Краевые задачи для дифференциальных уравнений второго порядка с переменным направлением параболичности

Диссертационная работа посвящена исследованию корректности краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка с переменным направлением парабол и чности. Такие уравнения возникают при математическом моделировании турбулентного теплопереноса в стратифицированном потоке, течений в пограничных слоях, а также при моделировании процессов эволюции популяции. В классической постановке краевые задачи для уравнений переменного типа параболичности являются некорректными. Они не вкладываются в общую теорию параболических уравнений и требуют отдельного рассмотрения. В исследовании краевых задач в большей мере применяются методы, развитые для гиперболических систем и уравнений. Приведенные в настоящей диссертации результаты носят исключительно теоретический характер.

Линейное уравнение переменного направления параболичности имеет вид a (t, x) ut — ихх = О, где <7 — функция неопределенного знака. При a (t, x) = x2k+1, это уравнение впервые было рассмотрено в [1], [2]. В [3] был подробно изучен случай: сг (£, х) = х. Первая краевая задача для уравнения хщ — (ихр~2их)х = f была поставлена в [4, гл. 3, п. 2.6]- там же был сформулирован вопрос о возможной гладкости решения в окрестности особой линии х = 0. Случай cr (t, х) = х, —оо < х < оо, 0.

Отметим, что в настоящей диссертации рассматриваются только квазилинейные уравнения переменного типа парабол и чности, которые можно разделить на уравнения с неотрицательной и, соответственно, с знако-неопределенной квадратичными формами.

Типичным примером квазилинейного уравнения переменного типа парабо-личности с неотрицательной квадратичной формой есть модельное уравнение пограничного слоя в переменных Мизеса: u2) t = ихх, (1) с соответствующими краевыми условиями и|х=о = 0, n|x=i = 0, (2) ut=o = ut=T = ит. (3).

О.А. Олейник на одной из лекций, прочитанных в летней математической школе, см. [11, стр. 117−256], отметила важность развития теории краевых задач для квазилинейных уравнений с неотрицательной квадратичной формой. В качестве примера была рассмотрена задача (1)-(3), которая возникает в теории пограничного слоя, см. также [12]. Аналогичная краевая задача для уравнения sign (u) ut = ихх была рассмотрена в [13]. Раскроем гидродинамический смысл уравнения (1). Модельное уравнение пограничного слоя (1) получается после перехода к переменным Мизеса из уравнений Прандтля, описывающих плоское стационарное движение вязкой несжимаемой жидкости в пограничном слое. Здесь t — направление вдоль стенки, ограничивающей потокх — функция токаu (t, х) -горизонтальная компонента скорости. Обычно предполагается, что уравнение (1) описывает пограничный слой без отрывов, т. е. и > 0. Однако, если предположить, что уравнение (1) может быть применено к описанию явления отрыва пограничного слоя, то следует учесть, что вблизи точки отрыва появляется область с возвратным течением, и скорость и меняет знак. Таким образом, при изучении отрывных течений в пограничном слое мы имеем дело с квазилинейным уравнением второго порядка с переменным направлением параболичности. Поскольку течение стационарное, то (3) краевые условия задают профили горизонтальной скорости и0 и ит в начале и, соответственно, в конце пограничного слоя. Граничные данные (2) соответствуют предположению о прилипание жидкости к стенке.

Краевую задачу (1)-(3) можно рассматривать, как пересечение двух задач Коши для уравнений с положительным и, соответственно, с отрицательным направлениями параболичности. Согласно теории вырождающихся параболических уравнений [И, стр. 262], для непрерывно дифференцируемых граничных данных и°, ит € Cq (0, 1), удовлетворяющих условию ит < 0 < инайдутся достаточно большие t, t2, T? Ж.+, и существует единственное непрерывное решение и краевой задачи (1)-(3), такое, что u (t, x) = 0 при t? (^1,^2)" 0<*1<*2<�Г, а:<�Е (0,1). Легко видеть, что при произвольном Т > О, решение краевой задачи (1)-(3) может и не существовать в пространстве непрерывных функций. В [11] была поставлена задача о построении классов решений, в которых эта краевая задача приобрела бы корректность.

В [14] было доказано существование ограниченного обобщенного решения уравнения (1). Опишем схему доказательства этого результата. Важнейшим методом построения слабого решения служит метод эллиптической регуляризации. Эллиптическая регуляризация задачи (1)-(3) записывается в следующем виде: u2e) t = щ, хх + ?u?)tt, (4) щх=о = 0, u? x=i = 0, (5) u? t=o = и0, u? t=t = ит. (6).

При произвольных е, Т > 0 и любых граничных данных и°, ит? Ьоо (0,1) П Щ (0,1), задача Дирихле (4)—(6) имеет решение и£? L^Gt) П H1{Gt), Gt — (О, Т) х (0,1), см. [15, гл. 8], и справедливы оценки :

IMUoo (Gt) < max{||ii0||Lee (oil),||iir||Leo (o>i)}1.

У^ЬеЛыОт) + \ue, x\b2(GT) <

T—h IWl{t + К •) — «?(», 011(0,1)dt < Ch>

J о где С не зависит от е > О, h > 0. Исходя из этих соотношений, в работе [14] было установлено, что множество решений {^е}£>0 краевой задачи (4)-(6) относительно компактно в L{Gt) и, соответственно, содержит подпоследовательность {г%,}, которая сходится в среднем к слабому решению уравнения (1) при? i +0.

В первой главе настоящей диссертации рассматривается первая краевая задача для уравнения с переменным направлением параболичности и с неотрицательной квадратичной формой: dtA (u) = А и, (7) и|Гг = 0, n|f=0 = ut=T = ит, (8) при предположении на функцию A G С2(Щ, что каждое компактное множество из R содержит не более конечного числа нулей производной функции А. Здесь Gt = (0, Т) х Г2, Гт — (0, Т) х д£1, Q С M. d — ограниченная область с гладкой границей класса С2, Т — произвольное положительное число, и°, ит G Loo (^) ~ граничные данные. Помимо задачи (7)-(8), в первой главе рассматривается эллиптическая регуляризация: dtA (ue) = Аие + ?ue>tu щгт = 0, W?|f=0 = «Л Uet=T = иТ, при естественных ограничениях на граничные данные: it0, ит G L^Q) fl#o (fi).

В первой главе настоящей диссертации показано, что ие стремится в L к энтропийному решению задачи (7)-(8). Более того, именно в классе энтропийных решений краевая задача (7)-(8) однозначно разрешима.

Исторически, понятие энтропийных решений возникло в процессе изучения квазилинейных уравнений первого порядка и построения единственных решений в целом по времени: dtu + di vF (u) = 0, (9) где F G C2®d — произвольная гладкая вектор-функция. Энтропийное решение уравнения (9) удовлетворяет в смысле распределений следующему неравенству: дгф{и) + divН{и) < О, (10) для любой выпуклой функции ф и соответствующего энтропийного потока Н, Н' = ф’Р'. Для квазилинейных уравнений первого порядка существование и единственность энтропийных решений задачи Коши были доказаны в [16−19] при налагаемых условиях на начальные данные и функцию F. Корректность начально-краевых задач в классе энтропийных решений установлена в [20−25]. Особенность начально-краевых задач для (9) заключается в том, что если граничные и начальные данные из BV, то существует единственное энтропийное решение ограниченной вариации, см. [20], удовлетворяющее краевым условиям в следующем смысле sign (u — uD) и (х) • (F (it) — F (k)) >0, Vfc G (min (u, uD), max («, uD)). (11).

В работах [24, 25] доказывается, что, если начальные и граничные данные из Looj то существует единственное ограниченное энтропийное решение, удовлетворяющее краевым условиям в смысле Ф. Отто, которые задаются граничными энтропийными парами (см. [25]). Поскольку энтропийное решение (7)-(8) является всего лишь ограниченным, то при доказательстве единственности энтропийного решения задачи (7)-(8) применяются методы, развитые в [16, 24−25].

Пусть функция F G C3®d удовлетворяет условию сильной нелинейности :

V (r, C) GMxRd, |т| + |С| ф 0, mes ({? G R: г + С • F'(?) = 0}) = 0.

В работе [34] доказывается, что при условии сильной нелинейности энтропийное решение уравнения (9) имеет след на границе в смысле L. Тогда всего лишь ограниченные решения (10) удовлетворяют не только краевым условиям в смысле Ф. Отто, но и в форме (11).

У энтропийного решения существует эквивалентная кинетическая формулировка. Вводится новая переменная? G (—L, L), изменяющаяся в области значения функции it, тогда справедливо представление функции и в виде где т — неотрицательная мера — kinetic defect measure. Эта формулировка была введена в работе [26] и изучалась во многих работал, как, например: [27−29]. Компактность решений этого уравнения установлена и изучена в полной мере в [30−33]. В [34] применяется метод blow-up к кинетической формулировке энтропийного решения уравнения (9) для обоснования существования следа у энтропийного решения в смысле L. Применение метода blow-up к энтропийным решениям было впервые предложен в [35] для доказательства гладкости обобщенных решений одной гиперболической системы двух уравнений.

Отметим, что в работе [36] изучаются энтропийные решения уравнений параболического типа. Кинетическая формулировка энтропийных решений рассматривается в работе [37].

При условии сильной нелинейности на коэффициенты уравнения, компактность кинетических решений установлена в [38] для более узкого класса уравнений — ультрапараболических уравнений Гратца-Нуссельта. Результат компактности был установлен с помощью теории iif-мер, предложенной в [39] и развитой в [18], и теории сингулярных операторов [40]. Более того, эти результаты компактности можно распространить на более широкий класс уравнений переменного направления параболичности.

Вышеупомянутые методы применяются при обосновании существования следа энтропийного решения задачи (7) -(8) при более слабых условиях на функцию, А: невырожденность производной функции, А почти всюду: Этому результату посвящена третья глава.

Перейдем к рассмотрению квазилинейных уравнений переменного типа с знаконеопределенной квадратичной формой. В работах [41−45] были построены.

X / /—9 — - J Л • '.

Тогда неравенство (10) сводится к транспортному уравнению мерозначные решения для уравнения где функция (р? С1⁴*) удовлетворяет условиям:

Л|Л- 1)+ < <�р (А) < Л|Л|1<5 + 1, |Vcp (A)| < Л|А5 для всех A eRd, 5 е [0,1].

В работах [46−49] исследованы уравнения переменного направления параболичности, содержащие оператор гистерезиса: dt{v + w)-Av = f, где v и w связаны между собой соотношением: и = a (w) := w (w2 — 1), либо.

— оо, а2] w = —1, ((ai — a2) w + ai + а2) -1.

В работах [50−52] было показано, что уравнение.

Щ — (г>3 — v) i и.

Е a (w) = < xx имеет бесконечно много ограниченных слабых решений. Отметим, что в работах [53−55] построен класс энтропийных решений для этого уравнения, являющийся более узким классом, чем класс мерозначных решений. Энтропийные решения этого уравнения строятся, как предельные точки начально-краевой задачи с граничными условиями Дирихле: dtv? = (yeve + edtve) xx, vz? — v? + edtv?) |xe0,"=i = 0, t>e|t=0 =.

В [55] было показано, что множество — v?}?>0 относительно компактно в L2.

Во второй главе настоящей диссертации изучается следующее уравнение с переменным направлением параболичности dtv = ДФ (г>). (12).

Функция Ф: Ж+ —> Ж+ не монотонна и имеет на интервале единственную точку максимумастремится к нулю на бесконечностиобращается в нуле в нулькроме того, эта функция интегрируема на положительной полуоси. Поясним гидродинамический смысл этого уравнения. Уравнение (12) является уравнением теплопроводности для положительных градиентов температуры по вертикали в сдвиговом по горизонтали потоке жидкости и возникает при моделировании процессов турбулентного теплопереноса в океанологии. Пусть хвертикальное направление (ось х — направлена вверх), в — температура, t — время, v = дхв ~ градиент температуры. В общем случае, абсолютная величина теплового потока зависит от многих факторов. Но в некоторых моделях океанологии, в предположениях относительной устойчивости погоды и отсутствия интенсивных течений, турбулентный поток тепла Ф, в основном, зависит от вертикального градиента температуры, т. е. v. Такой случай типичен для центральной части Черного моря и северной части Японского моря. При наличии сильного гравитационного поля и линейной зависимости плотности жидкости от температуры, положительность градиента температуры по вертикали является следствием уменьшения плотности жидкости по х. Устойчивое распределение плотности по вертикали приводит к тому, что любая турбулентность гасится, и при достаточно больших градиентах температуры турбулентный тепловой поток мал. Начиная с некоторого критического значения v, тепловой поток Ф (г>) убывает. Малый параметр е — время релаксации теплового потока относительно малой вариации градиента температуры. Учитывая е в уравнении теплопроводности (12), тепловой поток Ф принимает форму:

Ф (и (* - ?, х)) «Ф (г-(?, х)) + ?dt^(v{t, х)), где Ф = Ф (г) — ограниченная непрерывная монотонно возрастающая функция. В этих предположениях, процесс теплопереноса описывается начально-краевой задачей с граничными условиями Дирихле для псевдопараболического уравнения с малым параметром при старшей производной: = + (13) vx=o, x=i = 0, (14).

4=о = (15).

Эта математическая модель была предложена в работе [56].

Следующая начально-краевая задача с граничными условиями Неймана.

ФЫ + фе) в, (16).

Ф (|7в) + edtv?)xx^x=1 = 0, (17) ve|t=0 = А (18) была рассмотрена в работах [57, 58] при описании процессов динамики популяции. Перечислим одинаковые свойства решений задач (13)—(15) и (16)—(18). Для любых положительных начальных данных v0 Е Loo (0,1), при любом значении положительного малого параметра е, при любом Т > 0, у краевых задач (13)—(15) и (16)-(18) существуют положительные почти всюду решения в Cl (0,T] Loo (0,l)), которые стремятся асимптотически по времени к функции q G Ьоо (0,1) — Если Ф'(г-°(ж)) > 0 при всех х 6 (0,1), то решение принадлежит пространству Сг (0, ооBV (0,1)), и функция q равна почти всюду нулю. Если Ф'(г7°) < 0, то решение принадлежит С1(0, ооLqo (0,1)), и функция q является только почти всюду неотрицательной. Вопросы, касающиеся предельных точек по малому параметру е множеств решений задач (13)—(15) и (16)—(18), остаются все ещё не до конца изученными.

Во второй главе настоящей диссертации исследованы предельные точки множества решений начально-краевой задачи Неймана для псевдопараболического уравнения с малым положительным параметром при старшей производной: dtv? = Д (Ф (г-?)+ед<�г-?), v • У (Ф (ие) + edtv?) дпх (о, т) = 0, 12 где v° G^оо (П) — почти всюду неотрицательные начальные данные. Доказано, что множество {Ф (г>е)}е>о относительно компактно в L2. При обосновании компактности используются методы, развитые в [55].

1. М. Gevrey, Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique, J. Math. Pures Appl., 6 (1913), 305−475.

2. M. Gevrey, Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique (suite), J. Math. Pures Appl., 6 (1914), 105−148.

3. M.S. Baouendi, P. Grisvard, Sur une equation devolution changegeant de type, J. Funct. Anal. 2 (1968), 352−367.

4. Ж.-JI. Лионе, Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, пер. с фр., под ред. и предисловием О. А. Олейник, М.: Едиториал УРСС, (2002).

5. J.A. Franklin, E.R. Rodemich, Numerical analysis of an elliptic-parabolic partial differential equation, SIAM J. Numer. Anal., 5 (1968), 680−716.

6. H. Lu, Forward-backward heat equations and analysis of iterative methods, PhD thesis, Department of Mathematics, University of Nijmegen, The Netherlands, (1995).

7. H. Lu, Z.-Y. Wen, Solution of a forward-backward heat equation. In Alefeld G., Mahrenholtz O. Mennicken R. eds. ICIAM/GAMM 95, Numerical Analysis, Scientific Computing, Computer. ZAMM Z.angew.Math.Mech., 76 (1996), 457−458. 21.

8. K. Stewartson, Multistructural boundary layers on at plates and related bodies, Adv. Appl. Mech., 14 (1974), 145−239.

9. K. Stewartson, D’Alembert’s paradox, SIAM Rev., 23 (1981), 308−343.

10. Н. А. Ларькип, В. А. Новиков, Н. Н. Яненко, Нелинейные уравнения переменного типа. Н.: Наука, (1983).

11. J.-P. Guiraud, A propos de la separation d’une couche limite laminaire, C. R. Acad. Sci., Paris, Ser, A 268 (1969), 239−241.

12. О. Б. Бочаров, О первой краевой задаче для уравнения теплопроводности со знакопеременным коэффициентом, сб. гДинамика сплошной среды, Новосибирск: ИГ, 37 (1978), 27−39.

13. О. А. Ладыженская, Н. Н. Уралъцева, Линейные и квазилинейные эллиптические уравнения, М.: Наука, (1973).

14. С. Н. Кружков, Обобщенные решения задачи Коши в целом для нелинейных уравнений первого порядка, ДАН, 187, № 1 (1969), 29−32.

15. С. Н. Кружков, Квазилинейные уравнения первого порядка со многими независимыми переменными, Мат. сб., 81, № 2 (1970), 228−255.

16. Е. Ю. Панов, О последовательности мерозначных решений квазилинейного уравнения первого порядка, Мат. сб., 185 (1970), 87−206.

17. G.-Q. Chen, M. Rascle, Initial layers and uniqueness of weak entropy solutions to hyperbolic conservation laws, Arch. Rational Mech. Anal., 153 (2000), 205−220.

18. C. Bardos, A.Y. Leroux, J.C. Nedelec, First order quasilinear equations with boundary conditions, Comm. Part. Dif. Eq., 4 (1979), 1017 -1034.

19. F. Dubois, P. Le Floch, Boundary conditions for nonlinear hyperbolic systems of conservation laws, J. Differ. Equ., 71, No. l (1988), 93−122.

20. A. Nouri, A. Omrane, J.P. Vila, Boundary conditions for scalar conservation laws from a kinetic point of view, J. Statist. Phys., 94 (1999), 779−804.

21. A. Szepessy, Measure-valued solutions of scalar conservation laws with boundary conditions, Arch. Rational Mech. Anal., 107 (1989), 181−193.

22. F. Otto, First oder equations with boundary conditions. Sonderforchurnbereich, 256 (1992),(Preprints 234).

23. F. Otto, Initial-boundary value problem for a scalar conservation law, C. R. Acad. Sci. Paris Ser. I Math., 322 (1996), 729−734.

24. P.-L. Lions, B. Perthame, E. Tadmor, A kinetic formulation of multidimensional scalar conservation laws and related equations, J. Amer. Math. Soc, 7 (1994), 169−191.

25. B. Perthame, Lecture notes on kinetic formulation of conservation laws, Studies in Advanced Mathematics, 15 (2000), 111−139.

26. B. Perthame, Kinetic formulations of conservation laws, Oxford Univ. Press: Oxford 2002.

27. C. De Lellis, F. Otto, M. Westdickenberg, Structure of entropy solutions for multi-dimensional scalar conservation laws, Arch. Ration. Mech. Anal., 170, No.2 (2003), 137−184.

28. V.I. Agoshkov, Spaces of functions with differential-difference characteristics and the smoothness of solutions of the transport equation, Dokl. Akad. Nauk USSR, 276 (1984), 1289−1293.

29. R. J. DiPema, P.-L. Lions, Y. Meyer, Lp regularity of velocity averages, Ann. Inst. H. Poincare Non Lineaire, 8 (1991), 271−287.

30. B. Perthame, P.E. Souganidis, A limiting case for velocity averaging, Ann. Sci. Ecole Norm. Sup., 31, No. l (1998), 591−598.

31. F. Bouchut, L. Desvillettes, Averaging lemmas without time Fourier transform and application to discretized kinetic equations, Proc. R. Soc. Edinb., Sect. A, Math. 129, No. l (1999), 19−36.

32. A. Vasseur, Strong traces for solutions of multidimensional scalar conservation laws, Arch. Ration. Mech. Anal., 160, No.3 (2001), 181−193.

33. A. Vasseur, Time regularity for the system of isentropic gas dynamics with 7 = 3, Commun. Partial Differ. Equations, 24, No. 11−12 (1999), 1987;1997.

34. G.-Q. Chen, E. DiBenedetto, Stability of entropy solutions to the Cauchy problem for a class of nonlinear hyperbolic-parabolic equations, SIAM J. Math. Anal., 33, No.4 (2001), 751−762.

35. Chen G.-Q., Perthame В., Well-posedness for non-isotropic degenerate parabolic-hyperbolic equations, Ann. Inst. H. Poincare Anal. Nonlin? aire, 20 (2003), 645−668.

36. Саженков С. А., Сильно нелинейные ультра-параболические уравнения Гратца-Нюссельта, Сибирский математический журнал, принята в печать.

37. Tartar L. Я-measures, a new approach for studying homogenisation oscillations and concentration effects in partial differential equations // Proc. R. Soc. Edinb. 1990. V. 115A. P. 193−230.

38. Стейн И. Сингулярные интегралы и дифференциальные свойства функций. М.: Мир. 1973.

39. М. Slemrod, Measure valued solutions to a backward-forward heat equation, Nolinear Evolution Equations that change type: IMA Vol. in Math and its Appl, 27 (1990), 232−242.

40. M. Slemrod, Dynamis of measure valued solutions to a backward-forward heat equation, J. Dyn. Differ. Equatons, 3, No.3 (1991), 1−28.

41. D. Kinderlehrer, P. Pedregal, Weak convergence of integrands and the Young measure representation, SIAM J. Math. Anal., 23, No. l (1992), 1−19.

42. K.-H. Hoffmann, T. Roubicek, Optimal control of a fine structure, Appl., Math, Optimization, 30, No.2 (1994), 113−126.

43. J. Yin, С. Wang, Young measure solutions of a class of forward-bacward equations, J. Math. Anal. Appl., 279, No.2 (2003), 659−683.

44. A. Visintin, Differential Model of Hysteresis: Springer (1994).

45. A. Visintin, Forward-backward parabolic equations and hysteresis, Calc. Var., 15 (2002), 115−132.

46. A. Visintin, Quasilinear P.D.E.s with memory operators, Birkhauser, Prog. Nonlinear Differ. Equ. Appl., 55 (2003), 415−423.

47. M. Brokate, J. Sprekels, Hysteresis and Phase Transitions, Springer: Berlin (1996).

48. K. Hoellig, Existence of infinitely many solutions for a forward backward heat equation, Trans. Am. Math. Soc., 278 (1983), 299−316.

49. R.R. Akhmerov On structure of a set of solutions of Dirichlet boundary value problem for stationary one-dimensional forward-backward parabolic equation, Nonlinear Anal, Theory Meth. and Appl., 11, No. ll (1987), 1303−1316.

50. R.R. Akhmerov, On the set of solutions to forward backward parabolic equation, Russ. J. Numer. Anal. Model., 8, No.6 (1993), 453−459.

51. P. L Plotnikov, Forward-backward parabolic equations and hysteresis, RAS. Sibirian Division, Novosibirsk, (1996)(Preprint-N 1−96).

52. П. И. Плотников, ДАН, 330, № 6 (1993).

53. П. И. Плотников, Предельный переход по вязкости в уравнении с переменным направлением параболичности, Дифференциальные уравнения, 30, № 4 (1994), 665−674.

54. G.I. Barenblatt, M. Bertch, R. Dal Passo, V.M. Prostokishin, M. Ughi, A mathematical model of turbulent heat and mass transfer in stably stratified shear flow, J. Fluid Mech., 253 (1993), 341−358.

55. V. Padron, Sobolev regularization of some nonlinear ill-posed problems. Thesis, Department of Mathematics, University of Minnesota, (1990).

56. V. Padron, Effect of aggregation on population recovery modeled by a forward-backward pseudoparabolic equation, Trans. Am. Math. Soc., 356, No.7 (2004), 2739−2756.

57. A. Novick-Cohen, R.L. Pego, Stable patterns in a viscous diffusion equation, Trans. Am. Math. Soc., 324, No 1 (1991), 331−351.

58. Dieudonne, Foundations of modern analysis, Academic Press, New York, (1969).

59. R.J. Di Perna, A.J. Majda, Oscillations and concentrations in weak solutions of the incompressible fluid equations, Commun. Math. Phys., 108 (1987), 667−689.

60. R.J. Di Perna, Measure-valued solutions to conservation laws, Arch. Rat. Mech. Anal., 88 (1985), 223−270.

61. J. Simon, Compact sets in the space Lp (0,TB), Ann. Mat. Рига Appl., 146 (1987), 65−96.

62. Ю. А. Дубипский, Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнений, Мат. сб., 67, № 4 (1965).

63. J. Simon, Compact sets in the space Lp (0,TB), Ann. Mat. Рига Appl., 146 (1987), 65−96.

64. E. Malek, J. Necas, N. Rokyta, M. Ruzicka, Weak and measure-valued solutions to evolutionary partial differential equation systems, London-Weinheim New-York — Melbourn — Madras: Chapman and Hall, (1997).

65. Isakov K, Inverse problems for partial differential equations, Springer-Verlag (1998).

66. Кузнецов И. В., Сингулярные пределы решений псевдопараболического уравнения с малым параметром при старшей производной // Вестник НГУ. 2004. Т. 4, JVa 3, С. 45−62.

67. Кузнецов И. В., Энтропийные решения дифференциального уравнения второго порядка с переменным направлением параболичности j j Сибирский математический журнал. 2005. Т. 46, № 3, С. 594−619.

68. Кузнецов И. В., Энтропийные решения уравнения диффузии с переменным направлением параболичности // Тезисы докладов XLI Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс»: Математика / НГУ. Новосибирск, 2003, с. 24.