Корреляционные функции в интегрируемой теории поля

Одной из важнейших проблем современной квантовой теории поля является вычисление корреляционных функций локальных операторов. Единственными примерами, где эю возможно сделать, являются двумерная конформная теория поля и двумерная модель Изинга в нулевом магнитном иоле [1,2]. Оба этих примера обьеденяег то, что они являются двумерными интегрируемыми квантовыми теориями поля, т. е. теориями с бесконечным числом интегралов движения. В таких теориях оказывается возможным использовать методы, коюрые не применяются в «обычной» квантовой теории поля. Вообще интегрируемые теории поля делятся на два класса: конформные теории ноля и массивные интегрируемые теории ноля.

Первый класс или двумерная конформная теория поля, сформулированная в 1984 году Белавиным, Поляковым и Замолодчиковым [lj, является замечательным примером интегрируемой теории, в которой все корреляционные функции могут быть вычислены точно. Это становится возможным благодаря конформной инвариантности и использованию гипотезы об операторной алгебре. Конформная инвариантность позволяет легко описать пространство полей в теории. Можно показать что любое иоле принадлежит семейству, порожденному некоторым специальным полем, которое называется примарным. Остальные поля теории называются полями потомками. Размерности '-этих полей образуют серии отличающиеся на целые числа. Их корреляционные функции могут быть найдены из корреляционных функций примарных нолей действием некоторых линейных дифференциальных операторов. Поэтому задача о вычислении всех корреляционных функций в теории сводится к задаче о вычислении корреляционных функций примарных полей. Такая простая структура операторной алгебры в теории является отличительной чертой конформной теории ноля.

Одними из самых простых конформных теорий поля являются минимальные модели. В этих моделях имеется конечное число примарных полей, причем каждое из этих нолей вырождено. Конформные размерности этих полей задаются при помощи формулы Каца. Любые многоточечные корреляционные функции в этих теориях задаююя при помощи двумерных кулоновеких интегралов. Просшйший нетривиальные пример минимальной модели это двумерная модель Изинга в критической точке. Остальные минимальные модели описывают более сложные типы критического поведения в двумерных системах.

Другим не менее важным примером конформной теории поля является теория Лиувилля. Эта теория появляется при квантовании теории струн в размерности пространства времени не равной 26. Спектр полей в этой теории, в отличие от минимальных моделей, является непрерывным. В последние годы в этой теории был достигнут замечательный прогресс. В частости, в работах [47−49] были вычислены трехточечные корреляционные функции экспоненциальных нолей, что, благодаря конформной инвариантности и гшкмезе об операторной алгебре, позволяет в принципе вычислить любые многоточечные корреляционные функции.

Теория Лиувилля допускает естественное обобщение путем введения дополнительных симметрия, порожденных сохраняющимися токами спина 3, — Эти токи BMecie с тензором энергии-импульса образуют замкнутую операторную алгебру, называемую IV алгеброй. Такие теории называются теориями Тоды. Теория Тоды не так хорошо исследована как теория Лиувилля и несомненно заслуживает более детального изучения. В частности предетвляет интерес обобщение результатов, полученных в теории Лиувилля на этот случай. Некоюрые из имеющихся здесь проблем решены в диссертации.

В юрой класс теорий это массивные теории ноля. Эги модели хотя и не являются конформными, но имеют бесконечное число законов сохранения. Многие важные величины в этих моделях, такие как матрица рассеяния или формфакторы локальных полей, могут быть вычислены точно. При попытках обобщить алгебраический подход, применяемый при изучении конформных теорий ноля, на более широкий класс двумерных интегрируемых моделей одной из основных трудностей является отсутствие каких либо алгебр симметрий, которые бы описывали пространство состояний и характеризовали локальные операторы. Эта проблема не решена до сих пор. Однако некоторые тесты, такие как подсчет состояний, вселяют определенный оптимизм.

В диссертации рассматривается несколько примеров интегрируемых теорий ноля. В каждой из этих теорий проводится вычисление различных корреляционных функций. Диссертационная работа имеет следующую структуру.

В первой главе рассматриваются минимальные модели конформной теории поля возмущенные нолем Ф13. Эги теории связанны со многими интересными двумерными сттистическими системами, такими как модель.

Изинга, модель Потса, RSOS-модоли итд. К сожалению, аналитические выражения для таких важных объектов в теории поля, как корреляционные функции локальных нолей, до сих пор не найдены. В диссертации рассматривается этог вопрос для случая двухточечной корреляционной функции спиновых нолей. Вычисление проводится двумя способами. Методами конформной теории возмущений на малых расстояниях и используя форм-факторное разложение на больших расстояниях. Показано, что результаты короткои длиннодистанционных разложений согласуются на средних масштабах.

Во второй главе рассматривается двумерная квантовая теория Тоды, связанная с алгеброй sl (rc). Эта теория описывается лагранжианом где — скалярное поле ф =. .<^n-i)> & — безразмерная константа связи, ц — параметр, называемый космологической постоянной и вектора е/. — простые корни алгебры si (n). 3ia теория является конформно-инвариантной с центральным зарядом с = п— 1 + 12Q2, где Q = (b + b~l)p и р—вектор Вейля. Более того, алгебра симмегрий этой теории включает также множество локальных токов Wk (z) со спинами равными 3,4,., п. Эти токи вместе с тензором энергии-импульса образуют ассоциативную операторную алгебру, которая совпадает с Wn алгеброй. Благодаря этому обстоя Iельству, корреляционные функции удовлетворяют большому числу соотношений, называемыми конформными тождествами Уорда. Эти соотношения позволяют вычислить некоторые корреляционные функции точно.

Одной из наиболее важных задач в теории Тоды и в конформной теории.

71−1 ноля вообще является вычисление трехточечных корреляционных функций примарных полей Vn = В случае алгебры sl (2) это вычисление было проведено в работах Дорна и Отто [47,48] и независимо в работе Замо-лодчикова и Замолодчикова [49]. Благодаря эюму вычислению, а также конформной инвариантности, открывается принципиальная возможность вычислить любые многоточечные корреляционные функции в этой теории точно.

В § 1 это показано, что вычисление трехточечной корреляционной функции, проделанное для алгебры s ((2), обобщается на случай алгебры sl (n), если параметр, а одного из полей принимает специальные значения. Например если здесь — фундаментальный вес алгебры sl (n). В этом случае ответ для трехточечной корреляционной функции.

Vai (z 1, zi) VQ2(Z2, z2) V^n,{zt, г3)> =.

C{aha2,xuJn-{) г12|2(Д1+Д2-Дз)|г13|2(Д,+Дз-Да)|223|2(Д2гДз-А1)' где Д^ — конформная размерность поля Vak, может быть записан в терминах функции Т (ж), введенной Барнсом, как.

2Q-Ea, (,).

С (оц, Q2, = 7Г[1-/(Ь2)Ь2~2Ь2 «X.

T (6))n1 Г (я) П Т ((Q — сч, е)) т ((Q — а2> е)) ПТ U +^-QJiJ + iai-QJij)).

13 4 ' где введено обозначение *)(х) = Г (ж)/Г (1 — х). Произведение в числителе идет по положительным корням алгебры sl (n), а в знаменателе, но весам представления и.

В § 2 предложен другой способ вывода трехточечной функции. Он основан на использовании свойств вырожденных нолей Wn алгебры. Именно, показано, что чегырехточечная корреляционная функция.

V^&X^maMV^n-Aoo)) удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка п с тремя регулярными особыми точками 0, 1 и оо по каждой из переменных х и х. Это уравнение совпадает с обобщенным гипергеометрическим уравнением. Функция, являющаяся одновременным решением обоих уравнений, обязана быть однозначной на плоскости с тремя отмеченными точками. Можно показать, что это требование эквивалентно выполнению функциональных соотношений для функции C (c*i, a2, хи) п-{). Решение этих функциональных соотношений совпадает с ответом полученным в § 1.

В § 3 исследуекя квазиклассический предел теории при Ь —> 0. В этом пределе интересно рассмотреть случаи тяжелых о^ ~ 1/6 и легких а^ ~ Ь нолей. В первом случае асимптотика трехточечных корреляционных функций даехся классическим действием, вычисленным на решении классических уравнений Тоды с тремя особыми точками. Во втором — интегралом по пространству модулей регулярного классического решения этих уравнений. В обоих случаях проделаны соответствующие вычисления и результат сравнен с асимптотикой квантового выражения.

В § 4 изучается еще один квазиклассический предел трехточечной корреляционной функции, известный в литературе как minisuperspace limit. В этом пределе динамика описывается нулевыми модами поля (р. При этом оператор Vqt1p coot вето гвует волновой функции.

КдмР-Ф^М, где х — нулевая мода поля ip. Функция Фудовлетворяет уравнению Шредингера.

71−1.

— V2X + 2тг/- Y, zh[tiX).

V i=i.

Квазиклассический предел трехточечной функции С (а, а2, ск.{) имеет смысл, если в пределе 6 —> 0 взять a-v = Q + ibpk для к = 1,2 и а, = ibq. В этом случае он даегся интегралом.

C (Q + ibph Q + ibP2, ibq) —> J.

Интеграл (2.3) может быть вычислен точно в случае когда q = sujn-1 и ответ совпадает с пределом C (Q + ibp, Q + ibp2, ibsjjn-).

В третьей главе изучаются корреляционные функции в теории Лиувил-ля (sl (2) теории Тоды) и минимальной гравитации.

В § 1 показано, что четырехточечная корреляционная функция с одним вырожденным полем в теории Лиувилля.

V г^ (х, х) Vai (0) Vft2 (1) Va3 (оо)) можег быть вычислена явно. Хорошо известно, что такая корреляционная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению порядка тп+1 по переменным х и х. Однозначное решение этих уравнений может быть записано в виде 2т-кратного кулоновского интеграла. Используя свойства этой четырехточечной функции, получены новые тождества которым удовлетворяют кулоновские интегралы.

2,Т,(«)/.

§ 2 посвящен изучению минимальной гравитации. Вычисляется четырехточечная корреляционная функция с одним вырожденным материальным полем.

В заключении перечисляются основные результаты диссертации.

Заключение

.

В заключении еще раз перечислим основные результаты диссертационной работы.

1. Было проведено вычисление двухточечной корреляционной функции спиновых полей в минимальных моделях конформной теории ноля Л/ру возмущенных нолем Ф13. На малых расстояниях использовался метод конформной теории возмущений, а на больших форм-факторное разложение. Показано, что комбинация обоих меюдов дает правильное поведение корреляционной функции на всех масштабах.

2. Были вычислены трехточечные корреляционные функции экспоненциальных полей в теории Тоды в случае, когда вес одного из полей пропорционален первому фундаментальному весу соответствующей алгебры Ли. Ответ обобщает известный результат для трехточечной функции в теории Лиувилля.

3. Разработана техника вычисления корреляционных функций в теории Тоды в квазиклассическом пределе. Получены квазиклассические выражения для трехточечных корреляционных функций.

4. Явно вычислены четырехточечные корреляционные функции с одним вырожденным полем в теории Лиувилля. Огвег представляется в виде кулоновского интеграла. Получена серия функциональных соотношений, которым удовлетворяют эти интегралы.

5. Найдены четырехточечные корреляционные функции в минимальной гравитации с одним вырожденным материальным полем.

Результаты, выносимые на защиту, опубликованы в следующих работах:

1 A. A. Belavin, V. A. Belavin, А. V. Litvinov, Y. P. Pugai and А. В. Zamo-lodchikov, On correlation functions in the perturbed minimal models M2,2rc+b Nucl. Phys. В 676 (2004) 587.

2 A. A. Belavin, A. V. Litvinov, On correlation functions in perturbed minimal models, Quarks-2004 Proceedings.

3 А. В. Литвинов, В. А. Фатеев, On differential equation on four-point correlation function in the Conformal Toda Field Theory, Письма в ЖЭТФ 81 (2005) 728.

4 А. В. Литвинов, В. А. Фатеев, Coulomb integrals in Liouville theory and Liouville gravity, Письма в ЖЭТФ 84 (2006) 625.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах института теоретической физики им Л. Д. Ландау, в Независимом московском университею и на семинаре в Физизичеком институте им П. Н. Лебедева РАН, а также на конференциях:

1. IPM String School and Workshop, April 10−19, 2006, Tehran, IRAN;

2. Arithmetic and Geometry Around Quantization, 5—15 June 2006, Istanbul, Turkey, 2006;

3. Strongly Correlated Phenomena in Quantum Field Theory, Nanophysics and Hydrodynamics, 12−15 December 2005, ICTP Trieste, Italy;

4. Первая и вторая легияя научная школа Фонда «Династия», пос. Московский, Московской области.

Автор выражает глубокую признательность всем сотрудникам сектора квантовой теории поля института теоретической физики им JI. Д. Ландау за полезные обсуждения.

Особенно я хочу поблагодарить моего научного руководителя А. А. Бе-лавина за постоянное внимание и поддержку во время моего обучения и написания работы, а также В. А. Фатеева в соавторстве с которым получен ряд результатов диссертации.