Глобальная разрешимость краевых задач для квазилинейных неравномерно параболических и эллиптических уравнений

Уравнения в частных производных первого и второго порядков лежат в основе математических моделей самых разнообразных явлений в механике, физике, гидродинамике, биологии и других областях знаний. Например, квазилинейное параболическое уравнение описывает нестационарные процессы теплопроводности, движения жидкостей и газов, оно возникает при математическом моделировании процессов химической кинетики, пограничного слоя, процессов роста и сосуществования популяций и т. п. Такое широкое распространение этих уравнений объясняется тем, что выводятся они из фундаментальных законов сохранения (материи, импульса, энергии).

В настоящей диссертации рассматриваются квазилинейные эллиптические, параболические и ультрапараболические уравнения второго порядка, а также уравнения Гамильтона-Якоби.

Параболическим и эллиптическим уравнениям второго порядка посвящено огромное количество статей и книг. Упомянем лишь некоторые наиболее известные монографии. По параболическим уравнениям — это книги О. А. Ладыженской, В. А. Солонникова, Н. Н. Уральцевой [44], В.С.Белоносо-ва, Т. И. Зеленяка [7] и, сравнительно недавно вышедшая, книга Г. Либерма-на [54], по эллиптическим уравнениям книги О. А. Ладыженской, Н. Н. Уральцевой [45] и Д. Гилбарга, Н. Трудингера [14]. Также отметим монографию Н. В. Крылова [40] по нелинейным параболическим и эллиптическим уравнениям.

Уравнениям Гамильтона-Якоби также посвящено большое число публикаций, упомянем монографии А. И. Субботина [64], П.-Л.Лионса [55] и Г. Барлеса [8].

Ультрапараболические уравнения изучены значительно хуже, поэтому остановимся на них несколько подробнее. Такие уравнения описывают нестационарные процессы переноса (тепла, массы, импульса), когда в одном направлении конвекция существенно превосходит диффузию и членом, отвечающим за диффузию в этом направлении, можно пренебречь. Впервые ультрапараболические уравнения были введены А. Н. Колмогоровым [43] для описания некоторых диффузионных процессов (см. также [44]). Ультрапараболические уравнения возникают также в теории теплопередачи в движущейся среде при большом числе Пекле. Рассмотрим течение в трубе радиуса R. Известно (см. [49, параграф 35]), что если число Пекле Ре = RePr (здесь Re — число Рейнольдса, а Рг — число Прандт-ля) велико по сравнению с 1, тогда конвективный перенос тепла в продольном направлении х существенно превосходит молекулярный перенос (диффузию) и членом ихх можно пренебречь. Если трактовать и как концентрацию смеси, то член ихх (продольная диффузия) пренебрежимо мал при условии, что коэффициент диффузии мал по сравнению с aR, где асредняя по у скорость в направлении х (см. [49, параграф 21]).

Ультрапараболические уравнения возникают при изучении нестационарного пограничного слоя (см. [53], [80]), где вдоль обтекаемого тела диффузия пренебрежимо мала в сравнении с конвекцией. Такие уравнения описывают динамику развития популяции с учетом возраста как независимой переменной [38]. Также эти уравнения описывают процесс рассеивания электронов (см., например, [89]), где возникает уравнение Фоккера-Планка.

Интересно отметить следующий факт. Асимптотическое поведение положительного решения задачи Коши для параболического уравнения ut + (uq)x = ихх + иуу, 1 < <7 < § дается в терминах решения ультрапараболического уравнения щ + (ич)х = иуу (см. [26] - [28]). Таким образом, эффект диффузии в направлении х для больших значений времени «исчезает» .

Бблыиая часть диссертации (главы 1−5) посвящена вопросу глобальной классической разрешимости краевых задач для квазилинейных неравномерно параболических и эллиптических уравнений. Ультрапараболическим уравнениям посвящена заключительная, шестая, глава.

Хорошо известны классические результаты Шаудера-Каччиопполли о разрешимости краевых задач в пространствах Гельдера С2+а для линейных строго эллиптических уравнений с коэффициентами и правой частью из Са. Они гарантируют разрешимость краевых задач для уравнений, коэффициенты и правая часть которых — непрерывные по Гельдеру функции. Эти результаты неулучшаемы и все предположения в них вызваны существом дела. Аналогичная ситуация имеет место и для линейных параболических уравнений. Отметим здесь следующий результат М. Д. Ивановича: Как известно, просто непрерывности коэффициентов и правой части уравнения не достаточно для ограниченности вторых производных решения. В [25], [26] было показано, что если в линейном параболическом (или эллиптическом) уравнении модуль непрерывности коэффициентов и правой части удовлетворяет условию Дини, то старшие производные также равномерно непрерывны, но с «худшим» (не удовлетворяющем условию Дини) модулем непрерывности. С. Н. Кружковым [36] было показано, что для любого заданного модуля непрерывности, не удовлетворяющего условию Дини, можно указать пример линейного уравнения, один из коэффициентов (или правая часть) которого имеет заданный модуль непрерывности (остальные коэффициенты можно полагать равными константе) и которое имеет решение с неограниченными старшими производными.

В отличие от линейных задач существование глобального решения в квазилинейном случае не является простым следствием гладкости данных задачи. Принципиальную роль здесь играет характер нелинейности. Остановимся на параболических уравнениях. В зависимости от характера нелинейности классическое решение может либо существовать для любых значении времени (глобальное решение), либо разрушаться за конечный промежуток времени (локальное решение). Под разрушением решения мы понимаем обращение в бесконечность максимума модуля решения или максимума модуля градиента решения. Причем при разрушении градиента решения само решение может оставаться ограниченным. Кроме того, вообще говоря, для доказательства глобальной разрешимости в квазилинейном случае приходится требовать непрерывной дифференцируемости коэффициентов и правой части уравнения. Отметим, что локальная разрешимость краевых задач и задачи Коши для квазилинейных параболических уравнений имеет место без каких-либо существенных ограничений на характер нелинейности (см., например, [54], [ 63]). Аналогичная ситуация имеет место и для квазилинейных эллиптических уравнений. Здесь под глобальной разрешимостью подразумеваем разрешимость краевых задач без условий на малость области.

Одной из основных задач диссертации является обобщение известных результатов, гарантирующих глобальную разрешимость краевых задач для квазилинейных уравнений.

Как известно, различные теоремы функционального анализа о непоI движной точке сводят вопрос о разрешимости краевых задач к получению априорной оценки в подходящей норме. Т. е. необходимо переформулировать нашу задачу в терминах отображения Т подходящего банахова пространства В в себя так, чтобы неподвижная точка и отображения Т (т. е. и = Ти) была решением этой задачи. Мы будем пользоваться теоремой Лерэ — Шаудёра [51], а точнее, ее частным случаем (см. [14], теорема 11.3). Для удобства дадим формулировку этого частного случая.

ТЕОРЕМА. Пусть Т — компактное отображение банахова пространства В в себя. Предположим, что существует постоянная С такая, что для всех, и G В и A G [0,1], удовлетворяющих уравнению и — ХТи, справедливо неравенство.

1) Мв<�С.

Тогда отображение Т имеет неподвижную точку.

В данной теореме неравенство (1) и есть требуемая априорная оценка. Априорная оценка — это оценка всех возможных решений задачи, в предположении их существования, через данные этой задачи. Под данными задачи понимаются коэффициенты уравнения, его правая часть, начальные и краевые условия, а также область, в которой ищется решение. В настоящее время не существует общего метода получения априорных оценок. Основными инструментами являются принцип максимума и метод домножения уравнения, которое мы решаем, на линейные комбинации неизвестных функций и последующего интегрирования по частям.

Априорные оценки не только являются средством, при помощи которого доказывается разрешимость задачи, но и представляют самостоятельный интерес, поскольку возможность получить оценку какой-либо нормы решения, не находя решение в явном виде и даже не доказывая его существование, несомненно важна для приложений, особенно если константа в оценке находится явно (как, например, в принципе максимума).

Общая процедура получения требуемой в теореме Лерэ — Шаудера априорной оценки решения u (t, х) является четырехшаговым процессом, состоящим из последовательных оценок следующих величин:

I) sup |u (?, x)| во всей области,.

И) sup|Vu (?, х)| на границе области (в случае задачи Дирихле),.

III) sup |Vu (?, x)| во всей области,.

IV) оценка |Vu (?, x)| в норме пространства Са во всей области. Каждая из этих оценок использует предыдущую, а последняя оценка используется в доказательстве существования решения, основанном на теореме Лерэ-Шаудера, где в качестве пространства В берется пространство cl+a.

Остановимся подробнее на этих шагах. Существует ряд достаточных условий, обеспечивающих ограниченность максимума модуля решения как для неравномерно, так и для равномерно параболических и эллиптических уравнений, (см., например, [14], [44], [45], [54], [71]). Сформулируем два наиболее часто встречающихся в литературе условия, каждое из которых обеспечивает глобальную ограниченность решения. Рассмотрим задачу Дирихле:

2) щ = Oij{t, х, и, Vu) uXiXj + /(*, х, и, Vu) в QT = (О, Т) х Q, П с Rn,.

3) и (0,х) = ф (х) в Q, и =x (s), ST = (0,T)xdn,.

Sx где aij > 0. Если выполнено одно из следующих двух условий: ¦

4) uf (t, х, и, 0) < аи2 + «г при (t, х, и) G Qt х R, либо.

5) х, ц, р)| < + *2) при (*, x, u, p) eQrxR^ где ai, OL2 — положительные постоянные, то решение задачи (2),(3) ограничено в Qt при всех Т > 0.

Отметим, что ни одно из этих условии не обеспечивает ограниченность решения задачи Дирихле, например, для уравнения (2) с f (t, х, и, р) = -Ci{t, x) pi + um + fo{t, x) :

6) ut + ci (t, x) wXi = Ki (t, x.)uXiXi + Лum + fo (t, x), m > 1 ни при каких значениях /Ci>0,A>0HCj.

Хорошо известно (см., например, [61], [52]), что решение задачи Дирихле для уравнения щ = Аи + А ит, где постоянная Л > 0, a га > 1, вообще говоря, разрушается за конечный промежуток времени. Т. е. существует t* (0 < t* < +00) такое, что max|u (?, x*)| —" +00 при t~—> t* по крайней мере для одной точки х*. Задача (6), (3) изучалась в [2], [7], [53], где были рассмотрены различные случаи разрушения решения за конечный промежуток времени. М. Шипо и Ф. Вейсслер в [19] рассмотрели уравнение щ + /4Vu|r = Аи 4- Аит, ii = const > О с целью исследовать влияние члена | Vu|r на поведение решения задачи Дирихле. Затем последовали публикации ряда авторов (М.Члебик, М. Фила, П. Куитнер, Б. Каволь, Л. Пелетье, Ф. Супле, Ф. Вейсслер [20], [29], [42], [68], [69], [75] - [77] и др.) посвященных этому уравнению, где основной целью было определить для каких гит решение может разрушиться за конечный промежуток времени, а для каких существует глобальная оценка решения. Главным результатом этих исследований стало установление следующего факта: если т < г, то положительное решение остаётся ограниченным для всех значений t > 0, разрушение решения может наступать лишь в случае тп> г.

Отметим, что в случае задачи Дирихле для эллиптического уравнения условия, аналогичные условиям (4) и (5), выглядят следующим образом:

4)* гг/(х, щ 0) < 0 при (х, и) в Q х R,.

5у |/(х, ц, р)| < + при (х, и, р) е Q х Rn+1.

Второй шаг — получение граничной оценки градиента. Именно здесь проявляется принципиальное отличие неравномерно параболических и эллиптических уравнений от равномерно параболических и эллиптических. Напомним, что уравнение (2) называется равномерно параболическим, если отношение.

Л (?, х, ц, р) A (t, x, u, p) ограничено в Qt х Rn+1. Здесь.

О < А (?, х, и, р)|£|2 < p) tej< A (f, x,.

Для равномерно параболических и эллиптических уравнений граничная оценка получается для широкого класса областей с единственным ограничением на структуру оператора — выполнение условия Бернштейна. В случае неравномерно эллиптических уравнений такая оценка имеет место лишь при дополнительных ограничениях на геометрию границы, а именно для областей с неотрицательной средней кривизной границы (критерий Дженкинса — Серрина [39]). В двумерном случае это условие означает выпуклость области. Для областей с положительной средней кривизной границы (невыпуклых, в двумерном случае) можно подобрать краевое условие (причем сколь угодно гладкое) так, что решение существовать не будет. Фактически решение само определяет свое поведение на границе. Аналогичные результаты имеют место и для неравномерно параболических уравнений (см. [54]). В этом смысле неравномерно параболические и эллиптические уравнения сродни вырождающимся линейным уравнениям, где в определенных случаях часть границы освобождается от краевого условия, поскольку решение само вырабатывает краевое значение (см., например, монографию О. А. Олейник и Е. И. Радкевича [55] по линейным вырождающимся уравнениям). Обычно граничная оценка получается на основе теорем сравнения построением подходящих барьеров. Этот подход был заложен в пионерских работах российского математика С. Н. Бернштейна в начале прошлого века [10] - [12] (см. также [8])..

Методы получения оценки в третьем шаге также восходят к С.Н.Берн-штейну. Уравнение дифференцируется по пространственным переменным Xkt к = получающиеся уравнения умножаются на иХк и суммируются по Итоговое уравнение записывается для функции v = |Vu|2, либо для вспомогательной функции w = w (v). Затем оценка получается на основе принципа максимума с учетом полученной граничной оценки. Таким образом, приходится требовать дифференцируемость коэффициентов и правой части уравнения. В этом заключается еще одно отличие от линейных уравнений, где для получения классического решения требуется лишь гельдеровость коэффициентов и правой части. Кроме того, в силу нелинейности появляется ряд ограничении на производные коэффициентов и правой части. Этот подход был развит О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой [44] - [48]..

По многомерным квазилинейным эллиптическим и параболическим уравнениям отметим результаты Д. Е. Апушинской и А. И. Назарова [2], А.А.Архи-повой [3], И. Я. Бакельмана [4], М. П. Вишневского, Т. И. Зеленякаи М.М.Лаврентьева [10], А. В. Иванова [23], [24], Н. М. Ивочкиной и А. П. Осколкова [28], Л. И. Камынина и Б. Н. Химченко [33], О. А. Олейник и С. Н. Кружкова [54], Н. В. Крылова [38], Д. Серрина [72], Г. Либермана [54], а также Н. Трудингера [88]..

Глобальная оценка модуля градиента решения является основной в том смысле, что после ее получения существование решения краевых задач доказывается без дополнительных предположений о структуре уравнения. Как при оценке градиента на границе, так и при получении глобальной оценки необходимо требовать выполнения условия Бернштейна. Напомним, что условием Берншнейна или Бернштейна — Нагумо называется условие на структуру нелинейного оператора, ограничивающее рост по градиенту. Оно заключается в том, что скорость роста функции /(?, х, u, р) по р при |р| —> +оо не должна превышать скорость роста главной части уравнения по р более чем на |р|2. Исторически условие Бернштейна возникло при изучении краевых задач для уравнения у" х) ='f (x, y (x), i/(x)) при х < i..

С.Н.Бернштейн [10] сформулировал условия, обеспечивающие априорную оценку max|y'(a-)|: f{x, y, p) < A (x, y) p2 + B (x, y), где A{x, у) и B (x, у) — ограниченные на множестве [—I] x [—M, M] функции. Спустя четверть века М. Нагумо [61] предложил более слабое ограничение.

А.Гранас, Р. Гюнтер и Д. Ли [37] обобщили результат М. Нагумо, ослабив условие на ф :.

По поводу разрешимости краевых задач для обыкновенных уравнений см. также [22], [32]. В. Л. Камынин в [31], [32], изучая квазилинейные параболическиеуравнения с двумя независимыми переменными a (t, x, u, ux) uxx — щ = f (t, x, и, их), где f (t, x, u, p) < a (t, x, u, p) ip (j)), показал, что для разрешимости краевых задач условие Бернштейна может быть заменено следующим: где |u| < М, |иох| < К. Отметим, что аналогичный результат имеет место и для нелинейных параболических уравнений с двумя независимыми переменными [5]. Фактически условие (8) является аналогом условия (7) для параболических уравнений..

В книге В. С. Белоносова и Т. И. Зеленяка [7] оценка максимума модуля градиента решения краевых задач для автономного уравнения.

9) a (x, u, ux)uxx-ut = f (x, u, ux).

7).

8) доказывается посредством построения функционала Ляпунова. Условия на f (x, u, ux) формулируются в терминах продолжимости решений задачи Коши.

10) а (х, у, у')у" = f (x, у, у'), у{х0) = ?/0, = Z/i на весь промежуток изменения х при любых xq, уо, М. М. Лаврентьев [42], изучая задачу Дирихле для уравнения (9), выделил множество начальных данных, при которых задача Дирихле разрешима для всех t > 0 без предположения о возможности продолжения решений задачи Коши (10) на весь отрезок изменения переменной х или, другими словами, без предположения о скорости роста отношения f (x, y, p)/a (x, y, p) по р..

Отметим следующий факт. Известно (см., например, [3]), что для уравнения.

Аи = /(х, и, Vn) в случае непрерывной функции /(х, и, р) выполнения условия Бернштейна достаточно для того, чтобы из оценки max |u| вытекала оценка max |V"|. С. И. Похожаев [58] показал, что если вместо непрерывности функции / потребовать выполнение более слабого условия: / € Lq (Cl), q > п при и? Wq (Q), Cl С Rn, то условие Бернштейна уже не будет достаточным для получения оценки max|Vw| из оценки max|it|. В [58] сформулировано условие на рост функции /(х, w, р) по р, при котором оценка max|u| влечет оценку max |Vw|. Это условие зависит от q и переходит в условие Бернштейна при q = +оо..

Последний шаг — получение оценки градиента решения в норме пространства Са — также требует дифференцируемость коэффициентов уравнения, но не требует дифференцируемости правой части. Здесь основные результаты были получены О. А. Ладыженской и Н. Н. Уральцевой [45] - [47] и Н. В. Крыловым [39], [40]..

Особое положение занимают уравнения с двумя независимыми переменными. В случае эллиптических уравнений это обусловлено существованием методов, работающих исключительно в двумерном случае, результаты получаемые этими методами присущи только уравнениям с двумя независимыми переменными и не имеют аналогов для уравнений с числом переменных большим двух. В первую очередь следует упомянуть метод квазиконформных отображений, который сравнительно легко дает априорную оценку в норме для (квазилинейных) равномерно эллиптических уравнений [31], [65]. Отметим здесь, что априорная оценка в С1+а решения квазилинейных равномерно эллиптических уравнений с двумя независимыми переменными зависит лишь от постоянной эллиптичности и верхних граней модулей коэффициентов, и получается эта оценка без каких-либо предположений о гладкости коэффициентов и правой части уравнения. Упомянем также геометрический метод, основанный на свойствах касательных плоскостей для седловых поверхностей. Из этих свойств следует существование априорной оценки в С1 для решений как равномерно, так и неравномерно эллиптических уравнений вида а (х, у, иуих, иу) ихх + 2b (x, у, и, иХ1 иу) иху + с (х, у, и, их, иу) иуу = О в предположении выпуклости области [64]..

По многомерным уравнениям следует также отметить результат, принадлежащий О. Кордесу [23]. Для квазилинейных равномерно эллиптических уравнений имеет место априорная оценка решения в норме С1+а, не зависящая от гладкости коэффициентов и правой части уравнения, если выполнено условие Кордеса, которое заключается в том, что предполагается малый разброс собственных чисел матрицы старших коэффициентов..

В 60-х годах С. Н. Кружков [34] предложил метод введения дополнительной пространственной переменной для исследования квазилинейных параболических уравнений с одной пространственной переменной (см., также,.

35]). При помощи этого метода им была получена априорная оценка решения в С1+а без предположения о гладкости коэффициентов и правой части уравнения. Единственным структурным ограничением было условие Берн-штейна. На основе этой оценки Кружковым была доказана разрешимость краевых задач при минимальных, соответствующих линейному случаю, предположениях о гладкости коэффициентов. Вопрос о возможности построения классического решения без предположения дифференцируемое&tradeкоэффициентов в многомерном случае остался открытым..

Значительная часть настоящей диссертации (главы 2 — 5) посвящена модификации метода Кружкова с целью ослабления структурных ограничений, гарантирующих классическую разрешимость краевых задач, и распространения этого метода на многомерные уравнения..

В последнее время появилось значительное число работ, посвященных ультрапараболическим уравнениям, где изучаются различные свойства решений таких уравнений. Среди них статьи В. С. Владимирова и Ю.Н.Дрож-жинова [12], С. Д. Ивасишена, Л. М. Тычинской и С. Д. Эйдельмана [27], A.M. Ильина [29], .С. Г. Пяткова [60], С. А. Терсенова [71] - [73], Д. Р. Ахметова, М. М. Лаврентьева и Р. Шпиглера [1], М. Эскобедо, Х. Васкеса и Е. Зуазуа [27], Н. Гарофало и Е. Ланконелли [34], Ф. Ласчиалфари, Д. Морбиделли [49], М. Манфредини [57], С. Полидоро и М. Рагуса [67] (см. также [13], [16], [18], [19], [43], [51], [56], [62], [76], [79], [14], [48], [58], [60], [66], [78]). В то же время вопросу разрешимости краевых задач посвящено сравнительно немного статей. Для коэффициента ci, зависящего лишь от t и х и / = f (t, x, y), разрешимость краевых задач следует из [73], в случае, когда с = Ъх + 622/, где &i, 62 — постоянные, разрешимость задачи Дирихле доказана в [49], [57]..

Перейдем к краткому изложению содержания диссертации. Первая глава посвящена оценке максимума модуля классического решения задачи.

Дирихле для квазилинейных параболических и эллиптических уравнений. В первом параграфе исследуется влияние градиентного члена на поведение решения. Рассмотрены уравнения.

И) ut + Ci{t, yL) v%. = е&и + ит + /(£, х), в Qt = х (0,Т), Q с Rn и.

12) ut + c (?, x)|Vur = eAu+Aum + /(t, x), bQt = Qx{0,T), ficR" с условиями.

13) u (0,x) = 1Хо (х), и = 0, ST = d? lx (0,T)..

Sx.

Отметим, что проблема глобальной разрешимости задач (11), (13) и (12), (13) при гладких с*, с, / и Т{ < 2, г < 2 эквивалентна установлению глобальной ограниченности решения. Полагаем, не ограничивая общности, что область О, лежит в полосе —l < х < li, кроме того предполагаем, что |woit (x)| < К. Для простоты изложения сформулируем здесь результат в случае f (t, x) = 0. Остановимся сначала на задаче (11), (13). Если ci (i, x) > (2l1)mK?-ri либо d (t, x) < -X (2l1)mK]n-ri, то VT > 0 имеет место оценка.

К*, х)| < 2Кг1г..

Если, дополнительно, г > га, то эта оценка имеет место при с (t, х) > 0 либо ci (t, x) < 0..

Сформулируем теперь результат для задачи (12), (13). Если c (t, x) > (2li)mK™~r, uQ{)>0 и m — четное, то VT > 0 в Qt имеет место оценка.

К*, х)| < 2Kih. 16.

Если, дополнительно, г > т, то эта оценка имеет место при c (t, х) > 0..

Можно дать простую физическую интерпретацию этого результата для гi = 1, г = 1,2,3. Если составляющая скорости хотя бы в одном направлении достаточно велика, то конвективный перенос, приносящий холодное вещество с границы области, превалирует над членом ит (экзотермическая реакция) и не допускает неограниченного роста температурыи. Отметим также, что в [75] краевая задача (12), (13) была предложена в качестве модели для описания динамики развития популяций..

Второй параграф главы 1 посвящен стационарному случаю. Получены аналогичные результаты. Приведем одно простое следствие. Рассмотрим следующую задачу.

С.И.Похожаевым было показано (см. [57]), что если, а = 0, г = 1, ., п, то существуют нетривиальные решения задачи (14), (15). Из результатов второго параграфа следует, что если с > 0 либо с < 0, то существует лишь тривиальное решение задачи (14), (15)..

Отметим, что как в стационарном, так и. в нестационарном случае источник может иметь более общий. Вместо Хит можно брать функцию Q (u) относительно которой предполагаем, что Q (z) < Q{2lK приz < 21К, в частности Q{u) = еи. В этом случае в условиях на с © вместо.

2lK)mК™~п ((2liKi)mК™~Г1) надо брать Q{2kKl)K™-ri {Q{2llKl).

В третьем параграфе исследуется влияние диффузии на поведение решения. Дадим здесь лишь два следствия общего результата. Рассмотрим уравнение.

14).

Ci (x)uXi = еАи + Хит, в Q, Q С R" ,.

15) и = 0. an.

К™~г)..

16).

Щ = KiUxiXi + Хит в QT..

Предположим, что кг > 31^+1{2К1)т~ тогда для решения задачи (16), (13) верна оценка w (?, x)| < 2Kl Vt> 0. Для решения задачи (17), (13), где п.

17) щ = KiumuXlXl + uXiXi + Лит в QT г'=2 верна следующая оценка u (^, x)| О.

К, А при любом Ki > 0. Здесь также можно дать простую физическую интерпретацию. Чем больше коэффициент теплопроводности (достаточно в одном направлении), тем больше поток тепла через границу, что способствует остыванию и предотвращает неограниченный рост решения..

В четвертом параграфе рассмотрен стационарный случай. Получены аналогичные оценки..

В пятом параграфе приведен ряд примеров. В частности, показано, что если применить результаты третьего параграфа к линейному уравнению.

18) ut ~ dij (t, x) uXiXj +ai (t, x) ux. + a (t, x) u = f (t, x), a (t, x)< inf Гейтах [maxluol, 1У qt ц>а0 L /х —maxaJ/ так и оценка ы <- max{maxl/|, max|ai|} max I и I —-..

Qt mm an.

Заключительный параграф первой главы посвящен вопросу единственности классического решения задачи Дирихле для квазилинейных параболических и эллиптических уравнений. Стандартным условием единственности классического решения является дифференцируемость коэффициентов уравнения по переменным и и Vu (см. [14], [44]). В шестом параграфе показано, что от условия дифференцируемости по Vw можно отказаться. Показано также, что в определенных случаях можно отказаться и от условия дифференцируемости по и. Отметим, что как следует из примеров, построенных в [33] и [59], отказ от условия дифференцируемости по и, вообще говоря, ведет к неединственности решения..

Во второй главе построена теория начально-краевых задач для квазилинейных параболических уравнений с двумя независимыми переменными при наиболее общих предположениях о коэффициентах уравнений..

Рассмотрим уравнение.

19) a (t, x, u, ux) uxx-ut = f (t, x, u, ux) в Qr = Qx (0,T], где a (t, х, и, р)> Ос одним из следующих условий:.

Здесь для краткости изложения ограничимся задачами Дирихле и Неймана, отметим лишь, что в случае третьей краевой задачи результаты аналогичны..

Предположим, что правая часть уравнения (19) может быть записана в виде.

20) и (0, д-) = щ (х), u (t, ±I) = 0,.

21) и (0, х) = uq (X), ux (t, ±Z) = 0..

22) f{t, x, u, p) = fi (t, x, u, p) +f2(t, x, и, p), где функция /2 удовлетворяет следующему условию.

230 f2(t, X, U2,p) ~ /2(?, У, Щ, р) > 0,.

2^, У, «2, -р) — х, иър) > 0 19 для t е [О, Т], —I < у < х < I, —М < щ < U2 < М, р > О. В случае задачи Дирихле дополнительно предполагаем, что.

24) uf2(t, x, u, p)< О при (t, х)? QT, и < М и произвольных р. Относительно функции /i предположим, что.

25) |/i (t, z, u, p)| < a{t, x, u, p№{p) при (t, х) Е Qt, М < М и произвольных р. Здесь € С1(0,+оо) -неубывающая неотрицательная функция, удовлетворяющая следующему ограничению: существуют ро и р такие, что 0 < ро < р < +оо и гр 1 pdp.

26) / ,.. > osciu) = max u — min u..

Jpo 'Ф (Р).

Пусть функция h (г) есть решение следующей задачи: h" + ip (h') = О, Л (0) = 0, h (r0) = osc (u), где rPl dp.

То = '.

Jvn.

РО Ф (РУ.

Нетрудно видеть (см. главу 2, параграф 1), что ро < h' < р. Предположим, что.

27) ' u0(x)-uQ{y).

Если условия (22) — (27) выполнены, тогда градиент ограниченного решения задачи (19), (20) ограничен постоянной, зависящей лишь от ф и osc (u). В случае задачи (19), (21) условие (24) лишнее. Заметим, что условие (27) является условием малости на osc{uq). Если uo (^) — произвольная, удовлетворяющая условию Липшица функция, тогда в условии (26) надо брать ро = К, где |wo (a-) — uo (y) < Кх — у| и предположение (27) будет автоматически выполнено. Таким образом, для произвольной непрерывной по Липшицу функции ио (х) условия (26), (27) эквивалентны следующему: существует р > К такое, что.

28) !kW)^osc{u).

Априорная оценка ux (t, x).

Если f2(t, x, u, p) = 0, то условие (28) фактически совпадает с условием (8). Если fi (t, x, u, p) = 0, тогда для решения задач (19), (20) и (19), (21) выполняется: max|ux (?, a-)| < К. Qt.

Заметим, что условия на функцию /2 никоим образом не связаны с коэффициентом а. Условие (24) в случае, когда /2 = h{t->xiV) и ro < I, может быть заменено следующим:.

291) pf2(t, х, р)> 0 для яG [-/, + т0],.

292) pf2(t, х, р)< 0 для х е [I — т0, /], где р? [—pi, —ро] U po, pi] для некоторых ро > 0 и р > ро, причем условие (29i) гарантирует неразрушение градиента на левой границе, а условие (29г) — на правой..

Отметим, «что выполнения условий (23) достаточно требовать для р > Ро. Кроме того, отметим, что условия (23) гарантируют неразрушение градиента внутри области, тогда как условие (24) (либо (29)) на границе (для задачи Дирихле)..

Приведем несколько примеров, дающих более четкое представление о результатах этой главы..

Рассмотрим следующую задачу: иххщ = {х + 1){их + U/21)3, 21 u{t,—l) = u (t, l) = 0, u (0, x) = zto (x) где uq{x) — гладкая, удовлетворяющая условиям согласования функция. Нетрудно видеть, что максимум модуля решения этой задачи ограничен. Положим fi (t, x, u, p) = 0, тогда в условии (25) можно взять ф = 1, и для любого ро > 0 найдется конечное р > ро такое, что условие (26) будет выполнено. Возьмем ро > U{2.l)~l. Очевидно функция /2 = (х + ½)(р+ U/21)3 при р > ро удовлетворяет соотношениям (23) и, следовательно, разрушение градиента не может наступать внутри области. Более того, если выбрать ро > max{U/2l, osc (u)/l}, то, выбирая р так, чтобы.

Легко видеть, что условие (29i) выполнено и, следовательно, разрушение градиента не может наступать и на левой границе. Таким, образом, если градиент обращается в бесконечность, то это может происходить лишь на правой границе. М: П. Вишневским, Т. И. Зеленяком и М. М. Лаврентьевым в [11] было, в частности, показано, что в случае U = 7г/2 и I = ½ для любых начальных данных^о имеет место разрушение градиента решения при ?, стремящемся к некоторому подходящему значению t* на правой границе (х = 1/-2). Заметим, что единственным решением соответствующей стационарной задачи является функция arcsin (a- 4−½)..

Кроме того, на основе результатов главы 2 можно найти условия на величину U, гарантирующие ограниченность градиента, а именно, (41Д)~1 U < I (подробнее см. параграфа главы 3). Очевидно, при I = ½ и U = 7г/2 это условие не выполнено..

Приведем пример с разрушением градиента во внутренней точке. Расимеем смотрим следующую задачу Дирихле:.

UxxUt = -uuxm~lux, в (0,Т) х (-1,1), и (0, х) = и0(х), u{t, ±1) = ±-А, Wo (±l) = ±-А, где постоянные, А > 0, а т > 2. М. Фила и Г. Либерман в [30] показали, что если, А достаточно велико, а именно,.

30) /ее [А[(т- 2) Г sdsl/{-m-^dy> 2,.

J-A JO то за конечное время градиент решения разрушается во внутренней точке области при любых начальных данных. Отметим, что из [30] не следует, что неравенство / < 2 гарантирует ограниченность градиента. Неравенство (30) можно записать следующим образом (подробнее см. § 4 главы 2): лт/(т-2). 1 + 2/(т — 2) m-2)/2)V (m-2).

Очевидно, при т —* оо получаем неравенство Л > 1 (А стремится к 1 сверху). Таким образом, достаточным условием разрушения градиента при произвольном т является условие, А > 1..

Результаты § 2 главы 2 диссертации гарантируют неразрушение градиента при, А < 1..

В качестве последнего примера возьмем нестационарное уравнение капиллярности:.

Здесь и — профиль поверхности жидкости с постоянным поверхностным натяжением в равномерном поле тяжести. Очевидно, условие Бернштейна для этого уравнения не выполнено, поскольку неравенство f (t, x, u, p) < а (1,х, и, р)ф (р) выполняется с ф (р) = Мк (1 +р2)3/2 (М = max|u|). Если к > 0, то функция /2 = ки (1 Ч-р2)½ удовлетворяет условиям (23) и (24), следовательно, градиент решения как задачи Дирихле, так и задачи.

Неймана ограничен VT > 0. Если же к < 0, то, как показано в [4], за конечный промежуток времени наступает разрушение градиента во внутренней точке области (само решение при этом остается ограниченным). Знак постоянной к зависит от направления действия гравитационного поля. Если к > 0, то поле направлено внутрь, если к < 0, то наружу. Существует ряд других примеров (см. [74], [5], [13], [25], [35], [47]) разрушения градиента при нарушении условия Бернштейна. Во всех этих случая нетрудно видеть, что нарушаются и наши условия..

Содержание второй главы по параграфам выглядит следующим образом. В первом параграфе второй главы получена априорная оценка градиента для второй и третьей краевых задач. Второй параграф посвящен оценке градиента для задачи Дирихле. В третьем параграфе при дополнительном предположении о непрерывности по Гельдеру функций, а и / доказана глобальная разрешимость задачи Дирихле, Неймана, третьей краевой задачи и задачи Коши. В четвертом параграфе приведены примеры глобальной разрешимости краевых задач для уравнений, не удовлетворяющих условию Бернштейна. В пятом параграфе рассмотрен пример вырождающегося уравнения, возникающего, в частности, в теории неньютоновских жидкостей. Кроме того, рассмотрено уравнение движения поверхности с заданной средней кривизной и, в частности, нестационарное уравнение капиллярности. Заключительный, шестой параграф, посвящен вопросу о поведении решения при неограниченном возрастании времени..

Подход, предложенный в данной главе, легко переносится на обыкновенное уравнение у" {х) = f (x, y (x), y'(x))..

Главы 3 — 5 посвящены распространению результатов второй главы на многомерные задачи..

В третьей главе рассмотрен класс многомерных задач, допускающих существование радиально симметричных решений. Рассматривается уравнение.

31) г Л и — ut = f (t, x, u, v^) в Kr, где KR = (О, Г) х Вд> £д = {х: |х| < R} С Rn, х = (xi,., xn), Vw = (uXl,., wXn), a? — положительная константа, с одним из следующих краевых условий: ди.

32) и 0 либо ^.

5л (772 0 либо + о (t, и) sR on.

SR 0, где 5д = (0, Т) х сШд, а под понимаем производную по внешней нормали к Sr и начальным условием.

33) гг (0,х) = и0(|х|) для x€Br, где |ио (|х|)| < К. Предполагаем, что функция f (t, x, u, р) определена при (t, х) G .Кд и всех (и, р) и принимает конечные значения для (?, х) G if д и конечных (w, p). Функция a (t, u) определена при t G [0,Т] и любых и. Кроме того, предполагаем, что f (t, х, и, Vw) в переменных (?, г), где г = п х| = (Х)^)½, может быть записана в виде f (t, x, u,/u) = f (t, r, u, ur). i-1.

Например, /•= /(?, |х|, и, | v u|) или f = f (t, |x|, u, x • v^), где x • /u = n.

Xillx. i=1.

В главе 3 доказываются теоремы существования, аналогичные теоремам существования главы 2. Все результаты данной главы для краевых задач без труда переносятся на эллиптические уравнения вида Л и = /(x, W, S/u)..

Уравнение (31) и условия (32) в переменных (t, г) выглядят следующим образом: е (п — 1).

Urr Н—иг — ut = fl (t, r, U, Ur) + f2(t, r, U, Ur) в Qr, где Qr = {(t, r): 0 < t < Т, 0 < г < R}, задача Дирихле принимает вид 0, r=R ur (t, r) =0, u (t, г) г=0 задача Неймана ur{t, r) =0, ur{t, r) r=0 r=R 0, третья краевая задача ur (t, r) =0, ur (t, r) + a (t, u (t, r)) r=0 r=R 0 и начальное условие u (t, r) = u0®..

Заметим, что условие на левой границе ur (t10) = 0 появляется благодаря тому, что мы ищем гладкое радиально симметричное решение. С точки зрения теории вырождающихся уравнений это условие лишнее. Граница г = 0 освобождается от краевого условия, так как решение само вырабатывает значение иг — 0 при г = 0 (подробнее см. уже упоминавшуюся выше монографию [55]). С точки зрения получения априорной оценки градиента фактически показано что наличие сингулярного члена е{п— 1) r~lur «не мешает» применению подхода, изложенного во второй главе..

В четвертой главе рассматриваются краевые задачи и задача Коши для многомерных квазилинейных неравномерно параболических и неравномерно эллиптических уравнений в прямоугольных параллелепипедах. Изложение в основном ведется для параболических уравнений. Подробное изложение для эллиптического случая дается только для двумерного случая, т. к. в двумерном случае имеет место более общий результат..

Первый параграф посвящен доказательству гельдеровости решения уравнения по переменной t с показателем ½ при наличии априорных оценок самого решения и его градиента. Для уравнения с одной пространственной переменной этот результат был получен С. Н. Кружковым [34]. Первоначально aij (t, x., u, Vu) — ut = f (t, x, u, Vu) в [35] гельдеровость по t была получена с неоптимальным показателем (меньше ½). Б. Гилдинг (см. [36]) для линейного уравнения (с одной пространственной переменной) «дотянул» показатель до ½, затем в [34] была получена оценка с оптимальным показателем уже для квазилинейного уравнения. Мы показываем, что подход, предложенный в [34], легко распространяется на многомерные уравнения, где постоянная Гельдера дополнительно зависит от размерности области..

Граничной оценке градиента решения задачи Дирихле посвящен второй параграф. Граничная оценка uXi получена при следующих предположениях о правой части: f (t, x, u, р) = /i (?, x, u, p) + /2(?, x, и, р)..

Функция fi при (£, х) G Qt, |w| < Ми любых р удовлетворяет следующему структурному ограничению где М > 0 — некоторая постоянная, ф{р) > 0 — непрерывно дифференцируемая функция такая, что.

Эти условия гарантируют неразрушение градиента для широкого класса квазилинейных неравномерно парараболических уравнений, не удовлетворяющих условию Бернштейна. Отметим здесь, что в большинстве известных примеров с разрушением градиента разрушение происходит именно на границе области, разрушение градиента внутри области — явление редкое. i (i, x, и, О, О, в, 0,., 0)| < an (t, х, и, 0, .0,р{, 0,., 0ЖЫ), где постоянная К{ определяется из неравенств uO0n, ., Xi-1, Xij Xi+i, ., Xn) — Uq (xi, ., Xi-1,Xi+i, ., Xn) < KiXi — &.

Функция /2(t, x, u, p) удовлетворяет соотношению u/2(i, x, w, 0, ., 0, рг-, 0, ., 0) > 0..

Третий параграф посвящен глобальной оценке градиента для задачи Дирихле, там же сформулирована теорема существования. Для одного класса многомерных задач получена оценка градиента решения без дифференцирования уравнения и, как следствие, без предположения дифференцируемое&tradeкоэффициентов и правой части уравнения. Основное отличие от одномерного случая заключается в том, что здесь приходится требовать независимость старших коэффициентов от части переменных, а именно, dij = aij (t, Xi, Xj, Vu) (an = au (t, Xi, Vu))..

Кроме того, требуется выполнение дополнительных ограничений (см. условия (3.3), (3.11) и (3.15) в главе 4) которые выполнены, если, например, коэффициенты при смешанных производных равны нулю. Условия на правую часть аналогичны условиям, сформулированным во второй главе. Отметим, что здесь также допускается нарушение условия Бернштейна..

В четвертом параграфе рассмотрена третья краевая задача и задача Коши..

В пятом параграфе получена оценка градиента решения в норме пространства Ca/2,a (Qr) (Ca (fi)) для уравнений.

34) Аи-щ = f{t, x, u, Vu), (Аи = f (x, u, Vu))..

Оценка эта является по существу точной и не может быть улучшена без дополнительных условий о характере непрерывности функции /. Уравнения (34), после того как получены оценки на решение и на градиент решения, могут быть рассмотрены как линейные уравнения с ограниченной правой частью. В одномерном случае для квазилинейных параболических уравнений эта оценка была получена С. Н. Кружковым сведением к уравнению дивергентного вида большей размерности, к которому применима теорема Нэша — Де Джорджи [24], [63]. Подобный результат другим методом был получен в [15], [16]..

В шестом параграфе приводится ряд примеров..

В седьмом параграфе доказана теорема о несуществовании нетривиальных решений задачи Неймана для одного класса квазилинейных эллиптических уравнений. Приведем один пример. Рассмотрим следующую задачу:.

Предположим, что U < 2 i = 1, ., п. Из результатов седьмого параграфа следует, что если |g (0)| > 1, то задача не имеет решения, если же |<7(0)| < 1, то решениями задачи являются только постоянные С = arcsing{0), в частности, если д (0) = 0, то С = ±7m, п = 1,2,..

Восьмой параграф посвящен эллиптическим уравнениям с двумя независимыми переменными. Специфика двумерного случая позволяет рассматривать уравнения с коэффициентами, зависящими от всех переменных, а условие дифференцируемости коэффициентов можно заменить на условие их непрерывности по Гельдеру..

В заключительном, девятом, параграфе рассмотрено уравнение Гамиль-тона-Якоби: где г > 0 — некоторая постоянная. В начале 80-х годов М. Крендал и П.-Л.Лионс (см., например, [55]) ввели понятие вязкого решения. Было показано, что если из семейства решений u?(t, х) какой-либо краевой задачи или задачи Коши для уравнения (36) можно извлечь. равномерно сходящуюся подпоследовательность, то предел u (t, х) и есть вязкое решение.

Аи +g (Vu) — sinu = 0, в {х: xi < li, i = 1, ., n, }.

35) щ + H{t, х, -u, Vu) = 0 и его параболическая регуляризация:.

36) и + H (t, х, и£, Vu?) = еА if, соответствующей задачи для уравнения (35). При определенных условиях вязкое решение (которое, вообще говоря, есть лишь непрерывная функция) становится липшицевой функцией. Обычно для этого необходимо требовать, чтобы гамильтониан H{t, х, и, р) не зависел от переменной и и Н —> со при |р| —> оо (условие коэрцитивности) (см. [8]). В девятом параграфе показано, что можно получить липшицево непрерывное вязкое решение без предположений коэрцитивности и независимости гамильтониана от переменной и. Отметим, что вязкие решения эквивалентны минимаксным решениям, которые были введены А. И. Субботиным (см. [64])..

В пятой главе рассматриватся задача Дирихле для многомерных квазилинейных неравномерно эллиптических и неравномерно параболических уравнений в одном классе невыпуклых областей. Будем говорить, что область выпукла в направлении координатных осей, если выполнено следующее условие: если две точки, лежащие на прямой, параллельной какой-либо координатной оси, принадлежат области, то и весь отрезок, соединяющий эти две точки, принадлежит области. Ясно, что любая выпуклая область выпукла в направлении координатных осей. Изложение в основном ведется для эллиптических уравнений, а в последнем, четвертом, параграфе вкратце рассматриваются параболические уравнения..

Первый параграф посвящен оценке градиента. Во втором сформулированы теоремы существования и единственности, а также приводятся примеры. В третьем рассмотрен двумерный случай..

Шестая глава посвящена изучению начально краевых задач для следующего ультрапараболического уравнения:.

37) щ + с • Vu = киуу + Aит + /, где с — (c1(t,'x, y), c2{t, x, y)), = А (у) > О,/ = f (t, х, у, и, иу) в области.

Qt, x = {(t, x, y): 0 < t < Т, 0 < х < X, -R < у < R}..

Ищем решение уравнения (37), удовлетворяющее условиям:.

38) и (0,х, у) = щ (х, у), u (t, 0, у) — u (t, х, ±R) = О либо:.

39) и (0,х, у) = щ (х, у), u (t, 0, y) = uy (t, x,±R)±b (t)u (t, x,±R) = Q, где b (t) > 0. Предполагаем, что функция f (t, х, у, и, q) и ее частные производные fx, fq определены на множестве Qt, x х R2 и принимают конечные значения при (t, x, y)? Qt, x и конечных д. Кроме того, предполагаем, что ci (t, a>,±r) = 0, ci (t, x, y) > 0 при у < R, к > 0, А > 0..

Остановимся сначала на мотивации нашего интереса к этим задачам. Рассмотрим одномерное течение в трубе радиуса Я, где ось х направлена вдоль трубы. Составляющая скорости в направлении у равна нулю (v = 0), а составляющая скорости в направлении азависит от времени t и пространственной переменной у: с — ci (t, у). Простейший случай — это течение Пуазейля: с = ci (|i/|), где ci (±i?) = 0, a ci (y) > 0 для у < R. Нестационарное диффузионно-конвективное уравнение в этом случае принимает вид.

40) ut + cux = kAu + /, где u — температура, положительная постоянная к — коэффициент теплопроводности, а / - источник. Как уже упоминалось выше, если число Пекле велико по сравнению с 1, тогда конвективный перенос тепла в направлении х существенно превосходит молекулярный перенос (диффузию) и членом ихх можно пренебречь. Уравнение (40) принимает вид:.

Щ + CiUx — KUyy + /..

Преимущество данного подхода с точки зрения приложений заключается в том, что достаточно лишь одного краевого условия в направлении я, т. е. достаточно проводить замеры по сечению х лишь единожды (например, на входе х = 0)..

Первые три параграфа посвящены задаче (37), (38). Для доказательства разрешимости этой задачи приблизим её следующей регуляризованной задачей.

37)* и + Ci (t, X, у) и?х + с2(г, X, у) и? = KUyy + еи? хх + (у){и?)т + /(?, х, у, щ и? у).

38)* u?{Q, x, y) = u0{x, y), u (t, Q, y) = u (t, x,±R) = V, u? x{t, X, y) = 0, где? > 0 — некоторая постоянная. Решение исходной задачи будем искать как предел при? —> 0 решений регуляризованной задачи..

В первом параграфе для регуляризованной задачи (37)*, (38)* установлены априорные оценки для max|ue|, max|u§|, max|w^|, не зависящие от ?. Во втором параграфе получены априорные оценки на u? t1 и? у в норме пространства L, 2(Qt, x), не зависящие от ?. В третьем параграфе на основе полученных оценок доказано существование обобщенного решения исходной задачи (37), (38) и его единственность. Существование доказывается предельным переходом при е-+0 В интегральном тождестве.

Обратим внимание на то, что полученное решение исходной задачи не имеет следа на границе х = X я, следовательно, «не замечает» дополнительное краевое условие ux (t, X, у) = 0..

В четвертом параграфе рассмотрена краевая задача (37), (39). В пятом параграфе уравнение (37) исследуется в области с условиями: х c2(t, X, у) и? — f (t, X, у, и£, ue)](f)ds =.

DT, x = {{t, x, y): 0 0 при у > 0 и.

Сх + С2У = 0, а краевые условия выглядят следующим образом:.

41) и (0,х, у) = щ (х, у), u (t, 0, y) = u (t, x,0) = 0, u (t, х, у) —> 0 при у —> +оо..

Особенность задачи (37), (41) состоит в неограниченности области Dt, x и получаемые априорные оценки не зависят как от е, так и от R..

Сформулируем основные результаты диссертации..

1) Получены новые дрстаточные условия неразрушения решения задачи Дирихле для квазилинейных параболических уравнений. Эти условия, в частности, демонстрируют превентивный эффект как диффузии, так и конвекции, не допускающий неограниченного роста температуры (режим с обострением) в тепловых процессах..

2) Предложено новое структурное условие, гарантирующее неразрушение как внутри области, так на ее границе, градиента решения краевых задач для квазилинейных параболических и эллиптических уравнений. Это условие, в частности, обобщает классическое условие Бернштейна..

3) Получена априорная оценка градиента решения краевых задач для одного класса многомерных квазилинейных параболических и эллиптических уравнений при минимальных предположениях о гладкости коэффициентов и правой части. На основе этой оценки доказывается глобальная разрешимость указанных задач. Кроме того, эта оценка дает нам возможность сформулировать новые условия, гарантирующие липшицевость вязких решений задачи Дирихле для уравнения Гамильтона-Якоби..

4) Доказано существование и единственность обобщенного решения краевых задач для одного класса квазилинейных ультрапараболических уравнений. Исследована гладкость решения..

Основные результаты работы опубликованы в [65] - [69], [18], [79] - [87] и докладывались следующих семинарах: семинар под руководством академика РАН В. Н. Монахова и чл.-корр. РАН П. И. Плотникова, институт гидродинамики им. акад. М. А. Лаврентьева СО РАН, Новосибирсксеминар под руководством профессора Т. И. Зеленяка, институт математики СО РАН, Новосибирсксеминар под руководством профессора В. Н. Врагова, институт математики СО РАН, Новосибирсксеминар под руководством профессора А.М.Бло-хина, институт математики СО РАН, Новосибирсксеминар прикладной математики критского университета, Грециясеминар прикладной математики мадридского университета Комплутенсе, Испанияи на конференциях:.

Нелинейные уравнения с частными производными и уравнения математической физики, центр им. С. Банаха, Польша, 1994; Второй всеевропейский конгресс по эллиптическим и параболическим уравнениям, Понт-а-Муссон, Франция, 1996; Современные проблемы в математике и механике, Чебышевские чтения, Москва, 1996; Третий сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ), Новосибирск, 1998; Нелинейные уравнения с частными производными, международная конференция памяти С. Н. Кружкова, Безансон, Франция, 1999;.

1. Александров А. Д., Условие единственности и оценка решения задачи Дирихле, Вестник ЛГУ, п. 13, вып. 3 (1963) 5−29..

2. Апушинская Д.Е.', Назаров А. И., Граничные оценки производных первого порядка для решения недивергентных параболических уравнений с составной правой частью и младшими коэффициентами// Проблемы мат. анализа 14 (1995), 3 27..

3. Архипова А. А., О гладкости решений неравномерно эллиптических уравнений// Проблемы мат. анализа 7 (1997), 14 25..

4. Бакельман И. Я., Средняя кривизна и квазилинейные эллиптические уравнения// Сиб. мат. жур. 1968 т. 9 N.5, 1014 1040..

5. Барсов О. Н., О нелокальной разрешимости задачи Коши и краевых задач для нелинейных параболических уравнений // Вестник МГУ 49 (1994), N.6, 8−12..

6. Белоносов, B.C., Оценки решений нелинейных параболических систем в гельдеровских классах с весом и некоторые приложения// Мат. сб., 1979, Т. 110, N. 2, с. 163−188..

7. Белоносов B.C., Зеленяк Т. И., Нелокальные проблемы в теории квазилинейных параболических уравнений, Новосибирск: Изд-во Новосиб. унта, 1976. 155с..

8. Бернштейн С. Н., Собрание сочинений, т.З. М., Изд-во АН СССР, 1960..

9. Векуа И. Н., Обобщенные аналитические функции, Физматгиз, Москва, 1959..

10. Вишневский М. П., Зеленяк Т. И., Лаврентьев М. М. мл. Качественная теория параболических уравнений, Часть 1, Утрехт, 1997, 417с..

11. Вишневский М. П., Зеленяк Т. И., Лаврентьев М. М. мл., Поведение решений параболических уравнений при больших значениях времени// Сиб. мат. жур., 36 (1995), N 3, 510 530..

12. Владимиров B.C., Дрожжинов Ю. Н., Обобщенная задача Коши для ультрапараболических уравнений// Изв. АН СССР. Сер. мат. (1967), т. 31, с. 1341−1360..

13. Генчев Т. Г., Ультрапараболические уравнения// ДАН СССР 151 (1963) 25−268..

14. Гомбоев Л. Г., Оценки устойчивости решения ультрапараболическо- -го уравнения// Сиб. Мат. Ж., 29 (1988), N.1, 156 159..

15. Гущин А. К., Михайлов В. П., О стабилизации решения задачи Коши для параболического уравнения// Дифференц. уравнения, 1971, Т. 7, N. 2, с. 297−311..

16. Дрожжинов Ю. Н., Стабилизация решения обобщенной задача Коши для ультрапараболических уравнений// Изв. АН СССР. Сер. мат. (1969), т. 33, с. 368−372..

17. Дронь B.C., Ивасишен С. Д., Свойства фундаментальных решений и единственность решения задачи Коши для одного класса ультрапараболических уравнений// Украинский Мат. Ж. 50 (1998), N.11, 1482 1496..

18. Дубинский Ю. А., Слабая сходимость в нелинейных эллиптических и параболических уравнениях// Матем. сб., 67 (109), 1965, с. 609 642..

19. Зеленяк Т. И., О стабилизации решений краевых задач для параболического уравнения второго порядка с одной пространственной переменной// Дифференц. уравнения, 1968, Т. 4, N. 1, с. 34−45..

20. Зеленяк Т. И., О качественных свойствах решений квазилинейных смешанных задач для уравнений параболического типа// Мат. сб., 1977, Т. 104, N. 3, с. 486−510..

21. Иванов А. В., Квазилинейные вырождающиеся неравномерно эллиптические и параболические уравнения второго порядка// Труды Мат. инта им. В. А. Стеклова, 160 (1982), с. 5 285..

22. Иванов А. В., Первая краевая задача для квазилинейных параболических уравнений второго порядка// Зап. науч. сем. ленинградского отд. мат. ин-на им. В. А. Стеклова (ЛОМИ), 38 (1973), с. 10 32..

23. Иванович М. Д., О характере непрерывности решений линейных параболических уравнений второго порядка// Вестн. Моск. ун-та, сер. ма-тем., мех. N 4, (1966), с. 31 41..

24. Иванович М. Д., О характере непрерывности решений линейных эллиптических уравнений второго порядка// Вестн. Моск. ун-та, сер. матем., мех. N 3, (1966), с. 37 47..

25. Ивасишен С. Д., Тычинская Л. М., Эйдельман С. Д. Фундаментальные решения задачи Коши для одного класса ультрапараболических уравнений второго порядка// ДАН Укр. ССР, Сер. А 1990, N.5, с. 6 9..

26. Ивочкина Н. М., Осколков А. П., Нелокальные оценки первых производных решений первой краевой задачи для одного класса неравномерно эллиптических и неравномерно параболических уравнений и систем// Труды Мат. Ин-та им. Стеклова, 110 (1970) 72 115..

27. Ильин A.M., Об одном классе ультрапараболических уравнений// ДАН, т. 159, N. 6 (1964) с. 1214−1217..

28. Ильин A.M., Калашников А. С., Олейник О. А., Линейные уравнениявторого порядка параболического типа // УМН, (1962), т.17, вып. 3, с. 3146..

29. Камынин B. JL, Априорные оценки и глобальная разрешимость квазилинейных параболических уравнений// Вестник МГУ, сер. 1, 36, 1981, с. 33 38..

30. Камынин B. JL, Априорные оценки решений квазилинейных параболических уравнений на плоскости и их приложения// Дифф. уравнения, 19, 1983, N.5, с. 590 598..

31. Камынин Л. И., Химченко Б. Н., Принцип максимума и граничные оценки решения эллиптико-параболического уравнения второго порядка// Сиб. мат. жур. 1968 т. 9 N.5, 1014 1040..

32. Кружков С. Н., Квазилинейные параболические уравнения и системы с двумя независимыми переменными// труды сем. им. И. Г. Петровского, Вып. 5 (1979), с. 217 272..

33. Кружков С. Н., Нелинейные параболические уравнения с двумя независимыми переменными// Труды Моск. Мат. об-ва 16 (1968), с. 329 346..

34. Кружков С. Н., Оценки старших производных решений эллиптических и параболических уравнений с непрерывными коэффициентами// Мат. заметки 2 1967, 549 560..

35. Кружков С. Н., Обобщенные решения уравнений Гамильтона-Якоби типа эйконала// Мат. сб., 98(140), N.3(11), 450 493..

36. Крылов Н. В., Об оценках производных решений нелинейных параболических уравнений// ДАН СССР, 274 (1984), 23−26..

37. Крылов Н. В., Ограниченно неоднородные эллиптические и параболические уравнения в области// Изв. АН СССР, Сер. матем., 47 (1983), 75−108..

38. Крылов Н. В., Нелинейные эллиптические и параболические уравнения второго порядка, «Наука», Москва, 1985, 376 с..

39. Кулик И. О., Янсон И. К., Эффект Джозефсона в сверхпроводящих туннельных структурах, Наука, Москва 1970..

40. Лаврентьев М.М.-мл., Разрешимость нелинейных краевых задач// Сиб. мат. жур., 34 1993, N.6, с. 123 129..

41. Лаврентьев М. М. мл., Спиглер Р., Ахметов Д. Р., Регуляризация нелинейного интегропараболического уравнения Фоккера-Планка с пространственно периодическими решениями. Существование сильных решений// Сиб. мат. жур., 42, 2001, N.4,.c. 825 -848..

42. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа, Москва, «Наука» 1968, 736 с..

43. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н., Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. -М.: Наука, 1973, 576 с..

44. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н., О непрерывности по Гельдеру решений и их производных для линейных и квазилинейных уравений эллиптического и параболического типов// Тр. МИАН СССР, (1964) т. 73, с. 172−220..

45. Ладыженская О. А., Уральцева Н. Н., О тотальных оценках первых производных решений квазилинейных эллиптических и параболических уравнений// Зап. науч. семинаров ЛОМИ, (1969) т. 14, с. 127−155..

46. Ладыженская О. А., Решение. первой краевой задачи в целом для квазилинейных параболических уравнений// Тр. Моск. мат. об., (1958) т.7, с. 149−177..

47. Левич В. Г., Физико-химическая гидродинамика, Физматгиз, 1959, Москва, 699 е..

48. Лионе Ж.-Л., Некоторые методы решения нелинейных краевых задач, М.:Мир, 1972. 587с..

49. Малицкая А. П., Построение фундаментальных решений некоторых ультрапараболических уравнений, Укр. мат. журн. -1985. т. 37, п. 6, с. 713 -718..

50. Назаров А. И., Оценки Гельдера ограниченных решений задач с косой производной для параболических уравнений недивергентного вида// Пробл. Мат. Анал., 11 (1990), 37 46.

51. Олейник О. А., Самохин В. Н., Математические методы в теории пограничного слоя// -М.: Наука, Физматлит, 1997, с. 512..

52. Олейник О. А., Кружков С. Н., Квазилинейные параболические уравнения второго порядка со многими независимыми переменными// УМН (1961), т. 16, вып. 5, с. 115−155..

53. Олейник О. А., Радкевич Е. В., Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой// Итоги науки и техники. Матем. анализ.-М.: ВИНИТИ, 1971..

54. Паскалев Г. П., Исследование краевых задач для ультрапараболических уравнений с постоянными коэффициентами вариационными методами// Диффер. ур-я, 28 (1992), N.9, 1640 1642..

55. Похожаев С. И., О собственных функциях уравнения An + Xf (u)// ДАН CGCP, т. 165, 1965, с. 36 39..

56. Похожаев С. И., Об уравнении вида Аи = /(x, u, Vu)// Мат. сб., 113 (155), N.2 (10), 1980, с. 324 338..

57. Проворова О. Г., К вопросу о поведении при большом времени решений параболических уравнений// Дифференц. уравнения, 1969, Т. 5, N. 1, с. 108−114..

58. Пятков С. Г., Разрешимость краевых задач для ультрапараболических уравнений. В. сб. Неклассические уравнения и уравнения смешанноготипа, СОАН СССР, Ин-т математики, Новосибирск, 1990. 182 197..

59. Самарский А. А., Галактионов В. А., Курдюмов С. П., Михайлов А. П., Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений, М.: Наука, 1987, с. 475..

60. Син Дон Ха, Оценки потенциалов для ультрапараболических уравнений// В сб. Динамика сплош. среды 1987, N.79, 108 117..

61. Соболевский П. Е., Уравнения параболического типа, в бананаховом пространстве// Тр. Моск. мат. об-ва, (1961) т. 10, с. 297−350..

62. Субботин А. И., Минимаксные неравенства и уравнения Гамильтона Якоби, -М.: Наука, 1991, 216с..

63. Терсенов Ал.С., Об одном классе вырождающихся неравномерно параболических уравнений//Вестник МГУ, сер. 1, п. 6 (1996) 94−97..

64. Терсенов Ал.С., Об одном классе неравномерно эллиптических уравнений, // Сиб. Мат. Жур., 36 (1995), No.4, 893−902..

65. Терсенов Ал.С., Априорные оценки для одного класса вырождающихся параболических и ультрапараболических уравнений // Докл. Р.А.Н. т. 338, No.2 (1994)..

66. Терсенов Ал.С., Задача Дирихле для одного класса квазилинейных эллиптических уравнений// принято к публикации в Мат. заметках.

67. Терсенов, А л. С., О несуществовании нетривиальных решений для одного класса краевых задач// сдано в печать.

68. Терсенов Ар.С., О разрешимости некоторых краевых задач для одного класса квазилинейных параболических уравнений// Сиб. мат. жур. 40 (1999), N.5, 972−980..

69. Терсенов С. А., О краевых задачах для одного класса ультрапара-раболических уравнений и их приложения// Мат. сб., (1987), т. 133, N. 4, с. 539−555..

70. Терсенов С. А., О корректности краевых задачах для одного уравнения ультрапарараболического типа// Сиб. Мат. Ж., (1999), т. 40, N.6, с. 1364−1377..

71. Терсенов С. А., О корректности краевых задачах для одного уравнения ультрапарараболического типа// Сиб. Мат. Ж., (2001), т. 42, N.6, с. 1413 1430..

72. Филиппов А. Ф., Об условиях существования решения квазилинейных параболических у равнений// ДАН СССР 141 (1961), 568−570.

73. Фокина Т. Н., Об одной краевой задаче для параболического уравнения с сильными нелинейностями// Вестн.Моск. ун-та, (1975) т.2, 22−28..

74. Хуснутдинова Н. В., Об условиях ограниченности градиента решения вырождающегося параболического уравнения// В сб. Динамика сплош. среды, Вып.72 (1985), с. 120 129..

75. Хуснутдинова Н. В., Априорная* оценка пространственной переменной решения уравнения типа двухфазной фильтрации// В сб. Динамика сплош. среды, Вып.113 (1998), с. 156 160..

76. Шатыро Я. Н., Первая краевая задача для одного ультрапараболического уравнения// Дифференциальные уравнения 7, 1971, 1089 1096..

77. Шлихтинг Г., Теория пограничного слоя, М. Из-во ин. лит., 1956..

78. Akhmetov D.R., Lavrentiev M., jr., Spigler R., Existence and uniqueness of classical solutions to certain nonlinear integro-differential Fokker-Planck type equations, Electron. J. Differential Equations 2002, N. 24, 17 pp.(electronic)..

79. Aguirre J., Escobedo M., On the blow-up of a convective reaction diffusion equation, Proc. Roy. Soc, Edinburgh Sect. A 123 (1993), .3, 433 460..

80. Amman H., Crandall M.G., On some existence theorems for semi-linear elliptic equations// Indiana Univ. Math. J., 27, n.5 (1978) 779 790..

81. Asai K., Ishimura N., On the interior derivative blow-up for the curvature evolution of capillary surfaces// Proc. Amer. Math. Soc., 126, n.4 (1998) 835 840..

82. Angenent S., Fila M.// Interior gradient blow-up in a semilinear parabolic equation, Diff. and Integral Equations, 9 (1996), No.5, 865−877..

83. Aubin Т., Un theoreme de compacite// C. R. Acad. Sc., 256 (1963), 5042−5044..

84. C. Bandle, H.A.Levine, Fujita type phenomena for reaction-diffusion equations with convection like terms// Differ. Integr. Equat. 7 (1994), n.5−6, 1169 1193..

85. Barles G., Solutions de viscosite des equations de Hamilton-Jacobi, Mathematiques Applications, 17, Springer-Verlag, Paris, 1994, 194p..

86. Ben-Artzi M., Koch H., Decay of mass for a semilinear parabolic equation// Communications in PDE, 24 (5−6), (1999), p. 869−881..

87. Bernstein S., Sur les equations du calcul des variation// Ann. Sci. Ecole Norm. up. (1912) v. 29, p. 431−485..

88. Bernstein S., Sur la generalisation du probleme de Dirichlet I// Math. Ann. Sci. 62 (1906) p. 253−271..

89. Bernstein S., Sur la generalisation du probleme de Dirichlet II// Math. Ann. Sci. 69 (1910) p. 82 136..

90. Blanc Ph., Existence de solutions discontinues pour des equations para-boliques// C. R. Acad. Sci. Paris Serie 1 Math. 310 (1990), 53−56..

91. Bramanti M., Cerutti M., Manfredini M., Lp estimates for some ultra-parabolic operators with discontinuous coefficients// J. Math. Anal. Appl. 200, N.2 (1996) 332−354..

92. Brandt A., Interior estimates for second order elliptic differential (or finite difference) equations via the maximum principle// Israel J. Math. (1969) v.7, p. 95−121..

93. Brandt A., Interior Schauder estimates for parabolic differential (or finite difference) equations via the maximum principle// Israel J. Math. (1969) v.7, p. 254−262..

94. Browder F.E., On the regularity properties of solution of elliptic differentia equations// Comm. Pure Appl. Math., (1956) v.9, p.351−361..

95. Caputo J.G., Flytzanis N., Tersenov Al.S., Vavalis E., Analysis of a semi-linear PDE for modelling static solutions of Josephson junctions// SIAM J. Math. Anal., v.34 (2003) n.6, 1355 1378..

96. M. Chipot, F.B.Weissler, Some blowup results for a nonlinear parabolic equation with a gradient term// SIAM J. Math. Anal. 20 (1089) 886 907..

97. M. Chlebik, M. Fila, P. Quittner, Blow-up of positive solutions of a semiline? parabolic equation with a gradient term// Dynamics of Cont., Discrete Impuls. Syst. (to appear).

98. Constantin A., Escher J., Global solutions for quasilinear parabolic problems// J. Evol. Equ. 2 (2002), 97−111..

99. Constantin A., On a two-point boundary value problem// J. Math. Anal. Appl., 193, n. l (1995), 318−328..

100. Cordes H.O., Uber die erste Ranwertaufgabe bei quasilinearen Differenti-algleichungen zweiter Ordnung in mehr als zwie Variablen// Math. Ann. 131 (1956), 278−312..

101. De Giorgi E., Sulla differenziabilita e l’analicita delle estremali degli integrali multipliregolari// Mem. Accad. Sci. Torino CI. Sci. Fis. Mat. Natur. (1957) t.3, N.3, p.25−43..

102. Dlotko Т., Examples of parabolic problems with blowing-up derivatives// J. Math. Anal. Appl. 154 (1991), 226−237..

103. Escobedo M., Vazquez J.L., Zuazua E., A diffusion-convection equation in several space dimensions// Indiana Univ. Math. J. 42, n.4 (1993) 1413−1440..

104. Escobedo M., Vazquez J.L., Zuazua E., Entropy solutions for diffusion-convection equations with partial diffusivity// Trans. Amer. Math. Soc. 343, n.2 (1994) 829−842..

105. Escobedo M., Feireisl E., Laurencot P., Large time behavior for degenerate parabolic equations with dominating convective term// Communications in PDE, 25, n. 1−2 (2000) 73−99..

106. M. Fila, Remarks on blow up for a nonlinear parabolic equation with gradient term// Proc. Amer. Math. Soc. Ill (1991) 795 801..

107. Fila M., Lieberman G., Derivative blow-up and beyond for quasilinear parabolic equations// Diff. and Integral Equations, 7 (1994), No.¾', 811−822..

108. Finn R., Serrin J., On the Holder continuity of quasi-conformal and elliptic mapping// Trans. Amer. Math. Soc. (1958) v.89, p. 1−15..

109. Frigon M., O’Regan D., On a generalization of a theorem of S. Bernstein// Ann. Pol. Math. 48, n.3 (1988) 297−306..

110. Fujita H., Watanabe S., On the uniqueness and nonuniqueness of solutions of initial value problems for some quasilinear parabolic equations// Comm. Pure and Appl. Math. V. 21 (1968) 631−653..

111. Garofalo N., Lanconelli E., Level sets of the fundamental solutionsand Harnack inequality for degenerate equations of Kolmogorov type// Trans. Amer. Math. Soc. 321, n. 2 (1990) 775−792..

112. Giga Y., Interior blow up for quasilinear parabolic equations// Discrete and Continuous Dynamical Systems 1 (1995), 449−461..

113. Gilding B.H., Holder continuity of solutions of parabolic equations// Journ. London Math. Soc., ser.2, V.13, No. l (1976) 103−106..

114. Granas A., Guenther R.B., Lee J.W., On the theorem of S. Bernstein// Pacific J. Math., 74, n. l (1978) 67−82..

115. Gurtin M., Some questions and open problems in continuum mechanics and population dynamics, J. Differential Equations 48, n.2 (1983) 293−312..

116. Jenkins H., Serrin J., The Dirichlet problem for the minimal surface in higher dimensions// J. Reine Angew. Math. (1968) d.229, p.170−187..

117. Kazdan I.L., Krammer R.I., Invariant criteria for existence of solutions to second-order quasilinear elliptic equations// Comm. Pure Appl. Math. 31, n. 5, (1978) 619 645..

118. Kardar M., Parisi G., Zhang Y., Dynamic scaling of growing interfaces// Phys. Rev. Lett., 56, n. 9 (1986) 889−892..

119. B. Kawohl, L.A.Peletier, Observations on blow up and dead cores for nonlinear parabolic equations// Math. Z., 202 (1989) 207 217..

120. Kolmogorov A.N., Zuffallige Bewegungen// Ann. of Math., 35, n. 2 (1934) p. 116−117..

121. Kolmogorov A.N., Selected works. Vol. II Probability Theory and Mathematical Statistics. Mathematics and its Applications 26. Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht, 1992, 597p..

122. Krug J., Spohn H., Universality classes for deterministic surface growth// Phys. Rev. A 38, n. 8 (1988) 4271−4283..

123. N.S.Koshluakov, M.M.Smirnov, E.B.Gliner, «Differential Equations ofMathematical Physics», North Holland, 1964..

124. Kutev N., Global solvability and boundary gradient blow up for one dimensional parabolic equations, Progress in PDE: Elliptic and Parabolic Probleir (C.Bandle, et al., eds.), Longman, 1992, 176−181..

125. Lanconelli E., On a class of Kolmogorov-Fokker-Planck operators. Progresi in elliptic and parabolic partial differential equations (Capri, 1994), 173−183, Pitman Res. Notes Math. Ser., 350, Longman, Harlow, 1996..

126. Lascialfari F., Morbidelli D., A boundary value problem for a class of quasilinear ultraparabolic equations// Communications in PDE 23, n. 5−6, (1998) 847−868..

127. Lavrentiev M. Jr., Broadbridge P., Belov V., Boundary value problems for strongly degenerate parabolic equations// Communications in PDE, 22(1&2), 17−38 (1997)..

128. Leray J., Schauder J., Topologie et equations fonctionelles// Ann. E. N. S., 51 (1934), 45−78..

129. Levine H.A., The role of critical exponents in blow-up theorems// SIAM Rev. 32 (1990) 262 288..

130. Levine H.A., Payne L.E., Sacks P.E., Straughan В., Analysis of a convective reaction-diffusion equation, SIAM J. Math. An. 20 (1989) n. l, 133 147..

131. Lieberman G., Second order parabolic differential equations, World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd., River Edge, NJ, 1996, 439 p..

132. Lions P.-L., Generalized solutions of Hamilton-Jacobi equations, Research Notes in Mathematics, 69. Pitman, Boston, London, 1982, 317p..

133. Matano H., Convergence of solutions of one-dimensional semilinear parabolic equations// J. Math. Kyoto Univ. 1978 v. l8,N. 2, p.221−227..

134. Manfredini M., The Dirichlet problem for a class of ultraparabolicequations, Adv. Differential Equations, 2, n.5 (1997) 831−866..

135. Manfredini M., Polidoro S., Interior regulariti for weak solutions of ultraparabolic equations in divergence form with discontinuous coefficiens, Boll. Unione Mat. Ital. Sez. В Atic. Ric. Mat. (8) 1, n.3 (1998) 651−675..

136. Meyers N.G., An example of non-uniqueness in the theory of quasilinear elliptic equations of second order// Arch. Rational Mech. Anal. (1963) v.14, p.177−179..

137. Montanari A., Harnack inequality for totally degenerate Kolmogorov-Fokker-Planck operators// Boll. Un. Mat. Ital. B (7) 10, n.4 (1996) 903−926..

138. Nagumo M., Uber die gleichmassige Summierbarkeit und ihre Anwendung auf ein Variationsproblema// Japan J. Math. 1929, V.6, p.173−182..

139. Nazarov S., Plamenevsky В., Elliptic problems in domains with piecewise smooth boundaries, de Gruyter Expositions in Mathematics, 13. Walter de Gruyter and Co., Berlin, 1994..

140. Nash J., Continuity of solutions of parabolic and elliptic equations// Amer. J. Math. (1958) v. 80, p.931−954..

141. Neumann J., Uber einen Hilfssatz der Variationsrechnung// Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg (1931) 8, p. 28 31..

142. Nirenberg L., On nonlinear elliptic partial differential! equations and Holder continuity// Comm. Pure Appl. Math. 6 (1953), 103−156..

143. Polidoro S., A global lower bound for the fundamental solution of Kolmogorov-Fokker-Planck equations// Arch. Rational Mech. Anal. 137, n.4 (1997) 321−340..

144. Polidoro S., Ragusa M., Holder regularity for solutions of ultraparabolic equations in divergence form// Potential Anal. 14, n.4 (2001) 441−350..

145. P. Quittner, Blow-up for semilinear parabolic equations with a gradient term// Math. Mehods Appl. Sci. 14 (1991) 413 417..

146. P. Quittner, On global existence and stationary solutions for two classes of semilinear parabolic problems// Comment. Math. Univ. Carolin. 34 (1993), n. l, 105 124..

147. Ray Hanna J., Rowland J.H., «Fourier series, transforms, and boundary value problems», (2nd ed.), John Wiley and Sons, Inc. (1990).

148. Serrin J., The problem of Dirichlet for quasilinear elliptic differential equations with many independent variables// Philos. Trans. Roy. Soc. London Ser. A 264 (1969), 413−496..

149. Serrin J., Gradient estimates for solutions of nonlinear elliptic and parabolic equations, In. Contributions to Nonlinear Functional Analysis, pp. 565−601. New York: Academic Press, 1971..

150. Souplet P., Recent results and open problems on parabolic equations with gradient nonlinearities// Electronic J. of Diff. Equations, v.2001 n. 20 (2001) p. 1−19..

151. Souplet P., Gradient blow-up for multidimensional nonlinear parabolic equations with general boundary conditions// Differential Integral Equations 15, n.2 (2002), p. 237−256..

152. Ph. Souplet, Finite time blow-up for a nonlinear parabolic equation with a, gradient term and applications// Math. Mehods Appl. Sci. 19 (1996) 1317 1333..

153. Ph. Souplet, F.B.Weissler, Self-similar subsolutions and blow-up for nonlinear parabolic equations// J. Math. Anal. Appl., 212 (1997) 60 74..

154. Ph. Souplet, F.B.Weissler, Poincare inequality and global solutions of a nonlinear parabolic equations// Ann.-Inst. H. Poincare, Anal, nonlineaire, 16 (1999) n.3, 337−373..

155. Spigler В., Boundary layer theory in Krames-Smoluchovski limit for the Fokker-Planck equation on a half-space// Bull. Unione Mat. Ital. ser. 7 B,. v. l, n. 3 (1987) 917 938..

156. Tersenov Al.S., On quasilinear non-uniformly parabolic equations in general form// J. of Diff. Equations, 142, N.2 (1998). 263−276..

157. Tersenov Al.S., On quasilinear non-uniformly elliptic equations in some nonconvex domains// Communications in PDE, 23, 11&12, (1998), 21 652 186..

158. Tersenov Al.S., On the first boundary value problem for quasilinear parabolic equations with two independent variables// Arch. Ration. Mech. Anal., 152 (2000), n. l, 81−92..

159. Tersenov Al.S., Estimate of the solution of the Dirichlet problem for parabolic equations and applications// J. of Math. An. Appl., 273, n. l (2002) 206−216..

160. Tersenov Al.S., Ultraparabolic equations and unsteady heat and mass transfer// в печать..

161. Tersenov Al.S., Tersenov Ar.S., Global solvability for a class of quasilinear parabolic problems// Indiana Univ. Math. J., 50, n.4 (2001) 1899−1913..

162. Tersenov Al.S., Tersenov Ar.S., The Cauchy problem for a class of quasilinear parabolic equations// Ann. Mat. Рига Appl..

163. Tersenov Al.S., Tersenov Ar.S., On the Bernstein-Nagumo?s condition in the theory of nonlinear parabolic equations// J. Reine Angew. Math..

164. Tersenov Al.S., On the preventive effect of convection and of the diffusion in the blow-up phenomena for quasilinear parabolic problems// в печать..

165. Trudinger N.S., The boundary gradient estimate for quasilinear elliptic and parabolic equations// Indiana Univ. Math. J., 21 (1972), 657−670..

166. Weber M., The fundamental solution of a degenerate partial differential equation of the parabolic type// Trans. Amer. Math. Soc. -1951, v. 71, n. 1, 24−37..