Исследование квазистатического поведения одномерных тел

Актуальность темы

Исследование поведения изучаемого объекта, находящегося под внешним воздействием, обычно проводится для некоторых частных случаев изменения внешних воздействий во времени. Например, предполагается, что за счет медленности изменения во времени этих воздействий можно достичь сколь угодно медленного изменения во времени исследуемого процесса, т. е. предполагается непрерывная зависимость скорости изменения характеристики, описывающей поведение рассматриваемого объекта, от скорости изменения внешних нагрузок.

Настоящая работа посвящена изучению квазистатического поведения одномерных тел при медленном изменении внешнего воздействия, т. е. исследованию возможности осуществления квазистатического процесса. Фундаментальные основы этого направления содержатся в трудах по исследованию устойчивости в задачах МСС на основе различных статических критериев. Исследование подобных проблем было начато еще в XVIII веке JI. Эйлером и продол: жено Ж. Л. Лагранжем, Г. Кирхгофом и другими крупными математиками и механиками. В конце XIX — начале XX века развитие промышленности послужило поводом усиленной разработке практических аспектов теории упругой устойчивости. К указанному периоду относятся работы С. Ф. Ясинского [67], И. Г. Бубнова, С. П. Тимошенко [56]. Исследованием криволинейных стержней занимались E.JI. Николаи [49], А. Н. Динник [26], Г. Ю. Джанелидзе [25] и др. В ряде работ подробно изучались пространственные формы потери устойчивости с учетом поведения нагрузки в процессе потери устойчивости (А.А. Петропавловский, В. В. Холчев и др.). В работах В. З. Власова разработана общая теория тонкостенных прямолинейных стержней, подробно изучены изгибно-крутильные формы потери устойчивости и т. д. Его работы были продолжены И. Ф. Образцовым, В. И. Реутом, В. В. Мещеряковым и др. Исследования, связанные с деформацией стержней после потери устойчивости содержатся в работах Е. П. Попова [51], в которых введена классификация форм равновесия гибких стержней, имеющих первоначально прямую или круговую оси и предложены эффективные методы отыскания этих форм. Применение динамического подхода также связано с трудами Г. Циглера [64], В.В. Болотииа[9], А. И. Лурье, М. Я. Леонова и др. В работах К. Н. Гопака, В. И. Феодосьева [60] проведен анализ задачи и действии следящей силы на свободный стержень, к которым статическая постановка не применима. А. А. Ильюшин отвел значительное место в [33] задачам об устойчивости стержней за пределами упругости. Вопросы об устойчивости различных конструкций рассмотрены в книге К. Бицено и Р. Граммеля.

6]. В [13] отражены основные методы, которые имеют наибольшее практическое значение. Развитие исследований в этом направлении связано именами Алимжанова М. Т., Аннина Б. Д., Быковцева Г. И., Вольмира А. С., Гузя А. Н., Ершова JI.B., Ивлева Д. Д., Ильюшина А. А., Ишлинского А. Ю., Качанова JI.M., Клюшникова В. Д., Работ-нова Ю. Н., Спорыхина А. Н., Циглера Г., Шашкина А. И. и др. Также к работам по этой тематике можно отнести некоторые результаты теории катастроф (Гилмор Р., Голубицкий М. и др.), в которых исследование непрерывности зависимости от исходных данных проводится для автономных градиентных динамических систем на основе анализа свойств потенциальной функции. В приведенных работах внешнее воздействие или одно или на некоторой стадии решения вводится параметр нагружения, связывающий независимые до этого внешние воздействия. В связи с этим актуальным представляется дальнейшее развитие методов исследования существования квазистатического состояния различных механических систем.

Цель работы. Развитие методов исследования существования квазистатического процесса для одномерных тел при независимых внешних воздействиях. Определение областей квазистатического поведения некоторых дискретных стержневых систем и систем с распределенными параметрами при комбинированном нагружении.

Достижение указанной цели осуществляется посредством решения следующих задач:

1. Сформулировать условия, на основе которых возможно квазистатическое деформирование стержневых систем при комбинированном нагружении. В качестве математических моделей соответствующего процесса рассматриваются обыкновенные дифференциальные уравнения и вариационная задача для функционала интегрального вида.

2. Провести анализ полученных условий для случая консервативных и неконсервативных систем.

3. Используя полученные результаты, в пространстве параметров внешних воздействий найти области существования квазистатического поведения жестких и упругих стержней под действием нагрузок фиксированного направления, следящей силы и их комбинации.

Научная новизна состоит в том, что показано, что в случае потенциального внешнего воздействия условия существования квазистатического процесса совпадают с условиями теоремы о неявных функцияхвсе исследования проводились для независимых параметров внешних воздействийпри изучении учитывались начальные прогибы стержней и неоднородности материала.

На защиту выносятся:

• условия существования квазистатического процесса деформируемой консервативной системы, описываемого решением обыкновенного дифференциального уравнения или вариационной задачи при любых начальных условиях;

• области, полученные в результате исследования, в пределах которых решения, описывающие поведение стержневых систем с потенциальным воздействием в рамках статики, имеют физический смысл;

• ограничения, накладываемые на параметры внешних воздействий для неконсервативных систем, при нарушении которых квазистатическое деформирование невозможно.

Практическое значение. Полученные результаты могут быть использованы при проведении исследований на основе математических моделей одномерных деформированных твердых тел, расчете различных стержневых систем, а также при конструировании зданий, строительных сооружений.

Достоверность. Полученные условия существования квазистатического процесса являются следствием частного случая известной классической теоремы функционального анализа. Достоверность полученных автором результатов подтверждается использованием апробированных моделей механики сплошных сред и сопоставлением этих результатов с уже известными.

Апробация. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на.

• V Всероссийской конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи». Самара, 2008;

• Международной конференции по Математической теории управления и механике. Суздаль, 2009;

• Международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики». Воронеж, 2009;

• ежегодных отчетных научных конференциях ВГУ. Воронеж, 2007;2009;

• научных семинарах кафедры теоретической и прикладной механики ВГУ, 2007;2009.

Публикации. Основные результаты диссертации отражены в работах [18−23].

Кратко остановимся на вопросах, рассматриваемых в диссертационной работе и ее структуре.

В первой главе рассматривается проблема исследования существования квазистатического процесса, описываемого решением системы дифференциальных уравнений, записанной в матричной форме, приведено соответствующее определение. Показано, что разбиение характеристики поведения объекта на статическую и динамическую составляющие позволяет получить достаточное условие существования квазистатического процесса, которое совпало с условием устойчивости.

Во второй главе проведено исследование проблемы существования квазистатического процесса для дискретных систем на основе математической модели, т. е. системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведен анализ способов изучения квазистатического поведения консервативных и неконсервативных систем (потенциальные и непотенциальные внешние силы). Отмечено, что в том случае, когда на деформируемую систему действуют только силы постоянного направления, исследование области существования квазистатического процесса можно проводить в рамках статики. На основе приведенных математического определения и теоремы, показано, что из выполнения условий теоремы о неявных функциях для задачи статики находится верхняя граница области существования квазистатического процесса. Она будет и нижней для сил постоянного направления. Рассмотрены несколько примеров поведения дискретных стержневых систем.

В третьей главе получено, что выполнение условий теоремы о неявных функциях для задач статики является условием возможности квазистатического поведения системы с распределенными параметрами. Сформулированы теоремы о неявных функциях для задач статики в виде обыкновенных дифференциальных уравнений и в виде вариационной задачи для функционала интегрального вида, зависящего от функции одной переменной. Используя эти результаты, найдены области существования квазистатического поведения упругих стержней. Рассматривался только один вид квазистатического процесса, который начинается из положения покоя при отсутствии внешних сил. Для сил постоянного направления исследования проводились на основе математических моделей в виде дифференциальных уравнений и вариационных задач.

Рассмотрен квазистатический продольный изгиб консольного невесомого стержня с сосредоточенной на конце массой, находящийся под действием двух сил, одна из которых — следящая.

§ 3. Выводы.

В четвертой главе получены следующие основные результаты:

1. Получены условия, которые можно использовать при нахождении области существования квазистатического процесса, соответствующего решению вариационной задачи, при потенциальном внешнем воздействии на систему.

2. Для однородного консольного стержня постоянного сечения, находящегося под действием распределенной нагрузки и сосредоточенных сил, в пространстве параметров внешних воздействий найдена статически особая кривая, определяющая границу области квазистатического процесса.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

В заключении перечислим основные результаты и выводы, полученные в работе:

1. Получено, что условие существования квазистатического процесса в смысле сформулированного определения при изменении внешнего воздействия в некоторых пределах сводится к исследованию попадания в этот интервал статически особых точек при условии асимптотической устойчивости тривиального решения уравнения (8).

2. Показано, что при потенциальном внешнем воздействии исследование существования квазистатического процесса сводится к исследованию непрерывной зависимости решения от характеристик объекта. Если внешние силы непотенциальны, то условия непрерывной зависимости будут определять верхнюю границу области существования квазистатического поведения.

3. В случае, когда изучение поведения стержневой системы проводится на основе математической модели в виде обыкновенного дифференциального уравнения или вариационной задачи получены условия, которые являются достаточными для исследования квазистатического процесса при потенциальном внешнем воздействии.

4. Применяя эти критерии, найдены области существования квазистатического процесса, соответствующего некоторым решениям поставленных задач деформирования дискретных систем и систем с распределенными параметрами, находящихся под действием сил фиксированного направления. При пересечении траекторией нагружения полученных линий происходит смена квазистатического процесса на другой, описываемый некоторым решением исходной нелинейной задачи. В случае линейных моделей эти кривые ограничивают область применения уравнений статики.

5. Показано, что особые значения внешних воздействий, определенные на основе статического критерия и в результате изучения асимптотической устойчивости решения уравнения (8) при потенциальных силах одинаковы.

6. При исследовании поведения стержневых систем, находящихся под действием следящих сил, в пространстве параметров внешних нагрузок найдена область, за пределами которой квазистатическое деформирование невозможно.