Роль газового разряда в самых разнообразных прикладных проблемах технической физики и вообще в жизнедеятельности человека трудно переоценить. Это и осветительные приборы (лампы дневного света), это и плазменные технологии и плазмохимия вообще, плазменные преобразователи тепловой энергии в электрическую, плазма управляемого термоядерного синтеза и, наконец, плазма твердого тела— электронная плазма металлов и электронно-дырочная плазма полупроводников. Всюду во всех этих плазмах протекает электрический ток, а следовательно присутствует электрическое поле и возникает проблема устойчивости протекания тока. По этой же причине очевидна актуальность темы диссертации.
Вместе с тем следует определить свое место в огромном числе работ по рассматриваемой проблеме, т. е. новизну темы диссертации. Мы не будем касаться вопросов зарождения прибоя и формирования разряда. Они изложены во многих учебниках и монографиях еще начала прошлого века. Укажим на поздние монографии А. Ф. Александрова и А. А. Рухадзе [1] и И. С. Маршака [2], в которых не только подробно исследованы начальные стадии формирования разряда, но и проведена подробная библиография. Еще более поздние монографии Ю. П. Райзера [3], JI. М. Бибермана, B.C. Воробёва и И. Т. Якубова [4] и наконец, Э.М. Базеля-на и Ю. П. Райзера [5] и Ю. Д. Королева и Г. А. Месяца [6] освящают современное состояние проблемы формирования разряда в газе и содержат богатую библиографию оригинальных работ.
По всей вероятности первой обзорной работой по кинетической теории устойчивости слабоионизованной плазмы (в том числе твердотельной) была работа P.P. Киквидзе и А.А. Рухадзе[7], в которой подробно исследованы низкочастотные (а поэтому потенциальные) возмущения с учетом разогрева электронов и обмена энергии электронов с атомами, но без учета ионизационно-рекомбинационных и прилипатель-но-отлипательных процессов. Ниже мы, по существу, следуем духу этой работы и рассмотрим новую, не рассмотренную в этой работе неустойчивость, которая лежит в еще более низкочастотной (в так называемой диффузионной) области.
Что касается учета рекомбинационно-инонизационных процессов и прилипательно-отлипательных процессов, то они существенным образом определяются зависимостями сечений указанных неупругих процессов от внешнего электрического поля, что например, проявляется в эффектах, связанных со знаком дифференциальной проводимости и тому подобных. Мы их также не обсуждаем в нашей работе, хотя мы получили обще уравнение, которое позволяет рассмотреть и эти эффекты. Но поскольку наш вклад в теорию устойчивости состоит не в этом, мы отсылаем читателя, интересующегося этими вопросами к специальной литературе [8, 9] (см. также [3]).
§ 1.2. Краткое содержание и основные результаты диссертации.
Наши исследования изложены в трех последующих главах диссертации.
Вторая глава диссертации написана по работе [10], впервые доложенной на IX Всероссийский конференции по физике газового разряда в Рязани в 1998 г (см. тезисы докладов конференций [11] и [16, 17]). В ней сформулирована общая система гидродинамических уравнений в интересующей нас области низкочастотных колебаний:
1. Уравнения низкочастотных движений электронов и ионов: тп,.
Мп,.
0 ~0.
Э/.
— о.
— о пееЕV (neTe)~mneveQ (Те)(ue О.
1.1) в которых пренебрежены левыми частями по сравнению с последними слагаемыми их правых частей, приводят к следующим выражениям для дрейфовой скоростей для электронов и ионов: ц е (Е0-У4)-(1/й.)У (и, 7-) mveQ (Те) и. =.
— е (Е0-У^) ЩоЮ.
1.2).
Здесь Е0 — Чф1 — полное поле в плазме, причем Ео — равновесное поле, а Е, = -V0,—поле возмущений, которое считается потенциальным в рассмотренном низкочастотном (диффузионном) пределе. Кроме того, при получении этих выражении скорость нейтрального газа считалась равной нулю.
Исследуется случай когда равновесное электрическое поле постоянное и однородное, Ео = const. Для простоты ионы считаются однократно ионизованными, т. е. заряд иона равен по величине и противоположен по знаку заряду электрона е < 0. Величины пе, п, — плотноста электронов и ионов, соответственно. Величина veo (Te) — частота упругих столкновений электронов с нейтральными частицами, а ую (Тп) — частота упругих столкновений ионов с нейтральными частицами, причем ионы считаются холодными и их температура принята равной температуре нейтрального газа 7} = Т&bdquo-. Электроны разогреваются полем и передают тепло нейтралам при упругих столкновениях, однако этот процесс из-за большей разницы их масс очень медленно идет. Поэтому электронная температура оказывается большой, т. е. Те))Тп.
2. Уравнения непрерывности для электронов и ионов dft ^¦[пр^п^, пп)-<�хк (Те)пЛ =q{(Te, ne, п),.
1.3).
3/2 + V-ku/] = nev ((7-, nn)-aR (Те)пеп, пе, п). ot.
Здесь v,{Te, п&bdquo-) — частота ионизационных столкновений электронов с атомами газа с плотностью пт, а ося{Те) — константа рекомбинации при электрон-ионных столкновениях. В системе уравнений непрерывности электронов и ионов (1.3) учитываются только ионизационный и рекомбинационный процессы. Аналогично можно учесть и прилипательно-отлипательные процессы. Мы этого делать не будем для простоты вычислений. Кроме того, в слабо ионизованной плазме № электро-отрицательных газов (например, благородных газов) этими процессами можно пренебречь.
3. Наконец, система (1.1) и (1.3) дополняется уравнением баланса энергии для электронов 3 зт vfc.
ОТ у 7eV-ue- —VI.
Пе.
5 пеТе е.
2mve0(re) mve0(Te)ue2 -bSmve0(Te)(Te-Тп)-Щnein).
1.4).
Процессом разогрева ионов пренебрегаем, также как и величиной Тп по сравнению с Т. е. Более того, малой является скорость ионов в силу их малой подвижности в электрическом поле (см. (1.2)). Однако мы ее будем учитывать, тем более, что ее учет не представляет труда и сводится к простому учету эффекта Допплера, обусловленного их направленным движением. Важно заметить, что в правой части уравнения (1.3) кроме омического нагрева (первое слагаемое) учитываются потери энергии электронов при упругих столкновениях (второе слагаемое), причем «1 — Д°ля такой передачи при столкновениях, где Sm = m/M— отношения масс электрона и иона, а Ъ — величина порядка единицы. (Она определяется из кинетической теории, см. главу III.) Учтены также, потери на ионизацию газа (третье слагаемое), причем цена ионизации I равна нескольким потенциалам ионизации атомов.
На основе системы (1.1) — (1.4) исследуется как равновесное (стационарное) состояние плазмы в разряде, так и его устойчивость по отношению к низкочастотным (Е, =-V$) возмущениям, или другими словами, эти уравнения решаются совместно с уравнением Пуассона.
Афх = -Атге{8пе — 8nt),.
1.5) где 8пе и 8щ — малые возмущения плотностей электронов и ионов соответственно.
Полная система (1.1)-(1.5) позволяет в гидродинамическом приближении исследовать все виды низкочастотных неустойчивостей, в том числе перегревные, ионизационно-перегревные и ионизационно-полевые и др. (кроме прилипательно-отлипательных). Мы однако здесь не будем проводить полного анализа всех низкочастотных неустойчивостей и их классификацию. Ограничимся обнаруженной нами, как нам казалось, новой неустойчивостью.
Пренебрегая ионизационно-рекомбинационными процессами, приведем результат по обнаруженной нами новой низкочастотной неустойчивости, имеющей место в условиях.
8mVeo>kие0>со, (1.6) где со — искомая частота колебаний, положительная мнимая часть которой определяет инкремент нарастания неустойчивости, к — волновой вектор, а еЕп и"л = о.
Mve0{TeQ).
1.7) равновесная токовая дрейфовая скорость электронов. Здесь Те0 — равновесная (в поле Ео) температура электронов. Имеем й)-к-и/0 = i т уе0.
7 IcTe0 2 mv eO k2Te О M.
ViO lik. Ueo+^Lo+lbSmVe0.
5 mve0 5 mv.
1.8) 0.
Из (1.8) следует условие неустойчивости разряда к-ие0У 8 ЬЗтУеО +.
IcTeO mv. еО 5 к2ТеО mv. еО к2ТеО, 2, «-+ — DOmVeO.
KmVeO 5.
1.9).
Видно, что электронная теплопроводность (также как и диффузия) стабилизируют неустойчивость, в то время как дрейф электронов играет дестабилизирующую роль, являясь причиной неустойчивости. В частности, если полностью пренебречь теплопроводностью и диффузией электронов, считая к • ие0″ (k2Te0)jmveo, из (1.8) получим.
М Ую.
3(ku J+^bSmVe0 mv. ей 1.
2к-ие0)~ кХо bSmVe0 mVe0 k’U, 0 У bS.
VeO еО.
Veo)2 + ^ (k • ue0)2.
1.10).
Если вторым слагаемым в скобках в числителе мнимой части этого выражения пренебречь, то в этом пределе возмущения всегда нарастают. Этот вывод, однако, не совсем точный, поскольку до сих пор мы не bS^VeO уточняли отношение k и Действительно, выше мы не пользовались еО явным видом равновесия и поэтому полученные формулы носят общий.
Tm «тие02 ImuJ. характер. Если принять теперь 5 т =— и Тей = —— =-— (пологая V/ =.
М Ъ5ш 3Sm.
О, a, R — 0), то формула (1.10) и даже более общее формула (1.8) существенно упрощаются —(1.11) м v/0 bOmVe0.
Видно, что неустойчивость имеет место, когда ц2>*Л (1.12) т. е. в случае, когда волны распространяются под малым углом (< 45°) к направлению поля Ео.
После того, как работа [10] была направлена в печать, рецензент сообщил, что для одномерного случая (Aj= 0) эта неустойчивость была исследована А. В. Тимофеевым еще в 1970 году [12]. Более того, он же обратил внимание, что обнаруженная им неустойчивость повидимому наблюдался в экспериментах [13, 14, 15], в которах она была названа термотоковой. Из нашего результата следует, что не по-видимому, а действительно рассмотренная неустойчивость наблюдался в эксперименте [14], ибо угол раствора неустойчивых возмущений в эксперименте составляет (-22.5° < а< 22.5°), что не противоречит формуле (1.12).
Таким образом, рассмотренная в первой главе неустойчивость не только обобщает результат А. В. Тимофеева, но позволяет с большей уверенностью сказать, что она наблюдалась в эксперименте.
Третья глава диссертации носит обосновывающий характер: в ней на основе кинетического рассмотрения обосновываются результаты второй главы, исходящей из гидродинамических уравнений. Она написана на основе работы [18].
Необходимость кинетического рассмотрения была обусловлена самым результатом гидродинамического анализа: инкремент развития неустойчивости оказался пропорциональным (к • ие0)2, в то время как при выводе гидродинамических уравнении из кинетического уравнения используется линейное разложение по малым отклонениям от равновесного (Максвелловского) распределения с точностью до первой степени (kие0). Такое же приближение используется в работе Тимофеева А. В. [10] (см. также [21, 22]).
Кинетическое рассмотрение поэтому опиралось на уравнении Батнагара-Гросса-Крука [23], хорошо описывающем слабоионизованную плазму. Это уравнение для электронов приведено в учебниках [25, 26]: дf df е df и ч.
— J- = -Vta (f-ntg>n) (1.13) ot or m o.
При решении кинетического уравнения (1.13) рассмотрим только случай, когда ve0- частота упругих электрон-нейтральных столкновений считается не зависящей от скорости электронов, чтобы обойти трудности его интегрирования. В уравнении (1.13) приняты следующие обозначения 1.
Р" = h т чз/2 ехР [2ятТеп) 2 mv.
2 Т еп у ne = d? f, «л=(Фу/, (1.14) ттп л, и.) = О ot.
Здесь 6m=m/Mдоля передаваемой энергии от электронов нейтральным частицам при упругих столкновениях, массы которых, соответственно, тп и Mt Те — температура электронов, а Т&bdquo- - температура нейтральных частиц, Магнитным полем пренебрегаем, а электрическое поле возмущений, как и выше, считаем потенциальным.
Е = -Уфх. (1.15).
Исходя из системы (1.13) и (1.14), определялись стационарные равновесные значения скорости дрейфа и температуры электронов т — Г ¦ 2 mU°° , — еЕо in.
3 S," MKoVeo) а также равновесная функция распределения электронов — направленное распределение Максвелла с температурой Тео и средней скоростью ие0 в виде (1.16). Заметим, что обычно при исследовании колебаний плазмы с помощью кинетического уравнения с интегралом упругих столкновений БГК ограничиваются изотермической моделью (см. например, [25, 26]), в которой температура электронов считается постоянной. Нам же для установления соответствия с результатами [10, 11, 16, 17] необходимо, наряду с релаксацией импульса, учитывать и релаксацию температуры электронов, или, иными словами, эффекты, обусловленной конечностью отношения т/М.
Далее рассматриваем малые отклонения от равновесия и^ следуя стандартной процедуре, изложенной в учебниках [25, 26] и монографиях [24, 2В], окончательно получим следующее дисперсионное уравнение для низкочастотных электростатических колебаний е (со, k) = + S?{i)+Ss (e) =.
1, •0)U• COLe (®-k-Ui0)l/, 0 VeO.
1 -i/tbo 3 $mVeO J.
V mVeO J.
1.17).
Анализ этого уравнения полностью подтвердил результаты второй главы диссертации: инкремент нарастания колебаний дается формулой т 2 m уеЛк?
1тсо=?м * (1−18).
3MVl0 SmVe0.
2 2 и неустойчивость имеет место при условии ки > к±- .
Таким образом, кинетическое рассмотрение подтвердило применимость к рассматриваемой задаче гидродинамического описания.
Наконец, последняя четвертая глава диссертации, написанная по работе [19], посвящена анализу нелинейной динамики рассмотренной нами низкочастотной неустойчивости. При этом используется аналогия рассмотренной неустойчивости с низкочастотной нерезонансной буне-мановской неустойчивости [31, 32]. Эта аналогия состоит в том, что электроны рассматриваются в обоих случаях статически, а ионы, погруВ женныё^язкой среде с отрицательной диэлектрической проницаемостью электронов испытывают взаимное притяжение, образуя тем самым продольно стянутую периодическую структуру.
При исследовании нелинейной динамики мы ограничились рассмотрением одномерного случая (случай А.В. Тимофеева), считая выполненным условие.
Зт Уео)) ие0/ 1 т,.
1.19) где 1 т продольный размер возмущений (/" и еО k’UJ Уравнения нелинейной динамики для рассматриваемой низкочастотной неустойчивости записывается в виде д дх п,.
Ue0 + еЩ 1 д (п?) mVeO тУеОПе & 0.
2 т.
Ue0 +.
Т=Т + е «3 sr.
Г/1 dt дх MviQ еЕх 1 д (пеТе) 2 mVe0 mVeOne &.
1.20) и. еЕп еО mv, еО.
Здесь Е0 — заданное равновесное электрическое поле, a Ej = — поле возмущений (которые не считается малыми).
Считая плазму квазинейтральной из система (1.20) можно получить следующее нелинейное уравнение в безразмерных переменных:
1.21).
Здесь введены безразмерное время t ->~ t. 2.
MVi4m tSmVe077— и безраз.
М v, 0 мерная координата х-«*//&bdquo-, где /», — период структуры, которая образуется. По порядку величины ue0/lm ~ Smveo, что соответствует введению максимальному значению инкремента нарастания малых возмущений, который достигается при kue0 ~ 8 т ve0. Наконец ?/= щ/п, где п = пещ — плотность плазмы в плотной квазинейтральной плазме, а щ — некоторая усредненная плотность плазмы (в отсутствие возмущений).
На Рис. 4.1 представлено качественное пространственно периодическое решение уравнения (1.21) для величина п (х). (картина плотности плазмы щ при развитии неустойчивости, причем кривые 1,2,3 соответствует увеличению t.) Период 1 т с хорошей степенью точности совпадает lm ~ ueQ 15mveo. Эта картина полностью согласуются в проведенным в четвертой главе качественным анализом нелинейной динамике рассматриваемой нами неустойчивости.
В приложений диссертации рассмотрена нелинейная динамика нерезонансной бунемановской неустойчивости.
После такого краткого обзора содержания диссертации перейдем к подробному их изложению по главам. Прежде, однако, сформулируем основные положения диссертации, выносимы на защиту:
1. Строгая математическая формулировка задачи о неустойчивости слабоионизованной плазмы в постоянном электрическом поле по отношению к трехмерным низкочастотным возмущениям в рамках гидродинамического приближения.
2. Кинетическое обоснование гидродинамического приближения исходя из уравнения Батнагара-Гросса-Крука.
3. Исследование низкочастотной неустойчивости слабоионизованной плазмы в постоянном поле как на линейной, так и на нелинейной стадиях ее развития.
4. Доказательство образования нелинейной пространственно периодической структуры вдоль тока при развитии рассмотренной низкочастотной неустойчивости.
Основные Результаты Диссертации.
В диссертации получены следующие основные результаты:
1. В гидродинамическом приближении получено и исследовано дисперсионное уравнение для низкочастотных трехмерных возмущений. Показано, что неустойчивость имеет место в угловом растворе 45° вдоль внешнего поля и сопровождается модуляций плотности плазмы. Эти данные согласуется с экспериментом. Максимальной инкремент неустойчивости достигается для возмущений, распространяющихся вдоль поля, по порядку величины равен.
Ъпо^О.ОЗЗ^Ьб.у* s 0.11^|k.ueO| «^ М v/o м Ко V/o.
2. Исходя из кинетического уравнения для электронов с интегралом столкновений с нейтральными частицами в форме Батнагара-Гросса-Крука исследована та же неустойчивость. В линейном приближении кинетические рассмотрение полностью подтвердило гидродинамическое.
3. На основе гидродинамических уравнений исследована нелинейная динамика одномерных нарастающих возмущений и показано, что на нелинейной стадии развития неустойчивости в плазме возникает продольно неоднородная структура за время, равное обратному максимальному инкременту, и с пространственным периодом.
7 ~ о— Ue0 lm = 2ж;
OmVeO.
В заключение хочу выразить искреннюю благодарность моему научному руководителю профессору А. А. Рухадзе за предложенную тему и постоянную помощь в работе. Для меня было большим счастьем встретиться, учиться и наблюдать за работой такого ученного и педагога как Анри Амвросьевич Рухадзе. Неоценима для меня и роль доктора физ.-мат. наук О. В. Кудреватовой, которая была по существу вторым моим руководителем. Я благодарна всему коллективу кафедры физической электроники и теоретического отдела института общей физики РАН, которые всегда шли мне на помощь, во время учебы в аспирантуре физического факультета МГУ.
Я посвящаю эту работу моей матери, которая с бесконечной любовью и верой во мне поддерживала как меня, тем самым, так и саму работу.
