Множества. 
Функция и ее непрерывность

• 1. Множества. Действительные числа
• Понятие множества
• Операции над множествами
• Множество действительных чисел
• Числовые последовательности
• 2. Функция
• Понятие функции
• Бесконечно малые и бесконечно большие функции
• 3. Непрерывность функции
• Непрерывность функции в точке
• Арифметические операции над функциями, непрерывными в точке
• Непрерывность элементарных функций
• Свойства непрерывных функций

1. Множества. Действительные числа

Понятие множества

Мномжество — один из ключевых объектов математики, в частности, теории множеств и логики. Понятие множества обычно принимается за одно из исходных аксиоматических понятий, то есть не сводимое к другим понятиям, а значит и не имеющее определения. Однако, можно дать описание множества, например в формулировке немецкого математика Георга Кантора: «Под множеством мы понимаем соединение в некое целое M определённых хорошо различимых предметов m нашего созерцания или нашего мышления (которые будут называться элементами множества)» .

С 1872 г. по 1897 г. (главным образом в 1872—1884 гг.) Георг Кантор опубликовал ряд работ, в которых были систематически изложены основные разделы теории множеств. Поэтому общепризнано, что теорию множеств создал Георг Кантор. Unter einer ‚Menge` verstehen wir Zusammenfassung M von bestimmten wohlunterschiedenen Objecten m unsere Anschauung order unseres Denkens (welche die ‚Elementen` von M genannt werden) zu einem Ganzen.

Другая формулировка принадлежит английскому математику Бертрану Расселлу (1872−1970гг.): «Множество суть совокупность различных элементов, мыслимая как единое целое» .

Таким образом, под множеством понимается совокупность элементов (объектов) той или иной природы.

Множества обычно обозначают большими буквами латинского или другого алфавита: …, а элементы множества малыми буквами …

Если элемент принадлежит множеству, то пишут. Если не принадлежит множеству, то запись этого утверждения имеет вид .

множество функция непрерывная число Множества и называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов, то есть равенство означает, что одно и тоже множество обозначено разными буквами.

Существует два основных способа задания множества. Если элементы множества могут быть перечислены, то такое множество записывают в виде. Эта запись означает, что множество состоит из элементов и возможно еще каких-то других. Список элементов может быть и бесконечным. Например, множество содержит четыре элемента:. Множество, где — целое положительное число, состоит из бесконечного числа элементов. Если множество состоит из элементов, где индекс принимает значения из некоторого множества, то его записывают в виде .

Если множество состоит из элементов, обладающих определенным свойством, то его записывают в виде, где в фигурных скобках после вертикальной черты указывают данное свойства элементов множества. Например, если множество — это отрезок (), то есть множество всех чисел, удовлетворяющих неравенству, то форма записи множества имеет вид .

Пример. Запись означает, что множество состоит из вещественных корней квадратного уравнения, то есть .

Пустым множеством называется множество, не содержащее ни одного элемента. Оно обозначается символом .

Множество называется подмножеством множества, если каждый элемент множества принадлежит множеству. В этом случае пишут. Последнюю запись можно прочитать и так: множество заключено (содержится) в множестве .

Если и, то каждый элемент множества принадлежит множеству, а каждый элемент множества принадлежит множеству. Следовательно, множества и состоят из одних и тех же элементов, то есть .

Операции над множествами

Пусть и — произвольные множества.

Объединением или суммой множеств и называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств и. Объединение множеств и обозначается символом .

Пересечением множеств и называется множество, состоящее из всех элементов, принадлежащих как множеству, так и множеству, Пересечение множеств и обозначается через .

Разностью множеств и называется множество, состоящее из элементов, принадлежащих множеству, но не принадлежащих множеству, то есть .

Если, то разность называется дополнением множества до множества и обозначается .

Для наглядности множества нередко изображают в виде некоторой совокупности точек на плоскости. На рис.1а изображены множества и, на рис.1б — их объединение, на рис.1в — пересечение множеств и, на рис.1г — разность множеств и, на рис.1д — дополнение множества до множества .

а) б) в)

г) д)

Рис.1

Пусть задана система множеств, где значения образуют некоторую совокупность индексов. Объединением множеств называется множество, каждый элемент которого принадлежит хотя бы одному из множеств. Пересечением множеств называется множество, каждый элемент которого принадлежит одновременно всем множествам .

Пример. Пусть, ,, где — множество натуральных чисел. Тогда

, ,

,

, ,

, ,, .

Логические символы

— означает «из предложения следует предложение «;

— означает «предложения и равносильны, т. е. из следует и

из следует ;

: — означает «имеет место», «такое что» ;

— (символ всеобщности) означает «для любого», «для всякого» ;

— (символом существования) означает «найдется», «существует» .

Например, запись означает «для любого найдется положительное число» .

Множество действительных чисел

В процессе счета сначала возникает так называемый натуральный ряд чисел Множество этих чисел называется множеством натуральных чисел и обозначается ={ }. Далее в арифметике вводятся операции сложения, вычитания, умножения и деления. Однако в результате вычитания или деления не всегда получаются натуральные числа, и возникает необходимость расширить класс рассматриваемых чисел.

Вводятся число 0 и отрицательные числа — 1, — 2, …, —n, … Натуральные числа, число 0 и указанные отрицательные числа образуют множество целых чисел. Очевидно, что множество натуральных чисел является подмножеством целых чисел, то есть .

При делении целых чисел появляются рациональные числа вида, где и — целые числа, причем. Множество рациональных чисел обозначают буквой. Его можно записать в виде. Рациональное число, вообще говоря, можно записать не единственным образом. Например, Чтобы избежать этой неопределенности говорят, что рациональное число — это несократимая обыкновенная дробь. При этом предполагают, что если числитель и знаменатель имеют общие множители, то дробь следует сократить. Заметим также, что целые числа также представимы в виде, если положить. Следовательно, .

В процессе измерения геометрических величин выяснилось, что длина отрезка не всегда может быть задана рациональным числом. Таким примером может служить длина гипотенузы прямоугольного треугольника с катетами, равными 1. Как следует из теоремы Пифагора, длина гипотенузы в данном треугольнике равна. Предположим, что — рациональное число, то есть может быть представлено в виде. Причем и не имеют общих множителей. После возведения в квадрат равенства получим или

. (1)

Последнее равенство означает, что — четное число. Тогда также является четным и может быть записано в виде. Подставляя в (1) получим. Отсюда следует, что — тоже четное число. Но в этом случае и имеют общий множитель, равный двум, а мы предположили, что — несократимая дробь. Следовательно, наше предположение оказалось неверным, и не является рациональным числом. Итак, извлечение корня, вычисление логарифмов, значений тригонометрических функций и прочие операции привели к появлению иррациональных чисел. Все рациональные и иррациональные числа образуют множество вещественных (действительных) чисел. Множество вещественных чисел обозначают. Очевидно, справедливо соотношение .

Любое вещественное число может быть представлено бесконечной десятичной дробью. При этом рациональные числа можно представить в виде:

1) бесконечной десятичной периодической дроби, то есть дроби, у которой, начиная с некоторого знака, одна или несколько последующих цифр периодически повторяются, например, (эти повторяющиеся цифры записывают в круглых скобках).

2) либо в виде конечной десятичной дроби. Отметим также, что рациональные числа, имеющие вид конечной десятичной дроби, допускают двоякое представление в виде бесконечной десятичной дроби. Во-первых, такую дробь можно считать бесконечной, у которой все знаки с номерами большими равны нулю, то есть представить ее в виде. Так можно записать как 0,5000…=0,5 (0), а 1= 1.000. =1. (0). Или такую конечную десятичную дробь можно записать в виде

.

И тогда, а 1 = 1.000. =1. (0) =0,999…=0, (9).

Далее мы всегда будем использовать вторую форму записи.

Иррациональные числа всегда представляются бесконечной десятичной непериодической дробью.

Очевидно, что имеет место следующее включение множеств .

Числовые последовательности

Определение. Если каждому натуральному числу ставится в соответствие по определенному закону некоторое вещественное число, то совокупность занумерованных чисел называют числовой последовательностью или просто последовательностью.

Числа называются элементами или членами последовательности. По своему определению последовательность содержит бесконечное множество элементов. Последовательность с элементами обозначают также {}.

Например, — это последовательность ,

— это последовательность 0, 2, 0, 2, …

Последовательность может быть задана с помощью формулы, которая называется формулой общего члена последовательности. Например, формула задает последовательность

Суммой (разностью) двух последовательностей и называется последовательность, все элементы которой равны сумме (разности) ().

Произведением двух последовательностей и называется последовательность =, частным — последовательность =, причем при определении частного нужно потребовать, чтобы все элементы последовательности были отличны от нуля.

Ограниченные и неограниченные последовательности

Определение. Последовательность называется ограниченной сверху (снизу), если найдется такое вещественное число, что для всех членов последовательности справедливо неравенство ().

Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу, т. е. если найдутся такие вещественные числа и, что для всех членов последовательности справедливо неравенство .

Это определение можно сформулировать по другому:

Последовательность называется ограниченной, если найдется положительное число такое, что для всех членов последовательности справедливо неравенство. (Здесь).

Последовательность называется неограниченной, если для любого положительного числа найдется хотя бы один элемент последовательности, удовлетворяющий неравенству .

Примеры.1. = - ограниченная последовательность, так как .

2. = - ограниченная последовательность, так как .

3. — неограниченная последовательность {}, так как для любого положительного числа найдется хотя бы один элемент последовательности, удовлетворяющий неравенству .

Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности

Определение. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого положительного числа найдется номер, зависящий от, такой, что для всех номеров справедливо неравенство .

Пример. Последовательность, то есть последовательность натуральных чисел {} является бесконечно большой, так как для любого положительного числа найдется номер, такой, что для всех номеров справедливо неравенство .

Очевидно, что любая бесконечно большая последовательность является неограниченной. Действительно, для того, чтобы последовательность была неограниченной необходимо, чтобы для любого положительного числа неравенство выполнялось, хотя бы для одного элемента последовательности, но из определения бесконечно большой последовательности следует, что такими элементами являются все элементы последовательности, начиная с некоторого номера .

Обратное утверждение неверно, то есть неограниченная последовательность не всегда является бесконечно большой.

Пример. Рассмотрим последовательность 0, 2, 0, 4, …, у которой все члены с нечетными номерами равны нулю, а члены с четными номерами равны. Поскольку для любого положительного числа найдется натуральное число, то для четных номеров больших справедливо неравенство. Следовательно, данная последовательность является неограниченной. Однако она не является бесконечно большой, так как, какой бы большой номер мы не взяли, имеются члены с нечетными номерами, равные нулю, для которых неравенство не имеет места.

Определение. Последовательность называется бесконечно малой, если для любого положительного числа найдется номер, зависящий от, такой, что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству .

Пример. Показать, что последовательность является бесконечно малой.

Пусть — произвольное положительное число. Тогда при всех, то есть за номер можно принять натуральное число, где — целая часть числа. Поскольку для произвольного числа мы смогли определить номер такой, что при всех справедливо неравенство, то последовательность — бесконечно малая.

Пример. Показать, что последовательность является бесконечно большой, если, и бесконечно малой, если .

1) Пусть. Возьмем произвольное положительное число. Тогда, при всех. Возьмем. Тогда для всех справедлива цепочка неравенств. Следовательно, последовательность является бесконечно большой.

2) Если, то для любого положительного числа и любого номера выполняется неравенство, и последовательность — бесконечно малая. Рассмотрим случай. В этом случае, при всех. Возьмем. Тогда при всех. Следовательно, если, то последовательность является бесконечно малой.

Предел числовой последовательности. Сходящиеся последовательности

Определение 1. Число называется пределом последовательности, если для любого положительного числа найдется такой номер, зависящий от, что при все элементы этой последовательности удовлетворяют неравенству

. (1)

Символически это записывают так

или при .

Неравенство (1) означает, что, начиная с номера, все элементы последовательности находятся внутри интервала, который называютокрестностью числа .

Согласно данному определению бесконечно малая последовательность имеет своим пределом нуль, то есть .

Если последовательность является бесконечно большой, то пишут. В случае бесконечно большой последовательности, все члены которой, начиная с некоторого номера положительны, говорят, что ее предел равен и пишут. Если же все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера отрицательны, то ее предел считают равным и пишут .

Определение 2. Число называется пределом последовательности, если в любойокрестности числа находятся все элементы данной последовательности, начиная с некоторого номера.

Последнее утверждение означает, что, если число — предел последовательности, то за пределами любой егоокрестности находится лишь конечное число элементов данной последовательности.

Определение. Последовательность называется сходящейся, если она имеет конечный предел. Если предел не существует или равен, то последовательность называется расходящейся.

Из определения 2 следует, что последовательность расходится, если для любого числа найдется егоокрестность, за пределами которой лежит бесконечное число элементов последовательности.

Пример 1. Рассмотрим последовательность. Покажем, что .

Пусть — произвольное положительное число. Тогда неравенство выполняется при всех, то есть за номер можно принять натуральное число, где — целая часть числа. Поскольку для произвольного числа мы смогли определить номер такой, что при всех справедливо неравенство, то последовательность сходится, а ее предел равен единице, то есть .

Пример 2. Последовательность расходится.

Действительно, данная последовательность — это последовательность 1, 0, — 1, 0, 1, 0, — 1, … Пусть. Если, число принадлежит интервалу, то вокрестность этого числа попадут лишь члены последовательности, равные нулю, а бесконечное число членов, равных 1 или — 1, окажутся за пределамиокрестности. Если число принадлежит интервалу (0,9; 1,1) или (-1,1; - 0,9), то за пределамиокрестности заведомо окажутся все нулевые члены последовательности. При всех остальных значениях числа в егоокрестность не попадет ни одного члена последовательности. Итак какое бы число мы не взяли, для заданного найдется бесконечное число элементов последовательности, не принадлежащихокрестности числа. Следовательно, рассматриваемая последовательность расходится.

Основные свойства сходящихся последовательностей.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только один предел.

Доказательство. (Методом от противного). Предположим, что последовательность сходится и имеет два разных предела, то есть и, причем. Возьмемокрестность числа а, которая не содержит b. Так как а - предел последовательности, то по определению 2 за пределамиокрестности находится лишь конечное число элементов данной последовательности и, следовательно, число b не может быть ее пределом.

Теорема 2. Если все элементы последовательности равны одному и тому же числу, то и предел такой последовательности также равен числу, то есть, если, то и .

Доказательство. Рассмотрим последовательность. Покажем, что, то есть предел последовательности равен константе. Рассмотрим любуюокрестность числа С. Все члены последовательности попадут в эту окрестность, а за ее пределами не окажется ни одного члена последовательности. Согласно определению 2 это и означает, что число С есть предел данной последовательности.

Теорема 3. Сумма, разность, произведение и частное двух сходящихся последовательностей и (частное при условии, что предел отличен от нуля) есть сходящаяся последовательность, предел которой равен соответственно сумме, разности, произведению и частному пределов последовательностей и, то есть, если

, то

1) ;

2) ;

3), .

Доказательство. Докажем свойство 1) для суммы двух сходящихся последовательностей, то есть докажем, что. Возьмем любое положительное число. Поскольку, то для положительного числа существует номер такой, что при всех выполняется неравенство. Аналогично, так как-то для положительного числа существует номер такой, что при всех выполняется неравенство. Обозначим. Тогда при всех справедливо

.

Это и означает, что, что и требовалось доказать.

Следствие. Постоянный множитель можно выносить за знак предела, то есть

где .

Теорема 4. Сходящаяся последовательность ограничена.

Теорема 5. Произведение бесконечно малой последовательности на ограниченную последовательность является бесконечно малой последовательностью.

То есть, если, а последовательность {} - ограниченная, то .

Доказательство. Пусть {} - бесконечно малая, а {} - ограниченная последовательности. Требуется доказать, что последовательность — бесконечно малая последовательность. Так как {} - ограниченная, то существует положительное число такое, что для всех членов последовательности справедливо неравенство. Возьмем любое положительное число. Поскольку {} - бесконечно малая, то для положительного числа существует номер такой, что при всех выполняется неравенство. Тогда при всех справедливо

.

Это означает, что последовательность — бесконечно малая.

Пример. Последовательность — бесконечно малая как произведение ограниченной последовательности и бесконечно малой. Следовательно, .

Теорема 6. Если последовательность {} - бесконечно большая, то, начиная с некоторого номера, определена последовательность, которая является бесконечно малой. Если все элементы бесконечно малой последовательности не равны нулю, то последовательность — бесконечно большая.

(Без доказательства).

Теорема 7 (о трех последовательностях). Пусть последовательности и сходятся и имеют общий предел, то есть. Пусть, кроме того, начиная с некоторого номера, элементы последовательности удовлетворяют неравенствам. Тогда последовательность также сходится и имеет предел, то есть .

Предельные точки последовательности

Определение. Точка бесконечной прямой называется предельной точкой последовательности, если в любойокрестности этой точки имеется бесконечно много элементов последовательности .

Предельные точки называют также частичными пределами последовательности.

Пример. Найти все предельные точки последовательности .

Данная последовательность — это последовательность, 3,, 3, …

По определению последовательность имеет две предельные точки: 1/3 и 3. Покажем, что других предельных точек у данной последовательности нет. Пусть — произвольная точка числовой оси, отличная от 1/3 и 3. Выберем число достаточно малым для того, чтобыокрестности точек, 1/3 и 3 не пересекались. Тогда все элементы последовательности находятся вокрестности точек, 1/3 и 3, а вокрестности точки нет ни одного элемента. Согласно определению точка не является предельной точкой.

Определение. Наибольшая предельная точка (наибольший частичный предел) последовательности называется верхним пределом этой последовательности и обозначается символом. Наименьшая предельная точка (наименьший частичный предел) последовательности называется нижним пределом этой последовательности и обозначается символом .

2. Функция

Понятие функции

Определение. Если каждому значению переменной из некоторого множества ставится в соответствие по известному закону единственное число, то говорят, что на множестве задана функция или .

При этом называется аргументом функции, множество — областью задания функции. Число, которое соответствует данному значению аргумента, называется частным значением функции в точке. Совокупность всех частных значений образует вполне определенное множество, называемое множеством значений функции.

Функция называется четной (нечетной), если для любого из области определения функции справедливо равенство ().

Функция называется периодической, если существует такое число, что для любого из области определения функции справедливо равенство. Наименьшее из чисел называют периодом функции.

Функции могут задаваться, например, при помощи формул. Такой способ называется аналитическим. В этом случае используется некоторый запас изученных и специально обозначенных функций и алгебраические действия.

Например,, , и т. д. Иногда на разных участках своей области задания функции задаются разными формулами. Например, функция, которая принимает значение, равное 1 при, 0 при , — 1 при может быть записана следующим образом

Название функции произошло от латинского слова signum — знак. Областью задания этой функции является вся числовая прямая, а область значений состоит из трех чисел: 1, 0, — 1.

Функция может быть также задана с помощью описания соответствия. Например, поставим в соответствие вещественному числу наибольшее целое не превосходящее. В результате получим функцию, определенную на всей числовой оси, и принимающей целочисленные значения. Эту функцию называют целой частью числа и обозначают. Другим примером может служить функция Дирихле, принимающая значение, равное 1, если — рациональное число и 0, если — иррациональное число.

Еще один способ задания функции — это табличный способ. В этом случае для некоторых значений переменной указывают соответствующие значения функции. Данные таблиц могут быть получены как непосредственно из опыта, так и с помощью тех или иных математических расчетов. Примерами такого задания функций могут служить таблицы тригонометрических функций.

Для наглядного представления о характере функциональной зависимости часто строят графики функции.

Графиком функции называется множество точек на плоскости с координатами, .

Предел функции в точке

Рассмотрим функцию, определенную в некоторой окрестности точки, за исключением может быть самой точки .

Определение 1 (по Гейне). Число называется предельным значением функции в точке или пределом функции при, стремящемся к, если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента, все элементы которой отличны от, соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Если число является предельным значением функции в точке, то пишут .

Пример. Рассмотрим функцию. Она имеет предельное значение в любой точке числовой прямой, равное. Действительно, для любой сходящейся к последовательности все элементы соответствующей последовательности значений функции равны . Поскольку последовательность сходится к, то .

Пример. Найдем предельное значение функции в точке. Возьмем произвольную последовательность, сходящуюся к (). Тогда

то есть соответствующая последовательность значений функции сходится к. Следовательно .

Пример. Покажем, что функция не имеет предельного значения в точке. Рассмотрим две последовательности и. Очевидно, что обе эти последовательности сходятся к нулю. Последовательность значений функции, соответствующая последовательности, сходится к 0, а последовательность значений функции, соответствующая последовательности, сходится к 1. Поскольку, то рассматриваемая функция не имеет предела при .

Определение 2 (Коши). Число называется предельным значением функции в точке или пределом функции при, стремящемся к, если для любого положительного числа найдется такое положительное число, что для всех, удовлетворяющих условию, выполняется неравенство

.

Ограничение, означает, что .

Первое и второе определения предельного значения функции в точке равносильны.

Рассмотрим геометрический смысл предела функции в точке. Неравенство равносильно двойному неравенству и соответствует попаданию значений функции вокрестность точки. Аналогично, неравенство равносильно двойному неравенству и соответствует попаданию значений аргумента вокрестность точки. Таким образом, число есть предел функции в точке (или при ), если для любого положительного числа найдется такая -окрестность точки , что для всех , из этой окрестности соответствующие ординаты графика функции будут заключены в полосе , какой бы узкой эта полоса ни была. Пример. Докажем, используя второе определение предельного значения функции в точке, что

().

Возьмем произвольное положительное число .

Из очевидного неравенства

следует, что если, то. Следовательно, для любого положительного числа, найдется положительное число, такое что для всех, удовлетворяющих неравенству .

Предельное значение функции при

Будем считать, что область задания функции имеет хотя бы один элемент, лежащий вне отрезка, для любого положительного числа.

Определение. Число называется пределом функции при, если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента функции соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Пример 1. Найдем предел функции при. Пусть — произвольная бесконечно большая последовательность. Тогда соответствующая последовательность значений функции является бесконечно малой. Следовательно .

Пример 2. Покажем, что функция не имеет предела при. Действительно, для бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность значений функции сходится к 1. Однако для другой бесконечно большой последовательности соответствующая последовательность значений функции сходится к 0. Следовательно, предел функции при не существует.

Сформулируем определение предела функции при стремлении аргумента к бесконечности определенного знака, то есть при и. Предельные значения функции в этих случаях могут оказаться различными.

Определение. Число называется пределом функции при (), если для любой бесконечно большой последовательности значений аргумента функции, элементы которой, начиная с некоторого номера, положительны (отрицательны), соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Пример. Найти предельные значения функции при и .

Пусть — произвольная бесконечно большая последовательность, все элементы которой, начиная с некоторого номера, положительны. Тогда

.

Если все члены бесконечно большой последовательности, начиная с некоторого номера, отрицательны, то

.

Следовательно,, а .

Теоремы о пределах функций

Теорема 1. Пусть, заданные на одном и том же множестве функции и имеют в точке предельные значения и. Тогда функции, , и имеют в точке предельные значения (частное при условии, что), равные соответственно, , и .

Доказательство

Следствие. Если функция имеет в точке предельное значение, равное, то .

Действительно, пусть. Воспользовавшись предыдущее теоремой, получим

.

Теорема 2. Если функции и имеют в точке одинаковые предельные значения, равные, и в некоторой проколотой окрестности точки справедливо неравенство, то функция также имеет в точке предельное значение, равное .

Заметим, что данные теоремы также справедлива в случае, когда .

Первый замечательный предел

Теорема. Предельное значение функции в точке существует и равно единице:

. (1)

Равенство (1) называют первым замечательным пределом.

Доказательство.

Пусть. Рассмотрим окружность единичного радиуса с центром в точке (рис.1). Пусть радиус образует угол с радиусом. Соединим точки и отрезком прямой и восстановим из точки перпендикуляр к радиусу до пересечения с продолжением. Точку пересечения обозначим. Тогда и. Найдем площади треугольника, сектора и треугольника :

, .

Поскольку треугольник содержится в секторе, который в свою очередь содержится в треугольнике, то их площади связаны соотношением

.

Следовательно,, откуда

(). (2)

Разделим неравенство (2) на .

В результате получим

откуда имеем

. (3)

В силу четности функций и неравенство (3) справедливо и для. Поскольку, то из неравенства (3) следует, что функции также имеет в точке предельное значение, равное единице.

Следствие.

.

Второй замечательный предел. Теорема. Предельное значение функции при существует и

равно :

. (4)

Второй замечательный предел также записывают в виде

. (5)

Число называется неперовым числом или числом Эйлера. Оно равно 2,718 281 828 459 045… Число принято за основание натуральных логарифмов:. В приложениях также большую роль играет показательная функция с основанием. Функция называется экспоненциальной функцией, а ее график экспонентой.

Следствия.

1. ;

2. .

Бесконечно малые и бесконечно большие функции

Определение. Функция называется бесконечно малой в точке (при), если ее предельное значение в этой точке (при) равно нулю.

Заметим, что если функция имеет в точке (при) предельное значение, то функция является бесконечно малой в точке (при). Отсюда следует, что если функция имеет в точке (при) предельное значение, то ее можно представить в виде, где — бесконечно малая функция в точке (при).

Пример. Функция является бесконечно малой в точке. Действительно, рассмотрим произвольную сходящуюся к последовательность. По определению предела функции имеем

.

Определение (по Гейне). Функция называется бесконечно большой в точке, если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента, соответствующая последовательность значений функции является бесконечно большой последовательностью.

Если функция является бесконечно большой в точке, то ее предел считают равным .

Пример. Функция является бесконечно большой в точке. Действительно, рассмотрим произвольную сходящуюся к последовательность (). Тогда последовательность — бесконечно малая, а последовательность — бесконечно большая.

Пример. Функция является бесконечно большой при. Действительно, возьмем произвольную бесконечно большую последовательность, все элементы которой положительны. Последовательность значений функции также бесконечно большая. Следовательно, .

Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших функций

Пусть и — две бесконечно малые в точке функции, определенные на одном и том же множестве.

1. Функция называется бесконечно малой более высокого порядка, чем, если. В этом случае используют символическую запись, которая читается следующим образом: равно малое от .

2. Функции и называется бесконечно малыми одного порядка, если в точке существует конечный предел отношения, отличный от нуля.

3. Функции и называется эквивалентными бесконечно малыми, если. Для обозначения эквивалентности используют символ ~. Запись читается: функция эквивалентна функции .

4. Функция называется бесконечно малой порядка относительно, если в точке существует конечный предел отношения, отличный от нуля.

Аналогичным образом сравнивают и бесконечно большие функции. Пусть и — две бесконечно большие в точке функции одного знака.

1. Функция называется бесконечно большой более высокого порядка, чем, если их отношение является бесконечно большой в точке функцией.

2. Функции и называется бесконечно большими одного порядка, если в точке существует конечный предел отношения, отличный от нуля.

3. Функции и называется эквивалентными бесконечно большими, если .

4. Функция называется бесконечно большой порядка относительно, если в точке существует конечный предел отношения, отличный от нуля.

Односторонние пределы

Будем использовать определение Гейне предела функции.

Определение. Число называется правым (левым) пределом функции в точке, если для любой сходящейся к последовательности значений аргумента функции, все элементы которой больше (меньше), соответствующая последовательность значений функции сходится к .

Такие пределы называются односторонними пределами.

Правый предел обозначают символом, а левый —. Правый и левый предел функции в точке могут принимать как равные, так и отличные друг о друга значения.

Пример. Найдем правый и левый пределы функции при. Возьмем произвольную сходящуюся к последовательность, все элементы которой больше нуля. Тогда и. Пусть все члены сходящейся к последовательности меньше нуля. В этом случае

и .

Теорема. Если в точке правый и левый пределы функции равны, то в этой точке существует предельное значение функции, равное указанным односторонним пределом, то есть

==.

(Без доказательства).

Замечание. Если в точке правый и левый пределы функции не равны (), то функция в точке предела не имеет.

Следовательно, функция при предела не имеет, так как

.

3. Непрерывность функции

Непрерывность функции в точке

Пусть функция определена в точке и любаяокрестность точки содержит отличные от точки области задания этой функции.

Определение 1. Функция называется непрерывной в точке, если она удовлетворяет следующим трем условиям:

1) определена в точке (т.е. существует);

2) имеет конечный предел в точке ;

3) этот предел равен значению функции в точке, то есть .

Предел функции в точке часто называют предельным значением функции в этой точке. И тогда определение 1 можно сформулировать следующим образом: функция называется непрерывной в точке, если предельное значение этой функции в точке существует и равно частному значению, то есть, если

. (1)

Поскольку, то равенство (1) можно представить в виде

. (2)

Следовательно, для непрерывной функции знак предела можно вносить под знак функции. Примеры: Исследовать непрерывность в точке заданных функций:

1) ;

2) 3) 4) .

Решение. В точке :

1) функция не является непрерывной, так как нарушено первое условие непрерывности — существование ;

2) функция не является непрерывной — первое условие непрерывности выполнено, существует (), но нарушено второе условие — отсутствует предел функции точке, то есть не существует (точнее говоря, существуют односторонние пределы слева и справа, но они не равны);

3) функция не является непрерывной — первые два условия непрерывности выполнены: существует () и конечный предел, но нарушено третье основное условие — .

4) функция является непрерывной, так как выполнены все три условия непрерывности — .

Очевидно, что непрерывность функции в данной точке выражается непрерывностью ее графика при прохождении данной точки (без отрыва карандаша от листа бумаги).

Сформулируем еще одно (второе) определение непрерывности функции в точке.

Дадим аргументу функции приращение. Тогда функция получит приращение, определяемое как разность нового и старого значения функции: .

Определение 2. Функция называется непрерывной в точке, если она определена в этой точке и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, то есть

. (3)

Пример. Используя определение 2, покажем, что функция непрерывна в любой точке .

Давая аргументу приращение, получим приращение функции :

или

.

Переходя к пределу в левой и правой частях равенства при, получим

так как, а

(произведение ограниченной величины на бесконечно малую есть бесконечно малая).

Таким образом, функция непрерывна в любой точке .

Непрерывность функции в любой точке доказывается аналогично.

Определение. Функция называется непрерывной в интервале, если она непрерывна в каждой точке этого интервала.

Определение. Функция называется непрерывной на отрезке, если она непрерывна в интервале и в точке она непрерывна справа (т.е.), а в точке непрерывна слева (т.е.).

Определение. Точки, в которых функция не является непрерывной, называются точками разрыва функции.

Классификация точек разрыва

Устранимый разрыв. Точка называется точкой устранимого разрыва функции, если предельное значение функции в этой точке существует, но либо функция не определена в этой точке, либо ее предельное значение не равно частному значению .

Если функция имеет в точке разрыв такого рода, то его можно устранить, определив значение функции в точке равным ее предельному значению в этой точке. Например, функция не определена в точке, но имеет в этой точке предельное значение, равное 1. Следовательно, точка является точкой устранимого разрыва. Если положить значение функции в нуле равным 1, то получим непрерывную функцию

Разрыв первого рода. Точка называется точкой разрыва первого рода, если в этой точке функция имеет конечные, но не равные друг другу правое и левое предельные значения:

.

Например, для функции точка является точкой разрыва первого рода. Действительно,, а .

Разрыв второго рода. Точка называется точкой разрыва второго рода, если в этой точке функция не имеет хотя бы одного одностороннего предельного значения, или если, по крайней мере, одно из односторонних предельных значений бесконечно.

Ранее мы показали, что функция не имеет предельного значения в точке. Следовательно, точка является для данной функции точкой разрыва второго рода.

Функция также имеет в точке разрыв второго рода, поскольку .

Определение. Функция называется кусочно непрерывной на отрезке, если она непрерывна во всех внутренних точках этого отрезка, за исключением, может быть, конечного числа точек, в которых имеет разрыв первого рода, и, кроме того, имеет односторонние предельные значения в точках и .

Арифметические операции над функциями, непрерывными в точке

Теорема. Пусть заданные на одном и том же множестве функции и непрерывны в точке. Тогда функции, , и также непрерывны в точке (частное при условии).

Доказательство. Поскольку и непрерывны в точке, то и. Используя теорему о пределах функций, получим:

.

Следовательно, согласно определению 1, функции, , и непрерывны в точке (частное при условии).

Сложная функция и ее непрерывность

Последовательное применение двух или нескольких функций называется суперпозицией этих функций.

Функции, образованные в результате суперпозиции двух или нескольких функций будем называть сложными функциями. Например, сложная функция образована в результате суперпозиции функций и. Достаточно определить сложную функцию, образованную в результате суперпозиции двух функций. Определение. Пусть функция определена на некотором множестве и пусть — множество значений этой функции. Если на указанном множестве определена другая функция, то говорят, что на множестве задана сложная функция переменной

.

Теорема. Если функция непрерывна в точке, а функция непрерывна в точке, соответствующей точке, то сложная функция непрерывна в точке .

Доказательство. В силу непрерывности функции в точке имеем:, то есть при имеем. Поэтому вследствии непрерывности функции в точке получаем, то есть. Следовательно, предел функции в точке равен ее значению в этой точке, что и доказывает непрерывность сложной функции в точке .

Обратная функция и ее непрерывность.

Определение. Функция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве, если для любых и из этого множества, удовлетворяющих условию, справедливо неравенство (). Неубывающие и невозрастающие функции называются монотонными.

Определение. Функция называется возрастающей (убывающей) на множестве, если для любых и из этого множества, удовлетворяющих условию, справедливо неравенство (). Убывающие и возрастающие функции называются строго монотонными.

Определение. Пусть функция задана на отрезке, и пусть множеством значений этой функции является отрезок. Пусть каждому значению из отрезка ставится в соответствие по некоторому закону единственное значение из отрезка, для которого. Тогда на отрезке можно определить функцию, ставя в соответствие каждому из отрезка, то значение из отрезка, для которого. Функция называется обратной для функции .

В этом определении вместо отрезков и можно рассматривать интервалы и или считать, что один или оба интервала превращаются в бесконечную прямую или в открытую полупрямую, .

Заметим, что если — обратная функция для функции, то функция — обратная функция для функции. Функции и называются взаимно обратными.

Взаимно обратные функции обладают следующими очевидными свойствами:

.

Пример. Рассмотрим на полупрямой функцию. Областью значений этой функции является полупрямая. каждому поставим в соответствие по формуле единственное значение. Тогда. Следовательно, является обратной для функции .

Пример. Рассмотрим на отрезке функцию. Областью значений этой функции является отрезок. Обозначим через угол, принадлежащий отрезку, синус которого равен. Тогда функция будет обратной к данной. Действительно, .

Заметим, что при записи обратной функции независимую переменную нередко обозначают, а значение функции, то есть пишут. Например, — функция обратная для функции. Функция — функция обратная для функции .

Теорема. Пусть на отрезке задана возрастающая (убывающая) непрерывная функция, и пусть и. Тогда эта функция имеет на отрезке () возрастающую (убывающую) непрерывную обратную функцию .

Непрерывность элементарных функций

Простейшими элементарными функциями называются следующие функции: степенная, показательная, логарифмическая, тригонометрические функции, ,, и обратные тригонометрические функции, ,, .

Элементарными функциями называются функции, полученные в результате суперпозиции простейших элементарных функций и арифметических действий.

Все элементарные функции непрерывны в любой точке своего определения.

Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, где они определены.

Пример. Найти .

Решение. Так как сложная функция непрерывна в точке, то .

Свойства непрерывных функций

Определение. Функция называется ограниченной на множестве, если найдутся такие вещественные числа и, что для всех значений аргумента из множества справедливы неравенства .

Заметим, что последнее неравенство можно заменить неравенством, где, и сформулировать следующее определение ограниченной функции: функция называется ограниченной на множестве, если найдется такое положительное вещественное число, что для всех значений аргумента из множества справедливо неравенство .

1. (Об устойчивости знака непрерывной функции). Если функция непрерывна в точке, и если, то найдется такаяокрестность точки, что для всех значений аргумента из указаннойокрестности функция имеет знак, совпадающий со знаком .

2. (О прохождении непрерывной функции через нуль при смене знака). Пусть функция непрерывна на отрезке и принимает на концах отрезка значения разных знаков. Тогда внутри отрезка найдется хотя бы одна точка, в которой функция обращается в нуль ().

3. (О прохождении непрерывной функции через любое промежуточное значение). Пусть функция непрерывна на отрезке, причем,. Пусть — любое число, заключенное между и. Тогда на отрезке найдется точка такая, что .

4. (Первая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она ограничена на этом отрезке.

5. (Вторая теорема Вейерштрасса). Если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своих максимального и минимального значений, то есть на отрезке найдутся точки и такие, что и .