Интегрируемые иерархии эволюционных уравнений и их редукции

Предмет исследования данной работы — групповая структура множества решений эволюционных уравнений интегрируемых иерархий, а также применение групповых методов для построения редукций и точных решений интегрируемых эволюционных уравнений. К необходимости изучения подобных вопросов приводят задачи описания существенно нелинейных явлений в различных областях естествознания, таких как гидродинамика, аэродинамика, экология, физика твердого тела и плазмы, нелинейная оптика, физика элементарных частиц и т. д. Под интегрируемой иерархией понимается последовательность эволюционных уравнений (систем уравнений).

-^ = Кт[и], т Е N (0.0.1).

Оьт совместных друг с другом в следующем смысле. Для произвольной пары натуральных чисел п, т должно выполняться соотношение.

АпКт[и] = Атк"[и], где обозначает производную по эволюционному параметру tm в силу системы (0.0.1).

Основным способом построения интегрируемой иерархии является бп-гамильтоново представление.

9и.

— = Кт = £1биНт1 = £()6иНт отт с помощью совместной пары гамильтоновых операторов 8о, Е и счетного инволютивного набора функционалов {Нт. т = 0,1,.} вида л.

Нт = ja кт[и]с1х.

В отличие от теоремы Лиувилля [95], [3] би-гамильтонов формализм для заданной интегрируемой системы позволяет строить (благодаря известной теореме Ф. Магри) счетный набор обобщенных симметрии: изаконов сохранения. По всей видимости, статья Ф. Магри [99] (см. также [100]) была первой работой, в которой указывалось на конструктивный характер би-гамильтонова подхода к интегрируемым эволюционным уравнениям. Наиболее «экономным» способом представления интегрируемой иерархии является представление с помощью рекурсионного оператора, А [и] — [43] = Ат-1[и]К1[и], (0.0.2) где Кх[и] = Еъ8Х1Н — некоторое «затравочное» векторное поле.

Интерес к интегрируемым уравнениям резко возрос в связи с открытием метода обратной задачи (МОЗ) в работе Дж. Грина, К. Гарднера, М. Крускала и Р. Миуры [82], в которой он был применен для интегрирования уравнения Кортевега—де Фриза (КдФ) qt = + qqxВ дальнейшем появилось огромное количество работ, в которых была показана эффекивность МОЗ для других эволюционных уравнений, важных с физической точки зрения, среди которых: модифицированное уравнение КдФ щ — иххх — ~и2их. нелинейное уравнение Шредингера г^ = —1рхх — 2фуравнение Гарри Дима щ = (и~½)ххх. Появившиеся затем монографии [1], [22], [26], [40], [49], [52] достаточно полно отражают состояние дел в теории интегрируемых уравнений и содержат обширную библиографию. Актуальной проблемой в настоящее время является классификация уравнений, к которым может быть применен МОЗ.

Основанием для применения МОЗ является представление заданного уравнения (системы уравнений) в виде условия совместности вспомогательного линейного «спектрального» уравнения.

Ь{ А) Ф = 0, Ф = (Ф1,., ФГ) Т и уравнения.

9Ф определяющего зависимость волновой функции Ф от эволюционного параметра t. Здесь Ь (Х), А (Х) — пара операторов, как правило, матрично-дифференциальных. Следует отметить, что схема построения гамильтоно-вых структур и рекурсионных операторов тесно связана со вспомогательными уравнениями МОЗ [35], в частности, со скалярными уравнениями вида ХУф^'" 2) +. + Х) ф = 0 (0.0.3) с полиномиальной зависимостью от «спектрального» параметра А. Напрпизвестно, что иерархия уравнений КдФ ди /1 1 т-1.

— д2 + и + ~ихд-1) их, т = 1,2,3,. (0.0.4) ди и 2 изоспектральна по отношению к стационарному уравнению Шредингера.

Фхх + (и (х)~ Х) ф = 0. (0.0.5).

Одним из достижений МОЗ является построение в явном виде некоторых классов точных решений (./У-солитонные, конечно зонные, рациональные решения, и т. д.). Параллельно с развитием МОЗ развивались прямые методы построения точных решений, из которых следует отметить: метод Хироты [89], преобразование Беклунда [108], преобразование Дарбу [103].

Эффективным методом классификации интегрируемых уравнений [36]. [37] и построения точных решений является групповой анализ дифференциальных уравнений. Одной из задач группового анализа, как известно, является исследование действия групп, допускаемых заданным уравнением или системой уравнений [42]. Знание групп симметрии (непрерывных или дискретных) позволяет: исследовать алгебраическую структуру множества решений данного уравнения (системы уравнений), описывать общее строение множества решений, редуцировать исходные уравнения к некоторым более простым уравнениям, выделять определенные классы решений, производить новые решения из уже известных и т. д. [42], [28], [43].

Применение групповых методов к интегрируемым иерархиям имеет свои особенности, так как вместо одного уравнения (системы уравнений) рассматривается бесконечный набор совместных уравнений. Исследование допускаемых групп для конечного набора систем (0.0.2) при т — 1.2,. Л" может быть сведено к исследованию трансформационных свойств рекурси-онного оператора относительно преобразований зависимых и независимых переменных.

Интегрируемые уравнения представляют значительный интерес с физической точки зрения. Подобные уравнения встречаются в различных областях физики и имеют универсальный характер [30]. В последнее время стало ясно, что применения интегрируемых уравнений (интегрируемых иерархий) гораздо шире, чем представлялось раньше. Интегрируемые структуры в настоящее время находят применение в различных областях современной теоретической физики, таких как теория струн, топологические теории поля, квантовая теория гравитации, суперсимметричные калибровочные теории, дискретные матричные модели и т. д. [38], [63], [64], [33], [34], [57], [58].

61], [67], [65], [66], [83], [77], [78], [79], [80]. С этой точки зрения, наиболее содержательными примерами являются уравнения иерархии Кадомцева Петвиашвили и ее рациональные редукции [31]. В частности, приложения иерархии уравнений КдФ были найдены в работах [69], [77], [78], [83], посвященных исследованию двумерной квантовой гравитации. В этих работах иерархия уравнений КдФ (0.0.4) появилась совместно с дополнительным ограничением которое было названо струнным уравнением. Это соотношение представляет собой условие инвариантности решения 2,.) относительно формального однопараметрического преобразования независимых переменных (.с = .) и зависимой переменной и.

— + р — 1 = tp+Y, i], 7 е%+ь Р = 1,2,., оо, й = и — с, (0.0.6) к=1 где + & - 1.

Г (а + 1).

Va/ Г (6+1)Г (а-6+1)'.

Преобразование (0.0.6), приобретает неформальный характер, если считать. tito tp = 0 дляр > iY+1, где N — некоторое натуральное число. В частности, ее: ли положить N = 2, то получается хорошо известная однопараметриче-ская группа симметрии Галилея для уравнения КдФ.

Одной из задач, поставленных и решаемых в данной работе, является построение однопараметрических групп линейных точечных преобразований типа Галилея для интегрируемых иерархий эволюционных уравнений, изоспектральных по отношению к вспомогательному линейному уравнению [54].

Vxx +.

Ф = 0, (0.0/.

Епг (х)(-лг1 + (-лу.

Ь=1 которое обобщает стационарное уравнение Шредингера (0.0.5). В литературе эти иерархии носят название высших иерархий КдФ.

Идея построения преобразований симметрии типа Галилея основана на том факте, что обычное преобразование Галилея порождается преобразованием трансляции «спектрального» параметра Л. При этом, несложно исследовать трансформационные свойства соответствующего рекурсионного оператора относительно преобразования зависимой переменной. Для высших иерархий КдФ рекурсионный оператор имеет достаточно простую структуру, что позволяет подробно исследовать его трансформационные свойства относительно преобразований зависимых переменных и7. порождаемых сдвигом спектрального параметра Л.

В третьей главе данной работы ставится и решается задача построения интегрируемых иерархий эволюционных уравнений, модифицированных по отношению к рациональным редукциям Кричевера иерархии Кадомцева Петвиашвили. Необходимость построения этих уравнений связана с тем. что они имеют, в определенном смысле, более простой вид по сравнению с исходными уравнениями. Кроме того множество решений этих уравнений допускает более богатую групповую структуру. Известно, что преобразование Дарбу для иерархий Гельфанда—Дикого связано с модификацией уравнений этих иерархий [53]. В свою очередь, преобразование Дарбу является одним из эффективных методов построения точных решений для нелинейных интегрируемых уравнений. Таким образом построение модифицированных уравнений по отношению к рациональным редукциям Кричевера дает метод построения точных решений.

Данная работа состоит из введения, трех глав и заключения.

В первой главе работы на основе аппарата формального вариационного исчисления, развитого в работах И. М. Гельфанда с соавторами [8]-[20], излагаются понятия, связанные с интегрируемыми иерархиями: гамильтоновы операторы, гамильтоновы пары, би-гамильтоново представление систем эволюционных уравнений, рекурсионные операторы, представление Лакса.

Во второй главе рассматриваются интегрируемые эволюционные уравнения высших иерархий КдФ, связанные со вспомогательным линейным уравнением второго порядка (0.0.7). Каждая интегрируемая иерархия, соответствующая числу п? N5 определяются достаточно простым рекурсионным оператором. Это обстоятельство позволяет достаточно подробно исследовать трансформационные свойства этих операторов относительно однопараметрических преобразований, порожденных сдвигом спектрального параметра Л. В результате получаются точные формулы для преобразований симметрии, для конечного совместного набора систем.

9и дЦ

К>, р = 2,., ТУ, в каждой иерархии. Соответствующие одиопараметрические группы обозначаются символом где п — номер иерархии, а N — количество независимых переменных вовлеченных в преобразование. При этом, в качестве частного случая, имеем хорошо известную однопараметрическую группу симметрий Галилея С/2,1 Для уравнения КдФ.

Затем строится анзац для &bdquo—инвариантных решений. Подробно рассматривается случай N = 3, т. е. решается задача построения инвариантных совместных решений пары систем.

9и ди = К2[и], ^ = К3[и], которые представляют первые два нетривиальных представителя в каждой иерархии. В этом случае отыскание инвариантных решений сводится к некоторым системам обыкновенных дифференциальных уравнений. В частности, для случаев п = 1 и п = 2 эти системы, фактически, сводятся к уравнениям Пенлеве-1 и Пенлеве-П. В частности воспроизводится хорошо известный результат о редукции уравнения КдФ к Пенлеве-1 [43].

В третьей главе построены новые иерархии, параметризуемые парой натуральных чисел М). Показано, что преобразованиями типа Мп-уры эволюционные уравнения этих иерархий связаны с соответствующими уравнениями рациональных редукций Кричевера иерархии Кадомцева Петвиашвили. Построение этих иерархий, в определенной степени, использует идеи Л. А. Дикого, построившего модифицированные иерархии Г’ельфанда—Дикого [74], а также работы Аратина с соавторами [57], [58]. [59], [61].

В данном подходе новым является то, что при построении эволюционных уравнений иерархий определяется счетное семейство операторов Лакса Сг. связанных друг с другом совместной парой калибровочных преобразований. Совместность этих преобразований обеспечивается некоторыми соотношениями, имеющими форму цепочек обыкновенных дифференциальных уравнений. Частный случай N = 1, М — 1 соответствует цепочке Вольтер-ра. При этом подходе естественно определяется группа дискретных симметрии, порождаемая парой образующих и «2, связанных соотношениями у+М ]4 51.92 = 525'} И § 1 = «2 •.

В пятом параграфе строится счетный класс редукций двумеризованной цепочки Тоды, напрямую связанных с иерархиями модифицированных уравнений при М — 1. Для полученных гиперболических систем типа Тоды строятся: преобразование дискретной симметрии, представление нулевой кривизны и лагранжево представление.

В шестом параграфе определяется класс редукций цепочки Вольтерра и связанной с ней одномерной цепочки Тоды. Для некоторых из систем находятся первые интегралы.

В седьмом параграфе эти результаты используются для построения некоторого класса совместных решений типа бегущей волны для первых двух представителей модифицированной (1,1)-ой иерархии Гельфанда-Дикого.

В восьмом параграфе рассматриваются вопросы, связанные с исследованием прямой задачи для вспомогательного «спектрального» уравнения для эволюционных уравнений рациональных редукций Кричевера при Аг = 2. М = г — 2.

Основная часть результатов диссертации содержится в работах [44], [45]., [47], [48], [113], [114], [115], [116], [117].

Автор благодарит В. Л. Верещагина, С. П. Царева и О. В. Капцова за полезные замечания, высказанные на семинарах.

Заключение

.

В диссертации получены следующие результаты:

1) Построены однопараметрические группы точечных линейных преобразований симметрии для произвольного упорядоченного набора представителей (систем эволюционных уравнений) в каждой высшей иерархии Кортевега—де Фриза. Найденные преобразования симметрии обобщают известное преобразования Галилея для уравнения Кортевегаде Фриза.

2) Для каждой из построенных групп найден базис функционально независимых инвариатов. С помощью стандартных групповых методов, построен анзац для инвариантных решений. Подробно исследован случай ТУ = 3. В этом случае, построение инвариантных решений сводится к некоторым системам обыкновенных дифференциальных уравнений.

3) Построен новый класс иерархий, параметризуемых парой натуральных чисел (ТУ, М). Показано, что с помощью преобразований типа Миуры уравнения этих иерархий связаны с известными рациональными редукциями Кричевера иерархии Кадомцева—Петвиашвили.

4) В рамках предложенного подхода построена дискретная группа симме-трий, действующая на пространстве решений эволюционных уравнений для каждой (ТУ, М)-ой иерархии. В качестве примера эти преобразования симметрии применяются для построения счетного класса рациональных решений эволюционной системы (2,1)-ой иерархии.

5) Построен счетный класс редукций двумеризованной цепочки Тоды, связанных с (ТУ, 1)-ой иерархией для произвольного N. Для построенных систем гиперболического типа определены формулы преобразований дискретной симметрии, представление нулевой кривизны и лагранжево представление.

6) Построен счетный класс редукций цепочки Вольтерра и связанной с ней одномерной цепочки Тоды. Для некоторых из конечномерных систем найдены первые интегралы.

7) Построен класс совместных решений типа бегущей волны для первых двух систем (1,1)-ой иерархии.