Определенный интеграл

Приложения определенного интеграла

Определённый интеграл — аддитивный монотонный нормированный функционал, заданный на множестве пар, первая компонента которых есть интегрируемая функция или функционал, а вторая — область в множестве задания этой функции (функционала).

Данное выше определение интеграла при всей его кажущейся общности в итоге приводит к привычному пониманию определённого интеграла, как площади подграфика функции на отрезке.

Пусть f (x) определена на [a;b]. Разобьём [a;b]на части с несколькими произвольными точками a = x0 < x1 < x2 < xn = b. Тогда говорят, что произведено разбиение R отрезка [a;b] Далее выберем произв. точку, i = 0, Определённым интегралом от функции f (x) на отрезке [a;b]называется предел интегральных сумм ИR при, если он существует независимо от разбиения R и выбора точек оi, т. е. (1) Если существует (1), то функция f (x) называется интегрируемой на [a;b] - определение интеграла по Риману.

a — нижний предел.

b — верхний предел.

f (x) — подынтегральная функция.

лR — длина частичного отрезка.

уR — интегральная сумма от функции f (x) на [a;b] соответствующей разбиению R.

лR — максимальная длина част. отрезка.

Определение интеграла на языке, д:(по «Коши») Число I — называется определённым интегралом от f (x) на [ a; b ], если для любого е>0 существует д=д (е)>0: для любого разбиения R отрезка [ a; b ]: лR < д, выполняется неравенство: |IуR | = |?n-1i=0f (оi) Дxi — I| < е при любом оi є [ xi; xi+1] Тогда I = ?abf (x)dx

Интеграмл Риммана — одно из важнейших понятий математического анализа. Введён Бернхардом Риманом в 1854 году, и является одной из первых формализаций понятия интеграла.

Через интегральные суммы Пусть на отрезке [a, b] определена вещественнозначная функция f.

Рассмотрим разбиение отрезка — конечное множество попарно различных точек отрезка. Это разбиение делит отрезок [a, b] на n отрезков. Длина наибольшего из отрезков дR =max (Дxi), называется шагом разбиения, где Дxi = xi? xi? 1-длина элементарного отрезка.

Отметим на каждом отрезке разбиения по точке. Интегральной суммой называется выражение .

Если при стремлении шага разбиения к нулю интегральные суммы стремятся к одному и тому же числу, независимо от выбора, то это число называется интегралом функции f на отрезке [a, b], т. е. .

В этом случае, сама функция f называется интегрируемой (по Риману) на [a, b]; в противном случае f является неинтегрируемой (по Риману) на отрезке [a, b].

Свойства Невырожденность:

Положительность: Если интегрируемая функция f неотрицательна, то её интеграл по отрезку [a, b] также неотрицателен.

Линейность: Если функции f и g интегрируемы, и, то функция бf + вg тоже интегрируема, и .

Непрерывность: Если интегрируемые функции fi равномерно сходятся на отрезке [a, b] к функции f, то f интегрируема, и. (Последняя формула может быть получена уже как формальное следствие свойств 1−3 и интегрируемости предельной функции.)

Аддитивность при разбиениях отрезка Пусть a < b < c. Функция f интегрируема на отрезке [a, c], тогда и только тогда, когда она интегрируема на каждом из отрезков [a, b] и [b, c], при этом

.

Непрерывная на отрезке функция интегрируема по Риману (следствие свойств 1−5). Разрывные функции могут быть интегрируемы, но могут и не быть; примером функции, не интегрируемой по Риману, является всюду разрывная функция Дирихле. Критерий Лебега интегрируемости функции по Риману: функция интегрируема по Риману на отрезке [a, b], если и только если на этом отрезке она ограничена, и множество точек, где она разрывна, имеет нулевую меру (то есть может быть покрыто счётным семейством интервалов со сколь угодно малой суммарной длиной).

Если функция F является первообразной непрерывной функции f, то интеграл функции f на отрезке [a, b] может быть вычислен по формуле Ньютона-Лейбница: он равен F (b)? F (a). (Это — общее свойство любых интегралов, удовлетворяющих свойствам 1−5, а не только интеграла Римана.) Непрерывная на отрезке функция f всегда имеет первообразную, и каждая первообразная имеет вид:, где C — произвольная константа.

Примеры решения определенного интеграла Вычислить интеграл

Решение.

Положим u = x, dv = cos x dx = d (sin x), получим du = dx, v = sin x. Применяя формулу Вычислить интеграл .

Решение.

Положим, отсюда x = t2 — 1 и dx = 2t dt. Новые пределы интегрирования определяются из формулы; полагая x = 0, будем иметь t = 1 и, полагая x = 3, получим t = 2. Следовательно,

Площадь криволинейного сектора в полярных координатах

О: Полярной системой координат называется совокупность т. О (полюса) и выходящей из этой точки направленной полупрямой (полярной оси). Полярными координатами т. М называются числа (полярный радиус) и (полярный угол) (рис. 1, а).

Рис. 1

Если считать, чтото между точками плоскости и парами чиселустанавливается взаимно однозначное соответствие.

Пусть начало прямоугольной системы координат ХОY совпадает с полюсом, а положительная часть оси ОХс полярной осью. Тогда зависимость между координатами т. М в декартовой и полярной системах определяется формулами (рис. 1, б).

(1)

При нахождениинеобходимо учитывать, в какой четверти находится т. М, так как формулы (18.1) дают два значения полярного угла от 0 до Линия в полярной системе координат определяется уравнениемНапример, r = a, a = const — уравнение окружности с центром в полюсе и радиусом, а (рис. 2, а);- уравнение так называемой трехлепестковой розы (рис. 2, б).

Рис. 2

О: Криволинейным сектором в полярной системе координат называется фигура D с границей (рис. 1, а).

Для вычисления площади криволинейного сектора разобьем его на п частей лучамиПусть

— длина некоторого радиус-вектора, расположенного в (рис. 3, б).

Рис. 3

Площадь «ступенчатого» сектора, состоящего из п круговых секторов с центральными угламии радиусами

За площадь криволинейного сектора естественно принять Так как в правой части этого уравнения стоит интегральная сумма для функциина отрезкето окончательно имеем Пример: Вычислить площадь, ограниченную трехлепестко-вой розой (см. рис. 2, б).

Достаточно вычислить площадь половины одного лепестка притогда Пример: Найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции y = xб, б > 0, прямой х = 1 и осью Ох. Решение. По формуле имеем

Пусть на отрезке [а, b] заданы две непрерывные функции y1 = f1(x) и y2 = f2(x), причем при всех значениях х из этого отрезка y1? y2. Найдем площадь фигуры, ограниченной графиками этих функций, а также прямыми х = а и х = b. Если обе функции неотрицательны, то площадь данной фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций, ограниченных соответственно графиками функций y2 = f2(x), y1 = f1(x), прямыми х = а и х = b и осью абсцисс. Следовательно, площадь S данной фигуры можно найти так

Вычисление объема тела по площадям параллельных сечений. Площадь сечения тела плоскостью перпендикулярной оси ОХ

1. Рассмотрим некоторое тело Т (рис. 4), которое проектируется на ось ох в отрезок [a, b]. Пусть известна площадь любого сечения этого тела плоскостью, перпендикулярной оси ох. Величина площади является функцией от х: s = s (х).

определенный интеграл координата сечение Рис. 4

Предположим, что s (х) — непрерывная функция, и приступим к вычислению объёма данного тела. Разобьём тело на слои плоскостями x = xi, перпендикулярными оси ох, и каждый слой заменим цилиндром (не обязательно круговым), высота которого, и основание, где — произвольная точка на [xi-1, xi]. Объём полученного ступенчатого тела

.

Предел этой суммы при и равен объёму данного тела .

Так как s (х) — непрерывная функция на [a, b], то предел данной интегральной суммы существует и выражается определённым интегралом

. (22)

Рис. 5

2. Пусть теперь тело образовано вращением вокруг оси ох криволинейной трапеции аАВb, ограниченной кривой у = f (х), осью ох и прямыми х = а, х = b (см. рис. 19). В этом случае произвольное сечение тела плоскостью, перпендикулярной оси ох, есть круг, площадь которого (радиус круга равен ординате точки).

Подставляя значение s (х) в формулу (22), получим:

. (23)

Замечание. Если тело образовано вращением кривой вокруг оси оу, c < y < d, то уравнение кривой следует записать в виде и использовать формулу .

Понятие интеграла может быть использовано для доказательства формул объемов тел: наклонной призмы, пирамиды, конуса шара и др. На рисунке изображено тело, объем которого необходимо вычислить. Предположим, что данное тело заключено между параллельными плоскостями х = а и х = b. Введен систему координат так, чтобы ось абсцисс была перпендикулярна этим плоскостям. Обозначим через S (х) площадь сечения тела плоскостью, перпендикулярной оси абсцисс и пересекающей ее в точке х, функция S (х) непрерывна на отрезке [а, b].

Рис. 6

Разделим отрезок [а; b] на n равных отрезков точками и через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные оси Oх. Эти плоскости разрезают заданное тело на n слоев. На рисунке тангирно выделен один из таких слоев. Тогда. Если сечение тела есть круг, то объем заштрихованного слоя равен приближенно объему прямого кругового цилиндра с площадью основания S (х) и высотой Дx. Если сечение тела — многоугольник, то объем слоя равен приближенно объему соответствующей прямой призмы. Объем данного тела приближенно равен сумме объемов цилиндров или призм с основаниями и высотой Дx.

Точность этого приближённого равенства тем выше, чем больше n, т. е. тоньше слои. Примем без строгого обоснования, что объём данного тела равен пределу объёма Сумма является интегральной суммой для непрерывной на отрезке [a;b] функции S (x), следовательно,

Вычисление объемов тел вращения

Укажем общий способ вычисления объемов тел вращения. В частности, вычислим объем шара и его частей.

Рис. 7

Пусть криволинейная трапеция, то есть фигура, ограниченная осью Ox, прямыми x = a, x = b и графиком непрерывной возрастающей неотрицательной функции y = f (x), вращается вокруг оси Ox (рис. 4), вследствие чего образуется тело вращения. Сечение этого тела плоскостью, перпендикулярной оси Ox, есть круг или точка. На промежутке (a; b) выберем точку x. Сечение, проведенное через эту точку перпендикулярно оси Ox, есть круг площадью S (x) = рf 2 (x). Объем части тела вращения, ограниченной сечениями, проведенными через точки a и x, обозначим через V (x), а объем данного тела вращения — через V.

Теорема. Объем тела вращения равен

Доказательство Рис. 8

Придадим x приращение Дx > 0 (x + Дx <� b). Построим два цилиндра с общей высотой Дx (рис. 7.2.2). Меньший цилиндр имеет своим основанием круг площадью S (x), а больший — круг площадью S (x + Дx). Если ДV — прирост объема тела вращения, то S (x)Дx <� ДV <� S (x + Дx) Дx, откуда

Поскольку функция f (x) непрерывна, то непрерывна и функция

следовательно,

Переходя к пределу в двойном неравенстве, имеем

то есть V' (x) = S (x).

Объем V (x) является первообразной для функции S (x) на промежутке [a; b]. Отсюда имеем Теорема Объем шара равен где R — радиус шара.

Доказательство Рис. 9

На рис. 9 изображена четверть круга радиуса R с центром в точке (R; 0). Уравнение окружности этого круга откуда Функция непрерывная, возрастающая, неотрицательная, следовательно, для нахождения объема тела вращения можно использовать предыдущую теорему. Вследствие вращения четверти круга вокруг оси Ox образуется полушар. Следовательно,

откуда

Заметим, что формула для объема шара следует из формулы для объема шарового сегмента при H = 2R.

Объем эллипсоида, задаваемого уравнением определяется формулой

Рис. 10

Вычисление площади поверхности тел вращения

Пусть дана поверхность, образованная вращением кривой y=f (x) вокруг оси Ох.

Определим площадь этой поверхности на участке, а? х? b. Функцию f (x) предположим непрерывной и имеющей непрерывную производную во всех точках отрезка [a;b]. Проведем хорды АМ1, М1М2,…Мn-1B длины которых обозначим через ДS1, ДS2… ДSn (рис. 1). Каждая хорда длины ДSi (i=1,2,…n) при вращении опишет усеченный конус, поверхность которого ДPi равна:

Применяя теорему Лагранжа получим:

где Следовательно

Поверхность, описанная ломанной, будет равна сумме распространенной на все звенья ломаной.

или сумме

(1)

Предел этой суммы, когда наибольшее звено ломаной ДSi стремится к нулю, называется площадью, рассматриваемой поверхности вращения. Сумма (1) не является интегральной суммой для функции

(2),

так как в слагаемом, соответствующем отрезку [xi-1, xi], фигурирует несколько точек этого отрезка xi-1, xi, оi. Но можно доказать, что предел суммы (1) равняется пределу интегральной суммы для функции (2), т. е.

(3)

Формула (3) определяет площадь Р поверхности теля вращения возникающего в результате вращения вокруг оси x кривой, заданной на отрезке, а? x? b неотрицательной, непрерывно дифференцируемой функцией f (x).

Если вращающаяся кривая задана параметрически: x=ц (t), y=ш (t) (t0? t? t1) то формула (3) имеет вид,

(3/)

Пример: Задача. Вычислить объем тела, ограниченного заданными поверхностями:

Рис. 11

Решение. При сведении тройного интеграла к трехкратному и в расстановке пределов в каждом из трех определенных интегралов действуем по аналогии со случаем двойного интеграла. Область интегрирования V в примере считаем правильной в направлении оси OZ, т.к. любая прямая, параллельная оси OZ, пересекает границу области не более чем в двух точках. Учитывая, что объем области V выражается в декартовых координатах формулой

а область V ограничена снизу плоскостью z=0, а сверху — поверхностью параболоида вращения z=4-(x2+y2) можно свести тройной интеграл к вычислению двойного интеграла от однократного:

Сначала вычисляется внутренний интеграл по переменному z с нижним пределом z=0 и верхним пределом z=4-(x2+y2). Областью интегрирования D во внешнем двойном интеграле является проекция тела V на плоскость XOY, имеющая вид:

Рис. 12

Линия входа в эту область y=0, линия выхода. Проекцией области D на ось OX служит отрезок. Отсюда следует, что во внутреннем интеграле по у нижний предел 0, верхний предел, а во внутреннем интеграле по х нижний предел 0, а верхний предел. В итоге объем V вычисляется с помощью трехкратного интеграла следующим образом:

=