Расширение кольца с помощью полутела

Федеральное агентство по образованию Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

Вятский государственный гуманитарный университет Математический факультет Кафедра алгебры и геометрии Выпускная квалификационная работа Расширение кольца с помощью полутела Выполнил:

студент V курса математического факультета

Лукин Михаил Александрович

_____________________

Научный руководитель:

д. ф.-м. н., профессор, зав. кафедрой алгебры и геометрии

Вечтомов Евгений Михайлович

_____________________

Рецензент:

к. ф.-м. н., доцент, доцент кафедры алгебры и геометрии

Чермных Василий Владимирович

_____________________

Допущен к защите в государственной аттестационной комиссии

«___» __________2005 г. Зав. кафедрой Е. М. Вечтомов

«___"___________2005 г. Декан факультета В. И. Варанкина

Киров — 2005Содержание

Введение

3

§ 1. Допустимые кольца и решетки 6

§ 2. Допустимые полутела 10

§ 3. О единственности расширения 12

Заключение

14

Библиографический список 15

Теория полуколец является активно развивающимся разделом современной алгебры, находящим применения в компьютерной алгебре, идемпотентном анализе, теории оптимального управления.

Для получения новых конструкций полуколец может оказаться полезным понятие двойного расширения полуколец (или 0−1 расширения).

В работе исследуется следующий вопрос. Для каких кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0−1-расширение кольца R и полутела U с помощью решетки L?

Полукольцом называется такая алгебраическая структура S; +,, 0, что S; +, 0 — коммутативный моноид с нулем 0, S, — полугруппа и в S выполняются тождества a(b+c)=ab+ac, (a+b)c=ac+bc и a0=0a=0. Неодноэлементное полукольцо с делением, не являющееся кольцом, называется полутелом (с нулем). Если из полутела S исключить 0, то получим структуру S; +,, которую будем называть полутелом без нуля, или просто полутелом. Полукольцо с квазитождеством a+b=0 a=0 назовем антикольцом. Полукольцо с тождеством a+a=a называется идемпотентным. А полукольцо с квазитождеством a+b=a+c b=c называется сократимым.

Полукольцо S назовем 0-расширением полукольца K с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция, что K[0] - изоморфно нулевому ядру — и S/T. Аналогично, полукольцо S с единицей 1 называется 1-расширением полукольца K, возможно без нуля, с помощью полукольца T, если на S существует конгруэнция, для которой K[1] - изоморфно единичному ядру — и S/T. В отличие от колец данные расширения позволяют шире представлять сами полукольца, скажем, изучить симбиоз колец и полутел, или колец и антиколец (см. [1]).

Для произвольного полукольца S обозначим через R(S) множество всех аддитивно обратимых элементов в S, а через U(S) — множество всех обратимых элементов в S в случае, когда S обладает 1. Очевидно, что R(S) является кольцом и строгим идеалом полукольца S (т.е. a+bR(S) a, bR(S)).

Пусть S/R(S) — фактор-полукольцо полукольца S по конгруэнции Берна, соответствующей идеалу R(S): s конгруэнтно t s+a=t+b для некоторых a, bR(S). Положительное регулярное полукольцо, все идемпотенты которого центральны, называются arp-полукольцом. При этом положительность полукольца S с 1 означает, что все элементы вида a+1, aS, обратимы, а его регулярность означает разрешимость в S каждого уравнения axa=a.

Справедливы следующие утверждения.

1. Любое полукольцо S является 0-расширением кольца, изоморфного R(S), с помощью положительно упорядоченного полукольца [1]

2. Полукольцо S с 1 изоморфно прямому произведению кольца и антикольца тогда и только тогда, когда его идеал R(S) имеет единичный элемент, коммутирующий с каждым элементом из S.

3. Полукольцо S служит 0-расширением кольца с помощью полутела тогда и только тогда, когда идеал R(S) полульца S простой (т.е. abR(S) влечет aR(S) или bR(S)).

4. Для полукольца S с 1 фактор-полукольцо S/R(S) является полутелом с нулем тогда и только, когда R(S) есть максимальный односторонний идеал в S.

В качестве следствия утверждений 2 и 4 очевидным образом формулируется критерий разложимости полукольца с 1 в прямое произведение кольца и полутела с нулем. Отметим также, что подпрямые произведения кольца и ограниченной дистрибутивной решетки абстрактно охарактеризованы в.

5. Для существования 1-расширения полукольца K, возможно не имеющего нуля, с помощью полукольца T необходимо и достаточно, чтобы K имело 1, а T было идемпотентным полукольцом с 1.

6. Любое arp-полукольцо S является 1-расширением полутела U(S) с помощью ограниченной дистрибутивной решетки S/, где — конгруэнция на S, такая, что ab означает aU(S)=bU(S). Для коммутативных полуколец верно и обратное утверждение. См.

7. Всякое полутело является 1-расширением сократимого полутела с помощью идемпотентного полутела.

Полукольцо S с 1 назовем 0−1-расширением полукольца K и полукольца без нуля L с помощью полукольца T, если на S существует такая конгруэнция, что [0]_сK, [1]L и S/T.

Пусть для кольца R, полутела U и ограниченной дистрибутивной решетки L существует 0−1-расширение кольца R и полутела U с помощью решетки L. Соответствующую тройку <R ,P ,L> будем называть допустимой.

§ 1. Допустимые кольца и решётки

Речь в главе пойдёт о решётке и кольце, состоящих в допустимой тройке.

Обозначим через D двухэлементную цепь.

Пусть имеется полукольцо S с конгруэнцией, для которой [0]R, [1]P, F/D. Такое полукольцо S назовем дизъюнктным объединением кольца R и полутела P, и обозначим PR. Ясно, что pP,rR,prR,p+rP.

С другой стороны, если любой элемент полукольца S с 1 либо обратим, либо имеет противоположный элемент, то S будет дизъюнктным объединением кольца R(S) и полутела U(S). При этом разбиение {R(S), U(S)} индуцирует искомую конгруэнцию на S.

Предложение. В UR справедливы следующие утверждения а) аддитивная группа R делимая абелева группа. б) результат умножения определён единственным образом.

Доказательство. а) Пусть, тогда, ч.т.д.

б) Пусть мультипликативная операция задана. Если, то. Умножив равенство на справа, получим, значит. Рассмотрим результат умножения, пусть. Тогда, поэтому есть элемент, складывая который раз получим. Из ранее доказанного следует, что такой элемент единственен, что завершает доказательство. есть решение уравнения в кольце .

Теорема 1. Для произвольного кольца R эквивалентны следующие условия:

1) существует допустимая тройка R, U, L, где L — любая дистрибутивная решетка с 10;

2) существует полукольцо, являющееся дизъюнктным объединением кольца R и полутела U;

3) R — радикальное по Джекобсону кольцо, аддитивная группа которого есть делимая группа без кручения.

Доказательство.

12. Для данной тройки рассмотрим подходящие полукольцо S и конгруэнцию. Поскольку D — подрешетка дистрибутивной решетки L с 0 и 1, в качестве дизъюнктного объединения можно взять подполукольцо [1][0] в S.

21. Любая дистрибутивная решетка L обладает простым идеалом I, более того LI — дуальный идеал.

Поэтому в качестве полукольца S можно взять множество пар (i,r),iI,rR(l,p),lL/I,pP с покоординатным сложением и умножением. Ввиду простоты I операции заданы корректно, аксиомы полукольца выполняются, поскольку они выполняются для левой координаты, как аксиомы решётки и для правой координаты, что следует из существования F, [0]R, [1]P, F/L₂. Если в качестве конгруэнции выбрать отношение равенства первых координат, то [0]R, [1]P, S/L₂, что завершает доказательство.

Лемма. Пусть в кольце R r r tR,(r+rr+r)t=0,(r+rr+r)t=0, тогда r r ,r+rr+r=0r+rr+r=0.

Доказательство. Пусть выполнено условие леммы, тогда, положим r=-r-rr. Имеем

r+rr+r = r+(- r — rr)r — r — rr = (r+rr+r)(-r)=0

r+rr+r = r+r (- r — rr) — r — rr = (r+rr+r)(-r)=0.

Кольцо R называется радикальным по Джекобсону, если оно совпадает со своим радикалом Джекобсона (см., например, [5]). Это означает, что операция «круговой композиции» rs = r+s+rs в R является групповой, с нейтральным элементом 0. Другими словами, в кольце R для любого элемента r существует единственный элемент s, такой, что r+s+rs=0.

2)3). P содержит Q⁺, иначе 1+1=1, умножив равенство на ненулевой элемент кольца r, имеем r+r=rr=0 — противоречие. Таким образом, R — полумодуль над Q⁺ и, значит, модуль над Q. Поэтому <R,+> - делимая абелева группа без кручения (подробно см. также предложение).

Множество T= Q⁺+R является подполутелом в U, поскольку

q₁+r₁+q₂+r₂ = (q₁+q₂)+(r₁+r₂);

(q₁+r₁)(q₂+r₂) = (q₁q₂+q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂) = q₁q₂+(q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂);

t=q+r1=qt ^-1+rt ^-1t ^-1=q ^-1— q ^-1r t ^-1 Q⁺ + R.

Следовательно, для любого элемента 1+r,rR найдётся, 1+r,rR что (1+r)(1+r) = (1+r)(1+r) = 1. Из дистрибутивности следует, что 1+r+rr+r = 1+r+rr+r = 1. Умножая последнее равенство на любое tR, имеем (r+rr+r)t=0(r+rr+r)t=0, значит, в виду леммы, R радикально по Джекобсону.

3)2). Поскольку R радикально по Джекобсону, алгебра Q⁺R с операциями

(q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂)

является полутелом с единичным элементом (1,0). А множество S(Q⁺{0})R с теми же операциями совпадает с (Q⁺R)({0}R) = (Q⁺R)R.

Примеры. 1. Любое ниль-кольцо радикально по Джекобсону. В частности таково кольцо с нулевым умножением.

Ещё одним частным случаем является нильпотентное кольцо R, порождённое одним элементом .

Пусть — образующий. Поскольку в качестве элементов R выступают p₁ + p₂² + … + p_n-1^n-1, p_iQ, n — наименьшая нулевая степень, T R — в точности совпадает с одним из двух полуколец.

(q+q₁ + q₂² + … + q_n-1^n-1,p₁ + p₂² + … + p_n-1^n-1)qQ⁺,q_i,p_iQ или

(q+q₁ + q₂² + … + q_n-1^n-2,p₁ + p₂² + … + p_n-1^n-1)qQ⁺,q_i,p_iQ

c операциями

(q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂).

2. Радикальным по Джекобсону будет кольцо, совпадающее с подмножеством гипердействительных чисел R(0). Это коммутативное кольцо без делителей нуля. a(0), a+x+ax = 0x = (-a)/(1+a)(0)

Моделью представленного полукольца является прямое произведение двух подмножеств кольца Q[x]: многочленов с неотрицательным свободным членом и многочленов с положительным свободным членом. Множество пар, вида (q+q₁ + q₂² + … + q_n-1^l,p₁ + p₂² + … + p_n-1^m)qQ⁺,q_i,p_i

Соответственно частному функций задаются все операции в этом множестве (разумеется, берётся не всё множество пар, а множество классов факторполукольца, где две пары эквивалентны тогда и только тогда, когда равны произведения их противоположных координат).

Этот пример легко обобщается для многочленов от произвольного множества переменных.

§2. Допустимые полутела

Дальнейший ряд предложений направлен на отыскание всевозможных полутел P, что PR.

Замечания. 1. Пусть дано допустимое кольцо R, тогда множество элементов M = r•m = m•r =0 образует в нём подкольцо.

2. Множество элементов E = {R, 1+=1} образует в M и в R двусторонний идеал с делимой аддитивной группой.

3. Множество Q⁺Ч (R/I) является полутелом с операциями (q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂), где I — произвольный идеал с делимой аддитивной группой кольца R.

Теорема 2. Пусть R, U, D — допустимая тройка и R ненулевое. Тогда множество Q⁺+R есть подполутело U, изоморфное ((R/I)Q⁺), где I некоторый идеал аннулятора с делимой аддитивной группой. И существует канонический гомоморфизм полутела U в кольцо R-модульных эндоморфизмов End _RR, образ которого содержит Q⁺. Если правый аннулятор кольца R нулевой, то полутело Im содержит подполутело, изоморфное ((R/I)Q⁺).

Доказательство. Пусть T, R — из допустимой тройки. Любой элемент T представим в виде q+r,qQ⁺,rR. Два элемента q+r₁ и q+r₂ равны тогда и только тогда, когда 1+r₁-r₂=1. С другой стороны, если 1+r = 1, то 1+r₁+r=1+r₁. Поэтому все элементы вида q+r+, 1+=1 сливаются в классы qЧ (R/I), где I — множество всех .

Отображение _u: RuR, uU ввиду дистрибутивности и ассоциативности в UR является R - модульным эндоморфизмом. Пусть _u+_v:R(u+v)R и _uv:RuvR, тогда отображение: U End _RR, сопоставляющее каждому элементу uU эндоморфизм _u - канонический гомоморфизм.

Пусть правый аннулятор R нулевой, тогда для двух элементов q₁+r₁, q₂+r₂, считая без ограничения общности, q₁=q₂+q₃ (q₃ может равняться нулю), r, (q₁+r₁)r=(q₂+r₂)r(q₃+r₁-r₂)r=0q₃=0,r₁=r₂. Элементы q₁+r₁ и q₂+r₂ одинаково действуют на R только в случае равенства. Поэтому - мономорфизм и Im содержит подполутело, изоморфное ((R/I)Q⁺).

Замечание. Система (Q⁺Ч (R/I))({0}ЧR) с операциями (q₁,r₁)+(q₂,r₂) = (q₁+q₂)+(r₁+r₂), (q₁,r₁)(q₂,r₂) = (q₁q₂,q₁r₂+r₁q₂+r₁r₂) и произвольным идеалом аннулятора с делимой аддитивной группой I является дизъюнктным объединением. Сложение класса (R/I) с элементом кольца определяется как сложение любого элемента этого класса с элементом кольца.

§ 3. О единственности расширения

При изучении структуры дизъюнктных объединений кольца и полутела возникает вопрос о единственности UR для данных U и R. Ниже приведём пример существования несовпадающих дизъюнктных объединений при заданных U и R.

Пусть для данных полутела U и кольца R существует коммутативное U R и пусть tR не лежит в AnnR, но trAnnRrR (примером такого дизъюнктного объединения с элементом t служит

(q+q₁ + q₂² + … + q_n-1^n-1,p₁ + p₂² + … + p_n-1^n-1)qQ⁺,q_i,p_iQ из примера 1).

Определим новые операции на UR следующим образом: Умножение оставим неизменным, а сложение элементов rR и uU сложение зададим законом ur=u+r+rt. Поскольку операции внутри полутела и кольца при этом не меняются, достаточно проверить выполнение законов:

1. Ассоциативность сложения:

(u₁u₂)r=u₁(u₂r)u₁+u₂+r+rt= u₁+u₂+r+rt

(ur₁)r₂=u(r₁r₂)u+r₁+r₁t+r₂+r₂t=u+r₁+r₂+(r₁+r₂)t.

2. Дистрибутивность:

u₁(ru₂)=u₁ru₁u₂u₁(r+u₂+rt)=u₁u₂+u₁r+u₁rt

r₁(ur₂)=r₁ur₁r₂r₁u+r₁r₂+r₁r₂t=r₁u+r₁r₂.

Таким образом, UR с новыми операциями является дизъюнктным объединением. Однако, два имеющихся полукольца изоморфны между собой, поскольку существует изоморфизм f:uuuU:

r(1+t)^-1rrR. Причём f_t :r(1+t)^-1rrR - автоморфизм R.

Доказательство. Имеем f_t - автоморфизм R, поскольку для каждого элемента r имеется свой праобраз (1+t)r. И выполняются тождества

r₁,r₂, f_t(r₁+r₂)=(1+t)^-1(r₁+r₂)= (1+t)^-1r₁+(1+t)^-1r₂=f_t(r₁)+ f_t(r₂)

r₁,r₂,(1+t)^-1(r₁•r₂)=(1+t)^-1(1+t)^-1(r₁•r₂),

поскольку (1+t)r₁r₂=r₁r₂. Поэтому в виду коммутативности полукольца f_t(r₁•r₂)= f_t(r₁)f_t (r₂).

Поскольку при отображении f кольцо и полутело автоморфно переходят в себя, изоморфизм полуколец вытекает из следующих тождеств:

uU, rR f(u+r)=u+r= u+r+(1+t)^-1r f(u)f(r)

uU, rR f(ur)=(1+t)^-1ur=u(1+t)^-1r=f(u) f(r).

Вопрос о том, единственным ли является дизъюнктное объединение с точностью до изоморфизма остаётся открытым.

Заключение

В дипломной работе представлено описание 0−1-расширений кольца R и полутела U с помощью решетки L. Установлены, следующие факты:

существование 0−1-расширения не зависит от строения дистрибутивной решётки L (теорема 1);

кольцо R состоит в какой либо допустимой тройке тогда и только тогда, когда оно радикально по Джекобсону (теорема 1);

строение полутела U существенно зависит от строения R (теорема 2).

Не решённым остаётся вопрос о единственности с точностью до изоморфизма UR. В работе устанавливается взаимосвязь между значимыми математическими структурами — кольцами и полутелами. Подобные взаимосвязи могут существовать и между другими объектами алгебры, существенным может оказаться изучение и обобщение таких взаимосвязей.

Библиографический список

1. Вечтомов Е. М. Две общие структурные теоремы о полумодулях // Абелевы группы и модули: сб. статей / Под ред. А. В. Михалева. Вып. 15. -Томск: ТГУ, 2000. — С. 17−23.

2. Вечтомов Е. М., Михалев А. В., Чермных В. В. Абелево-регурярные положительные полукольца // Труды семинара им. И. Г. Петровского. — 2000. — Т 20. — С. 282−309.

3. Golan J.S. The theory of semirings with applications in mathematics and theoretical computer science // Pitman monographs and surveys in pure and applied mathematics. V. 54. — 1992. — S. 93−98.

4. Семенов А. Н. О строении полутел // Вестник ВятГГУ. — 2003. — № 8. — С. 105−107.

5. Херстейн И. Некоммутативные кольца. — М.: Мир, 1972. — 200 с.