Интерполяционные и базисные разложения в ряды по биортогональным системам рациональных функций и в обобщенные ряды экспонент

1(a). К давним работам М. М. Джрбашяна и А. Б. Нерсесяна [ i], [2] восходит метод построения биортогональных систем, пороящае-шх аналитическими функциями с кратными нулями, который нашел существенно новые применения в ряде различных по своей природе вопросов анализа: в теории краевых задач для дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом [з], [4] и для уравнений дробного порядка типа Штурма-Лиувилля [б], в вопросах разложений функций по неполным обобщенным системам Мюнца-Сасса [6] (б" jX > «(KeVo) и т. д.

Далее, этот метод нашел новые приложения и интересные обобщения в серии работ Верблюнского [7] - [э], относящихся, в частности, к вопросам негармонических рядов Фурье.

Отметим также, что в работах М. М. Джрбашяна [ю], [п] этот же метод впервые был применен к вопросам изучения асимптотических рядов Дирихле-Тейлора, и было достигнуто существенное продвижение в теории примыкающих рядов, берущей начало с работ С. Мандельбройта [12], [13] .

2(a). Существенно новое развитие и важные аспекты применения нашел метод биортогонализадии в цикле исследований М. М. Джрбашяна [l4]- [18].

В работе [14] был предложен метод построения системы функций { Q. к (2,) |, биортогональной на окружности 121 = 1 с системой рациональных функций «где l^nh ^) — последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая условию Бляшке, а & к ^ i кратность появления числа к на отрезке {^l-^-'»)^-*].

Было показано 15, что этот метод эффективен также для построения системы функций f, биортогоналъной на вещественной оси с системой рациональных функций (т" ГД0 ч со.2).

ЛЛГ > ~ последовательность комплексных чисел, удовлетворяющая условию Бляшке для полуплоскости От 2 > О, а — кратность появле1шя числа на отрезке (- - • • Д ].

В той же работе [l4] с помощью его биортогональных систем для любого ограниченного континуума % была построена система рациональных функций { WL^ (2) j ^ с полюсами, лежащими на произвольной последовательности точек {^ к 1* ^ ^ .

Наряду с системой [№к С2)], для любого П. (1 ^ П < + <*>) была построена также система § л к) J i аналитических вне континуума Ж функций. В случае, когда — жордаяовая область со спрямляемой границей Г, была доказана биортогональность этих двух систем на Г, и с помощью построенных систем было получено представление ядра Коши 1/) посредством рациональных дробей {<" (2)]-.

При этом следует отметить, что системы (2)] ^ являются существенными обобщениями полиномов Фабера. б) Остановимся вкратце на другом аспекте применения метода биортогонализации М. М. Джрбашяна — кратной интерполяционной задаче.

В его работе [l6] была поставлена задача свободной интерполяции с кратными узлами в классах Нр (0 < р <+?*=>) Харди-Рисса, которую можно сформулировать следующим образом.

Пусть к i — произвольная последовательность комплексных чисел из единичного круга, и для данного к (16 к < +) s * 1 кратность появления числа ^ «на отрезке {^ j J » .

Выявить условия на последовательность [ ^ ^) i и на пространство последовательностей 3, при которых имеет место совпадение.

V1)K)h": *6М о, (о.з) и построить аппарат для эффективного представления решений интерполяционной задачи.

R.l.J,-)) (МГО. (0.4).

В том специальном случае, когда {^ к) i — суть различные друг от друга точки круга 1 2.1 < 1 и, таким образом, SK — 1 эта задача сводится к интерполяционной задаче с простыми узлами: f (AK)= ^ (К- 1,4, —). (0.4').

Критерии существования решения задачи (0.3)—(0.4*) были установлены в ряде работ (в [16] приведены подробные литературные указания по этому поводу). Отметим однако, что они существенно опираются на методы теории гильбертовых и банаховых пространств. в) В работе [16 J был предложен новый, аналитический метод для полного решения сформулированной выше общей интерполяционной задачи (0.3)-(0.4) в классе И^, метод, позволяющий дать также аналитический аппарат для представления решений этой задачи. Он основан на построении специальных систем аналитических в круге 1 00.

UI * 1 функций, ассоциированных с последовательностью {*K5i и биортогональных на окружности 121 = 1 .

Применением указанного метода биортогонализации М.М.Джрбашя-на было дано полное решение общей интерполяционной задачи (0.3).

0.4) в классах Н Р (0< р <+<*>) в круге 121 * 1, а также в классах Ир (1 < Р <+ в полуплоскости и в угловых областях комплексной плоскости в работах М.М.джрбашяна, Ф. А. Шамояна, Г. М.Айра-петяна, В. М. Мартиросяна [хб] - [21 ].

Критерий существования решения задачи (0.3)-(0.4) в классе Н °° в круге при условии ь^Р { был дан А. М. Джрбашяном К.

22]. В случае их существования эффективное представление решений задачи (0.3)-(0.4*) с простыми узлами в классе Н°° в круге было дано П. Джонсом (препринтсм.также [23J, где приведена упрощенная конструкция П. Джонса). Этот результат был существенно обобщен В. М. Мартиросяном [24]. С применением метода биортогона-лизации М. М. Джрбашяна им был построен аналитический аппарат, позволяющий в случае их существования, представлять решения интер

Ноо в круге.

3. Отметим еще несколько результатов, с которыми также связана данная работа. а) В работах М. М. Джрбашяна [25], [2б], посвященных систематическому изложению и исследованию вопросов представления и замкнутости ряда важных систем аналитических функций, была введена также система функций, определяемая следующим образом.

Пусть (^j^o СПт^!^ т) — произвольная последовательность комплексных чисел и Рк ^ 1 (К ^ 0) — кратность появления числа б" к на отрезке [^j]* .

Рассмотрим полиномы и ассоциированную с последовательностью (? j J 0 систему функций J.

Пусть, далее, (Sj («t)ie — ортогонализация этой системы на всей оси (- «о, + оо) с весом W (t) = ск .

В процитированных работах [2б],[2б] были установлены интегральные представления для функций системы {Sj (t) c/i Kilo и критерий ее замкнутости в метрике L, а (- 00 > 00). Там же были установлены важные связи функций этой системы с полиномами Пол-лачека.

С ¦) оо.

Отметим, что когда числа последовательности ]0 попарно различны, и тогда системаi (t)x — le—t 7 r^-iir-t?^ 11 6 Jo переходит в систему { е J J, критерий замкнутости которой на оси в метрике L ^ с весом Q~M lil был установлен Н. Винером и Р. Пэли [27].

Отметим также, что в общем случае линейные комбинации функций систем { Ж р.^ (-(г) } 0 и {e" t6″ ii: i? i совпадают. Следовательно, совпадают критерии замкнутости системы^p.-i (^)? ]0 в пространстве L ^ с весом chи системы {e~t€'J't4P'3″ 1 ^ в пространстве L ^ с весом на.

ОСИ (—о, too}. б) В ряде работ рассматривались условия, при которых система функций 5 Л©- «где ^ к i — оо — последовательность комплексных чисел, образует базис Рисса в. Базисные f i A «f 7 свойства системы е к з.^ были рассмотрены впервые Н. Винером и Р. Пэли [27] и изучались затем в ряде работ.

В работах [27] - [30] на последовательность { А^{накладывались} условия геометрической близости к целым числам, а именно, предполагалось, что числа Лк имеют вид +, где l^m?tl< + oo, , a cl достаточно мало. Наиболее сильным в этом направлении является результат М. И. Кадеца [30], который показал, что если с (<-¼ «то система {el, A (ct^Cto является базисом Рисса в L ^ (-ЗГ- ^).

Иной характер носят результаты работ Б. Я. Левина и его учеников [3l]-[Зб]. В этих работах условия базисности системы г сА t к Jформулируются не в терминах геометрической близости точек, А к к целым точкам, а непосредственно в терминах целой функции $ (2), имеющей последовательность { ^ к ] множеством своих корней.

Окончательный результат (необходимое и достаточное условие f с. A t 1 + 00 того, чтобы семейство экспонент е к j образовывало базис Рисса в) получен в работе Б. С. Павлова [зб] (см. также [37], где приведена подробная библиография).

4(a). В исследованиях М. М. Джрбашяна, подытоженных в его монографии [38 ], была создана теория гармонического анализа в комплексной области. Это — теория прямых и обратных преобразований с ядрами, порожденными целой функцией типа Миттаг-Леффлера оо ^.

Е *. (S>0,f>0), (0−5) n=0 1 (vT +п/ S) u u о «7 л на произвольной конечной системе лучей, исходящих из точки г = 0 комплексной плоскости. Им были установлены существенно новые результаты типа теорем Планшереля и Винера-Пэли [38 J — [42].

В исследованиях [38]-[42] были установлены также теоремы большой общности о параметрическом представлении целых функций произвольного конечного порядка? 1 / % и нормального типа 4 б', интегрируемых в квадрате модуля и с весом (-i.

Приведем здесь формулировку весьма специального случая отмеченных теорем, содержащую, однако, в себе теорему Винера-Пэли при СО = 0.

Пусть W g (- i< u) <�• i- > о) — класс целых функций экспоненциального типа — &, удовле творящих условию.

4- ®0 ½.

Why — |f (i)|lltl^i f оо.

Тогда имеет место теорема (см. 38], теорему 6.12). Теорема А. Класс W g совпадает с множеством функций, допускающих представление вида еz) = J Е1 (1Ы — J*-) fiVlt^'Ut ,.

— е где = 1 + oJ/2 и f (^) е L, а (-. При этом.

И= aзг Б.

— С.

Этой теоремой мы существенно воспользуемся в гл.1У данной работы. б) В последние годы М. М. Джрбашяном и его учениками развивается новое направление дискретного гармонического анализадискретного аналога построенной им теории гармонического анализа в комплексной области (см. 43 J — [47]).

В исследованиях М. М. Джрбашяна [43 ], [44] были построены системы функций типа Миттаг-Леффлера, которые являются полными системами собственных и присоединенных векторов, по существу, совершенно нестандартных краевых задач, для определенных интегро-диф-ференциальных операторов дробного порядка. Им были установлены важные результаты, заключавшиеся в том, что эти системы после нормировки образуют базисы Рисса в надлежащих пространствах.

По этому поводу отметим, что впервые в давней работе М. М. Джрбашяна и А. Б. Нерсесяна [i ] была рассмотрена краевая задача типа Штурма-Лиувилля на конечном отрезке [ 0 ft] вещественной оси для штегро-дифференциальных операторов дробного порядка, существенно отличных от рассмотренных в [43],[44]. В той работе [i], пользуясь методом контурного интеграла, причем ценою значительных усилий, была установлена только равносходимость с рядами Фурье разложений функций из L ^ (О Д) по системе собственных функций поставленной краевой задачи.

5. Данная работа посвящена вопросам интерполяционных и базисных разложений по различным системам рациональных и трансцендентных функций.

1. Джрбашян М. М., Нерсесян А. Б. Разложения по некоторым биортого-нальным системам и краевые задачи для дифференциальных уравнений дробного порядка. — Труды ММО, 1961, т.10, с.89−179.

2. Джрбашян М. М., Нерсесян А. Б. 0 построении некоторых специальных биортогональных систем. Изв. АН Арм.ССР, сер. физ.-мат. наук, 1959, т.12, Л 5, с.17−42.

3. Нерсесян А. Б. Разложения по собственным функциям некоторых несамосопряженных краевых задач. Сиб.матем.ж., 1961, т. II, Я 3, с.428−453.

4. Нерсесян А. Б. Разложения по собственным функциям краевой задачи для одного интегро-дифференциального уравнения с запаз-дыващим аргументом. Изв. АН Арм.ОСР, сер. физ.-мат.наук, 1959, т.12, № 6, с.37−68.

5. Джрбашян М. М. Краевая задача для дифференциального оператора дробного порядка типа Штурма-Лиувилля. Изв. АН Арм.ССР, Математика, 1970, т.5, № 2, с.71−95.

6. Джрбашян М. М. 0 пополнении и замыкании неполной системы функций { е'^Х^^П. ДАН СССР, 1961, т.141, № 3, с.539—542.

7. Vex&WsKi Он some lioitfvo^ona^ scstemsH Quati.— J. ПМ., 1965;V.16, p. {-%.

8. VezMu, nstL S. On a oCass of lateqwut o/zeta-tots i tt. — ?zoo. London, Hatfi. Soc. y v.lS,.

9. VetS^asia S. 0a a. c? clss of ko%t (w$onU ZXfionbioabИ Ргос. Londonflcutk. boc.- 1966, 16, /И* S, p. W .

10. Джрбашян М. М. Примыкание и единственность рядов типа Дирихле на вещественной оси. Изв. АН Арм.ССР, Математика, 1972, т.7,4, с.258−274.

11. Джрбашян М. М. Теоремы единственности аналитических функций, асимптотически представимых рядами Дирихле-Тейлора. Матем. сб., 1973, т.91 (133), № 4 (8), с.580−626.

12. Maace?&xo.t. q. ccolsi Ссn^tCcit^ Ссrut ana^tic continu-dtiOna, qentx&l pxLncL (ilb.- Тгсхль. Am. NaMSoc., l^Vi, v. $$, p.96.

13. Мандельбройт. Примыкающие ряды. Регуляризация последовательностей. Применения. М.: ИИ1, 1955.

14. Джрбашян М. М. Биортогональные системы рациональных функций и представления ядра Коши. Изв. АН Арм.ССР, Математика, 1973, т.8, № 5, с.384−409.

15. Джрбашян М. М. Биортогональные системы рациональных функций и наилучшее приближение ядра Коши на вещественной оси. Матем. сб., 1974, т.95 (137), 3 (II), с.418−444.

16. Джрбашян М. М. Биортогональные системы и решение интерполяционной задачи с узлами ограниченной кратности в классе Н %. -Изв.АН Арм. ССР, Математика, 1974, т.9, № 5, с.339−373.

17. Дяфбашян М. М. Базисность некоторых биортогональных систем и решение кратной интерполяционной задачи в классе Н Р+. -ДАН СССР, 1977, т.234, № 3, с.517−520.

18. Айрапетян Г. М. Кратная интерполяция и базисность некоторых биортогональных систем рациональных функций в классах И р Харди. Изв. АН Арм.ССР, Математика, 1977, т. 12, 4, с.262—277.

19. Шамоян Ф. А. Теоремы вложения, связанные с задачей кратного интерполирования в пространствах Нр. Изв. АН Арм.ССР, Математика, 1976, т. II, № 2, с.124−13I.

20. Джрбашян М. М. Базисность некоторых биортогональных систем ии ррешение кратной интерполяционнои задачи в классах Н в полуплоскости. Изв. АН СССР, Математика, 1978, т.43, № 6, с.1322−1384.

21. Мартиросян В. М. Замыкание и базисность некоторых биортого-нальных систем и решение кратной интерполяционной задачи в угловых областях. Изв. АН Арм.ССР, Математика, 1976, т. 13, Ш 5−6.р

22. Джрбашян A.M. Кратная интерполяция в классах И (0< р 6 + «>). ДАН СССР, 1977, т.234, Jfc 6, с.1253−1256.

23. Виноградов С. А., Горин Е. А., Хрущев С. В. Свободная интерпоНоаметодом Петера Джонса. Записки научных семинаров ЛОМИ.

24. Мартиросян В. М. Эффективное решение задачи кратной интерполяции в Н °° применением метода биортогонализации М. М. Джрбажяна. Изв. АН Арм.ССР, Математика, 1981, т. 16, В 5.

25. Джрбашян М. М. Об интегральном представлении некоторых ортогональных систем. ДАН Арм. ССР, 1962, т.35, I, с. 1−5.

26. Джрбашян М. М. Представление и замкнутость некоторых ортогональных систем. Изв. АН Арм.ССР, Математика, 1979, т. 14, Л 6, с.446−493.

27. Винер Н., Пэли Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964.

28. Coffin Sch, ae, ffw. rt-C. Ac? ass of по^лгто/ЫсFоидлег se/ue-s. Тгап-s. Ат&г. ficdh. Sос., i9Ь) уЛХ,, p. З41−3&-G .

29. Головин В. Д. Об устойчивости базиса показательных функций. -ДАН Арм. ССР, 1963, т.36, В 2, с.65−70.

30. Кадец М. И. Точное значение постоянной Винера-Пэли. ДАН СССР, 1966, т.155, В 6, с.1253−1254.

31. Левин Б. Я. О базисах из показательных функций вЗаписки физ.-мат.фак-та Харьковского гос. ун-та и Харьковского матем. об-ва, 1961, т.27, сер.4, с.39−48.

32. Левин Б. Я. Интерполяция целыми функциями экспоненциального типа. Сб. «Математическая физика и функциональный анализ», ФТИНТ АН УССР, вып. I, Харьков, 1969, с.136−146.1.2.

33. Головин В. Д. О биортогональных разложениях в L по линейным комбинациям показательных функций. Записки мех.-мат. фак-та Харьковского гос. ун-та и Харьковского матем. об-ва, 1964, т.30, сер.4, с.18−29.

34. Левин Б. Я., Любарский Ю. И. Интерполяция целыми функциями специальных классов и связанные с нею разложения в ряды экспонент. Изв. АН СССР, Математика, 1975, т.39, № 3, с.657−702.

35. Кацнельсон В. Э. 0 базисах из показательных функций в L. -" Функциональный анализ и его приложения", 1971, т.5, вып.1, с.37−47.

36. Павлов Б. С. Базисность системы экспонент и условие Макенхо-упта. ДАН СССР, 1979, т.247, 3 I, с. 37.

37. Никольский Н. К., Павлов Б. С., Хрущев С. В. Безусловные базисы ' из экспонент и воспроизводящих ядер. Ш. Препринты ЛОМИ, P-I0−80.

38. Джрбашян М. М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966.

39. Джрбашян М. М. Об интегральном представлении функций, непрерывных на нескольких лучах (обобщение интеграла Фурье). -Изв.АН СССР, Математика, 1954, т.18, с.427−448.

40. Джрбашян М. М. Об асимптотическом поведении функции типа Мит-таг-Леффлера. ДАН Арм. ССР, 1954, т.19, № 3, с.65−72.

41. Джрбашян М. М. Об одном новом интегральном преобразовании и его применении в теории целых функций. ДАН СССР, 1954, т.95,C.II33-II36- Изв. АН СССР, Математика, 1955, т.19, с.133−180.

42. Джрбашян М. М. Об интегральных преобразованиях, порожденных обобщенной функцией типа Миттаг-Леффлера. Изв. АН Арм.ССР, сер. физ.-мат.наук, I960, т.13, № 3, с.21−63.

43. Джрбашян М. М. Базисность биортогональных систем, порожденных краевыми задачами для дифференциальных операторов дробного порядка. ДАН СССР, 1981, т.261, № 5.

44. Джрбашян М. М. Интерполяционные и спектральные разложения, ассоциированные с дифференциальными операторами дробного порядка. Изв. АН Арм.ССР, Математика, 1984, т. 19, № 2, с.81−181.

45. Рафаелян С. Г. О базисности некоторых систем целых функций. -ДАН Арм. ССР, 1980, т.50, J& 4, с.198−204.

46. Рафаелян С. Г. Базисность некоторых биортогональных систем вс весом. Изв. АН Арм.ССР, Математика, 1983, т.19, Ш 3.

47. Рафаелян С. Г. Интерполяция и базисность в весовых классах целых функций экспоненциального типа. Изв. АН Арм.ССР, Математика, 1983, т.18, J6 3.

48. Григорян Ш. А. О базисности неполных систем рациональных функций в угловой области. Изв. АН Арм.ССР, Математика, 1978, т.13, Ш 5−6.

49. Казарян К. Г. Кратная интерполяционная задача в полосе и базисность некоторых систем функций. ДАН Арм. ССР, 19, т. №, с.

50. Казарян К. Г. Эффективное решение кратной интерполяционной задачи в классах И°° в полуплоскости и в полосе. ДАН Арм. ССР, 19, №, с.

51. Казарян К. Г. О свойстве устойчивости базисности для систем функций типа Миттаг-Леффлера. ДАН Арм. ССР, 19, т., с.

52. Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций. М.: ИИЛ, 1963.

53. Джрбашян М. М., Аветисян А. Е. Интегральные представления некоторых классов функций, аналитических в области угла. ДАН СССР, 1958, т.120, В 3, с.457−460- Сиб.матем.ж., I960, т.1, № 3, с.383−426.

54. Акопян С. А. Теорема о двух постоянных для функций класса НР. Изв. АН Арм.ССР, Математика, 1967, т.2, # 2, с.123−127.

55. Седлецкий С. А. Эквивалентное определение пространств НР в полуплоскости и некоторые приложения. Матем.сб., 1975, т. 96 (138), В I, с.75−82.

56. Титчмарш Е.

Введение

в теорию интеграла Фурье. М.-Л.: Гостех-издат, 1948.

57. Григорян Ш. А. Об одном свойстве функций из Н р (0< + <*>) в полуплоскости. Изв. АН Арм.ССР, 1977, т.12, № 5, с.335—340.

58. Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.

59. Виноградов С. А. Базисы из показательных функций и свободная интерполяция в банаховых пространствах с L рнормой. Записки научн. семинаров ЛОМИ, 1976, т.65, вып. УП, с.17−68.

60. Джрбашян М. М., Рафаелян С. Г. О целых функциях экспоненциального типа из весовых классов Lp. ДАН Арм. ССР, 1981, т.53, № I, с.29−36.

61. Левин Б. Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиз-дат, 1956.

62. Гохберг И. Ц., Крейн ГЛ.Г.

Введение

в теорию линейных несамосопряженных операторов. М.: Наука, 1965.

63. Рис с Ф., Сё кефалъви-Надь Б. Лекции по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

64. LevCnsoa /I/. G-ap Cuid density ikeozcms. MeW YotK: Дтег. IЫк. Ъос. сойP educations } 1940.