Минимизация квадратичных функционалов уклонения траекторий линейных динамических систем управления

Теория оптимального управления возникла в середине 50-х годов в ответ на задачи, поставленные развитием новой техники. Инженеры по механике полета, по теории автоматического регулирования в 40 — 50-е годы при разработке новой техники столкнулись с задачами вариационного типа, которые не поддавались исследованию методами классического вариационного исчисления [57,69,80] .

Анализ результатов, полученных инженерами при решении частных экстремальных задач нового типа, привел группу математиков во главе с академиком Л. С. Понтрягиным к постановке нового класса задач вариационного типа, названных неклассическими задачами вариационного исчисления.

В отличие от вариационного исчисления в новых моделях выделялись две группы переменных — переменные состояния и переменные управления, из которых вторая группа была принципиально новой в вариационном исчислении и выбиралась из весьма широкого класса функций (измеримых, кусочно-непрерывных, кусочно-постоянных и т. п.), принимающих значения из произвольных, в частности, замкнутых множеств.

Основным результатом теории оптимального управления (так стала называться теория неклассических задач вариационного исчисления) признан принцип максимума Л. С. Понтрягина, с помощью которого удалось в изящной и удобной форме записать необходимые условия оптимальности для весьма широкого круга задач. При этом существенную роль сыграл выбор допустимых управлений из достаточно широкого класса функций. С сутью нового результата, с его обобщениями и приложениями можно ознакомиться по работам [1,10,26,28,40,45,58, 60,64,66,74,75,78, 84,85] .

В теории оптимального управления были предложены и другие подходы: метод динамического программирования Р. Беллмана [3,24], метод Н. Н. Красовского [47,48], метод А.Я.Ду-бовицкого — А. А. Милютина (32,ЗЗJ и другие [18,22,37, 46,49−52,]. На базе предложенных методов разработаны разнообразные численные алгоритмы. С состоянием этого вопроса можно ознакомиться по работам [ 2,9,11, 31,34,35,38, 41,53−55, 59,62,63,67,68, 71,72 ] .

Диссертация выполнена на Минском семинаре по конструктивной теории оптимального управления и развивает подход, предложенный в работах (4,13−17,19−21,27,29,42−44,61,73] .

Целью работы является исследование задач оптимального управления в новом классе допустимых управлений, названных для краткости, релейными.

Основной конструкцией работы служит опора, которая обобщает соответствующие понятия, введенных для более простых классов допустимых управлений.

Опора в теории оптимального управления впервые введена в ^14] для линейных задач. Она явилась обобщением опоры, предложенной ранее в [ 19−21] для решения задачи линейного программирования. Будучи тесно связанной как с фундаментальным свойством динамических систем — управляемостью, так и с сопряженной системой, опора оказалась удобным аппаратом при получении аналитических и конструктивных результатов [29, 42,43,61^ • Впоследствие опора была перенесена на различные ь типы линейных задач оптимального управления [15,44], линейно-квадратичные задачи оптимального управления [4,16,27. 73 j, нелинейные задачи [17], негладкие задачи [16,17].

При всех указанных обобщениях класс допустимых управлений состоял или из импульсных, или из кусочно-постоянных, или из кусочно-непрерывных управлений. Первый класс допустимых управлений ведет к дискретным системам, второй и третий классы характерны для непрерывных систем.

История развития теории оптимального управления показывает, что для многих прикладных задач оптимального управления достаточны классы кусочно-постоянных, кусочно-непрерывных управлений (т.е. в них оптимальное управление реализуется на функциях из этих классов).

В последние годы усилился интерес к задачам оптимального управления, в которых решения достигаются на функциях с учащающимися точками переключений [5,8,65,83]. Первый пример линейно-квадратичной задачи с подобным решением был построен еще в 1960 г. А. Т. Фуллером • Последние результаты в этом направлении [6,7,36,81] показывают, что режимы Фул-лера достаточно типичны в теории оптимального управления. Другой пример, уже линейной по состоянию задачи (с фазовыми ограничениями), в которой оптимальное управление реализуется в виде режима Фуллера, построен в работе Г. М. Роббинса [86 ]. А. А. Милютин подробно исследует режимы Фуллера в [30], и показывает, что они достаточно типичны и в полностью линейных задачах.

Численное решение задач оптимального управления, в которых встречаются режимы Фуллера, сопряжено с большими трудноетями. Пока не предложены и практические способы реализации таких режимов, ибо реальные технические устройства имеют конечный предел частоты переключений. В этой ситуации естественным на нащ взгляд является другой подход исследования задач оптимального управления, в которых возможны режимы Фул-лера. А именно, следует ввести такой класс допустимых управлений, элементы которого в принципе реализуемы на технических устройствах. Другими словами, следует наложить ограничения снизу на расстояния между соседними точками переключений. Именно такой подход принят в данной работе.

Новый тип ограничений на допустимые управления, отражающий реально существующие ограничения практических управлений, ранее в теории оптимального управления не исследовался. Эти ограничения, как и ограничения, связанные с инерционностью реальных управлений, существенно усложняют задачу оптимального управления. Для исследования упомянутых ограничений в работе, как указано выше, развивается конструктивный подход, предложенный в работах [ 13−17,27].

Видимо, новые задачи можно исследовать и качественными методами [12,47,60], но эта цель в работе не ставилась, ибо предполагалось, что полученные результаты будут впослед-ствие использованы для создания специальных численных методов в духе работ [29,42−44,61,73] .

Ситуация, аналогичная той, что исследуется в диссертации, встречалась и раньше. Известно, что существуют простые примеры, в которых оптимальное управление не реализуется даже в классе измеримых функций. Речь идет о так называемых скользящих режимах. Появление скользящих режимов в математических задачах оптимального управления можно связать с тем, что в принятой идеализации реально доступных управлений не учитывается их инерционность. Другими словами, каждое практическое управление может изменять свои значения с ограниченной скоростью. Если учесть это свойство реальных управлений и ввести в задачу оптимального управления ограничения на скорость изменения значений управления), то в новом классе (инерционных, абсолютно-непрерывных) допустимых управлений задача оптимального управления всегда будет иметь решение. Однако переход к инерционным управлениям резко усложняет исследование задачи оптимального управления из-за появления фазовых ограничений. Примеры, приведенные в работах Г. М. Роббинса и А. А. Милютина, показывают, что изложенный подход гарантирует существование теоретического результата, но не гарантирует реализуемость результата на практике.

В диссертации в отличие от свойства инерционности используется другое характерное для реальных управлений свойство. И как показано в работе, этот подход приводит к практически реали зуемым ре зультатам.

Диссертация состоит из введения, трех глав и списка цитированной литературы. Она занимает объем 150 стр. машинописного текста.

1. Алексеев В.M., Тихомиров В.M., Фомин C.B. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979. — 429 с.

2. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968. — 764 с.

3. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического программирования. М.: Наука, 1965. — 458 с.

4. Биби М., Костюкова О. И. Оптимизация линейной системы управления по квадратичному терминальному критерию качества. //ДАН БССР. 1986. — Т. 30, № I. — С. 16−19.

5. Берщанский Я. М. Сопряжение особых и неособых участков оптимального управления.//Автоматика и телемеханика. -1979. № 3. — С. 5-И.

6. Борисов В. Ф. Построение оптимального синтеза при наличии четтеринг-режима.//ДАН СССР. 1988. — Т. 302, № 4.С. 785−789.

7. Борисов В. Ф., Зеликин М. И. Режими с учащающимися переключениями в задаче управления роботом.//ПММ. 1988. -Т. 52. — Вып. 6. — С. 939−946.

8. Борщевский М. З., Иослович И. В. К задаче оптимального по быстродействию торможения вращения осесимметричного твердого тела около центра масс.//ПММ. 1985. — Т. 49.-Вып. I. — С. 35−42.

9. Брайсон А., Хо Ю-ши. Прикладная теория оптимального управления. М.: Мир, 1972. — 544 с.

10. Бутковский А. Г. Методы управления системами с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975, — 568 с.

11. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. — 520 с.

12. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Качественная теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1971. — 508 с.

13. Габасов Р., Кириллова Ф. М, Тятюшкин А. И. Конструктивные методы оптимизации. Часть I. Линейные задачи. Минск: изд-во «Университетское», 1984. — 214 с.

14. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Конструктивные методы оптимизации. Часть 2. Задачи управления. Минск: изд-во «Университетское», 1984. — 207 с.

15. Габасов Р., Кириллова Ф. М., Костюкова О. И. Конструктивные методы оптимизации. Часть 3. Сетевые задачи. -Минск: изд-во «Университетское», 1986. 224 с.

16. ГабасоЕ Р., Кириллова Ф. М., Костюкова О. И., Ракецкий В. М. Конструктивные методы оптимизации. Часть 4. Выпуклые задачи. Минск: изд-во «Университетское», 1987. — 223 с.

17. Габасов Р., Кириллова Ф. М., Костюкова О. И., Покатаев А. Конструктивные методы оптимизации. Часть 5. Нелинейные задачи. Минск.* изд-во «Университетское», 1991. — с.

18. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Математическая теория оптимального управления.//Итоги науки и техники. Математический анализ. М. 1977. — Т. 16. — С. 55−97.

19. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Методы линейного программирования. Часть I. Общие задачи. Минск: изд-во БГУ, 1977. — 176 с.

20. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Методы линейного программирования. Часть 2. Транспортные задачи. Минск: изд-во БГУ, 1978. — 240 с.

21. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Методы линейного программирования. Часть 3. Специальные задачи. Минск: изд-во БГУ, 1980. — 368 с.

22. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Методы оптимального управления //Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. M. 1976. — Т. 6. — С. 131−204.

23. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Оптимизация линейных систем.- Минск: изд-во БГУ, 1973. 243 с.

24. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Основы динамического программирования. Минск: изд-во БГУ, 1975. — 264 с.

25. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Особые оптимальные управления.- М.: Наука, 1973. 256 с.

26. Габасов Р., Кириллова Ф. М. Принцип максимума в теории оптимального управления. Минск: Наука и техника, 1974. 272 с.

27. Габасов Р., Кириллова Ф. М., Костюкова О. И. Решение линейно-квадратичных экстремальных задач У/ДАН СССР. -1985. Т. 280, № 3. — С. 529−533.

28. Гамкрелидзе Р. В. Основы оптимального управления. Тбилиси: изд-во Тбилисского университета, 1977. — 253 с.

29. Гневко C.B. Адаптивный метод оптимизации динамической системы со многими входами //Известия АН БССР, Серияфиз.-мат. наук. 1985. — № 5. — С. 26−32.

30. Дикусар В. В., Милютин A.A. Качественные и численные методы в принципе максимума. М.: Наука, 1989. — 143 с.

31. Демьянов В. Ф., Васильев Л. В. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука, 1981. — 384 с.

32. Дубовицкий А. Я., Милютин A.A. Задачи на экстремум при наличии ограничений //IBM и МФ. 1965. — Т. 5, № 3.С: 395−453.

33. Дубовицкий А. Я., Милютин A.A. Необходимые условия слабого экстремума в общей задаче оптимального управления.- М.: Наука, 1971. ИЗ с.

34. Евтушенко Ю. Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982. 432 с.

35. Еремин И. И., Астафьев H.H.

Введение

в теорию линейногои выпуклого программирования. М.: Наука, 1976. — 191с.

36. Зеликин М. И., Борисов В. Ф. Поля оптимальных траекторий, содержащие особые экстремали второго порядка и экстремали с учащающимися переключениями // ДАН СССР, -1989. Т. 304, № 5. С. 1050−1053.

37. Зубов В. И. Лекции по теории управления. М.: Наука, 1975. — 495 с.

38. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач.- М.: Наука, 1974. 479 с.

39. Калман P.E. Об общей теории систем управления // Тр. I конгр. ИФАК. М., 1961. — Т.2. — С. 521−547.

40. Келли Г. Необходимое условие особых экстремалей, основанное на второй вариации // Ракетная техника и космонавтика. 1964. — № 8. — С.26−29.

41. Кирин Н. Е. Вычислительные методы теории оптимального управления. Л.: изд-во Ленингр. ун-та, 1968. — 143 с.

42. Констр уктивная теория экстремальных задач // Под ред. Габасова Р., Кирилловой Ф. М. Минск: изд-воУниверситетское", 1984. 204 с.

43. Костюкова О. И., Чернушевич A.C. Алгоритмы решения простой задачи квадратичного программирования, // Известия АН БССР. Сер. физ.-мат. наук.- 1985. № 3. — C. II4-II5.

44. Костюкова О. И. Конечный алгоритм оптимизации линейных нестационарных систем управления. Минск: 1988. — 36 с. (Препринт/ Ин-т математики АН БССР: № 35 (345)).

45. Копп Р., Мойер Г. Необходимые условия оптимальности особых экстремалей.// Ракетная техника и космонавтика.- 1965. № 8. — С. 84−91.

46. Красовский H.H. Теория оптимальных управляемых систем.- В кн.: Механика в СССР за 50 лет. М.: Наука, 1968. Т. I. С. 179−244.

47. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1968. — 476 с.

48. Красовский H.H. Управление динамической системой. М.: Наука, 1985. — 321 с.

49. Кротов В.f., Гурман В. И. Методы и задачи оптимального управления. М.: Наука, 1973. — 448 с.

50. Куржанский A S. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977. — 392 с.

51. Летов A.M. Динамика полета и управление. М.: Наука, 1969. — 360 с.

52. Ли Э. Б., Маркус I. Основы теории оптимального управления. М.: Наука, 1972. — 576 с.

53. Михалевич B.C., Гупал A.M., НоркинВ.А. Методы невыпуклой оптимизации. М.: Наука, 1987. — 278 с.

54. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971. — 424 с.

55. Мордухович Б. Ш. Методы аппроксимаций в задачах оптимизации и управления. М.: Наука, 1988. — 360 с.

56. Мороз А. И. Курс теории систем. М.: Высш. шк., 1987. -304 с.

57. Охоцимский Д. Б. К теории движения ракет.// ПММ. 1946. Т. 9. Вып. 2. — С. 251−272.

58. Плотников В. Й., Сумин В. И. Оптимизация объектов с распределенными параметрами, описываемых системами Гурса-Дарбу.// IBM и МФ. 1972. — Т.12, Ш I. — С.

59. Полак Э. Численные методы оптимизации. М.: Мир, 1974. 376 с.

60. Понтрягин 1.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976. — 392 с.

61. Программное обеспечение ЭВМ./ АН БССР. Ин-т математики.- Минск, 1983. Вып. 43. Адаптивная оптимизация/ Под редакцией Габасова Р., Кирилловой Ф. М., Сенько A.A. -239 с.

62. Пшеничный Б. Н. Метод линеаризации. М.: Наука, 1983.-136 с.

63. Пшеничный Б. Н., Данршн Ю. М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975. — 319 с.

64. Розоноэр Л. И. Принцип I.C. Понтрягина в теории оптимальных систем, П.// Автоматика и телемеханика. 1959. Т. 20, Ш II. С. 1320−1331.

65. ТелеснинВ.Р. Об оптимизации переходных, искажений. //ДАН СССР, 1980. — Т. 253, 15, — С. 1055−1059.

66. Троицкий В. А. О вариационных задачах оптимизации процессов управления.// ПЙМ. 1962. — Т.26. Вып I. — С. 29−38.

67. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. — 488 с.

68. Федоров В. В. Численные методы максимина. М.: Наука, 1979. — 280 с.

69. Фельдбаум А. А. Оптимальные процессы в системах автоматического регулирования,// Автоматика и телемеханика. 1953. Т. 14, № 5. — С. 712−728.

70. Фуллер А. Т. Оптимизация релейных систем регулирования по различным критериям качества // Тр. I конгр. ИФАК. -М., 1961. Т. 2. — С. 584 -605.

71. Черноусько Ф. Л., Колмановский В. Б. Вычислительные и приближенные методы оптимального управления // Мат. анализ. (Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР). М., 1977. — Т. 14. — С. I0I-I06.

72. Черноусько Ф. Л., Колмановский В. Б. Оптимальное управление при случайных возмущениях. М.: Наука, 1978. -351 с.

73. Чернушевич А. С. Минимизация квадратичных функционалов на траекториях линейной дискретной системы. Минск, 1986. — 21 с. — (Препринт. / Ин-т математики АН БССР, № 31 (267)).

74. Antosiewicz Н.А. Linear control systems // Arch. Rational Mech. and Anal., 1963, V.12.N.4, p.313−324.

75. Bell D.J., Jacobson D.H. Singular optimal control problems.- London New York — SanFrancisco: Academic Press, 1975. — 190 p.

76. Berkovitz L.D. Variational methods in problems of control and programming.//J. Math. Anal, and Appl., 1961, v.3,N.l, p. 145−169.

77. Jnevko S.V. A numerical method for solving the linear time optimal control problem // Int. J. Control, 1986, v.44, N. 1, p.251−258.

78. Halkin H. A maximum principle of the Pontryagin type for systems described by nonlinear difference equations. // SIAM J. Control, 1966, v.4, p. 90-iil.

79. Hestenes M.R. Calculus of Variations and Optimal Control theory. New Yorki John Wiley, 1966.

80. Hopkin A.M. A phase plane approach to the compensationof saturating servo-mechanisms // Trans. AIEE, v.70, N.3, 1951.

81. Kupka I. Geometric theory of extremals in optimal control problems: I The fold and Maxwell case // Trans. Amer. Math. Soc., 1987, v.299, N. i, p.225−243.

82. La Salle J.P. The time optimal control problem. Contributions to the theory of nonlinear ossi1lations. Princeton Univ. Press. Princeton New Jersey, 1960.

83. Marchal C. Chattering Arcs and Chattering Controls // JOTA, 1973, v.11, p.441−467.

84. Neustadt L.W. An abstract variational theory with applications to a broad class of optimization problems I. General theory // J. SIAM Control, v.4, N.3, 1966, p.505−527.

85. Neustadt L.W. An abstract variational theory with applications to a broad class of optimization problems II. Applications // J. SIAM Control, v.5, N. l, 1967, p.90−137.

86. Robbins H. Junction Phenomena for Optimal Control with State-Variable Ineguality Constraints of Third Order // JOTA, 1980, v.31, N. l, P.85−99.

87. Давранов Б. Э. Необходимые условия оптимальности в одной линейно-квадратичной задаче оптимального управления // Тезисы докл. УН Всесоюзя. конф. «Управление в механических системах». Свердловск. — 1990. — С. 12.

88. Давранов Б. Э. Об одной проблеме, возникающей при решении задачи минимизации среднеквадратичной ошибки. В сб. «Вопросы аналитической и качественной теории дифференциальных уравнений и их приложения», Труды СамГУ. — 1991. — С. 62−70.

89. Давранов Б. Э. Одна задача оптимального управления колебательным движением // Тезисы докл. Респ. конф. молодых ученых и специалистов «Применение информатики и вычислительной техники при решении народнохозяйственных задач». Минск. — 1989. — С. 65.

90. Давранов Б. Э. Оптимизация линейных динамических систем по квадратичному критерию качества в классе релейных управлений // ДАН УзССР. 1990. — № 12. — С. 7−9.