения при обтекании кругового конуса // Изв. СО АН СССР. Сер. техн. наук., N 13, вып. 3. 1978. — С. 87−97.
3. Русанов В. В., Шаракшанэ А. А. Исследование линеаризованной нестационарной модели обтекания бесконечного клина. Москва, 1980. (Препринт ИПМ им. М. В. Келдыша АН СССРN 13).
4. Блохин A.M. Корректность линейной смешанной задачи о сверхзвуковом обтекании клина // Сиб. мат. журн., Т. 29, N 5. 1988. -С. 48−58.
5. Блохин A.M. Интегралы энергии и их приложения к задачам газовой динамики. Новосибирск, Наука, 1986. 239 с.
6. Рылов А. И. О возможных режимах обтекания заострённых тел конечной толщины при произвольных сверхзвуковых скоростях набегающего потока // ПММ., Т. 55, вып. 1. 1991. — С. 95−99.
7. Никольский А. А. О плоских вихревых течениях газа // Теоретические исследования по механике жидкости и газа: Тр. ЦАГИ., Вып. 2122. -1981. С. 74−85.
8. Булах Б. М. Нелинейные конические течения газа. Москва, Наука, 1970. 344 с.
9. Рождественский Б. Л. Уточнение теории обтекания клина сверхзвуковым потоком нсвязкого газа /'/ Мат. моделирование., Т. 1, N 8. 1989. С. 99−102.
10. Osher S. Initial-boundary value problems for hyperbolic systems in regions with corners. II // Transactions of A.M.S. 1974. — Vol. 198 — P. 155−175.
11. Комеч А. И. Эллиптические краевые задачи на многообразиях с кусочно гладкой границей. // Мат. сб. 1973. — Т. 92(134), № 1(9). — С. 89−134.
12. Мсрзон А. Е. Общая краевая задача для уравнения Гсльмгольца в плоском угле // Успехи мат. наук. 1977. — Т. XXXII, вып. 2(194). -С. 219−220.
13. Sakamoto R. Hyperbolic boundary-valued problems Cambridge, 1982. -207 p.
14. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. Москва: Наука, 1977. — 623 с.
15. Мусхслишвили Н. И. Сингулярные интегральные уравнения. Москва, Наука, 1968. 511 с.
16. Артюшин А. Н. Частное сообщение.
17. Blokhin A.M., Tkachev D.L., Baldan L.O. Study of the stability in the problem on flowing around a wedge. The case of strong wave // Journal ofmathematical analysis and applications, Elsevier, San Diego. 2006. — vol. 319, N 1, P. 248−277.
18. Блохин A.M., Биркин А. Д. Исследование устойчивости стациона-рных режимов сверхзвукового обтекания бесконечного клина // Прикладная математика и теоретическая физика. 1995. — Т. 36, № 2. — С. 181−195.
19. Добрушкин В. А. Краевые задачи динамической теории упругости для клиновых областей. Минск: Наука и техника, 1988. — 416 с.
20. Carleman Т. Sur la theorie des equations integrales et ses appl. Verhandl des internat. // Mathem. Kongr. I, Zurich. 1932. — P. 138−151.
21. Лаврентьев M.A., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. Физматгиз, 1951. 606 с.
22. Чернецкий В. А. О конформной эквивалентности краевой задачи Карлемаиа краевой задаче Римана на разомкнутом контуре // Докл. АН СССР., Т. 190, N 1. 1970. — С. 54−56.
23. Литвинчук Г. С. Краевые задачи и системы интегральных уравнений со сдвигом. Москва, Наука, 1977. 448 с.
24. Чочисв Т. З. Об одной граничной задаче теории функций // Сообщ. АН Грузинской ССР., Т. XXVII, N 3. 1961. — С. 263−269.
25. Сидоров Ю. В., Фсдорюк М. В., Шабунин М. И. Лекции по теории функций комплексного переменного. Москва, Наука, 1982. 488 с.
26. Blokhin A.M., Tkachev D.L. Mixed problems for the wave equation in coordinate domains. New York, Nova Science Publishers Inc., 1998. 133 p.
27. Tkachev D.L. Mixed problem for the wave equation in a quadrant j j Sib. J. Diff. Eq., Vol. 1, N 3. 1998. — P. 269−283.
28. Ткачев Д.Jl., Пашинин Ю. Ю. Единственность решения задачи об обтекании клина. Сильная ударная волна // Вестник НГУ, T. III, Вып. 4. 2003. — С. 33−50.
29. Титчмарш Е.
Введение
в теорию интеграла Фурье. Москва, Ленинград, ОГИЗ, 1948. 479 с.
30. Чинилов А. К). О решении волнового уравнения с косой производной на границе // Дифференциальные уравнения., Т. 25, N 9. 1989. — С. 16 351 637.
31. Ikawa М. Mixed problem for the wave equation with an oblique derivative boundary condition // Osaka J. Math., Vol 7, N 2. 1970. — P. 495−527.
32. Зайдсль P.M. Развитие возмущений в плоских ударных волнах // ПМТФ.- N 4. 1967. — С. 30−39.
33. Eskin G.I. The wave equation in a wedge with general boundary conditions // Comm. Partial Differential Equations, Vol 1, N 2. 1992. — P. 99−160.
34. Годунов С. К. Уравнения математической физики. Москва, Наука, 1979. — 392 с.