Применение многих математических операций выводит за рамки класса элементарных функций. Вычисление интегралов, суммирование рядов, решение алгебраических, трансцендентных, разностных и дифференциальных уравнений и их систем требуют расширения класса изученных функций. Развитие понятия функции, идя параллельно с развитием понятий числа и пространства, привело к возникновению новых -«специальных» — функций многих комплексных переменных.
Теория специальных функций является одним из основных разделов математической физики. На протяжении последних трех столетий необходимость решения задач гидродинамики, теории управления, классической и квантовой механики, а также многочисленных задач теории вероятностей и математической статистики стимулировала развитие теории специальных функций одного и нескольких переменных. Математические модели физических процессов содержат, как правило, обыкновенные дифференциальные уравнения, дифференциальные уравнения в частных производных или системы таких уравнений. Однако лишь немногие из встречающихся на практике уравнений могут быть решены в классе элементарных функций. Новые функции определялись зачастую как решения дифференциальных уравнений или их систем и назывались специальными функциями. Так возникли функции Бесселя, функции Эрмита, гипергеометрическая функция Гаусса.
Введенные таким образом специальные функции математической физики не являются независимыми. Многие специальные функции могут быть выражены через другие. Детальное изучение и систематизация соотношений между ними являются одной из основных целей и фундаментальных трудов [15],[23]. Однако, несмотря на все приложенные усилия, эту цель вряд ли можно считать достигнутой. Связь между различными специальными функциями математической физики нуждается в дальнейшем изучении. Тем сильнее ощущается необходимость создания единой теории специальных функций.
Важный класс специальных функций составляют функции гипергеометрического типа. Первоначально термин «гипергеометрический» применялся к следующим объектам:
Гипергеометрическое уравнение Гаусса" - линейное обыкновенное уравнение второго порядка х (х — 1) у" (х) + ((«+ /?+ 1) х — 7) у'{х) + а/3у (х) = 0. (0.0.1).
Напомним, что особая точка, а дифференциального уравнения называется правильной (регулярной), если любое его решение имеет не более чем полиномиальный рост в произвольном секторе с вершиной в точке а. Любое линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с тремя правильными особыми точками на сфере Римана может быть приведено к виду (0.0.1).
Гипергеометрическая функция" - любое решение гипергеометрического уравнения.
Гипергеометрический ряд Гаусса" - следующий степенной ряд, являющийся одним из решений гинергеометрического уравнения: где (a)k = Г (а 4- к)/Г (а) — символ Похгаммера. Выбирая подходящим образом значения параметров а, (3,7, можно получить многие элементарные и специальные функции. Например, полные эллиптические интегралы первого и второго рода, присоединенные функции Лежандра, ультрасферические многочлены и др. являются частными случаями функции.
7- я).
Следующим шагом в теории гииергеометрических функций одного комплексного переменного явился переход от уравнения Гаусса (0.0.1) к так называемому обыкновенному обобщенному гипергеометрическому дифференциальному уравнению [16]: хР (в)у (х) = Q (9)y (x). (0.0.2).
Здесь в = х-^, а Р и Q — многочлены: р ч.
P (s)=tH (s-ak), = к=1 к=1 t, a. k, Pk? С. Гипергеометрическое уравнение Гаусса (0.0.1) соответствует случаю jP (s) = s2 + (а + (3)s + а/3, Q (s) = s2 + (7 — l) s. Уравнениям вида (0.0.2) удовлетворяет подавляющее большинство специальных функций математической физики.
Для гипергеометрических функций одного комплексного переменного существует хорошо развитая теория с многочисленными приложениями. Многие системы компьютерной алгебры (такие как Mathematica и Maple) содержат процедуры, позволяющие работать с гипергеометрическими функциями. Существует также большое количество пакетов для таких систем, поддерживающих символьные вычисления с использованием функций гипергеометрического типа. К ним относится, например, пакет HYPERG, разработанный в институте им. Гаспара Монжа (Франция).
Девяностые годы XX века отмечены всплеском интереса к многомерной гипергеометрической теории. Этот интерес был в значительной степени вызван возросшими потребностями компьютерной алгебры, нуждавшейся в систематизации существующего многообразия специальных функций математической физики. На протяжении десятилетия в свет вышли получившие вскоре широкую известность монографии о теоретико-числовых аспектах этой теории [48], о комбинаторных свойствах дискриминантов и многомерных определителей (которые описывают особенности функций гипергеометрического типа) [61], об обобщенных гипергеометрических уравнениях в квантовой теории поля [110] и об алгоритмах и вычислительных методах, лежащих в основе работы современных систем компьютерной алгебры, ориентированных на символьное («точное») решение систем дифференциальных уравнений в частных производных [96].
В многомерном случае существует несколько подходов к понятию гипергеометрической функции. Такие функции могут быть определены как суммы степенных рядов определенного вида (так называемых Г-рядов) [9],[11],[12], как решения систем дифференциальных уравнений [13],[89], как интегралы типа Эйлера [38],[62] и интегралы Меллина-Барнса [89].
Многомерные системы дифференциальных уравнений гипергеометрического типа возникают в некоторых задачах математической физики. В частности, такие уравнения появляются при изучении фейнманов-ских интегралов [14], в теории суперструн при исследовании юкавских констант связи [38], а так же при решении алгебраических уравнений [24],[83],[105].
В 1989 году в работе [13] была детально рассмотрена система дифференциальных уравнений, которая в настоящее время широко известна как система Гельфанда-Канранова-Зелевинского. Эта система уравнений задается натуральным числом N и произвольной иодрешеткой В С Ъм. Пусть L С CjV — линейное подпространство, натянутое на решетку В, и, А С (С^)' - аннулятор L. Системой Гельфанда-Капранова-Зелевин-ского, ассоциированной с решеткой В, называется следующая система дифференциальных уравнений па С^ :
П (^т) гу = П (?:) гу Для любого b е (°-0−3) i: b-> 0 N Qy diXi—— = (а, а) у для любого, а е А. (0.0.4) г=1.
ЭХ,.
Здесь a G С1 /L — фиксированный вектор, играющий роль параметра. Данная система уравнений интенсивно изучалась на протяжении последнего десятилетия, вызвав к жизни дальнейшие обобщения понятия гипергеометричности. В частности, была построена теория гинергеометри-ческих функций па грассмановых многообразиях [10].
Однако гипергеометрические функции многих переменных могут быть введены при помощи более классической системы дифференциальных уравнений гипергеометрического тина, нежели система Гельфанда-Ка-пранова-Зелевинского. Эта система уравнений естественно возникает из определения гипергеометрического ряда, предложенного Горном [67]. Согласно определению Горна, формальный (лорановский) ряд от п переменных sez" называется гипергеометрическим, если для любого г = 1,., п отношение </?(s+e-)/V (s) является рациональной функцией. Здесь ег- = (0, ., 1, ., 0) (1 на г-ом месте), s — (si,., sn), x = (ж15., xn), xs = ж1. x^n.
Нетрудно выписать систему дифференциальных уравнений, которой формально удовлетворяет ряд (0.0.5). Пусть ip{s+ei)/.
ХгРг{в)у{х) = Qi (9)y{x), % = 1,. .. , П. (0.0.6).
Здесь в = {0,., 0п), 9i = Система (0.0.6) восходит к Меллину и.
Горну [67]. Частные случаи данной системы уравнений, особенно в двух-и трехмерном случае, рассматривались во многих работах (см., например, [52],[83],[102]). Всюду в дальнейшем будем называть систему (0.0.6) гипергеометрической системой дифференциальных уравнений Горна и исходить из следующего определения:
Определение. Аналитическая функция (вообще говоря, многозначная) называется гипергеометрической, если она удовлетворяет гипергеометрической системе Горна (0.0.6) при некотором выборе многочленов Pi, Qi.
Изучение системы уравнений Горна мотивируется стремлением создать единую стройную теорию специальных функций гипергеометрического типа. В рамках этой теории гипергеометрические функции возникают как решения универсальной системы дифференциальных уравнений, а не большого количества слабо связанных между собой уравнений математической физики, как это сложилось исторически.
Отметим связь между гипергеометрической системой Горна и хорошо изученным классом голономных систем дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами. Линейная однородная голономная система п дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами и одной неизвестной функцией, зависящей от п переменных (zi,., zn) Е С", имеет вид д д — J f{zu ., zn) = 0, i = 1,., п. (0.0.7).
Здесь Qi,., Qn — многочлены с конечным числом общих нулей в С' Решения системы (0.0.7) даются фундаментальным принципом Паламо-дова-Мальгранжа-Эренпрайса (см. [22], глава 6).
Нетрудно видеть, что (0.0.7) является частным случаем гипергеометрической системы дифференциальных уравнений Горна. Действительно, переходя к переменным 1- = ег',{ = 1,.,., пи обозначая у (х,., хп) = /(ln^i,., ln? n), мы преобразуем систему уравнений (0.0.7) к виду.
Qi{0Xl, ¦ ¦ ¦, 9хп) у (х) =0, г = 1,., п, где 9Xi = Xi^. Следовательно, произвольная линейная однородная голо-номная система п дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами является частным случаем гипергеометрической системы уравнений (0.0.6) при Pi =. = Рп = 0. С другой стороны, система (0.0.6) может рассматриваться как линейное возмущение левого идеала в коммутативной подалгебре С[0Ж1,., вХп] алгебры Вейля Т>п.
Таким образом, класс гипергеометрических систем уравнений может рассматриваться как простейший класс систем уравнений в частных производных с непостоянными полиномиальными коэффициентами. В отличие от случая постоянных коэффициентов, немногое известно о глобальных свойствах общей системы уравнений гипергеометрического типа.
Во введении к работе [10] отмечается, что, по сравнению с рядами Горна и соответствующей им системой Горна, система Гельфанда-Капрано-ва-Зелевинского и ее формальные решения в виде рядов гипергеометрического типа имеют существенно более простую структуру. Поэтому, с учетом сказанного выше, задача исследования гипергеометрической системы Горна представляется весьма актуальной и непростой.
Цель настоящей диссертации заключается в детальном описании сингулярных множеств гипергеометрических функций многих комплексных переменных: нахождении условий их алгебраичности, характеризации их логарифмической проекции, построении многогранника Ньютона определяющего многочлена, изучении их поведения при выполнении различных операций над гипергеометрическими функциями, изучении свойств систем уравнений, которым эти функции удовлетворяют. Последнее подразумевает получение необходимых и достаточных условий голономности гипергеометрических систем уравнений, вычисление их го-лономного ранга (то есть размерности пространства голоморфных решений в окрестности неособой точки) и построение базисов в пространствах их решений в различных классах функций.
В одномерном случае система Горна совпадает с обыкновенным дифференциальным уравнением (0.0.2), которое играет важную роль в теории гипергеометрических функций одного комплексного переменного. Вкратце проиллюстрируем программу нашего исследования многомерной системы Горна на примере обыкновенного дифференциального уравнения (0.0.2).
I. В одном из вариантов метода Лапласа [16] общее решение уравнения (0.0.2) ищется в виде.
При этом на контур С накладывается два условия:
A. Контур Ci, получающийся из контура С сдвигом на 1 (параллельно действительной оси), гомологичен контуру С в дополнении ко множеству особенностей подынтегральной функции в (0.0.8).
B. Интеграл (0.0.8) сходится.
Функция у (х), представленная интегралом (0.0.8), заведомо удовлетворяет уравнению (0.0.2), если вес интегрального представления ip (s) удовлетворяет разностному уравнению.
0.0.8) с tp (s + l) Q (s + 1) = ip (s)P (s). Общее решение разностного уравнения имеет вид [16].
0.0.9) r (s — ai). T (s — ар) ф{8) где </>(s) — произвольная периодическая функция с периодом 1. Поэтому при построении решений уравнения (0.0.2) подбирается не только контур интегрирования С, но и функция ф (в). Возможности выбора контура сильно ограничиваются условием А. Согласно этому условию, если один из полюсов функции T (s — а к) обходится контуром С, то им должны обходиться и остальные полюсы этой функции.
II. Опишем процесс построения фундаментальной системы решений уравнения (0.0.2) при некоторых ограничениях на величины аь, Рк [16]. Например, рассмотрим случай, когда р — q и мнимые части всех этих величин попарно различны. Уравнение (0.0.2), удовлетворяющее условию р = q, называется неконфлюэнтным, а его решения — неконфлюэнтными гипергеометрическими функциями одного переменного. С точки зрения задачи изучения особенностей и монодромии интерес представляет именно неконфлюэнтный случай. Условие некон-флюэнтности связано также с показателями роста функции вблизи особых точек. Неконфлюэнтными являются функции (1 — х) х (для любого, А 6 С) и In ж. Простейшими примерами конфлюэнтных функций гипергеометрического типа являются многочлены и экспоненциальная функция, не имеющие особенностей. Многомерный аналог понятия неконфлю-энтности дан в определении 5.1.2. Условие Im (o!fc — fij) Ф 0 при k ^ j означает, что параметры уравнения (0.0.2) являются нерезонансными.
Рассмотрим полуполосы где число е столь мало, что полуполосы Lk и Lv (а также 1/к и L*) не имеют общих точек при к v. Границы дЬк полуполос Lk удовлетворяют условию А, а при выполнении неравенства tx > 1 они удовлетворяют и условию В. Поэтому функции.
Lk = {s: |Im (s — ajfc)| < e, Re (s — ak) < s}.
LI = {s: |Im (s — fa) < e, Re (pks- 1) < e}.
Ук (х) = dLk при > 1 являются решениями уравнения (0.0.2).
Интеграл (0.0.10) равен сумме вычетов в полюсах функции T (s — Вычисляя эти вычеты, получаем разложения (*) = f>r п r^r^'^iv АА Т (п + а"-ак + 1) где р ак П sin? г (Д, — ак).
Ак.
7 г П sin7r (aA- — а&bdquo-) уфк.
Можно показать, что функции yi{x),., ур{х) лиР1ейно независимы и потому образуют фундаментальную систему решений уравнения (0.0.2).
Построим фундаментальную систему решений уравнения (0.0.2), определенную при < 1. С этой целью заметим, что функция.
Г (с*1 — s + l).r (ap-s + l) также является решением уравнения (0.0.9). Поэтому функция ^ / TV, txyds (0.0.11).
УкК ' 2тгij T (ais + l).r (ap-s + l) ^ - dLl является решением уравнения (0.0.2) при < 1. Интеграл (0.0.11) равен сумме вычетов в полюсах функции Т{(Зк — s) и, вычислив эти вычеты, получаем разложения х) = в, ATterTT.
Здесь — некоторые постоянные. Функции уЦх),., у*(х) также линейно независимы и образуют фундаментальную систему решений уравнения (0.0.2).
Таким образом, в одномерном случае при указанных условиях на параметры уравнения (0.0.2) удается построить фундаментальную систему решений обобщенного гипергеометрического уравнения.
В рассмотренном выше одномерном случае условие, согласно которому все величины v имеют попарно различимые мнимые части, автоматически обеспечивает простые полюсы подынтегрального выражения в (0.0.8) и, кроме того, позволяет удобно сконструировать инвариантный относительно сдвига контур С в виде границы дЬ&соответствующей полуполосы. Разумеется, контур дЬ&можно заменить на сумму окружностей малого радиуса с центрами в полюсах из этой полуполосы.
III. Вопрос об особенностях решений в одномерном случае также решается просто. Например, при р — q коэффициент при старшей производной в уравнении (0.0.2) равен xp (tx — 1), поэтому его решение может иметь особенности в трех точках: 0,1/t, оо. При р ф q особенностями могут быть лишь 0 и оо. Таким образом, сингулярное множество одномерного гипергеометрического уравнения является сплошным (см. § 6.1). Отсюда следует, что все его решения допускают не более двух разложений в ряды (Пюизо) с центром в нуле.
Главы 2,3 и 6 настоящей диссертации находятся в соответствии с тремя приведенными выше разделами, в которых рассматривается обыкновенное обобщенное гипергеометрическое дифференциальное уравнение (0.0.2). В главе 2 приводится интегральное представление для решений системы Горна и изучается связанная с этим представлением система разностных уравнений. Согласно теореме Оре-Сато решения представляются кратными интегралами Меллина-Барнса. В главе 3 вычисляется размерность пространства голоморфных решений системы Горна и строится базис в этом пространстве. Для этого изучается Р-модуль системы Горна и используется алгебраический аппарат теории дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами. В главе 6 исследуется множество сингулярностей решений системы Горна. Подобно тому как в одномерном случае это множество задается нулями коэффициента при старшей производной, в многомерном случае это есть алгебраическая гиперповерхность, задаваемая нулями результанта главных символов дифференциальных операторов в системе Горна. Здесь свойства этой гиперповерхности оказалось удобным выразить при помощи понятия амебы.
Перейдем к описанию результатов диссертации. В главе 1 даются определения основных объектов изучения в диссертации и вводятся наиболее часто употребляемые в дальнейшем обозначения. Эффективным методом изучения особенностей специальной функции является получение всевозможных дифференциальных соотношений (по возможности простого вида), которым эта функция удовлетворяет. Знание такой (вообще говоря, бесконечной) системы уравнений позволяет перейти от задачи изучения особенностей функции к задаче изучения характеристического множества системы, для решения которой существуют мощные методы. Для специальной функции гипергеометрического типа оказывается возможным предъявить набор линейных дифференциальных соотношений с полиномиальными коэффициентами, которым эта функция удовлетворяет и которые определяют ее с точностью до слагаемого из некоторого конечномерного пространства. Эти соотношения порождают левый идеал в алгебре Вейля Т> линейных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами. Идеал этот может быть выбран несколькими способами в зависимости от свойств изучаемой функции и от специфики поставленной задачи. Алгебра Вейля является простой (в ней отсутствуют нетривиальные двусторонние идеалы). Всюду в дальнейшем, говоря об идеалах в алгебре Вейля и модулях над ней, мы будем подразумевать левые идеалы и модули.
Одной из основных целей главы 1 является изучение характеристических многообразий гипергеометрических систем дифференциальных уравнений в частных производных. Проекции этих многообразий на пространство переменных заведомо содержат множества особенностей гипергеометрических функций, удовлетворяющих таким системам. Примерами таких систем уравнений являются система Гельфанда-Капрано-ва-Зелевинского, система Меллина для алгебраической функции многих переменных (подробно рассмотренная в главе 7 настоящей диссертации), гипергеометрические системы уравнений, ассоциированные с решетками, а также система уравнений Горна. Частные случаи системы уравнений Горна, особенно в двухи трехмерном случае, рассматривались во многих работах (см. [52],[102]).
Напомним, что идеал J в алгебре Вейля (равно как и соответствующая система дифференциальных уравнений) называется голономным, если (комплексная) размерность его характеристического многообразия char (J) = {(ж, z) е С2″: cr (P)(x, z) = 0, для всех Р е J} равна размерности пространства переменных, то есть п. Здесь с{Р) обозначает главный символ дифференциального оператора Р. Из голоном-ности системы уравнений следует, в частности, конечномерность пространства ее голоморфных решений в окрестности точки общего положения. Одним из ключевых результатов главы 1 является следующее утверждение.
Теорема 1.10.50. Двумерная система Горна голономна для почти всех значений своих параметров.
В главе 1 вычисляется голономный ранг произвольной двумерной системы Горна и других гипергеометрических систем (теорема 1.1.5), а также найдено число линейно независимых многочленов Пюизо, удовлетворяющих этим системам (теорема 1.5.21).
В главе 2 дано интегральное представление решений системы (0.0.6). Ее решения ищутся в виде у (х) = J сp (s)xsds, (0.0.12) с где s = (si,., sn), xs — ж®-1. Xjtn, ds = ds. dsn.
Для построения решений системы (0.0.6) необходимо исследовать систему разностных уравнений p (s + е{) = Ri (s)(p (s), г = 1,., п, (0.0.13) где Ri (s) — Pi (s)/Qi (s + е*), е* = (0,., 1,., 0) (1 на г-ом месте). Разрешимость данной системы уравнений описывается теоремой 2.2.2:
Теорема 2.2.2. Для разрешимости системы (0.0.13) необходимо и достаточно выполнение условий согласования.
Ri (s + ej) Rj (s) = Rj (s + ei) Ri (s), г, j = 1,., п. (0.0.14).
При этом если решение системы (0.0.13) существует, то оно единственно с точностью до произвольного мпоэюителя ф{э), удовлетворяющего условиям периодичности ф (з + ег) = ф (в), для всех г = 1,., п.
Утверждение данной теоремы вытекает из известной теоремы Оре-Сато (см. [97], а также [10], § 1.2), однако приведенное в § 2.2 доказательство является новым и конструктивным, причем конструкция общего решения существенно используется в последующих разделах диссертации. Речь идет об общем виде решения системы разностных уравнений (0.0.13) в случае, когда многочлены Pi, Qi разлагаются в произведения линейных множителей. Это решение имеет вид.
ПГ ((Л, в)-сО p (s) = t?. -Ф{з). (0.0.15).
П r ((?j-, s) -dj).
3=1.
Здесь ф (в) — произвольная функция со свойством ф (в + е-) = ф (в), г — 1,., га, ti,., tn: сь ., ср, di,., dq e С, Ai,., Ap, Bi,., Bq G Коэффициенты векторов Ai, Bj определяются по многочленам Pi, Qi в соответствии с конструкцией (2.2.17). Отметим, что класс функций, которому принадлежит решение системы разностных уравнений, определяется выбором периодической функции ф (в).
Функция (0.0.15) имеет вид произведения трех функций: показательной функции, так называемой Г-дроби (отношения произведений Г-функ-ций с линейными по переменным суммирования аргументами) и периодической функции. Предположим, что функция ф (в) — целая. Тогда множество полюсов функции (0.0.15) представляет собой конечный набор счетных семейств гиперплоскостей, каждое из которых соответствует множителю в числителе Г-дроби. Аналогом простых полюсов в этом случае является ситуация, когда через каждую точку проходит не более чем п полярных гиперплоскостей. Заметим, что в теории Гельфанда и его соавторов такая ситуация соответствует черезонапсному случаю. Роль окружностей в одномерном случае теперь играют остовы т (т), которые фактически являются топологическими произведениями п окружностей и представляются системой уравнений.
Aii, s) — Сг 1 +mi| = е, |(Ai", s) — cin+mn| = ?, где тп{? N, А^,., Ain — линейно независимая система векторов, фигурирующих в числителе (0.0.15).
Многомерными аналогами условий А, В являются следующие условия:
А. Для любого i = 1,., п контур С{, получающийся из контура С сдвигом па базисный вектор е^, гомологичен контуру С в дополнении ко множеству особенностей подынтегральной функции в (0.0.12).
В. Интеграл (0.0.12) сходится.
В §§ 2.3, 2.4 рассмотрены условия A, Bi соответственно и сформулированы ограничения на параметры системы (0.0.6), при которых эти условия удовлетворяются. Доказано следующее предложение.
Предложение 2.3.6. В нерезонансном случае контур интегрирования С = Yh Т (т) удовлетворяет условию А.
В нерезонансном случае решения системы (0.0.6), соответствующие набору линейных независимых векторов А-15., Ain, могут быть представлены в виде Г-рядов, то есть в виде степенных рядов, коэффициенты которых являются отношениями произведений Г-функций с линейными по переменным суммирования аргументами. Однако для представления интеграла (0.0.12) в виде ряда необходимо обеспечить выполнение условия В. Для этого рассмотрим полупространство П — (Re (A, s) < 0},.
Р Q где, А = — Bi. Напомним, что конус, двойственный заданному конусу С С К", определяется при помощи равенства Cv = {г>? Rn: (u, v) > 0, Уи? С}. Условие В будет выполнено, если конус двойственный конусу К, порожденному системой векторов А^,., Ain, лежит в полупространстве П. Доказана следующая теорема.
Теорема 2.5.7. Если набор векторов., Ain удовлетворяет условиям предложения 2.3.6 и конус.
С П, то ряд me Nn теПп nr ((4,5(Am))-Cfc) x (tlXl)s^. {tnxn)s^m)^— (0.0.16).
П s (A, m),) — dj + 1) з=i удовлетворяет системе уравнений Горна (0.0.6) — здесь I = ., in}, ci — (q15 •••, cin), A — матрица со строками ,., и s (A, m) -решение системы линейных уравнений As — cj — т.
Целью главы 3 является вычисление размерности пространства голоморфных решений системы уравнений Горна в окрестности точки общего положения и построение базиса в этом пространстве. Важную роль играют при этом условия нерезонансности параметров системы Гориа и конкретная конструкция общего решения системы разностных уравнений (0.0.13). В § 3.3 построен базис в пространстве голоморфных решений системы Горна при некоторых предположениях относительно параметров данной системы. А именно, предположим, что для любого i = 1,., п многочлен Qi (s) зависит лишь от переменного S{ и запишем этот многочлен в виде Qi{s) = IT/Li (si — г = 1,.. CKy 6 С. Основной результат главы 3 состоит в следующем.
Теорема 3.3.14. Предположим, что для всех i = 1 ,., п многочлен Qi (s) зависит лишь от переменного Si и degQi > degPj. Для любого мультииндекса I = (ii,., гп), гk 6 {1,., с4} полоэюим ¦у/ = (ai., anin). Тогда при выполнении условий нерезонансности существуют р е N, ti,., tn, ci,., Ср е С, Ai,., Ар е Z", такие, что семейство, состоящее из d,. .dn функций уАх) = х" Y ts+*-+ 71)-*)-^ (0>017) WU и%1 ГО* + - «V + 1) есть базис в пространстве голоморфных решений системы (0.0.6) в окрестности любой точки х Е (С*)п = (С {0})п.
Напомним, что носителем ряда Лорана tp{s)xs называется множество {s е Z" :
Теорема 3.2.13. Предположим, что многочлены Pi (s), Qi (s) удовлетворяют условиям согласования (0.0.14) и что для любого г = 1,., п многочлен Qi (s) зависит лишь от переменного Si. Если главные символы Н (х (°г),., Нп (х^° z) дифференциальных операторов, определяющих cucmeAiy Горна (0.0.6), образуют регулярную последовательность в точке х^ € С", то размерность пространства голоморфных решений системы (0.0.6) в окрестности точки х^ равна ПГ=1 degHi (x^° z).
При доказательстве теоремы 3.2.13 оказывается удобным встать на «алгебраическую» точку зрения и рассматривать гинергеометрическую систему уравнений Горна как левый модуль над алгеброй Вейля V дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами. Нао помним, что алгебра Вейля порождается операторами х,., хп, ., т^г со стандартным коммутационным соотношением: —.
Перевод задачи о вычислении размерности пространства голоморфных решений системы уравнений Горпа на язык модулей является частью следующей более общей схемы.
Пусть К — ассоциативное кольцо с единицей, J С К — левый идеал, F — левый if-модуль. Тогда имеет место изоморфизм абелевых групп.
HornK{K/J, F) ~ {у Е F: Ру = 0, VP G J}. (0.0.18).
Действительно, любое if-линейное отображение из К/J в if-модуль F задается своим значением у на образе единичного элемента кольца К в фактор-кольце К/ J и является корректно определенным, если Ру = 0, VP Е J. Заметим, что в правой части формулы (0.0.18) записано пространство решений системы уравнений Ру = 0, Р 6 J. Если идеал J порождается элементами G,., Gn, то данная система уравнений эквивалентна системе Giy = 0, г = 1 ,., п. Поэтому для изучения пространства решений данной системы уравнений достаточно рассмотреть Нот K (K/J, F).
В дальнейшем мы будем рассматривать системы дифференциальных уравнений в совокупности со всеми их дифференциальными следствиями. Таким образом, мы отождествляем систему линейных однородных дифференциальных уравнений с идеалом (в подходящей алгебре), порожденным определяющими эти уравнения операторами.
Положим теперь К = Т>, обозначим через J С Т> идеал, порожденный дифференциальными операторами, определяющими систему уравнений Горна, а в качестве модуля F выберем модуль функций, голоморфных в окрестности фиксированной точки х^ 6 Сп. То обстоятельство, что число порождающих идеала J совпадает с размерностью пространства переменных, является несущественным: по теореме Стаффорда (см. теорему 7.1 в главе 1 книги [34]) любой идеал в алгебре Вейля может быть порожден не более чем двумя элементами. Применяя описанную выше схему рассуждений к гипергеометрической системе Горна, мы приходим к задаче изучения Р-модуля Л4 = Т>/ J, ассоциированного с данной системой уравнений.
Изучение свойств Т>- модуля Л4 составляет основное содержание главы 3 (носящей, наряду с главой 2, вспомогательный характер и подготавливающей почву для основных результатов диссертации) и приводит к формуле для размерности пространства решений системы уравнений Горна (теорема 3.2.13). Одним из ключевых результатов, на которые опирается доказательство теоремы 3.2.13, является следующая теорема. Теорема 3.2.9. Существует семейство линейных операторов {Wi}f=1, действующих на кольце многочленов C[rci,., хп, z,., zn], таких, что для D-модуля Л4, ассоциированного с системой Горна, имеет место изоморфизм.
М ~ С[жь ., хп, zh., zn] j ^^ WjC[xu ., хп, zi,., zn].
В § 3.2 данное семейство операторов выписано в явном виде. Подробное изложение применений теории Р-модулей к дифференциальным уравнениям содержится в монографии [20].
Глава 4 посвящена изучению характера ветвления гипергеометрических функций одного комплексного переменного на множествах их особенностей, а также построению обыкновенных линейных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами и заданной монодромией решений. На протяжении этой главы используются следующие обозначения. Пусть 5 С Р — конечное множество ст + 1 элементами, Е — другое конечное множество, a Fm = 7Гх (Р 5) —> Aut (E) -гомоморфизм в группу перестановок множества Е. Здесь Fm обозначает свободную группу с т порождающими. Предположим, что действие образа на Е является транзитивным, то есть, что для любых а, Ь 6 Е существует перестановка из образа группы Fm, отображающая, а в Ь. Один из вопросов, рассматриваемых в главе 4, заключается в следующем: всегда ли можно реализовать элементы множества Е как различные ростки голоморфных функций в некоторой точке Р 5, такие, что Е порождает пространство решений однородного фуксова уравнения, особенности которого содержатся в S, причем заданный гомоморфизм групп совпадает с представлением монодромии, определяемой аналитическим продолжением вокруг точек множества S?
В главе 4 дается положительный ответ на данный вопрос и подробно рассматривается ситуация, когда множество S содержит не более трех точек, в качестве которых мы без ограничения общности выберем точки S — {0,1, оо}. Этот частный случай представляет особый интерес по следующим причинам. Во-первых, конечное множество Е в совокупности с гомоморфизмом групп F2 > Aut (Е) определяют конечпоразветвленное накрытие р: X —" Р с точностью до изоморфизма, в то время как при |5| =т+1 > 3 накрытие зависит от т — 2 непрерывных параметров. Это соответствует выбору точек S с точностью до дробно-линейных преобразований. Во-вторых, в этом случае исходные данные допускают комбинаторную интерпретацию в терминах так называемых детских рисунков, которые представляют собой графы, оснащенные некоторой дополнительной структурой. Помимо этого, теорема Белого [5] проливает свет на глубокую связь поставленной задачи с теорией чисел. (Напомним, что, согласно теореме Белого, класс конечноразветвленных накрытий сферы Римана Р с ветвлением над не более чем тремя точками совпадает с классом компактных римановых поверхностей, которые могут быть заданы над полем алгебраических чисел.) Таким образом, абсолютная группа Галуа Aut (Q/Q) действует на множестве детских рисунков. Гротендик [64] предложил использовать это действие для изучения абсолютной группы Галуа. Основным здесь является вопрос о том, могут ли орбиты Галуа детских рисунков быть описаны в терминах комбинаторных или топологических инвариантов. Задачу о построении фуксова дифференциального уравнения по комбинаторным данным детского рисунка мы называем дискретной проблемой Римана-Гильберта.
Детские рисунки находятся во взаимно-однозначном соответствии с конечноразветвленными накрытиями Р с ветвлением над 0,1, сю (здесь мы не различаем изоморфные накрытия). Такие накрывающие отображения называются отобраоюениями Белого [1]. Детский рисунок есть прообраз отрезка [0,1] в накрывающем пространстве. Его дополнение есть объединение граней, каждая из которых содержит один прообраз бесконечности. Если детский рисунок состоит из v вершин, е ребер, и / граней, то v — е + / есть Эйлерова характеристика накрывающего пространства. При v = е + 1 детский рисунок является деревом. В этом случае накрывающее пространство есть Р, / = 1 и можно без ограничения общности считать, что единственным прообразом бесконечно удаленной точки является она сама. Отображение Белого в данном случае есть многочлен с не более чем двумя критическими значениями. Такие многочлены называются многочленами Шабата.
Многочлены Шабата Р, Q называются эквивалентными, если существуют обратимые аффинные отображения ф и ф, такие, что фоР = Qo-ф. Под плоским деревом понимается дерево с заданным циклическим порядком ребер в каждой вершине. Классы эквивалентных многочленов Шабата взаимно-однозначно соответствуют классам изоморфных плоских деревьев. В главе 4 рассматривается класс плоских деревьев, состоящий из «цепей» (деревьев с вершинами валентности < 2), «звезд» (деревьев, все вершины которых, за исключением одной, имеют валентность 1) и так называемых 2-звезд. В § 4.6 доказана следующая теорема. Теорема 4.6.3. Дискретная проблема Римана-Гильберта для плоского дерева Т ильеетп решение степени не выше чем 2 в том и только том случае, когда Т является звездой, 2-звездой или цепью.
Из данной теоремы вытекает следующее утверждение. Следствие 4.6.4. Пусть Р — многочлен Шабата. Функция, обращающая эквивалентный многочлен Шабата Р{х + Ъ) для некоторого b? С, удовлетворяет гипергеометрическому уравнению степени не выше чем 2 в том и только том случае, когда дерево Р есть либо звезда, либо 2-звезда, либо цепь.
В главе 5 получена «гипергеометрическая версия» одной из центральных теорем в теории распределения особенностей степенных рядов — классической теоремы Адамара об умножении особенностей. Для кратных рядов существует несколько конкурирующих определений композиции Адамара (см. [51]) на основе ядер интегральных представлений [75]. Композиция Адамара одномерных рядов может быть также обобщена на случай двух переменных на основе изучения диагоналей двойных степенных рядов [94].
В главе 5 изучается действие композиции Адамара на множестве не-конфлюэнтных гипергеометрических рядов, которые образуют полугруппу относительно этой операции. Такие ряды удовлетворяют переопределенным системам дифференциальных уравнений в частных производных с полиномиальными коэффициентами. Так как любое дифференциальное соотношение с мероморфными коэффициентами для ряда Лорана с непустой областью сходимости имеет место и для аналитического продолжения этого ряда, то множество особенностей гипергеометрической функции содержится в проекции характеристического многообразия соответствующей гипергеометрической системы уравнений на пространство переменных. При некоторых условиях невырожденности эта проекция является алгебраической гиперповерхностью. Данная алгебраическая гиперповерхность, ассоциированная с неконфлюэнтным гипергеометрическим рядом, и является основным объектом изучения в настоящей главе диссертации.
Будучи подмножеством алгебраической гиперповерхности, множество особенностей гипергеометрической функции может быть естественным образом вложено в множество нулей результанта последовательности однородных форм, зависящих от нескольких переменных. Многие важные свойства этого результанта (который является многочленом с несколькими неизвестными) отражаются в структуре его многогранника Ньютона. В главе 5 дается полное описание многогранника Ньютона многочлена, чье нулевое множество естественным образом содержит особенности заданного двойного неконфлюэнтного гипергеометрического ряда. В частности, доказывается следующее утверждение.
Следствие 5.2.10. Умнооюение в полугруппе главных символов коэффициентов Оре-Сато, зависящих от двух переменных, соответствует сложению многоугольников Ньютона их результантов по Минковско-му.
Несколько иная версия этого результата была независимо получена А. Дикенштейн и Б. Штурмфельсом [45]. Использование свойств результанта коэффициента гипергеометрического ряда, определяемого как результант главных символов дифференциальных операторов в соответствующей гипергеометрической системе уравнений, позволяет сформулировать следующую теорему.
Теорема 5.2.11. Многоугольник Ньютона многочлена, задающего сингулярную гиперповерхность произведения Адамара двойных некопфлю-энтных гипергеометрических рядов, есть слагаемое Минковского в сумме многоугольников Ньютона результантов коэффициентов этих рядов.
Из теоремы Андроникова-Кашивары (см. теорему 8.11.8 в [35]) следует, что в случае, когда двойные гипер геометрические ряды удовлетворяют регулярной голономной системе уравнений, включение в теореме 5.2.11 превращается в равенство.
Настоящая глава диссертации завершается примером, который показывает, что, с точки зрения умножения гипергеометрических рядов по Адамару, случай двойных рядов существенно отличается от ситуации, когда перемножаемые ряды зависят от большего числа переменных, а следствие 5.2.10, вообще говоря, не имеет места в трех и более переменных. Отличие это определяется, в основном, тем обстоятельством, что на плоскости любой конус является симплициальным. Таким образом, основные результаты настоящей главы не могут быть тривиальным образом обобщены на случай более высоких размерностей.
Глава 6 посвящена изучению логарифмической проекции множества особенностей гипергеометрической функции многих комплексных переменных на вещественное пространство. Пусть / - многочлен Лорана, зависящий от переменных х,., хп. Его амебой Л/ называется образ множества нулей многочлена / в торе (С*)71 при отображении Log: (#1,., хп) I—> (In |a-i., In |жТ1|). Известно (см. главу 6 в [61]), что связные компоненты дополнения к амебе Л/ выпуклы и находятся во взаимно-однозначном соответствии с разложениями рациональной функции 1// в ряды Лорана с центром в нуле. Таким образом, изучение разложений рациональной функции 1// в ряды Лорана с центром в нуле естественно приводит к рассмотрению амебы Л/.
В главе 6 вычисляется количество связных компонент в дополнении к амебе ядра Бергмана комплексного эллипсоида DPl,-, Pn — {rr? С": |Ж1|2/Р1 хп^Рп < 1}. Здесь pi,., рп — натуральные числа. Показано, что число таких компонент не зависит от параметров pi,., рп и равно п + 1.
В главе 6 книги [61] показано, что число связных компонент дополнения к амебе многочлена не может быть меньше числа вершин многогранника Ньютона данного многочлена. Амеба многочлена Лорана называется сплошной, если число связных компонент ее дополнения равно числу вершин многогранника Ньютона данного многочлена. Одним из основных результатов главы 6 является следующее утверждение.
Теорема 6.4.11. Амеба множества особенностей неконфлюэнтной гипергеометрической функции является сплошной.
Особенности гипергеометрической функции, удовлетворяющей системе уравнений Гельфанда-Капранова-Зелевинского, лежат в множестве нулей т.н. главного А-детерминанта. Любой А-гипергеометрический ряд может быть преобразован в ряд Горна подходящей мономиальной заменой переменных. Эта мономиальная замена переменных соответствует линейному преобразованию пространства амебы и, следовательно, не может повлиять на сплошное свойство амебы. Используя теорему 6.4.11, мы приходим к следующему утверждению.
Следствие 6.4.12. Множество нулей любого главного А-детерминан-та имеет сплошную амебу.
Теорема 6.4.11 позволяет также установить сплошное свойство амебы классического дискриминанта общего алгебраического уравнения (0.0.19).
В главе 6 рассматривается также проблема классификации рациональных функций гипергеометрического типа, сформулированная Кат-тани, Дикенштейн и Штурмфельсом [41]. В настоящее время известно несколько необходимых условий рациональности сумм гипергеометрических рядов, однако эти условия не являются достаточными. При выполнении этих условий рациональные функции гипергеометрического типа допускают представление в виде торических вычетов. Для классификации рациональных функций гипергеометрического типа в главе 6 используется n-параметрическое семейство ядер Бергмана комплексных эллипсоидов DPl'~'Pn. Два гипергеометрических ряда называются кон-тигуалъно эквивалентными (contiguously equivalent), если отношение их коэффициентов есть произведение экспоненциальной и рациональной функций от индексов суммирования. Показано, что любое рациональное решение нерезонансной неконфлюэптной гипергеометрической системы с коммутирующими операторами контигуально эквивалентно ядру Бергмана области DPl'-'Pn для некоторых pi,. е N {0}.
В главе 7 рассматривается класс алгебраических функций, удовлетворяющих алгебраическим уравнениям с символьными коэффициентами, то есть уравнениям вида.
Здесь т> т >. > тп > 0, m, mЕ N, z = z (ao,., an+i) — функция комплексных переменных ао,.., an+iВсе решения уравнения (0.0.19) являются также решениями А-гипергеометрической системы Гельфан-да-Капранова-Зелевинского, связанной с матрицей и с вектором показателей однородности (0,-1). В частности, любое решение уравнения (0.0.19) является биоднородной функцией и потому может быть рассмотрено как функция п переменных. Отсюда следует, что два любых отличных от нуля коэффициента в уравнении (0.0.19) могут быть зафиксированы произвольным образом без потери существенной информации об общем решении данного уравнения. Оказывается удобным разделить (0.0.19) на —an+i и затем сделать замену переменных у = (—а0/an+i)1/mz, сведя (0.0.19) к уравнению a0zm + aizmi + a2zm2 +. + anzm" + an+1 = 0.
0.0.19).
1 1. 1 1 тп mi. mn 0 ym + X! ymi +. + Xnym" -1 = 0.
0.0.20).
Согласно классическому результату Меллина [83], решения данного уравнения удовлетворяют некоторой системе дифференциальных уравнений в частных производных гипергеометрического типа. А именно, решение у (х) = у (х 1,., хп) уравнения (0.0.20) удовлетворяет следующей системе из п дифференциальных уравнений в частных производных: rrij — l mj~l. + тп0п + тк + 1) П (m'lOi + ¦ • • + т’пвп + тк — 1) у (х) = к=0 к=0.
— 1 3 = (0.0.21).
Я / где = Xj-r~- R rri- — т — rrij. В данной главе рассматриваются алгебраические уравнения вида (0.0.20). Систему уравнений (0.0.21) мы будем называть системой Меллина, ассоциированной с уравнением (0.0.20).
Целью главы 7 настоящей диссертации является построение базиса в пространстве голоморфных решений системы уравнений Меллина. Проблема нахождения решений системы Меллина возникла в рамках общей теории гипергеометрических функций и их связей с алгебраическими уравнениями [105].
Помимо решений уравнения (0.0.20), системе (0.0.21) удовлетворяют все решения ассоциированных алгебраических уравнений ут + екх1Угп' +. + е{" хпут" -1 = 0, (0.0.22) где I — (гх,., гп) 6 ff — произвольный мультииндекс, а е — е2т/т. В главе 7 дается полное описание пространства всех голоморфных в окрестности нуля решений системы Меллина в терминах решений алгебраических уравнений (0.0.22). Основные результаты данной главы диссертации состоят в следующем.
Во-первых, размерность пространства голоморфных в окрестности нуля решений системы Меллина равна тп (теорема 7.1.1). Во-вторых, все алгебраические решения являются линейными комбинациями решений уравнений (0.0.22). При этом, если d — НОД (т, т1,., тп) > 1, то никаких других голоморфных в окрестности нуля решений нет. Если же d = 1, т. е. показатели т, mi,., тп взаимно просты, то неалгебраические решения образуют подпространство размерности тп~1 — [^rj] • (Здесь [] обозначает целую часть числа.) Базис этого подпространства строится из корней уравнений (0.0.22) с помощью конструкции в теореме 7.3.13.
Частный случай триномиального уравнения ут + хур — 1 = 0 (которое соответствует обыкновенному уравнению Меллина) хорошо изучен [72]. Монодромия обыкновенного уравнения Меллина всегда приводима и, за исключением случая р = т — 1, оно не является линейным дифференциальным уравнением минимального порядка, пространство решений которого содержит корни заданного триномиального уравнения. Более того, обыкновенное уравнение Меллина может иметь неалгебраическое решение лишь в случае, когда р < т — 1 и наибольший общий делитель d чисел т, р равен 1. Явный вид неалгебраического решения дается простым частным случаем основного результата главы — теоремы 7.3.13.
Другим результатом главы 7 является утверждение о приводимости монодромии системы уравнений Меллина. В последнем параграфе главы 7 даны результаты о разложении на множители обыкновенных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами и заданными алгебраическими решениями.
Работа над настоящей диссертацией была поддержана грантами Президента Российской Федерации, Российским фондом фундаментальных исследований, фондом «Династия», Японским обществом продвижения науки, научно-образовательными грантами Сибирского федерального университета, а также Красноярским краевым фондом науки. Исследования по теме диссертации были представлены на конференциях и семинарах в Сибирском федеральном университете, в Институте математических исследований в Беркли (США), в университете Западного Онтарио (Канада), в Математическом институте им. Макса Планка (Германия), в Стокгольмском университете (Швеция), в Институте математических исследований в Киото (Япония), а также в университете Буэнос-Айреса (Аргентина). Приобрести опыт работы с системами компьютерной алгебры автору очень помогла стажировка в компании Wolfram Research Inc. (США). Автор выражает искреннюю благодарность всем перечисленным выше организациям и учреждениям.
Автор глубоко признателен своему научному консультанту А. К. Циху за постановки задач и внимание к работе, а также своей семье за терпение и моральную поддержку.
Основные результаты диссертации состоят в следующем:
— доказана голономность произвольной двумерной гипергеометрической системы дифференциальных уравнений с параметрами общего положения;
— доказано, что амеба любой гипергеометрической функции многих комплексных переменных является сплошной: каждая связная компонента ее дополнения содержит открытый конус максимальной размерности;
— доказано, что множество нулей любого главного Л-детерминанта имеет сплошную амебу;
— установлено, что умножение пеконфлюэнтных гипергеометрических рядов по Адамару соответствует сложению многогранников Ньютона многочленов, определяющих их особенности, по Минковскому;
— найдена формула для числа линейно независимых голоморфных решений произвольной двумерной гипергеометрической системы уравнений в окрестности точки общего положения;
— построен базис в пространстве голоморфных решений гипергеометрической системы уравнений в случае, когда главные символы определяющих ее операторов образуют полное пересечение;
— вычислена монодромия системы уравнений Меллина и найдены условия алгебраичности ее решений.
Указатель обозначений.
N — множество неотрицательных целых чиселZ — множество целых чиселQ — множество рациональных чиселR — множество вещественных чиселС — множество комплексных чиселР — сфера Римана;
Rn — вещественное пространство размерности щ Сп — комплексное пространство размерности щ С* = С {0}- ф (М) ~ число элементов в конечном множестве М а, Ь) = ai&i+. .+anbn — скалярное произведение векторов, а = (ai,., ап) и Ъ = (Ъъ. ., Ъп);
Xs — хг. .. хмоном с вектором оснований х = (ж1г., хп) и вектором показателей s = (si,. ., sn) — о-| = a +. + an — норма мультииндекса a E Nn;
K[xi,., xn] - кольцо многочленов с переменными xi,., хп и коэффициентами из поля К;
К (х 1,., — поле рациональных функций с переменными х,., хп и коэффициентами из поля iC;
Г (г) — гамма-функция Эйлера;
V (I) — нулевое множество идеала I С С [ж]- supp (/) — носитель ряда (в частности, многочлена) Пюизо, то есть, для / = саха по определению supp (/) = {а: са ф 0}- Pi, Qi — многочлены, определяющие гииергеометрическую систему уравнений Горна (0.0.6), см. стр. 8-, еп — стандартный базис решетки Znв = (0Ь ., вп), Qi = Xi^.
V — алгебра Вейля линейных дифференциальных операторов с полиномиальными коэффициентами и порождающими xi,., хп, ., о — композиция дифференциальных операторов из алгебры Вейля (используется в тех случаях, когда необходимо отличить композицию oneраторов от действия оператора на функции);
Ui,., Um) — левый идеал в алгебре Вейля, порожденный операторами U:., Um.
U, V] — UV — VU — коммутатор дифференциальных операторов U, V? а (Р) — главный символ линейного дифференциального оператора Р? Т>, см. стр. 129- rank (J) — голономный ранг левого идеала J, то есть, число его линейно независимых (над полем комплексных чисел) голоморфных решений в окрестности точки общего положенияrank p (J) — комплексная размерность линейного пространства многочленов Пюизо, лежащих в ядре каждого оператора из идеала J в алгебре Вейля Т>
Gi = XiPi (9) — Qi (0) — дифференциальный оператор в г-ом уравнении системы Горна;
Нг (х, г) — главный символ дифференциального оператора Gi, см. стр. 130;
М — левый модуль над алгеброй Вейля, ассоциированный с системой уравнений Горна, см. стр. 121- char (A^) — характеристическое многообразие системы уравнений Горна, см. стр. 130;
Um — {х е Сп :3z ф 0 для которого (х, z)? char (A^)}- V (ip) — многоугольником коэффициента Оре-Сато, см. стр. 171- Ох{о) — левый Р-модуль формальных степенных рядов с центром в точке.
Af — амеба многочлена Лорана /, см. стр. 24;
Л/} - многогранник Ньютона многочлена Лорана /, см. стр. 194- vert (Af) — множество вершин многогранника jV:
Log — отображение Log: (xi,., хп) ь-" (In |xi|,., In |жп|);
Pi,-, Pn = {x eCn: |xi|2/pi +. •. + xn2/pn < 1} -комплексный эллипсоид;
KPl,., pn ~ ядро Бергмана области DPl'~, Pn, см. стр. 200;
Xs — торическое многообразие, ассоциированное с веером Е;
Cv = {и G М": (и, v) > 0, Vii? С} - конус, двойственный к конусу С;
См = {s? Hn: и + As? М, fu? М, А > 0} - конус рецессии выпуклого множества М;
Ej — оператор сдвига, придающий г-му аргументу приращение t, то есть.
Etif (x)^f (x + tei) int (M) — внутренность множества Мvol (А) — нормированный (комбинаторный) объем конечного множества, А С Z", то есть, произведение п! на стандартный евклидов объем выпуклой оболочки множества А.
IB ~ решеточный идеал, ассоциированный с решеткой L&, см. стр. 33- 1а ~ торический идеал, соответствующий матрице А, см. стр. 33- Uij — индекс пары строк целочисленной матрицы, см. стр. 35- На (Лс) = IA + (Z)" =i aijxjdX] - {А ¦ с) i ¦ г = 1,., п — т) С Т>п — А-гипергеометрическая система дифференциальных уравнений в частных производных с вектором параметров, А • сin W (I) — начальный идеал для идеала I относительно весового вектора w, см. стр. 42- ind W (J) = R • in (Ш)Ш)(J) П С., 0п] - индексный идеал для идеала J, см. стр. 71.
Заключение
.
