Исследование вопроса о корректности задач дифракции в случае угловых областей

Задача о рассеянии и преломлении волн прозрачным клином давно находится в поле зрения физиков (собственно говоря с XVII века, со времён первых опытов о преломлении света прозрачной призмой). До работы Пуанкаре, опубликованной в 1889 году, задачи об угловых областях рассматривались либо с позиции физической оптики (подход Гюйгенса-Френеля), либо с позиции преломления и отраже-ния плоских волн. Пуанкаре" первый пытался сформулировать задачу об угловых областях, как краевую задачу математической физики. В своей работе («Theorie mathematique de la lumiere») он указал, что надо искать решение уравнения Гельмоль-ца, удовлетворяющее краевым условиям (см. 1]). Он рассматривал импедансное граничное условие и условие сопряжения. Пуанкаре суммировал некоторые частные решения и искал их физический смысл. Однако, в работах Пуанкаре нет ни четкой постановки задачи, ни её решения.

Вскоре Зоммерфельд получил решение задачи о дифракции плоской электромагнитной волны на экране, с идеальными граничными условиями. Полученное им решение носит имя' «интеграл Зоммер-фельда». Кроме того, он первый' сформулировал условия излучения и предложил вариант условий в окрестности вершины угла, которые в дальнейшем получили название «условия Мейкснера». Интегральная форма условий излучения была введена Магнусом (см. 2]). В середине XX века Г. Д. Малюжинец нашел решение задачи о рассеянии акустической плоской волны на клине с импедансными граничными условиями, используя представление решения в виде интегралов Зоммерфельда.

Вопрос о точной постановке и корректности более сложных задач для угловых областей встал только в последние десятилетия. Начиная с 90-ых годов XX в. заметно возрос интерес к математическому исследованию задачи о прозрачном клине. В работе [3] рассматривается приближённое решение (так называемое приближение физической оптики) для задачи о падении плоской волны на прозрачный клин. Здесь вопрос о корректной постановке задачи не рассматривался. Berntsen и Bergljimg в работе [4] рассматривали задачу о косом падении плоской волны на диэлектрический клин и проверяли корректность данной задачи. В их работе нет полного решения задачи. Они ввели ряд ограничений, например, предположили, что плоская волна падает таким образом, что клин полностью освещён (причём, волновое число внутри клина больше, чем волновое число вне клина). Кроме того, они доказали корректность задачи не для всех положительных волновых чисел, а лишь для вещественных положительных чисел за вычетом дискретного набора чисел «неизвестности». В таких предположениях исходная задача эквивалентна некоторой системе интегральных уравнений с компактными операторами к которым они применяли теорию Фредгольма. В работе [5] рассматривался случай, когда скорости внутри клина и вне его одинаковые. В этом случае задача реша-ется (например, методом разделения переменных) и доказательство её корректности не очень сложно. Много лет Б. В. Будаев занимался задачами об упругом и прозрачном клине (см. 6]). Однако, в его работах на первое место выходила вычислительная сторона задачи.

Новый подход к решению задач рассеяния в угловых областяхс помощью т.н. метода спектральных функций — разработали в начале 90-х годов французские математики Лебо и Круазиль[7]. Они рассмотрели задачу дифракции плоской волны, распространяющейся в жидкости на погружённом в неё упругом клине. Постановка задачи в [7] нетрадиционна: волна называется «уходящей» (о1^ок^), если её можно представить в виде суммы специального вида потенциалов простого слоя с плотностями, принадлежащими достаточно сложно определяемому классу обобщенных функций. Сингулярности образов по Фурье этих плотностей соответствуют отражённым, преломлённым и головным волнам.

Задача об упругом клине при условии отсутствия нормальных напряжений на его сторонах была рассмотрена В. В. Камоцким в работе [8]. Он впервые чётко сформулировал для этой задачи условия излучения и доказал корректность соответствующей задачи. Построения В. В. Камоцкого тесно связаны с методикой монографии [7].

В настоящей работе рассматривается скалярная задача о падении плоской волны на прозрачный клин. Скорости распространения волн внутри клина и вне его разные. Наша цель доказать корректность этой задачи с помощью метода спектральных функций. Ключевой момент этого метода состоит в представлении решения в виде суммы «уходящей» и падающей волн. Уходящая волна имеет вид потенциала простого слоя, плотности которого принадлежат специальному классу. Мы докажем теорему об изоморфизме — центральную теорему для этого метода. Задача сводится к некоторым интегральным уравнениям, разрешимость которых удаётся доказать с помощью теоремы об изоморфизме.

Одна из возможных интерпретаций задачи о падении плоской волны на клин — «электромагнитная». Рассмотрим задачу дифракции плоской волны на диэлектрическом цилиндре (см. 9]). В случае Е-поляризации компонента Ez полного поля Ehe удовлетворяет уравнению Гельмгольца. Граничные условия, в скалярном случае имеют вид Ei (x, y) s = Et (x, y) s 1 дЕЦх~у) = ldEez (x, y), I Hi дп ''-> Не дп '.

Таким образом, если магнитная проницаемость fii & це, электрическая составляющая полного электромагнитного поля Ег, е удовлетворяет условиям:

А + Щ, с) Еге — О < Ei (x, y) s = Et (x, y) s dEj (x, y) | dEt (x, y) I ^ дп s ~ дп I5' и задача нахождения Ez идентична скалярной задаче, рассматриваемой в настоящей работе. Здесь магнитная проницаемость.

Цель настоящей работы.

•распространить метод спектральных функций на задачу о прозрачном клине.

•доказать корректность задачи о падении плоской волны на прозрачный клин.

•сформулировать и обосновать принцип предельного поглощения.

Методика используемая в данной работе близка к методике Ле-бо и Круазиля (см. [7]) и даёт возможность доказать необходимые результаты. Центральный момент заключается в доказательстве теоремы об изоморфизме. В первой главе представлены основные обозначения и формулировки полученных результатов. Во второй главе излагается метод спектральных функций в применении к задаче о прозрачном клине и доказывается теорема об изоморфизме. В третьей главе показано применение к задаче принципа предельного поглощения.

Материалы диссертации изложены в работах автора [11,13,14].

1. A. Sommerfeld Mathematical theory of diffraction (R.J.Nagem, M. Zampolli, G. Sandri translators). Progress in mathematical physics Volume 35.

2. P. Курант. Уравнения в частных производных изд-во 'Мир'. 1949 г.

3. Se-Yun Kim, Jung-Woong Ra, Sang-Yung Shin. Diffraction by an Arbitrary-Angled Dielectric Wedge: Part I Physical Optics Approximation. IEEE Transactions on Antennas and Propagation (1999), vol.39, No.9, 1272−1292.

4. S. Berntsen, C.Bergljung. Diffraction by a dielectric wedge at skew incndence. Q.Jl.Mech.Appl.Math.(2001)54(4), 549−583. Oxford University Press 2001.

5. L. Knockaert, F. Olyslager, D. De Zutter. The diaphanous wedge. IEEE transactions on antennas and propagation, Vol.45, No.9, 1997.

6. Budaev B.V. Diffraction by Wedges. Longman Scientific and Technical, Harlow, 1995.

7. J.-P.Croisille, G. Lebeau Diffraction by an immersed elastic wedge, volume 1723 of Lecture notes in mathematics. Springer1999).

8. Kamotski V., Lebeau G. Diffraction by an elastic wedge with stress-free boundary: existence and uniqueness. Proceedings of the Royal Society A: Mathematical, Physical and Engineering Sciences, Lond. Volume 462, Number 2065 (2006), 289 317.

9. Т. Н. Галишникова, А. С. Ильинский Численные методы в задачах дифракции. Изд-во Московского университета (1987).

10. В. М. Бабич, М. А. Лялинов, В. Э. Грикуров Метод Зоммерфельда-Малюжинца в теории дифракции. С.-Петербург (2003).

11. Мокеева Н. В. Исследование вопроса о корректности задач дифракции в случае угловых областей. Записки научных семинаров ПОМИ, том 324'. С.-Петербург (2005), 131−147.

12. Gilles Lebeau. Propagation des ondes dans les diedres. Memoires Soc.Math.Fr.Nouv.Ser., 60 (1995).

13. Мокеева Н. В. Принцип предельного поглощения в задаче о прозрачном клине. Записки научных семинаров ПОМИ, том 332. С.-Петербург (2006), 138−148.

14. Мокеева Н. В. О корректности задачи рассеяния плоской волны прозрачным клином. Вестник Санкт-Петербургского Университета, Сер.4, Вып.4(2007), 95−101.