Индефинитные функции Шура и их свойства

Конечномерные пространства с индефинитной метрикой впервые появились в работах учёных в конце XIX века в связи с запросами физики. Известно, что все законы механики Ньютона инвариантны относительно преобразований Галилея при переходе от одной инерциальной системы отсчёта к другой. Однако открытые в 1864 году Максвеллом уравнения распространения электромагнитных волн оказались неинвариантными относительно преобразований Галилея. Поиски формул перехода от одной инерциальной системы координат к другой, не меняющих вида уравнений Максвелла, привели к преобразованиям, называемым ныне преобразованиями Лоренца. В 1905 году А. Пуанкаре обнаружил, что преобразования Лоренца соответствуют повороту в четырёхмерном пространстве, имеющем три пространственных измерения и одно временное. В этом же году А. Эйнштейн опубликовал статью «К электродинамике движущихся тел», в которой заложил основы специальной теории относительности. В 1908 году Г. Минковский завершил построение четырёхмерной картины мира и на её основе создал соответствующую физическую модель.

С.Л.Соболев [30] в 1943 году, моделируя движение симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью, построил бесконечномерное пространство с индефинитной метрикой. В 1944 году появилась работа Л. С. Понтрягина [24], посвящённая самосопряжённым операторам в индефинитных пространствах (относительно индефинитной метрики). Дальнейшее своё развитие теория пространств с индефинитной метрикой и действующих в них операторов получила в работах М. Г. Крейна [19, 20],.

И.С.Иохвидова [16], Р. Филлипса [69], М. А. Наймарка [22, 23], Г. К. Лангера [68], П. Йонаса [64], Т. Я. Азизова [1, 2, 3], А. А. Шкаликова [31], а также совместной работе И. С. Иохвидова и М. Г. Крейна [17], ряде совместных работ М. Г. Крейна и Г. К. Лангера [65, 66, 67], совместной работе И. С. Иохвидова, М. Г. Крейна и Г. Лангера [63], совместных работах Д. Алпая, Т. Я. Азизова, А. Дайксмы и Г. Лангера [32, 33, 34, 35, 36] и многих-многих других математиков (подробнее см. монографии [6] или [55]).

Одновременно в теоретической физике в связи с построением нелинейной теории элементарных частиц появились работы, в которых затрагивались вопросы, связанные с индефинитной метрикой.

В настоящее время библиография по теории операторов в пространствах с индефинитной метрикой и её приложениям практически необозрима.

Данная диссертация посвящена исследованию свойств обобщённых функций Шура и её унитарной реализации, построению алгоритма Шура на окружности для обобщённой функции Каратеодори, а также решению основной граничной интерполяционной задачи и задачи факторизации для обобщённой функции Каратеодори.

Классом Шура в комплексном анализе называют множество голоморфных функций, определённых и ограниченных единицей на единичном круге. Понятие функций Шура встречается как в интерполяционной теории и теории инвариантных подпространств, так и в приложениях. Некоторые ядра, индуцированные функцией Шура, встречаются в теории наиболее часто. Это воспроизводящие ядра для функциональных гильбертовых пространств, которые сегодня понимаются как пространства состояний для канонических коизометрических, изометрических и унитарных операторных узлов, чьи характеристические функции совпадают с данной функцией Шура.

Операторное обобщение понятия класса Шура определяется множеством функций S (z), заданных и голоморфных на подобласти единичного круга содержащей нуль и принимающих значения во множестве непрерывных операторов б), где (5 — гильбертовые, пространства Пон-трягина либо пространства Крейна.

Каждой такой функции поставим в соответствие три ядра.

I — S (z)S (cv)* I — S (z)S (uy.

KsM = 1-zSJ ' = 1−257 '.

Ds (uj, Z) = Ks{u.

Индефинитные случаи также были изучены в сериях работ Т.Я. Ази-зова [4, 5], М. Г. Крейна и Г. Лангера [65, 66, 67], и недавних работах Л. де Бранжа.

Теория Крейна-Лангера предполагает, что пространства # и б гильбертовы, и необходимость такого подхода мотивируется спектральной теорией, классическими представлениями резольвент и вопросами теории функций.

Теория де Бранжа охватывает различные системы точек зрения и использует понятие дополнения для создания ключевой конструкции.

Однако, несмотря на то, что получено множество выдающихся результатов, индефинитная теория менее изучена, нежели гильбертов случай.

В свете вышеизложенного исследование качественных свойств функций Шура представляет несомненный интерес.

В настоящей работе мы подробно остановимся на аналоге результатов исследования М. Г. Крейна и Г. Лангера [66], полученных в 1977 году и связанных с актуальными проблемами современной математики, а именно с теорией приближения и факторизации функций в пространствах с индефинитной метрикой. В третьей главе мы исследуем свойства обобщённой функции Каратеодори, близкие к полученным в 2006 году Д. Алпаем, А. Дайксмой и Г. Лангером [41] и касающиеся алгоритма Шура для функций Шура и Неванлинны. В качестве результата, в третьей главе построено обобщённое преобразование Шура для обобщённой функции Карате-одори для точки, принадлежащей окружности.

Перейдём к краткому описанию основных результатов диссертации.

В первой главе вводятся основные понятия, собраны основные обозначения и предварительные сведения, используемые в работе.

На протяжении всей работы мы рассматриваем три класса скалярных функций — Шура, Неванлинны и Каратеодори, которые связаны между собой дробно-линейными преобразованиями. Функции из этих трёх классов будем обозначать s, g, и / соответственно. Для их определения нам понадобятся некоторые понятия и обозначения. Через D всюду в диссертации будем обозначать открытый единичный круг D = {?: |?| < 1}, через 0, — подобласть D, содержащую нуль.

Определение 1.1.1. Скалярная функция K (z, u) двух переменных, определённая на ?1 х П называется эрмитовым ядром, если.

K{z, ш) = К (и, z), cj, z е Q.

Определение 1.1.2. Говорят, что эрмитово ядро K (z, w) имеет к отрицательных квадратов, если для любых конечных наборов {А,-}[=1 С матрица (К{, Aj))[j=i имеет не более я отрицательных собственных значений, а хотя бы для одного набора их ровно к.

Символами Ks (X, fi), Kg (a,{3), Kf (z, u) будем обозначать ядра, порождённые функциями Шура, Неванлинны, Каратеодори соответственно.

Класс мероморфных на Р функций s, для которых ядро вида Ks (A,/z) = -—где X, fi из области голоморфости функции s, имеет конечное число отрицательных квадратов назовём обобщённым классом Шура и обозначим где к — число отрицательных квадратов с учетом их кратностей.

Символом С+ будем обозначать открытую верхнюю комплексную полуплоскость. Обобщённым классом Неванлинны назовём множество мероморфных в С+ функций д, для которых ядро Кд (а,(3) = ^^— ос — (3 где а,(3 из области голоморфости функции д, имеет конечное число к отрицательных квадратов, и обозначим Nx.

Обобщённым классом Каратеодори назовём множество мероморфных в В функций /, для которых ядро Kf (z, uS) = ^^ имеет конечное.

1 — ZUJ число х отрицательных квадратов, и обозначим Ся.

В параграфе 1.2 напоминается понятие индефинитной метрики, рассматривается структура индефинитных пространств, а также приводятся индефинитные аналоги определений, характерных для гильбертова случая.

Через (? обозначим векторное пространство над полем С комплексных чисел. Мы определим на С, линейное по первому аргументу:

Q{iXi + 2X2}y) = iQ{xi}y) + 2Q{x2,y)} {xhx2,ye.

1.2.1) и эрмитово симметричное:

Q (y, x) = Q (x, y), (ж, у е&euro-). (1.2.2).

Эрмитову форму Q (x, у) со свойствами (1.2.1) и (1.2.2) называют (^-метрикой. Нам удобно будет ввести для неё и более краткое обозначение x, y] = Q (x, y) (х, у?<�В). (1.2.3).

Заметим, что вещественное число [х, х] = Q (x, x) может иметь любой знак. Это даёт основание называть Q-метрику [я, у] также индефинитной метрикой. Введём следующую классификацию векторов и линеалов пространства (?- при этом договоримся, прописная готическая буква? (возможно с индексами: ?+, ?~, ?° и т. д.) будет обозначать линеал.

Определение 1.2.1. Вектор х 6 назовём положительным, отрицательным или нейтральным в зависимости от того, будет ли [-х, х] > 0, [х, х) < 0 или [х, х] = 0 соответственно.

Положительные (соответственно отрицательные) и нейтральные векторы объединяются общим термином неотрицательные (соответственно неположительные) векторы. Множества всех положительных, отрицательных и нейтральных векторов пространства (? обозначим соответственно через 03++, 03″ и 03°.

Обозначим также через 23+, 03″ множества всех неотрицательных и неположительных векторов из (? соответственно: 03+ = 03++ U 03°, 03″ = 03″ «U 03°.

Определение 1.2.2. Линеал? С (? назовём неотрицательным, неположительным или нейтральным, если? С 03+,? С 03~,? С 03° соответственно. Все эти три типа линеалов объединяются общим названием семидефинитные линеалы.

Определение 1.2.3. Линеал? называется положительным (отрицательным), если? С 03++ U {0} (? С 03 U {0}). Положительные и отрицательные линеалы объединяются общим названием — дефинитные линеалы.

Напротив, линеал ?, содержащий как положительные, так и отрицательные векторы называется индефинитным.

Определение 1.2.4. Векторы х, у € (? называются Q-ортогональными, если [х, у] = 0. Этот факт обозначается символом [L]: х[А.]у.

— ортогональность произвольных множеств 9Л, 51 С 6 естественно определяется требованием х[±]у (для всех хе9Лиу€У1)и обозначается.

Щ±]У1.

Q-ортогональным дополнением множества Ш С? называется множество = {х | ж[1]Ш1}.

Вектор Хо G? называется изотропным вектором для? С .

Определение 1.2.5. Линейная оболочка всех изотропных векторов Хо 6? называется изотропным для? линеалом и обозначается ?°. Иными словами, ?° =? П Равенство ?° = {0} означает отсутствие в? изотропных векторов. В случае ?° = {0} линеал? называется невырожденным, в противном случае — вырожденным.

Параграф 1.3 посвящён геометрии пространств Крейна — главной арены действия линейных операторов, изучаемых в диссертации. Важнейший частный случай пространств Крейна — пространства Понтрягинатакже рассматривается в параграфе 1.3.

Пусть J и б — векторные пространства с индефинитной метрикой. Обозначим прямое произведение и прямую ортогональную сумму пространств $ и 0 через $х<3 и ^[-fjtS соответственно. Напомним некоторые определения, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Определение 1.3.1. Пространство 6 с индефинитной метрикой [х, у], допускающее каноническое разложение (? = (?+[+](?", где (?+ и .

Если на пространстве Крейна /С индефинитная метрика задаётся как [•, •] = («/•, •), где J — самосопряжённый унитарный оператор, то /С называют J-пространством, а метрику, заданную таким образом — J-метрикой.

Определение 1.3.2. Оператор Т: /С —> /С назовём J-сжатием, если для любого х 6 JC выполнено неравенство [Тх, Тх] ^ [ж, ж].

Если одновременно с Т J-сжатием будет иТс = JT* «7, где Т* - гильбертов сопряжённый оператор, то Т будем называть J-бисжатием.

Свяжем с пространством /С числа ind±K = dim/С*, которые являются целыми или бесконечностью, не зависят от выбора канонического разложения и называются положительным и отрицательным индексами этого пространства.

Частным случаем пространств Крейна является пространство Понтря-гина и обозначается Пх, где к иногда называют числом положительных или отрицательных квадратов, в зависимости от того размерность какого подпространства (положительного или отрицательного) в каноническом разложении Пх минимальна.

Далее без ограничения общностей будем считать я числом отрицательных квадратов (размерностью максимального отрицательного подпространства).

Всё это нам понадобится в дальнейшем изложении работы.

Определение 1.3.3. Операторным узлом назовём структуру (К, С, Т, и, г>, 7) — где JC является пространством Крейна с индефинитной метрикой [•, •] и называется пространством состояний, операторТ непрерывный и называется связующим оператором, элементы и, v являются векторами пространства 1С, у — комплексное число. Таким образом, с операторным узлом можно ассоциировать оператор

Оператор Т называется главным оператором узла.

Всюду далее мы будем рассматривать операторный узел V, предполагая, что главный оператор Т является J-сжатием.

Определение 1.4.1. Будем говорить, что функция V (X) порождается непрерывным оператором или оператор V порождает функцию К (Л)), где К, является J-пространством, если в некоторой окрестности нуля.

Определение 1.3.4. Характеристической функцией узла V называется функция, порождённая оператором V вида (1.3.4);

Далее для краткости речи всюду в работе операторный узел будем называть оператором.

Задача реализации функции состоит в её представлении, как характеристической функции некоторого операторного узла.

V е L (JC@C, 1C®C) вида.

У (А) = Vn + ЛVl2{I — XV22)~lV2l.

Qv (Л) = 7 + A[(l — Л Т)-ги, v], и, ve 1С, Хеш. s (X) = QV (X).

1.3.5) на Р. А само представление (1.3.5) называется реализацией функции5(Л). Мы назовём реализацию унитарной, изометрической или коизометриче-ской, в зависимости от соответствующих свойств оператора V.

В параграфе 1.3 вводится основной объект исследования — обобщённая функция Шура и её унитарная реализация. В параграфе 2.5 предполагается, что оператор V унитарен, то есть справедлива следующая система равенств (здесь 7 = 5(0)):

Каждая функция Шура допускает унитарную реализацию, то есть может быть представлена в виде (1.3.5), где оператор V является унитарным.

Также в параграфе 2.5 предполагается, что реализация минимальна, что означает минимальность оператора V.

Определение 1.3.5. Оператор V называется минимальным, если.

Минимальная реализация функции Шура единственна с точностью до унитарного подобия: вместе с V вида (1.3.4) минимальной будет и реализация, соответствующая оператору.

ТТ =/-[•,"]", [i>, v] + |s (0)|2 = 1,.

Tv + s (0)u = 0, TTC = /-[•, u]u, M + |s (0)|2 = l, Tcu + s (0)v = 0.

1.3.6).

К = з.л.о.{Тпи, (Tc)mv: n, m = 0,1,2,.}. где оператор

S 0 .

— J-унитарный.

V0.

Определение 1.3.6. Пусть Т — сжатие в пространстве Понтря-гина Пн. Скажем, что элемент и 6 Пх является порождающим для оператора Т, если I.

Пх= з.л.о.{(1 — ХТ)~1и, ЛеП, -т.

Определение 1.4.2 нам понадобятся в параграфе 1.4. Определение 1.4.2. Будем говорить, что V (X) Е ГIх, если оператор V является Jф Ji-унитарным, а пространство является пространством Понтрягина с к отрицательными квадратами.

В качестве одного из результатов в параграфе 1.4 приводится пример голоморфной оператор-функции, для которой ядро и сопряжённое ядро имеют различное число отрицательных квадратов.

Известно [6, стр.328], если V (X) = XlVi — голоморфная в окрестности нуля оператор-функция, то следующие утверждения эквивалентны: а) V (X) 6 IFб) отрицательные части спектров каждого из операторов jin)—y (n)*j (n)v^ состоят не более, чем из к отрицательных собственных значений, а отрицательные части спектров операторов J — VqJVq и J — VqJVq — из равного количества н ^ х отрицательных собственных значений (с учётом крат-ностей), где № = J ф J $ • • • ф J, V^ = (Kj')fj=o ~ теплицевы матп+1 рицы, действующие из /С^ в KSn где являетсяпространством, /С (п) = К, ф /С ф • • • ф К и выполнено V-j = 0 при i > j, Vy = Vj-i при n+l j, i, j = 0, n, n = 0, oo-. J-V ()JV (n). в) ядро -—— имеет не более к отрицательных квадратов,.

1 — \i, а отрицательные части спектров каждого из операторов J — VqJVq и J — V0JVq состоят из к < х собственных значений (с учётом кратности).

Цель параграфа 1.4 — показать, что указанные в пунктах (б) и (в) уелоJ-V ()JV (H) вия нельзя ослабить, положив лишь, что ядро вида-=-име.

1 — Хц ет х отрицательных квадратов. Заметим, что в [6, Лемма 3.14] показано, что при условии 1 6 p{V{0)) для выполнения пункта (а) достаточно, что-J — V*()JV{fi) бы лишь ядро-—— имело х отрицательных квадратов.

1 — X/I.

Таким образом, в качестве примера в параграфе 1.4 мы рассматриваем ь Л функцию V (A) = V = :К+е/С- -*/С+ф/С', 0 U) где С/: /С —" К — оператор сдвига по базису вправо такой, что всякий вектор вида х~ — (xj, х^ ,.) G Кг переходит в вектор Ux~ = (0, Xi, >•••)> 1+ ~ тождественный оператор, действующий в пространстве /С+.

Вторая глава посвящена исследованию вопросов аппроксимации функций Шура в окрестности единицы. В параграфе 2.1 осуществляется постановка задачи, напоминаются некоторые определения, рассматривается вспомогательные теоремы 2.1.2 и 2.1.3. В параграфах 2.2−2.3 рассмотрены некоторые теоретические факты спектральной теории и гармонического анализа операторов, которые понадобятся нам в дальнейшем.

Теорема 2.1.2 используется для доказательства основного результата второй главы — теоремы 2.5.1.

Пусть 5 — голоморфная в окрестности нуля функция. Если |s (0)| < 1 и для любого к ^ 2 выполнено условие 5(0) =. = ^(0) = 0, то справедливо преобразование Шура вида:

1 s (A)-s (0).

Sfc (A) = ке{ 1,2,.}.

Afcl-s (0)5(A):

Наиболее подробно о преобразовании Шура будет рассказано в третьей главе.

Теорема 2.1.2. 36] Пусть 5(A) голоморфная в окрестности нуля функция, |s (0)| < 1 и для некоторого натурального числа k ^ 2 выполнено: s (0) =. = s^k-1) = 0.

Пусть V — минимальный унитарный оператор, характеристическая функция которого совпадает с 5(A).

Тогда.

С = з.л.о.{у, Tcv,., Т^-%}, С' = з.л.о.{и, Ти,., Т^Ц k-мерные положительные подпространства К, и функция sk (А) является характеристической для минимальных операторов Vk и V’k :

Tk Uk l, vk] sk (0).

С С с с.

2.1.4).

Причём.

Тк = РТР, 1 ик =.

Vk =.

Л-Н0)|2.

1 РГЧ 5,(0)^.

Ри.

2.1.5).

Ш —|s (0)|2 где Р — ортопроектор в К на подпространство К, = K, Q С. vA.

Vk =.

Tk ч.

Л) 4(0) с с с с.

2.1.6).

Причём.

T’k = QTQ, щ = 1 Qu,.

V 1 ~ 1-®-С°>1 to 1 71 v — 1 i (0) — 1 sW (0) (2'L7) kl — |s (0)|2 ' где Q — ортопроектор в К на подпространство К' = 1С О.

Через 5 = {Л} обозначим класс плотно заданных операторов Л, для каждого из которых при некотором, а = а (Л) > 0 все /2: Re/x > а являются регулярными и найдётся константа с = с (Л) такая, что.

1Р-МПК с.

Re !i — а Через Г1у обозначим множество.

7 Г = {//: | arg/z| ^ у"}, где 0 < <р < -.

В параграфе 2.4 доказываются следующие теоремы, необходимые нам в параграфе 2.5 при доказательстве леммы 2.5.1.

Теорема 2.4.4. Пусть Пх = П+[+]П~ - пространство Понтрягина с dimEL = к < оо. Пусть Т — сжатие в Пх и 1 ар (Т). Пусть х 6 Пх. Тогда для выполнения условия л.

Шп[(/ - АТ)-1^, (/ - ЛТ)" 1^] < оо, Л = j^p б Цр, (2.4.23) необходимо и достаточно, чтобы х G ran (Т — I). В этом случае lim (7 — ЛТ)" 1^ = (/ - Т)" 1^. (2.4.24).

А—* 1.

Теорема 2.4.3. Пусть, А — максимальный диссипативный оператор в пространстве Понтрягина.

Пх = П+[+]ГГ, dimir = x.

Пусть при некотором х Е Т1Х имеет место неравенство: lim [L (fi, А) х, L (II, А) Х] < оо, (2.4.21) где Ь (ц, А) = ц + /л2(А — pi)'1. Тогда х G dom А.

Теоремы 2.4.1 и 2.4.2 параграфа 2.4 носят вспомогательный характер. Теорема 2.4.1. Пусть В — банахово пространство и оператор, А: В В, пусть, А € ?. Тогда при каждом х € В имеем: lim ц (А — [il)~lx = -х. (2.4.16) ц-юо, цеПр

Теорема 2.4.2. Пусть В — рефлексивное банахово пространство и, А 6 ?. Обозначим через L (/i, А) = + /л2(Л — ju/)-1. Тогда при фиксированном х Е В множество.

Ла1 = {L (/i, А) х Re ц ^ а! > а, /2? ограничено тогда и только тогда, когда х G dom Л. Если Afll ограничено, то lim L (fi, A) x = —Ах. (2.4.18).

В работе [66] была доказана следующая теорема.

Теорема 2.1.1.(Крейн-Лангер)[66] Для функции g в некоторой области Wg следующие свойства:

1. 9 е NK.

2. для некоторого целого числа п ^ О, существуют 2п вещественных чисел sq, s,. ., S2n-i таких, что имеет место разложение:

2п-1 / 1 ffW +?^ТТ = 0 Ьяг. а — 00, а 6 (2.5.36) выполнены тогда и только тогда, когда существуют пространство Понтрягина Пх, максимальный эрмитовый оператор, А в Пх и порождающий элемент и Е dom Ап для оператора, А такие, что справедливо: g (a) = [(А — aiyu, a 6 С+ар{А). (2.1.2).

В этом случае:

Su={ J (2.1.3) [Апи, А" ~пи], n.

Наша цель — получить подобный результат для функции Шура. Идейно такой результат ожидаем, но только сейчас удалось решить его технически. С этим связаны кажущиеся слишком подробными вычисления второй главы.

Лемма 2.5.1. Для функции s, Хе Ад с 5(0) ф 0 следующие свойства:

1. 5 € Sx;

2. lims (A) = 1- л—>1 я —1 — |s (A)|2 выполнены тогда и только тогда, когда существуют пространство Понтрягина Пх, сжимающий оператор Т в Пх и порождающий элемент и? dom (/ — Т)" 1 для оператора Т такие, что справедливо представление: s (X) = lJ-^-[(I-XT)-1(I~T)-Tcu], АеЮ), i фар (Т). (2.5.26) s (0) л.

Теорема 2.5.1. Пусть s (A) = XkSk{X), sj.(0) Ф 0, k < п, тогда следующие свойства:

1. s? SH, где Sx— обобщённый класс Шура;

2. для некоторого натурального числа п > 0, существуют 2п чисел Ci, C2,., С2п таких, что имеет место разложение:

2 п s{) = 1 — СЛЛ — 1У + °((л — Ч2¹)' А 1, А е Л*- (2.5.31) и=1 выполнены тогда и только тогда, когда существуют пространство Понтрягина Пх, сжимающий оператор Т в Пх и порождающий элемент и € dom ((/ - Т)" (п+1)) для оператора Т такой, что справедливо представление: s{А) = Xk — =Afc (A — 1)[(/ - ХТ)~1 — Ту1Тк+Тки], sfc (O).

AgB, $ор (Т). (2.5.32) Л.

В этом случае 1.

Г С1~Ш — ТкиI — CI 1 < I/ < к + 1;

Су = - Ту^Ги, Тки], к + 1 ^ zy < п- - Т)~^Тпщ (/ - ТС)-^ТС^Т% п + Ю < 2п.

2.5.33).

Третья глава посвящена исследованию обобщённой функции Карате-одори, которая связана с обобщённой функцией Шура дробно-линейным преобразованием — преобразованием Кэли-Неймана.

Параграф 3.2 посвящён построению обобщённого преобразования Шура для обобщённой функции Каратеодори. Через Т обозначим единичную окружность. ПуСТЬ Z, Zq? Т, Z ф z0, z < 1.

Мы рассматриваем обобщённую функцию Каратеодори f (z), которая для некоторого целого р ^ 1 имеет в^еТ ассимптотическое разложение.

2р-1 f (z) = то +? ф — z{f + 0((z — Zl)2n, z-*ZL (3.2.3).

Дробно-линейное преобразование f (z) = Xe~l (f (z)), гДе © ~ матричная функция, будем называть обобщённым преобразованием Шура для обобщённой функции Каратеодори.

По теореме [41, Теорема 1.1] функция Q (z) может быть представлена следующим образом где zq — точка единичной окружности, отличная от точки z% G — подматрица размерности к матрицы Грама векторов fi (z), г = 0,1, ., р — 1 вида.

Исходя из этого доказано, что матрица G имеет следующий вид.

0(z) = h — (1 — z4) F (z)G-lF (z0yjf, тк 0 0. О.

П+1 п о. о G = 4+2 п+1 Тк. о ох j2k-l r2k-2^2fc-3 ••• Ч I.

О О.

О О.

О Cz ~zl Ci2.

О (-1 fCUz.

2 Jfc-Л.

— 1 r^ci^x-3 (-1 fcilZ.

Лк-2.

Функция F (z) представима в виде.

ZTj.

F (z) = I {l-zzl) {-zzY.

1 г.

-«,*) (l-zz?)2.

Иначе можно записать следующим образом где = z ro (1 -zz)k rfe-i tn U = l-ZZjf) (1-ZZj)2.

Обозначим через p (z) полином степени deg p (z) ^ к — 1 вида p (z) = (l-zzl)kR (z)G-lR (z0).

— 1.

3.2.10).

Исходя из вышесказанного, формула представления матрицы 6(2:) имеет вид.

9(г) = I2-(l-zz*0)R (z)G-lR{z0)*uu*Jf = /2.

1 ~ zzS).

1 — zz) k p (z).

— 1.

Найдём обратную матрицу Q (z).

— 1 rvi г (12−2о) / ч I т° тото.

1 — zz*)kJ.

1 Tn.

Итак, получили обобщённое преобразование Шура для обобщённой функции Каратеодори в точке z на окружности: м =.

1 — zz) k — 7−0(1 — zzj) p (z)}f (z) — r0r0*(l — zz*0)p (z) -(1 — zz*0)p (z)f{z) + {(1 — ZZt) k — 7j (1 — ZzS) p{z)} (3.2.13).

В параграфе 3.3 мы формулируем и приводим доказательство основной граничной интерполяционной задачи для обобщённой функции Каратео-дори.

Пусть z? Т, где Т — единичная окружность, для целого числа к ^ 1 существует набор комплексных чисел то, г^, 1,., Tikс условием то + ro = тк Ф 0 и такой, что матрица G вида (3.2.9) является эрмитовой.

Основная граничная интерполяционная задача состоит в том, чтобы определить все функции / 6 Сх такие, что имеет место асимптотика.

2Jfc-l и=то+Y, — ± z (3−3-14) i—k.

Через C^'2k обозначим обобщённый класс Каратеодори функций, голоморфных в точке z и для которых справедлива асимптотика (3.3.14).

Если функция f (z) является решением основной граничной интерполяционной задачи, то f (z) принадлежит некоторому классу С^'2к, где я е Ъ и к ^ *c-(G) — число отрицательных квадратов матрицы G.

Определим также точку zq е T{zi} и полином p (z) по формуле (3.2.10).

Теорема 3.3.1. Дробно-линейное преобразование {(1 — zz) k — т0*(1 — zz*Q)p (z)}f (z) + т0т0*(1 — zzSMz) (1 — z4) p (z)J (z) + {(1 — zzY — r0(l — zzl) p (z)} устанавливает взаимно однозначное соответствие между всеми решениями f (z) е С%-2к основной граничной интерполяционной задачи и всеми функциями f (z) 6 для которых liminf f (z) — го| > 0, (3.3.16).

Z—tZi где к = я — х (G).

Цель параграфа 3.4 — исследовать факторизацию класса рациональных функций на элементарные множители.

Определение 3.4.1. Произведение (или факторизация) e (z) = 0i (z)(c)2(z), (3.4.18) где 0(2-), (c)1(2), 02(z) — рациональные р х р матричные функции, называется минимальной, если deg (c)i@2 = degOi + deg (c)2, где степени deg@i@2,deg@i, deg (c)2 понимаются в смысле Макмиллана.

Факторизация (3.4.18) называется тривиальной, если не менее одного множителя является постоянной матрицей.

Рациональная функция @(z) называется элементарной, если она не допускает нетривиальных минимальных факторизаций.

Если функция Q (z) является J-унитарной, факторизация (3.4.18) называется J-унитарной только тогда, когда оба множителя (c)1(2) и (c)2(2) — J-унитарны.

В случае, когда @(z) является рациональной и J-унитарной функцией на Т, ядро. , Jf — e (z)jfe (wy.

KQ (Z, W) = -i.

1 — zw* имеет конечное число положительных и отрицательных квадратов.

Обозначим через V (Q) пространство Понтрягина, порождённое ядром Ke (z, w).

Обозначим через Щ1, где zi в Т, класс всех рациональных 2×2 матричных функций, обладающих свойством J-унитарности на T{?i} и имеющих единственный полюс в точке z. Класс Щ1 является подпространством ?((c)).

Пусть точка zq € T{2i} - фиксированная на окружности. Определение 3.4.2. Функция = 0(z)O (2-o)~1 называется нормализованной матричной функцией.

В параграфе 3.4 был доказан следующий результат Теорема 3.4.3. (1)Нормализованная матричная функция Q (z) е Щ1 элементарна тогда и только тогда, когда она представила в виде e.

— ч полином степени deg p (z) ^ к — 1 и удовлетворяющий условиям p (z) — z0(-zl)kzk-lp (l/zr = 0, p (Zl) ф 0.

2) Каждая функция 0(z) G Щ1 допускает единственную минимальную факторизацию e (z) = el (z)—.en (z)U, для которой каждая функция Oj (z) является нормированной элементарной матричной функцией из класса Щ1 и U = G (zo) является Jf-унитарной константой.

Это показывает, что функция 0(г), соответствующая обобщённому преобразованию Шура для обобщённой функции Каратеодори и основной граничной интерполяционной задаче в предыдущем параграфе, является нормированным элементарным множителем в Uzfl.

Основные результаты диссертации докладывались на Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносовские чтения» 2006 года (Севастополь, Черноморский филиал МГУ им. М. В. Ломоносова, 2006) — Воронежской зимней математической школе им. С. Г. Крейна (Воронеж, 2006) — Воронежской весенней математической школе «Современные методы теории краевых задач» «Понтрягинские чтенияXVII» (Воронеж, 2006) — Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2007) — Международной научной конференции «Операторная теория в пространствах Крейна и операторные многочлены «(Берлин, 2006) — Международной конференции «Современный анализ и его приложения «(Одесса, 2007) — Международной научной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы» «Петровские чтения — 2007» (Москва, 2007) — на семинаре «Спектральная теория операторов в индефинитных пространствах» (Воронежский госуниверситет, руководитель проф. Т.Я. Азизов).

Диссертация выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант 05−01−203-а).

В заключение, автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору, доктору физико-математических наук Т. Я. Азизову за постановку задачи, постоянное внимание к работе, поддержку и полезные советы в ходе исследования, а также профессору А. Дайксме (Нидерланды, Университет г. Гронингена) за внимание к работе и полезные советы.

1. Азизов Т. Я. Инвариантные подпространства и критерии полнотысистемы корневых векторов J-диссипативных операторов в пространстве Понтрягина П* / Т. Я. Азизов // ДАН СССР. 1971. -Т.200, № 5. — С.1015−1017.

2. Азизов Т. Я. Об инвариантных подпространствах коммутативных семейств операторов в пространстве с индефинитной метрикой / Т. Я. Азизов // Укр.мат.журн. 1976. — Т.28, № 3, с.293−299.

3. Азизов Т. Я. О полноте и базисности системы собственных и присоединённых векторов J-самосопряжённых операторов класса К{Н) Т. Я. Азизов // ДАН СССР. 1980. — Т.253, № 5. — С.1033−1036.

4. Азизов Т. Я. К теории расширений изометрических и симметрических операторов в пространствах с индефинитной метрикой / Т. Я. Азизов // Деп. ВИНИТИ., 1982, 29 с. № 3420−82.

5. Азизов Т. Я. К теории расширений J-изометрических и Jсимметрических операторов/ Т. Я. Азизов // Функ. анализ и его прилож. 1984. — Т. 18, № 1. — С.57−58.

6. Азизов Т. Я. Основы теории линейных операторов в пространствес индефинитной метрикой / Т. Я. Азизов, И. С. Иохвидов. М.: Наука, 1986. — -352 с.

7. Андреищева Е. Н. Об аппроксимации обобщённой функции ШураЕ.Н.Андреищева //Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна 2006: Тез. докл. — Воронеж, 2006. — С. 8−9.

8. Андреищева Е. Н. Условия представления обобщённой функции Шурав окрестности единицы /Е.Н.Андреищева // Современные методы теории краевых задач «Понтрягинские чтения XVII»: материалы Воронеж весен, мат. школы. — Воронеж, 2006. — С. 6−7.

9. Андреищева Е. Н. Пример голоморфной оператор-функции, для которой ядро и сопряжённое ядро имеют различное число отрицательных квадратов /Е.Н.Андреищева //Труды молодых ученых Воронежского государственного университета. Воронеж, 2006. -№ 1−2. — С. 4−6.

10. Андреищева Е. Н. Задача о представлении обобщённой функции Шура в окрестности единицы /Е.Н.Андреищева // Современные методы теории функций и смежные проблемы: материалы Воронеж, зимн. мат. школы. Воронеж, 2007. — С. 9−10.

11. Андреищева Е. Н. О некоторых задачах аппроксимации обобщённыхфункций Шура в окрестности единицы / Е. Н. Андреищева // Ма-тем.заметки. 2007. — Т.82, № 1. — С. 154−159.

12. Андреищева Е. Н. О некоторых задачах аппроксимации обобщённых функций Шура в окрестности единицы / Е. Н. Андреищева // Вестн. Воронеж, гос. ун-та. Сер. Физика, математика. 2007. — Ж. — С. 86−94.

13. Ахиезер Н. И. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве / Н. И. Ахиезер, И. М. Глазман. М.: Наука, 1966. -316 с.

14. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряжённых операторов / Ю. М. Березанский. К.: Наукова Думка, 1965. — 798 с.

15. Иохвидов И. С. Унитарные операторы в пространстве с индефинитной метрикой / И. С. Иохвидов // Зап. НИИ мат. и мех. Харьков, гос. ун-та и мат. о-ва. 1949. — № 21, — С. 79−86.

16. Иохвидов И. С. Спектральная теория операторов в пространствах синдефинитной метрикой / И. С. Иохвидов, М. Г. Крейн // Тр. московского матем. общества. Москва, 1956. — Т. 5. — С. 367−496.

17. Колмогоров А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. М.: Наука, 1989. — 624 с.

18. Крейн М. Г. Об одном применении принципа неподвижной точки втеории линейных линейных преобразований с индефинитной метрикой / М. Г. Крейн // УМН. 1950. — Т.5, №. — С.180−190.

19. Крейн М. Г. О спектральной функции самосопряжённого оператора впространстве с индефинитной метрикой / М. Г. Крейн, Г. К. Лангер // ДАН СССР. 1963. — Т. 152, М. — С.39−42.

20. Крейн С. Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховомпространстве / С. Г. Крейн. М.: Наука, 1967. — 464 с.

21. Наймарк М. А. О перестановочных унитарных операторах в пространстве Пж / М. А. Наймарк // ДАН СССР. 1963. — Т.149, № 6. -С.1261−1263.

22. Наймарк М. А. Аналог теоремы Стоуна в пространстве с индефинитной метрикой / М. А. Наймарк // ДАН СССР. 1966. — Т.170, № 6. С.1259−1261.

23. Понтрягин Л. С. Эрмитовы операторы в пространстве с индефинитной метрикой / Л. С. Понтрягин // Изв. АН СССР, серия матем.- Москва, 1944. Т. VIII, № 6. — С. 243−280.

24. Потапов В. П. Мультипликативная структура J-нерастягивающихматриц-функций / В. П. Потапов // Тр. Москов. мат. о-ва. Москва, 1955. — Т.4, С.125−236.

25. Рудин У. Основы математического анализа. / Н. Рудин. М.: Мир, 1966. 320 с.

26. Рудин У. Функциональный анализ / У. Рудин. М.: Мир, 1975. — 445 с.

27. Садовничий В. А. Теория операторов / В. А. Садовничий. М.: Высшая школа, 1999. 368 с.

28. Секефальви-Надь Б. Гармонический анализ операторов в гильбертовом пространстве / Б. Секефальви-Надь, Ч. Фояш. М.: Мир, 1970. — 432 с.

29. Соболев C.JI. О движении симметричного волчка с полостью, наполненной жидкостью / С. Л. Соболев. ЖПМТФ. — 1960. — Т.З. -С. 20−55.

30. Шкаликов А. А. Диссипативные операторы в пространстве Крейна. Инвариантные подпространства и свойства сужений / А. А. Шкаликов // Функц. анализ и его прилож. 2007. — Т.41, № 2. -С. 93−110.

31. Alpay D. The Schur algorithm for generalized Schur functions, I: Coisometric realizations / D. Alpay, T. Azizov, A. Dijksma, H. Langer // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2001. -Vol.129. — P. l-36.

32. Alpay D. The Schur algorithm for generalized Schur functions II: Jordanchains and transformations of characteristic functions / D. Alpay, T. Azizov, A. Dijksma, H. Langer // Monatsh. Math. 2003. — Vol.138, M. — P. 1−29.

33. Alpay D. The Schur algorithm for generalized Schur functions, III: Junitary matrix polynomials on the circle / D. Alpay, T. Azizov, A. Dijksma, H. Langer // Linear Algebra Appl. 2003. — Vol. 369. -P.113−144.

34. Alpay D. A basic interpolation problem for generalized Schur functionsand coisometric realizations / D. Alpay, T. Ya. Azizov, A. Dijksma, H. Langer, G. Wanjala // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2003. — Vol. 143. — P. 39−76.

35. Alpay D. The Shur Algorithm for Generalized Schur Functions IV: Unitary Realizations / D. Alpay, T. Ya. Azizov, A. Dijksma, H. Langer, G. Wanjala // Oper. Theory Adv. Appl., Birkhauser, Basel. 2004. — Vol. 149. — P. 23−45 .

36. Alpay D. Colligations in Pontryagin spaces with a symmetriccharacteristic function / D. Alpay, T. Ya. Azizov, A. Dijksma, J. Rovnyak // Oper. Theory Adv. Appl., Birkhauser, Basel. 2002. -Vol. 130. — P. 55−82 .

37. Alpay D. Interpolation problems, extensions of symmetric operators andreproducing kernel spaces II / D. Alpay, P. Bruinsma, A. Dijksma, H. de Snoo // Integral Equations and Operator Theory. 1991. — Vol. 14. — P. 465−500.

38. Alpay D. Factorization of J-unitary matrix polynomials on the line anda Schur algorithm for generalized Nevanlinna functions / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer // Linear Algebra Appl. 2004. — Vol. 387. -P.313−342.

39. Alpay D.^-unitary factorization and the Schur algorithm for Nevanlinnafunctions in an indefinite setting / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer // Linear Algebra Appl. 2006. — Vol. 419. — P. 675−709.

40. Alpay D. The transformation of Issai Schur and related topics in indefinitesetting / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2007. — Vol. 176. — P. l-98.

41. Alpay D. The Schur transformation for generalized Nevanlinna functions: interpolation and self-adjoint operator realizations / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer, Y. Shondin // Complex Analysis and Operator Theory. 2006. — № 1 (2). — P. l-56.

42. Alpay D. Basic boundary interpolation for generalized Schur functionsand factorization of rational J-unitary matrix functions / D. Alpay, A. Dijksma, H. Langer, G. Wanjala // Linear Algebra Appl. 2006. — Vol. 165. — P.1−29.

43. Alpay D. Schur functions, operator colligations, and reproducing kernelPontryagin spaces / D. Alpay, A. Dijksma, J. Rovnyak, H. de Snoo // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1997. -Vol. 96. — P.229.

44. Alpay D. Hilbert spaces of analytic functions, inverse scattering andoperator models, I / D. Alpay, H. Dym // Integral Equations and Operator Theory. 1984. — Vol. 7. — P. 589−641.

45. Alpay D. On applications of reproducing kernel spaces to the Schuralgorithm and rational J-unitary factorization / D. Alpay, H. Dym // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1986. -Vol. 18. — P. 89−159.

46. Alpay D. On reproducing kernel spaces, the Schur algorithm, andinterpolation in a general class of domains / D. Alpay, H. Dym // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1992. -Vol. 59. — P. 30−77.

47. Alpay D. On a new class of reproducing kernel spaces and a newgeneralization of the Iohvidov laws / D. Alpay, H. Dym // Linear Algebra Appl. 1993. — Vol. 178. — P.109−183.

48. Alpay D. On a new class of realization formulas and their applications /D. Alpay, H. Dym // Linear Algebra Appl. 1996. — Vol. 241−243. -P.3−84.

49. Alpay D. Unitary rational matrix functions / D. Alpay, I. Gohberg //Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1988. — Vol. 33. — P.175−222.

50. Alpay D. Discrete analogs of canonical systems with pseudoexponentialpotential. Definitions and formulas for he spectral matrix functions / D. Alpay, I. Gohberg // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2006. — Vol. 161. — P. l-47.

51. Andreishcheva E. Approximation of Generalized Schur functions /E. Andreishcheva // International Conference «Sixth Workshop Operator Theory in Krein Spaces and Operator Polynomials»: Book of abstracts. Berlin, 2006. — P. 10.

52. Andreishcheva E. Representation of Schur function for case of unitaryrealization / E. Andreishcheva // International Conference «Modern Analysis and Applications»: Book of abstracts. Kyiv, 2007. — P. 8−9.

53. Andreishcheva E. On the Representation of Schur function for case ofunitary realization / E. Andreishcheva // Международная конференция «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы «: Сборник тезисов. Москва, 2007. — С. 18.

54. Bognar J. Indefinite inner product spaces /J. Bognar. Berlin: Springer, 1974. 345p.

55. De Branges L. Some Hilbert spaces of analytic functions I / L. de BrangesTrans. Amer.Math.Soc. 1963. — Vol.106. — P.445−468.

56. De Branges L. Canonical models in quantum scattering theory / L. deBranges, J. Rovnyak // Wiley. New York, 1966. — P.295−392.

57. Dijksma A. Minimal realizations of scalar generalized Nevanlinnafunctions related to their basic factorization / A. Dijksma, H. Langer, A. Luger, Y. Shondin // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2004. — Vol. 154. — P. 69−90.

58. Dijksma A. Generalized Schur functions and augmented Schurparameters / A. Dijksma, G. Wanjala // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2005. — Vol. 162. — P. 135−144.

59. Dym H. J-contractive matrix functions, reproducing kernel Hilbert spacesand interpolation / H. Dym //Conference Board of the Mathematical Sciences, regional conference series in mathematics, Amer. Math. Soc., Providence, RI. 1989. — Vol.71.

60. Dym H. On reproducing kernel spaces, J-unitary matrix functions, interpolation and displacement rank / H. Dym // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1989. — Vol. 41. — P. 173−239.

61. Gohberg I. Schur methods in operator theory and signal processing / I. Gohberg // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 1986. — Vol. 18. — P. 30−77.

62. Iohvidov I. S. Introduction to the Spectral Theory of Operators in Spaceswith an Indefinite Metric / I. S. Iohvidov, M. G. Krein, H. Langer, Berlin: Mathematical Research, Akademie-Verlag, Band 9, 1982. -120 p.

63. Jonas P. On the functional calculus and the spectral function fordefinizable operators in Krein space /Р. Jonas // Beitrage Anal. -1981. Vol.16. — P. 121−135.

64. Krein M.G. Uber die verallgemeinerte Rezolventen und die charakteristische Funktion eines isometrischen Operators in Raume Пк / M. G. Krein, H. Langer // Colloquia Math. Soc. Janos Bolyai. Tihany (Hungary), 1970. — Vol.5. — P.353−399.

65. Krein M.G. Uber einige Fortsetzungsprobleme, die eng mit der Theoriehermitescher Operatoren im Raume П" zusammenhangen. I. Einige Funktionenklassen und ihre Darstellungen / M. G. Krein, H. Langer // Math. Nachr. 1977. — Vol.77. — P.187−236.

66. Krein M.G. Some propositions on analytic matrix functions related to thetheory of operators in the space Пк / M.G. Krein, H. Langer // Acta Sci. Math. Szeged. 1981. — Vol. 43. — P. 181−205.

67. Langer H. Spectral functions of definitizable operators in Krein spaces /H.Langer // Lecture Notes in Mathematics. 1982. — № 948, P. l-46.

68. Phillips R. The extension of dual subspaces invariant under an algebraR. Phillips // Proc. Internat. Sympos. Linear Spaces. Paris: Pergamon Press, 1961. — P. 366−398.

69. Wanjala H. Closely connected unitary realizations of the solutions to thebasic interpolation problem for generalized Schur functions /H. Wanjala // Operator Theory: Adv. Appl., Birkhauser Verlag, Basel. 2005. — Vol. 160. — P. 441−468.