Игровые методы оптимизации вероятностных функционалов и их применение к решению аэрокосмических и экономических задач
Диссертация
Реальная жизнь постоянно порождает ситуации, требующие принятия решений в условиях неопределенности. При этом часто оказывается, что любая стратегия поведения сопряжена с риском, обусловленным негарантированностью получения желаемого результата. При построении математических моделей таких задач выделяются два наиболее существенных фактора. Первый фактор можно назвать полезностью стратегии… Читать ещё >
Список литературы
- Ананьев Б.И. О коррекции движения при статистически неопределенных возмущениях. // Эволюционные системы в задачах оценивания. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985, сс.3−14.
- Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.: Наука, 1976.
- Афанасьев В.Н., Колмановский В. Б., Носов В. Р. Математическая теория конструирования систем управления. М.: Высш. шк., 1998.
- Байсакалов И.Б. Стохастическая задача оптимального управления в условиях неопределенности. // Гарантированное оцениваниее и задачи упр. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986, сс.31−33.
- Бахшиян Б.Ц., Назиров P.P., Эльясберг П. Е. Определение и коррекция движения. М.: Наука, 1980.
- Боровков A.A. Математическая статистика (Дополнительные главы). М.: Наука, 1984.
- Воронов A.A. Введение в динамику сложных управляемых систем. М.: Наука, 1985.
- Гладышев Е.Г. О стохастической аппроксимации. // Теория вероятностей и ее применения, 1965, т. 10, № 2, сс.297−300.
- Ермольев Ю.М. Методы стохастического программирования. М.: Наука, 1976.
- Ефремов В.А., Кибзун А. И. Оптимальные экстремальные порядковые оценки квантили. // Автоматика и телемеханика, 1996, № 12, сс.3−15.
- Зубов В.И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975.
- Кан Ю. С. Стабилизация квазилинейной системы со случайными ошибками в канале управления. // Автоматика и телемеханика, 1994, № 1, сс.184−187.
- Кан Ю. С. Квазиградиентный алгоритм минимизации функции квантили. // Изв. РАН. Теория и системы управления. 1996, № 2, сс.81−86.
- Кан Ю. С. Оптимизация портфеля ценных бумаг по квантильному критерию. -В кн.: Финансовая математика / Под ред. Ю. М. Осипова и др. М.: ТЕИС, 2001, сс.83−105.
- Кан Ю. С. Об обосновании принципа равномерности в задаче оптимизации вероятностного показателя качества. // Автоматика и телемеханика, 2000, № 1, сс. 54−70.
- Кан Ю. С. Оптимизация управления по квантильному критерию. // Автоматика и телемеханика, 2001, № 5, сс.77−88.
- Кан Ю. С. Оптимизация инвестиций в дисконтные ценные бумаги по квантильному критерию качества. // Ргос. of Int. Scientific School «Modelling and Analysis of Safety, Risk and Quality in Complex Systems». Saint Peterburg, 2001, pp.248−256.
- Кан Ю. С, Кибзун А. И. Оптимальное управление линейной системой по квантильному критерию. // Автоматика и телемеханика, 1990, № 1, сс.37−43.
- Кан Ю. С, Кибзун А. И. Стабилизация квазилинейной системы, находящейся под действием неопределенных и случайных возмиущений. // Автоматика и телемеханика, 1990, № 11, сс.75−84.
- Кан Ю.С., Кибзун А. И. Свойства выпуклости функций вероятности и квантили в задачах оптимизации //Автоматика и телемеханика, 1996, № 3, сс.82−102.
- Кан Ю.С., Мистрюков A.A. Качественные исследования функций вероятности и квантили. // Изв. РАН, Теория и системы управления, 1996, № 3, сс.36−40.
- Кан Ю. С, Мистрюков A.A. Задача квантильной оптимизации в случае управляемой меры. В кн.: Материалы международной конференции и Чебышевских чтений, посвященных 175-летию со дня рождения П. Л. Чебышева. Том 1. М.: МГУ, 1996,, сс. 179−182.
- Кан Ю. С, Русяев A.B. Задача квантильной минимизации с билинейной функцией потерь. // Автоматика и телемеханика, 1998, № 7, сс.67−75.
- Кан Ю. С, Русяев A.B. Формирование портфеля дисконтных ценных бумаг с учетом ограничения на риск. // Международная конференция по проблемам управления. Тезисы докладов. Том 2. М.: ИПУ РАН, 1999, сс.65-б7.
- Кан Ю. С, Тузов Н. В. Минимизация квантили нормального распределения билинейной функции потерь. // Автоматика и телемеханика, 1998, № 11, сс. 82−92.
- Карп К.А., Малышев В. В. Оптимальное квантильное управление динамической системой. // Автоматика и телемеханика, 1998, № И, сс.92−104.
- Кац И. Я. Метод функций Ляпунова в задачах устойчивости и стабилизации систем случайной структуры. Екатеринбург: изд-во Уральской государственной академии путей сообщения, 1998.
- Кибзун А.И. О наихудшем распределении в задачах стохастической оптимизации с функцией вероятности. // Автоматика и телемеханика, 1998, № 11, сс. 104−116.
- Кибзун А.И., Курбаковский В. Ю. Численные алгоритмы квантильной оптимизации и их применение к решению задач с вероятностными ограничениями. // Изв. РАН, техн. киберн., 1992, № 1.
- Кибзун А.И., Малышев В. В., Чернов Д. Э. Два подхода к решению задач стохастической оптимизации. // Изв. АН СССР, Техническая кибернетика, 1988, 20, № 3, сс.20−25.
- Кибзун А.И., Наумов A.B. Двухэтапные задачи квантильного линейного программирования. // Автоматика и телемеханика, 1995, № 1, сс.83−93.
- Кибзун А.И., Наумов A.B. Гарантирующий алгоритм решения задачи квантиль-ной оптимизации. // Космические исследования, 1995, 2, сс. 160−165.
- Кибзун А.И., Сотский А. Н. Задача управления линейной стохастической системой по критерию вероятности. // Автоматика и телемеханика, 1995, № 5, сс.78−85.
- Кибзун А.И., Сотский А. Н. Алгоритм вычисления квантили для покоординатно-квазивыпуклой функции случайного вектора с независимыми компонентами. // Изв.РАН. Теория и системы управления. 1995, № 6, сс. 107−115.
- Кибзун А.И., Третьяков Г. Л. О дифференцируемости функции вероятности. // Изв. РАН, Теория и системы управления, 1996, № 2, сс.53-б3.
- Кибзун А.И., Третьяков Г. Л. Дифференцируемость функции вероятности. // Докл. РАН, 1997, 354, № 2, сс. 159−1б1.
- Кибзун А.И., Третьяков Г. Л. О гладкости критериальной функции в задаче кван-тильной оптимизации. // Автоматика и телемеханика, 1997, № 9, сс.69−80.
- Колмановский В.Б. Об управлении по вероятности некоторыми системами. // Прикладная математика и механика, 1976, т.40, вып.5, сс.782−789.
- Колмогоров А.Н., Фомин СВ. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1972.
- Коростелев А.П. Стохастические рекуррентные процедуры. М.: Наука, 1984.
- Кощеев A.C., Куржанский A.B. Адаптивное оценивание эволюции многошаговых систем в условиях неопределенности. // Изв. АН СССР, техн. киберн., 1983, № 2, сс.72−93.
- Красовский H.H. Об оптимальном регулировании при случайных возмущениях. // Прикладная математика и механика, 1960, т.24, вып.1, сс.64−79.
- Кузьмин В.П., Ярошевский В. А. Оценка предельных отклонений фазовых координат динамической системы при случайных возмущениях. М.: Наука, 1995.
- Лепп Р. Максимизация функции вероятности при простых ограничениях. // Изв. АН эсер. Физика. Математика. 1979, 28, № 4, сс.303−309.
- Лепп Р. Минимизация гладкой функции при вероятностных ограничениях. //
- Изв. АН эсер. Физика. Математика. 1980, 29, № 2, сс. 140−144.
- Лехтвейс К. Выпуклые множества. М.: Наука, 1980.
- Лидов М.Л., Лукьянов СО. Задача о времени движения точки в области при случайных ошибках управления. // Космические исследования, 1971, т.9, вып.5, сс.707−722.
- Липцер Р.Ш., Ширяев А. Н. Статистика случайных процессов. М.: Наука, 1978.
- Люстерник Л. Неравенство Брунна-Минковского для измеримых по Лебегу множеств. // Докл. АН СССР, 1935, 3, № 2, сс.55−58.
- Макаров Г. Д. Оценка для функции распределения двух случайных величин при заданных маргинальных распределениях. // Теория вероятностей и ее применение, 1981, Т.26, вьга.4, сс.815−817.
- Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. М.: Наука, 1966.
- Малышев В. В" Карп К. А. Численные методы вероятностного анализа. М.: МАИ, 1993.
- Малышев В. В" Карп К. А. Методы оптимизации вероятностных критериев. М.: МАИ, 1994.
- Малышев В.В., Кибзун А. И. Анализ и синтез высокоточного управления летательными аппаратами. М.: Машиностроение, 1987.
- Малюков В.П., Чикрий А. А. Дискретная игровая задача с неполной информацией. // Автоматика и телемеханика, 1985, № 10, сс.71−77.
- Матросов В.М., Анапольский Л. Ю., Васильев С. Н. Метод сравнения в математической теории систем. Новосибирск: Наука, Сиб. отд-ние, 1980.
- Михалевич B.C., Гупал A.M., Норкин В. И. Методы оптимизации невыпуклых функций. М.: Наука, 1987.
- Назин А.В. Метод стохастической аппроксимации с усреднением. М.: МАИ, 2001.
- Невельсон М.Б., Хасьминский Р. З. Стохастическая аппроксимация и рекуррентное оценивание. М.: Наука, 1972.
- Норкин В.И., Роенко Н. В. а-вогнутые функции и меры и их приложения. // Кибернетика и системный анализ, 1991, 6, сс.77−88.
- Пакшин П.В. Дискретные системы со случайными параметрами и структурами. М.: Физматлит, 1994.
- Панков А.Р. Стратегии управления в линейной стохастической системе с негаус-совскими возмущениями. // Автоматика и телемеханика, 1994, № 6, сс.74−83.
- Первозванский A.A., Первозванская Т. Н. Финансовый рынок: Расчет и Риск. М.: Инфра-М, 1994.
- Поляк Б.Т. Сходимость и скорость сходимости итеративных стохастических алгоритмов. I. Общий случай. // Автоматика и телемеханика, 1976, № 12, сс.83−94.
- Поляк В.Т. Введение в оптимизацию. М.: Наука, 1983.
- Поляк Б.Т., Цыпкин Я. З. Псевдоградиентные алгоритмы адаптации и обучения. // Автоматика и телемеханика, 1973, № 6.
- Пугачев B.C., Кибзун A.M., Панков А. Р. Проблемы оценивания в неопределенно-стохастических системах. В кн.: Сборник избранных работ по грантам в области информатики, радиоэлектроники и систем управления. — Санкт-Петербург, 1994, сс.5−12.
- Пугачев B.C., Синицын И. Н. Стохастические дифференциальные системы. 2-е изд. М.: Наука, 1990.
- Райк Э. О функции квантиля в стохастическом нелинейном программировании. // Изв. АН эсер, ф из.-мат., 1971, 20, № 2, сс.229−231.
- Райк Э. Качественные исследования в задачах стохастического нелинейного программирования. // Изв. АН эсер, ф из.-мат., 1971, 20, № 1, сс.8−14.
- Райк Э. О задачах стохастического программирования с функционалами вероятности и квантиля. // Изв. АН ЭССР, физ.-мат., 1972, 21, № 2, сс. 142−148.
- Райк Э. Дифференцируемость по параметру функции вероятности и стохастический псевдоградиентный метод для ее оптимизации. // Изв. АН ЭССР, физ.-мат., 1975, 24, № 1, сс.3−9.
- Репин В.Г., Тартаковский Г. П. Статистический анализ при априорной неопределенности и адаптация информационных систем. М.: Сов. радио, 1977.
- Рокафеллар Т. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.
- Самарский А.А. Введение в численные методы. М.: Наука, 1982.
- Тамм Э. О квазивыпуклости функций вероятности и квантили. // Изв. АН Эсер, ф из.-мат., 1976, 25, № 2, сс. 141−144.
- Тамм Э. О минимизации функции вероятности. // Изв. АН ЭССР. Физика. Математика. 1979, 28, № 1, сс. 17−24.
- Урясьев СП. Адаптивные алгоритмы стохастической оптимизации и теории игр. М.: Наука, 1990.
- Федоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979.
- Филиппов А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. -М.: Наука, 1985.
- Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978.
- Фурасов В.Д. Устойчивость движения, оценки и стабилизация. М.: Наука, 1977.
- Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмугцениях их параметров. М.: Наука, 1969.
- Черноусько Ф.Л., Колмановский В. Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978.
- Шварц Л. Анализ. Т.1. М.: Мир, 1972.
- Юби Э. Статистическое исследование задач стохастического программирования и метод их решения. // Изв. АН ЭССР. Физика. Математика. 1977, 26, № 4, сс.369−375.
- Юби Э. Минимизация функции вероятности методом статистического моделирования. // Труды Таллинского политехнического института, 1976, 411, сс.57−76.
- Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования. М.: Советское радио, 1979.
- Яковлев А.И. Определение статистически оптимальных систем по последовательно применяемым критериям точности. // Автоматика и телемеханика, 1987, № 11, сс.92−102.
- Anderson T.W. The Integral of a Symmetric Unimodal Function over a Symmetric Convex Set and Some Probability Inequalities. // Proc. Am. Math. Soc, 1955, 6, pp. 170−176.
- Avriel M., Zang I. Mathematical Programs for Activity Analysis. Amsterdam: North-Holland, 1977.
- Barmish B.R., Lagoa CM. The uniform distribution: a rigorous justification for its use in robustness analysis // Math. Control, Signals, Systems, 1997, V. IO, pp.203−222.
- Borell C Convex Set Functions in d-Space. // Period. Math. Hung., 1975, 6, No. 2, pp. 11−136.
- Brascamp H.J., Lieb E.H. On Extensions of the Brunn-Minkowski and Prekopa-Leindler Theorems, Including Inequalities for Log-Concave Functions, and with Application to the Diffusion Equation. // J. of Funct. Anal., 1976, 22, pp, 366−389.
- Charnes A., Cooper W.W. Chance-Constrained Programming. // Management Sci., 1959, 6, pp.73−79.
- Charnes A., Cooper W.W. Determinnistic Equivalents for Optimizing and Satisficing under Chance-Constraints. // Oper. Res., 1963, 11, pp.18−39.
- Charnes A., Cooper W.W., Symonds G.H. Cost Horizons and Certainty Equivalents: An Approach to Stochastic Programming of Heating Oil. // Management. Sci., 1958, 4, pp.235−263
- Dupacova J., Bertocchi M. Management of Bond Portfolios via Stochastic Programming Postoptimality and Sensitivity Analysis. // 17-th IFIP TC7 Conference on System Modelling and Optimization. Abstracts. V.II. Prague, UTIA, 1995, pp.435−438.
- Dupacova J. Portfolio optimization via stochastic programming: Methods of output analysis. // Math. Meth. Oper. Res., 1999, 50, 245−270.
- Elton E.G., Gruber M.J. Modern Portfolio Theory and Investment Analysis. 4-th ed. Wiley, New York, 1991.
- Ermoliev Yu., Norkin V., Wets R.J.-B. The Minimization of Discontinuous Functions: MoUifier Subgradients. Working Paper WP-92−73, IIASA, Laxenburg, Austria, 1992.
- Gartska S.J. The Economic Equivalence of Several Stochastic Programming Models. In: Stochastic Programming, ed. M. A.H. Dempster, Academic Press, New York, 1980, pp. 83−91.
- GilUland D.C. On Maximization of the Integral of a Bell-Shaped Function over a Symmetric Set. // Naval Research Logistics Quarterly, 1968, 15, pp.507−517.
- Kail P. Stochastic Linear Programming. Berlin: Springer-Verlag, 1976.
- Kall P., Wallace S.W. Stochastic Programming. Wiley, Chichester, 1994.
- Kan Yu.S. Aggregated stochastic approximation algorithm for quantile minimization. // 17th IFIP TC7 Conference on System Modelling and Optimization. Abstracts. Volume II. Prague: UTIA, 1995, pp.510−513.
- Kan Yu.S. The quantile function convexity. // Труды XI международной Вайкаль-ской школы-семинара. Иркутск, Байкал, 5−12 июля 1998 г. Иркутск, Институт систем энергетики СО РАН, 1998, сс.88−89.
- Кап Yu. The convexity of the quantile function. // Munchener Stochastic-Tage 1998. Vortrage. Universitat der Bundeswehr Munchen, 1998, s.82.
- Kan Y. Aggregated portfolio selection via quantile optimization. // European Working Group on Financial Modelling, 28-th Workshop in Vilnius, May 3−5, 2001, Abstracts, p. 11.
- Kan Yu. On the quantile minimization. // 15th International Symposium on Mathematical Programming. Program and Abstracts. The University of Michigan, Ann Arbor, Michigan, USA, 1994, p. 113.
- Kan Yu.S., Kibzun A.I. Sensitivity Analysis of Worst-Case Distribution for Probability Optimization Problems. // Probabilistic Constrained Optimization: Theory and Applications (S.P.Uryasev, ed.), Kluwer Academic Publishers, 2000, pp.31−46.
- Kan Yu.S., Mistrukov A.A. On the Equivalence in Stochastic Programming with Probability and Quantile Objectives. // Lect. Notes in Economics and Math. Systems, 458, K. Marti and P. Kall (eds.). Berlin: Springer, 1998, pp.145−153.
- Kan Yu.S., Rusyaev A.V. On the portfolio selection with heavy-tail-distributions. // Symposium uber operations research 1997 (SOR 97). Jahrestagung der DGOR und GMOOR. Friedrich-Shiller-Universitat Jena, 1997, ss.63−65.
- Kan Yu.S., Tuzov N.V. Portfolio selection under probabilistic constraints. // Symposium uber operations research 1997 (SOR 97). Jahrestagung der DGOR und GMOOR. Friedrich-Shiller-Universitat Jena, 1997, ss.65−66.
- Kan Yu. Stochastic optimal control with the quantile performance index. // 9th Int. Conf. on Stochastic Programming. Berlin, August 25−31, 2001. Program and Abstracts. P.61.
- Kataoka S. A Stochastic Programming Model. // Econometrica, 1963, 31, No. 1−2, pp.181−196.
- Kibzun A.I., Kan Yu.S. Stochastic Programming Problems with Probability and Quantile Functions. Chichester: Wiley, 1996.
- Kibzun A.I., Kurbakovskiy V.Yu. Guaranteeing Approach to Solving Quantile Optimization Problems. // Annals of Operations Research, 1991, 30, pp.81−93.
- Kibzun A.I., Malyshev V. V., Karp K. A. (1988) A Minimax Approach for Statistical Simulation of Complex Technical Systems. // Advances in Modelling and Simulation AMSE Press, 1988, 10, No.3, pp.35−46.
- Kibzun A., Uryasev S. Differentiability of Probability Function. // Stochastic Analysis and Applications, 1998, 16, No.6, pp.1101−1128.
- Kolbin V.V. Stochastic Programming. D. Reidel, Dordrecht, 1977.
- Lepp R. Stochastic Approximation Type Algorithm for the Maximization of the Probability Function. // Eesti NSV Teaduste Akadeemia Toimetised, Fuusika & Matemaatika, 1983, 32, No.2, pp.150−156.
- Loose D.P., Poor H.V., Vastola K.S., Darragh J.C. Minimax control of linear stochastic systems with noise uncertainty. // IEEE Trans. Autom. Control, 1983, AC-28, 9, pp.882−888.
- Markowitz H.M. Portfolio Selection. // J. Finances, 1952, 7, No. l, pp.77−91.
- Marti K. Stochastic Optimization Methods in Structural Mechanics. // ZAMM: Applied Mathematics and Mechanics, 1990, 70, pp.742−745.
- Marti K. Approximations and Derivatives of Probability Functions. // In: Approximation, Probability and Related Fields, eds. G. Anastassiou and S.T.Rachev, Plenumn Press, New York, 1994.
- Moeseke P.v. Stochastic Linear Programming. // Yale Economic Essays, 1965, 5, pp.197−253.
- Mudholkar G.S. The Integral of an Invariant Unimodal Function over an Invariant Convex Set. An InequaUty and Apphcations. // Proc. Am. Math. Soc, 1966, 17, pp. 1327−1333.
- Mulvey J.M., Zenios S.A. Capturing the correlations of fixed-income instruments. Manag. Sci., 1994, 40, pp.1329−1342.
- Pankov A.R., Borisov A.V. A solution of the filtering and smoothing problems for uncertain-stochastic dynamic systems. // Int. J. Control, 1994, 60, No.3, pp.413−423.
- Pinter, J. Deterministic Approximations of Probability Inequalities. // ZOR -Methods and Models of Operations Research, Series Theory, 1989, 33, No. 4, pp.219 239.
- Prekopa A. Logarithmic Concave Measures with Application to Stochastic Programming. // Acta Sci. Math. (Szeged), 1971, 32, pp.301−316.
- Prekopa A. On Logarithmic Concave Measures and Functions. // Acta Sci. Math. (Szeged), 1973, 34, pp.325−343.
- Prekopa A. Logarithmic Concave Measures and Related Topics. In: Stochastic Programming, ed. M. A.H.Dempster. London: Academic Press, pp.63−82.
- Prekopa A. Numerical Solution of Probabilistic Constrained Programming Problems. In: Numerical Techiques for Stochastic Optimization, eds. Yu. Ermoliev and R.J.B.Wets, Springer-Verlag, Berlin, 1980, pp.123−139.
- Prekopa A., Szantai T. A New Multivariate Gamma Distribution and Its Fitting to Empirical Streamflow Data. // Water Resources Research, 1978, 14, pp. 19−24.
- Rinott Y. (1976) On Convexity of Measures. // Annals of Probability, 1976, 6, pp. 1020−1026.
- Robbins H., Monro S. A Stochastic Approximation Method. // Ann. Math. Statist., 1951, 22.
- Rosenblatt-Roth М. Quantiles and Medians. // The Annals of Mathematical Statistics, 1965, 36, pp.921−925.
- Roy A.D. Safety-first and the Holding of Assets. Econometrica, 1952, 20, pp.431−449.
- Rubinstein R. Sensitivity Analysis of Discrete Event System by the «Push Ouf’Method. // Ann. Oper. Res., 1992, 39.
- Sengupta J.K. Stochastic Programming Methods and Applications. North-Holland, Amsterdam, 1972.
- Siegmund D., Robbins H. A convergence theorem for nonnegative almost supermartingales and some applications. // Optimizing Methods in Statistics, J.S.Rustaji, ed. N.Y.: Acad. Press, 1971, pp.233−257.
- Simon J. Second Variation in Domain Optimization Problems. // In: International Series of Numerical Mathematics, ed. F. Kappel, K. Kunish and W. Schappacher, Birkhauser Verlag, 1988, 91, pp.361−378.
- Symonds G.U. Deterministic Solution for a Class of Chance-Constrained Programming Problems. // Oper. Research, 1967, 15, No.3, pp.495−512.
- Szantai T. A Computer Code for Solution of Probabilistic-Constrained Stochastic Programming Problems. In: Numerical Techniques for Stochastic Optimization, eds. Yu. Ermoliev and R. J-B. Wets, Springer-Verlag, Berlin, 1988, pp.229−235.
- Tamm E. On A-concave Functions and Probability Measures. // Изв. AH ЭССР, физ.-мат., 1977, 26, № 4, cc.376−379.
- Tamm E. On Minimization of a Function under an Equality Chance Constraint. // Math. Operationsforsch. Statist., Ser. Optimization, 1981, 12, No.2, pp.253−262.
- Telser L.G. Safety First and Hedging. Review of Economic Studies, 1955−56, 23, pp.1−16.
- Tobin D. Liquidity Preference as Behaviour Toward Risk. Ref. Econ. Studies, 1958, 25, No. 1, pp.65−86.
- Uryas’ev S. Differentiability of an Integral over a Set Defined by Inclusion. // Cybernetics, 1988, v.24, 5, pp.638−642.
- Uryas’ev S. A Differentiation Formula for Integrals over Sets Given by Inclusion. // Numerical Functional Analysis and Optimization, 1989, 10(7 к 8), pp.827−841.
- Uryas’ev S. Derivatives of Probability Functions and Integrals over Sets Given by Inequalities. / / J. Computational and Applied Mathematics, 1995, 56.
- Uryasev S., Rockafellar R.T. Conditional Value-at-Risk: Optimization Approach. In: Stochastic Optimization: Algorithms and Applications (S.Uryasev and P.M.Fardalos, eds.). Kluwer Academic Publishers, 2001, pp.411−435.
- Vajda J. Probabilistic Programming. Acad. Press, New York, London, 1972.
- Wald A. Statistical Decision Functions. Wiley, New York, 1950.
- Walkup D.W., Wets R.J.-B. Stochastic Programs with Recourse. // SIAM J. Appl. Math., 1967, 15, pp.1299−1314.