Псевдодифференциальные операторы с бесконечным числом переменных и уравнение Хопфа, соответствующее нелинейному гиперболическому уравнению

Интерес к изучению дифференциальных й псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных и связанных с ниш уравнений в значительной мере стимулируется потребностями теоретической физики. Квантовая теория поля приводит к изучению бесконечномерных эллиптических операторов с разделяющимися переменными и их возмущений. В статистической гидромеханике и статистической нелинейной оптике изучается уравнение Хопфа для характеристического функционала статистического решения соответствующего эволюционного уравнения, содержащее псевдодифференциальный оператор с бесконечным числом переменных. Важным источником дифференциальных уравнений с бесконечным числом переменных является теория марковских случайных процессов в бесконечномерных пространствах, дающая бесконечномерный оператор Лапласа и связанные с ним уравнение диффузии и уравнение Пуассона. С другой стороны, изучение дифференциальных и псевдодифференциальных операторов в пространствах функций бесконечномерного аргумента является естественным шагом после изучения этих операторов в пространствах функций конечномерного аргумента.

Дифференциальным и псевдодифференциальным операторам с бесконечным числом переменных и связанным с ними уравнениям посвящены многочисленные работы. Отметим основополагающие исследования В. И. Авербуха, О. Г. Смолянова и С. Ь. Фомина [I] ,[2], Ю.М.Бере-занского и его учеников [7]-[э], М. И. Вишика и его учеников [ю], [13]-[is], Ю. Л. Далецкого [22], Ю. Л. Далецкого и С. Б. Фомина [23], О. Г. Смолянова [35], [Зб], Л. Гросса [53], [54], П. Кри [58], работы А. В. Марченко [27], [28], Н. Н. Фролова [45], Р. Л. Шахбагяна [49]-[51], Б. Ласкара [59]-[6l| и других математиков [б] ,[25] ,[33] ,.

34], [42], [4б], [62]. Смежным вопросам теории меры в бесконечномерных пространствах были посвящены фундаментальные исследования Ю. В. Прохорова [31], Р. А. Минлоса [29] и В. В. Сазонова [32] .

Дифференциальные и псевдодифференциальные операторы с бесконечным числом переменных и соответствующие уравнения в пространствах функций, равномерно приближаемых функциями конечного числа переменных на ограниченных множествах, изучались М.И.Виши-ком и его учениками ?10], [13]—?15}. При этом бесконечномерные дифференциальные операторы рассматривались как замыкания конечномерных в соответствующем пространстве функций бесконечномерного аргумента. В работах [13], [ilfj была определена алгебра псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных с символами, порождающими счетно-аддитивные меры ограниченной вариации в соответствующем гильбертовом пространстве, и построены фундаментальные решения некоторых бесконечномерных эллиптических операторов, реализующиеся такими мерами. Разработанная в [l3], [ю] методика была обобщена М. И. Вишиком в работе [15] для доказательства существования фундаментального решения бесконечномерного равномерно эллиптического оператора любого порядка с постоянными коэффициентами. Однако важный случай бесконечномерного оператора Лапласа, его итераций и некоторых других функций от него остался неисследованным. С другой стороны, Л. Гросс [53] показал, что для бесконечномерного оператора Лапласа, определенного как след второй производной Фреше, фундаментальное решение можно реализовать как € -конечную положительную счетно-аддитивную меру в гильбертовом пространстве, а В. Ю. Бенткус [б], изучая уравнения для мер в гильбертовом пространстве, распространил этот результат на итерации оператора Лапласа.

Актуальной научной задачей является дальнейшее развитие и обобщение этих методов, в том числе построение класса псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных с символам!, порождающими б" -конечные меры в соответствующем гильбертовом пространстве, и изучение на этой основе разрешимости дифференциальных уравнений с бесконечным числом переменных.

Важным примером псевдодифференциального оператора с бесконечным числом переменных является псевдодифференциальный оператор в уравнении Хопфа для характеристического функционала статистического решения эволюционного уравнения. Задача Коши для уравнения Хопфа, соответствующего системе Навье-Отокса, была впервые поставлена Э. Хопфом [57], а разрешимость этой задачи Коши была установлена при разных предположениях Ч. Фояшем 5.55], [56], [43], [44], А. М. Бершиком и О. А. Ладыженской [il], [тг], М.И.Би-шиком и А. В. Фурсиковым [16], [17], [iy], А. А. Арсеньевым [з] ,[4]. Ч. Фояш [55], [56] установил также условия, при которых имеет место единственность решения задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего системе Навье-Стокса.

Разрешимость задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному волновому уравнению, была впервые установлена М. И. Вишиком и А. И. Комечем [18] в случае периодических граничных условий. Используя несколько иной подход к понятию статистического решения, не опирающийся на уравнение Хопфа, А. А. Арсеньев [б] построил пространственно-временное статистическое решение нелинейного волнового уравнения. Отметим также работы Т. В. Гири [20] и Д. А. Хрычева [47], [48], М. Вио [63], в которых изучалось нелинейное волновое уравнение с белым шумом.

Актуальной задачей является доказательство разрешимости задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному волновому уравнению в случае произвольной области и других граничных условий, и выяснение условий, при которых имеет место единственность решения задачи Коши.

Изложим кратко содержание диссертации.

Первая глава диссертации посвящена построению одного класса псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных с символами, зависящими от квадратичной формы, и их приложениям .

Пусть Н — вещественное гильбертово пространство последоее вательностей х =, где эс.^^ + ао, с нормой.

ОО Lfa t-i.

Цэс.1! = (2, ocf) # Возьмем последовательность >о такую, i-i. что 2Z, и рассмотрим вещественное гильбертово пространство Н^ последовательностей эс = (осА> эсг-.), для которых.

Z Q-Z, ?

0(1 L, снабженное нормой II = ^ 2).

Обозначим через Н подпространство тех эс^Н^, для которых Х- = О при 1>А/. Для ОС = (эс1(^ Н^ положим Pv эс =.

Всякая функция у на пространстве Н ^ определяет функцию на пространстве Н±по формуле (Р* <р)(где хе Н^. Определим пространство шлиндрических функций на пространстве Н? как линейную оболочку множества ЯкС*(Ы) • где СзМ-Р-[СГ («')]. йяяфункши |, определенной на пространстве Ь^, положим.

S’R 11*11^* T R 11X1/T.

Скажем, что функция^, определенная на пространстве H±j г I принадлежит пространству L. ь5, если для нее существует последовательность функцийfn. eCg* «такая, что т) S ULD II? п, II < + оо •.

2). при для любого R>0.

— 10 -fi j (К).

Сходимость в пространстве s вводится следующим образом: последовательность функций сходится к ф-ункции если для функций f и Д, где Не N. выполнены условия I) и 2). Пространство CL^ оказывается полным относительно введенной сходимости. Положим с5, CL4L.

Определим псевдодифференциальный оператор с символом где — комплекснозначная функция на полупрямой (о, + °°) и (^1,1) — квадратичная форма на гильбертовом пространстве Н, такая, что для любого afllll^fAt,!)^, где.

Скажем, что символ принадлежит классу Ж*, если функция является преобразованием Лапласа комплекснозначной меры S на полупрямой (о, — о удовлетворяющей условию.

5 (L + Ul) I 6*1 (oLul) < foo О где — полная вариация меры в .

Определим меру на гильбертовом пространстве, порожденную символом класса. По скольку $ ((А |)) =, -(АЪЬ)и ]? б" (оiu.), а символ в порождает борелевскую вероятностную меру ри в пространстве И±-, то положим.

I) U (Е) «f p^(E)6(cLu.) о для тех борелевских подмножествах Е пространства И^, для которых интеграл в правой части (I) имеет смысл. Б § 1.2 доказано, что функция множеств jul является 6 -конечной счетно-аддитивной мерой, определенной на %-кольце s4К борелевских подмножеств пространства Н±-, погружаемых в цилиндрические множества с ограниченными основаниями из пространства Нк, где к >Хы-,.

Для функции, где Л/> к и К>2ос, положим.

Л ^ л/ где ^ - псевдодифференциальный оператор с символом)) и ^(Ч^) — преобразование Фурье функции fC^). В § 1.3, опираясь на результаты § 1.2, показано, что Л ж ^Сю.

По линейности оператор 2 определен на всем пространстве где к > ос, причем §.

Теорема I.I. Оператор $ с символом класса Ж (А оL г (К) продолжается с пространства до непрерывного оператора.

Л (к) где К у с2. об и 5 > об об, причем ffe) 5.

2) W = для С*/ где ^ - порожденная символом мера на пространстве н, ' А д Гя;

Оператор $'CLs—>Clj, где K>Z<=c и S>2oc, задаваемый формулой (2), назовем псевдодифференциальннм оператором с символом класса Ж" л.

Пусть Р — многочлен. Оператор Р = Р ((4, где.

9) — М п си-.1гЪхл > 1ъх2 >•—/, определенный на пространстве L.^, допускает замыкание в пространстве CL (см. [10]). Рассмотрим дифференциальное уравнение с бесконечным числом переменных.

К = {.

Если корни многочлена Р лежат в открытой левой полуплоскости С, то, как показано в работе П. М. Клехера и М. И. Вишика ioj, это уравнение для всякой функции^еСЛ имеет решение UL е С А.

Теорема 1.2. Пусть корни многочлена Р лежат в замкнутой левой полуплоскости С комплексной плоскости и р — наибольшая из кратностей тех его корней, которые лежат на мнимой оси.

С к).

Тогда уравнение Pu=*j> при любой правой части, где к>Яр и S>2p, имеет решение u = Rf&CL, где R — псевдодифференциальный оператор с символом И ((/If, ?)) =.

Меру JUL, порожденную символом назовем фундаментальным решением дифференциального оператора f> = P ((/2), 2)))(.

Пример. Фундаментальным решением бесконечномерного опера.

О 2 тора Лапласа s^z является мера Грина GJ на пространстве Н, определенная формулой QfE)=, о гдеЕ — борелевское подмножество пространства Ц и р^абстрактная мера Винера на пространстве Н,, построенная по.

— IIIU2 и, п функционалу О.. Уравнение Пуассона имеет решение в пространстве CL для любой функции, где и S >"2.,. Это решение дается формулой.

О) = JfO-г) QCd*) .

Вторая глава диссертации посвящена доказательству разрешимости задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению.

Пусть Cq — ограниченная область в с гладкой границей 'ЪС, .В классе измеримых вещественных функций il = il (±3 эс)? где t ^ о и Хб Q, рассмотрим нелинейное гиперболическое уравнение с нулевым граничным условием Лгс — |гс (1L 1Lо.

I Го.+оо) x^Q > где Уравнение (3) эквивалентно гамильтоновой системе, р = Ли.- 1-u.l гг. з —^, = Р S Л с гамильтонианом н (р,-)=S г I р^^йШ-У 4 J ^ ,.

Q 1=1 ' которую мы коротко запишем в виде.

4) У = Iffy), где у = (р, Ю> Vfy) = р) #.

Энергетическим фазовым пространством нелинейного гиперболического уравнения (3) (гамильтоновой системы (4)) назовем пространство сЛ1= 1^(0) «[И о (Q) П С нормой tiytij^-= ЦрЙ +l|ttliA + llull^. Это пространство состоит из функций •у = Ср, -и-) t для которых конечен гамильтониан и выполнено (в среднем) нулевое граничное условие. Положим х [}($), Пусть <�•,*> - соотношение двойственности между пространствами кМ и Л>1*, jH^ и JU/^*.

Уравнением Хопфа, соответствущим нелинейному гиперболическому уравнению (3), называется эволюционное уравнение для хаг-рактеристических функционалов X (~t, со) — J*et<67'^ jll^ борелевских вероятностных мер jul,^ на пространстве JUL :

5) XfauJ)* I Ну. ХМ, где оператор Нбесконечномерный псевдодифференциальный оператор

Отображение «Ь ь-» jj.^ % где t^-o, называется статистическим решением нелинейного гиперболического уравнения (3) с начальной мерой jul0, если функционал X (-b)(Jo)~jH^ici) является решением задачи Коши для уравнения Хопфа (5) с начальным условием Z (o, ui) = fi0(io): t t6) xfaud) — %(o, u)) = i J? где t>o И coeJtl^. с.

Пусть {ек}к (?/у/ - ортонормированный базис в пространстве L4Q) «состоящий из собственных функций оператора Лапласа с нулевым условием на границе области Q, i: Jj~(Q) -* LZ (Q) — ортопроектор на линейную оболочку первых Л/ собственных функций. Для g = (p, LC) &L1CQ)XLZ (Q) ПОЛОЖИМ у = (Ры р, Р"и) #.

Теорема 2.1. Пусть начальная мера jul0 удовлетворяет условию л.

Тогда задача Коши для уравнения Хопфа (5) разрешима, т. е. выполняется (6), причем.

SUf l^^)^(h) .

Третья глава диссертадии посвящена доказательству единственности решения задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению (3).

Будем рассматривать уравнение (3) при, удовлетворяющих условию.

7- «2., если 2 — Z <? X +, если и. ^ 3, обеспечивающему единственность индивидуальных решений этого уравнения (см. [26]).

Поскольку при таких ^ непрерывно вложение с. г то энергетическое фазовое пространство UL совпадает с пространством LZ (Q) * Но (6), а норма в пространстве М. эквива i-h лентна норме «^» xt = («Р» г +).

Теорема 3.1. Пусть е^ удовлетворяет условию (7). Тогда решение X (t}u)) задачи Коши для уравнения Хопфа (5) с начальным условием X (o, l0)=Ju, o (c0) единственно на отрезке 0°, Т], если начальная мера jjl0 удовлетворяет условию.

I sap e"f ^"(^ < + оо — в котором ^ =, Т) > О .

Б заключение перечислим основные результаты диссертации.

1. Построен класс псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных с символами, порождающими б" -конечные меры в гильбертовом пространстве, на основе этого расширен класс дифференциальных операторов с бесконечным числом переменных, для которых описаны фундаментальные решения, и получены новые результаты о разрешимости дифференциальных уравнений с бесконечным числом переменных.

2. Доказана разрешимость задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению, рассматриваемому в ограниченной области пространства IR.'V с гладкой границей с нулевым условием на границе.

3. Доказана единственность решения задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению.

Результаты диссертации могут найти приложения в теории дифференциальных уравнений в частных производных, в математической физике и в статистической нелинейной оптике.

Все основные результаты диссертации являются новыми и получены без соавторов.

Результаты диссертации опубликованы в работах [37] - [41].

Результаты диссертации докладывались на научных семинарах механико-математического факультета Московского государственного университета.

Приношу глубокую благодарность профессору М. И. Вишику за постановку задач и внимание к работе.

1. Авербух В. И., Смолянов О. Г., Фомин С. В. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. Дифференцируемые меры. — Тр. Моск. мат. о-ва, 1971, 24, с.133−174.

2. Авербух В. И., Смолянов О. Г., Фомин С. В. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. 2. Дифференциальные операторы и их преобразование Фурье. Тр. Моск. мат. о-ва, 1972, 27, с.247−262.

3. Арсеньев А. А. Построение турбулентной меры для системы уравнений Навье-Стокса. Докл. АН СССР, 1975, 225, Ж, с.18−20.

4. Арсеньев А. А. Построение турбулентной меры для системы уравнений Навье-Стокса. Матем. сб., 1976, 101, JS2, с.204−211.

5. Арсеньев А. А. 0 статистических решениях нелинейного волнового уравнения. Дифф. ур., 1979, 15, J?7, с.1239−1252.

6. Бенкус В. Ю. 0 фундаментальном решении бесконечномерного итерированного оператора Лапласа. Лит. матем. сб., 1977, 17, М, с.5−20.

7. Березанский Ю. М., Самойленко Ю. С., Ус Г. Ф. Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконечного числа переменных. В кн.: Теория операторов в функциональных пространствах. — Новосибирск: «Наука», 1977, с.20−41.

8. Березанский Ю. М. Самосопряженные операторы в пространствах функций бесконечного числа переменных. Киев: Наукова думка, 1978.

9. Вершик A.M., Ладыженская О. А. Об эволюции мер, определяемой уравнениями Навье-Стокса, и о разрешимости задачи Коши для статистического уравнения Хопфа. Докл. АН COOP, 1976, 226, ЖЕ, с.26−29.

10. Вершик A.M., Ладыженская О. А. Об эволюции мер, определяемой уравнениями Навье-Стокса, и о разрешимости задачи Коши для статистического уравнения Хопфа. Зап.'научн. семинаров Ле-нингр. отд. Матем. ин-та АН СССР, 1976, 59, с.3−24.

11. Вишик М. И. Параметрикс эллиптических операторов с бесконечным числом независимых переменных. УМН, 1971, 26, вып.2, с.155−174.

12. Вишик М. И., Марченко А. В. Краевые задачи для эллиптических и параболических операторов второго порядка на бесконечномерных многообразиях с краем. Матем. сб., 1973, 90, J'3, с.331−371.

13. Вишик М. И. Фундаментальные решения бесконечномерных эллиптических операторов любого порядка с постоянными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1973, 208, М, с.764−768.

14. Вишик М. И., Фурсиков А. В. Задача Коши для уравнения Хопфа, соответствующего параболическим уравнениям. Статистические решения и моментные функции. Докл. АН СССР, 1976, 227, № 5, с.1041−1044.

15. Вишик М. И., Фуосиков А. В. Уравнение Хопфа, статистические решения, моментные функции, соответствующие системе уравненийНавье-Стокса и уравнению Бюргерса. Институт проблем механики АН СССР, препринт JS66, М., 1976.

16. Вишик М. И., Комеч А. И. О разрешимости задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению. Труды сем. им. И. Г. Петровского, 1978, вып. З, с.19−42.

17. Вишик М. К., Фурсиков А. В. Математические задачи статистической гидромеханики. М.: Наука, 1980.

18. Гиря Т. Разрешимость прямого уравнения Колмогорова, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению с белым шумом.- Beстн.Моск.ун-та, сер." матем., мех. у 1980, М, с.65−70.

19. Го I.C. Гауссовские меры в банаховых пространствах. М.: Мир, 1979.

20. Далецкий Ю. Л. Бесконечномерные эллиптические операторы и связанные с ними параболические уравнения. УМН, 1967, 22, вып.4, с.3−54.

21. Далецкий Ю. Л., Фомин С. В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах. М.: Наука, 1983.

22. Красносельский М. А. Непрерывность одного оператора. Докл. АН СССР, 1951, 77, J52, с.185−188.

23. Курбыко И. Ф. Бесконечномерные псевдодифференциальные операторы и связанные с ними уравнения. Владимир, 1983 (Деп. в ВИНИТИ, ?1209 — 83).

24. Лионе Ж. Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.:Мир, 1972.

25. Марченко А. В. Об индуктивных пределах линейных пространстви операторов и их приложениях. Вестн. Моск. ун-та. Матем., мех., 1974, ?2, с.26−33.

26. Марченко А. Б. Самосопряженные дифференциальные операторы сс бесконечным числом независимых переменных. Матем. сб., 1975, 96, Ш, с.276−293.

27. Минлос Р. А. Обобщенные случайные процессы и их продолжение до меры. Тр. Моск. мат. о-ва, 1959, 8, с.497−518.

28. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

29. Прохоров Ю. В. Сходимость случайных процессов и предельные теоремы теории вероятностей. Теор. вероятн. и прим., 1956, I, № 2, с. 177−238.

30. Сазонов В. В. Замечание о характеристических функционалах. -Теор. вероятн. и примен., 1958, 3, 1?2, с.201−205.

31. Самойленко В. Г. 0 самосопряженности эллиптического оператора второго порядка с бесконечным числом переменных. Укр. матем. журн., 1982, 34, }Ь5, с.647−650.

32. Самойленко Ю. С., Ус Г. Ф. Дифференциальные операторы с постоянными коэффициентами на функциях счетного числа переменных. В сб.: Матем. модели стат. физики, Тюмень, 1982, с.151−155.

33. Смолянов О. Г. Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения. М.: МГУ, 1979.

34. Смолянов О. Г. Бесконечномерные псевдодифференциальные операторы и квантование по Шредингеру. Докл. АН СССР, 1982, 263, Ш, с. 558−562.

35. Соболев С. И. Псевдодифференциальные операторы с бесконечным числом переменных, порождаемые мерши степенного роста. -Вестн. Моск. ун-та, сер. «матем., мех.», 1974, J?2f с.52−61.

36. Соболев С. И. Об одном классе псевдодифференциальных операторов с бесконечным числом переменных, символы которых зависят от квадратичной формы. Вестн. Моск. ун-та, сер. «матем., мех» .,' 1974, ЖЗ, с.22−31.

37. Соболев С. И. Статистические решения нелинейных гиперболических уравнений в неограниченной области. Вестн. Моск. ун-та сер." матем., мех.", 1977, с.34−40.

38. Соболев С. И. 0 единственности решения задачи Коши для уравнения Хопфа, соответствующего нелинейному гиперболическому уравнению. Москва, 1982, (Деп. в ВИНИТИ,)г5353 — 82).

39. Соболев С. И. Теорема единственности статистических решений одного нелинейного гиперболического уравнения. УМН, 1983, 38, с.121−122.

40. Феллер М. Н. 0 разрешимости бесконечномерных самосопряженных эллиптических уравнений. Докл. АН СССР, 1975, 221, с.1046−1049.

41. Фояш Ч. Статистические решения нелинейных эволюционных уравнений. Математика, 1973, 17, Ш, с.90−113.

42. Фояш Ч. Функциональная трактовка теории турбулентности. -УМН, 1974, 29, вып.2, с.282−313.

43. Фролов Н. Н. Фундаментальные решения бесконечномерных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Докл. АН СССР, 1981, 261, с.1063−1066.

44. Хренников А.30. Уравнения с бесконечномерными псевдо дифференциальными операторами. Докл. АН СССР, 1982, 267, Jf6, с.1313−1318.

45. Хрычев Д. А. Од одном стохастическом квазилинейном гиперболическом уравнении. -Матем. сб., 1981, 116, #3, с.398−426.

46. Хрычев Д. А. О разрешимости одного нелинейного гиперболического уравнения с белым шумом. УМН, 1981, 36, вып. З, с.231—232.

47. Шахбагян Р. Л. Краевая задача в полупространстве для эллиптических операторов второго порядка с бесконечным числом независимых переменных. Изв. АН Арм. ССР, Матем., 1976, II, И, с.82−96.

48. Шахбагян Р. Л. Эллиптическая задача с параметром для уравнений второго порядка с бесконечным числом независимых переменных. Изв. АН Арм. ССР, Матем., 1977, 12, М, с.252−261.

49. Шахбагян Р. Л. Общая краевая задача для уравнений эллиптического типа высокого порядка с бесконечным числом независимых переменных. Изв. АН Арм. ССР, Матем., 1983, 18, М, с.49—64.

50. G? Z0SS L. /Mstzcust Wcen&L. s. paa>4. 2к>с, 5 tk Be^ketey Sy+n, Mevbh. S-bcct. V. X, p. 31-If53. dftcss Ltkwuj o+v Ullie^t $рсиг.- Fu*iet. AmJ., 1, vl, p. iZi-iei.

51. Gloss L. fiBsi’uut WceuM, т&алиле. алиСp<rte"ctLal с*. flnxJL^ii амА cypiicqtlo+14 f v. X, Le&bunx. r^o-te^ in. v. l^O, 1940, p. Sty-lie.

52. Foias C. Statistical stuxLy cfi П/a^ie^ Stolon ЕуихсЫоуьл, 7. -fie+td. Se+"U>i. Meet. TJrUv. PclcLovcl t 1S?2} рщ ?.19−3*/,?

53. Foias c. Statistical stuuty of l^ou/ie^ Stokes ЕуииооЫ СУУг-^ И —W, S&mln. Шск. TSnlv. PousLoi/ft.^ 4 973, кв, />. 9−123,.

54. Hopf Statistical oauL czdudu*-J. Hotional МгЖ., Avuxl., ?9S2} ±t p. 84−123 .

55. KtUS. SoLcticn^ cL’еуил-Ыо** сих* oti>Uv p. АЧ61-A4&euro-$.

56. Lt&s 8, ~0~yJL cWiito^ Уиьильсиъе. e. t su^Lso, ycte d’MiptiUU роиъ иы. сЛал^е d> ope^xttex^s e*, оUvw^Uvvb i-H^aie, — Pftfti, Ec^uxct. f 4vp. 31-<34.

57. LclSOOA. В, /Voycuux ci W сЛсте ci' 0рШсЬ&ЛА4 pseculo-diff&t?s*,-bie?>, s Stoi V елpo.ce. oU Foc& appZccabionA. РсшЯ Кии. B^uct. d&fUi/. рй/vbiet. Lnp.Kle. ~U~yUv. PieruieNcuUe. CusUe., ±97 € 1 9?7 t 3, «€, p. 1−43.

58. Syocpien. ?. SohcbLon, ^ovLdxcr^es^boJU. d' орелАгЬ&сщ clif^e-%e*t?L.

59. Viot IH, SotcjbLcn. cL1 ouu. x cLd’Uvezj рая.-•bi&-C&-u s-bocJu^bl^cje. уыу1л. — Tfiese. J? cvUs t 1946..

60. Wid-cUt, V. TU baftcuu. -Ьгллц^оып.. Ръсук&ЬОП.: ЯЪСМА-ЬОЪT^wxV. J? t.