Приближенные методы моделирования и оптимизации управления на основе среднеквадратических аппроксимаций

В данной работе речь пойдет о приближенном подходе к математическому моделированию, разработке алгоритмов улучшения и приближенно оптимального синтеза, их апробации на прикладных задачах и реализации в программном комплексе ISCON (Improvement and Synthesis of Control). Комплекс разрабатывается в Учреждении Российской академии наук Институте программных систем им. А. К. Айламазяна РАН. Он призван решать задачи моделирования, оптимизации, синтеза и улучшения оптимального управления на основе приближенных методов теории управления. Рассмотрим эти методы и идеи.

Остановимся вначале на математическом моделировании, следуя работе [51].

Изучение любого реального объекта математическими методами может начаться лишь после того, как построена его математическая модель, т. е. реальному объекту сопоставлен некоторый математический, идеальный — уравнение конечное или дифференциальное, система неравенств и т. п. Моделирование в целом есть сугубо индуктивный, творческий процесс, который не может быть проведен целиком в рамках математической теории, хотя для отдельных его элементов могут применяться математические методы. Очень грубо и условно процесс моделирования делят на два этапа — концептуализацию, т. е. выбор семейства моделей, зависящего от числовых параметров, и идентификацию, т. е. определение значений указанных параметров. Окончательная модель зависит, очевидно, как от объекта, так и от цели моделирования.

Следуя известным работам по математической теории систем [110, 112], под математической моделью реального объекта (системой) в общем случае будем нонимать некоторое отношение — унарное (R, X), бинарное (R, X, Y) и т. д. В частности, это может быть некоторый оператор (отображение) .Р: X —> ?. В теории управления множества X, У называют пространствами входов и выходов соответственно.

Как правило, реальные объекты имеют сложную иерархическую структуру, и их поведение является результатом взаимодействия различных составляющих их частей. Если при моделировании необходимо отразить их внутреннее строение, то можно использовать такое понятие как сеть операторов. Остановимся на нем более подробно. Пусть имеется N операторов.

Пг г: Хг->?г, Хг = Д Хг-,.

9=1.

Множества Х^ с элементами Хщ будем называть каналами и будем говорить, что выход оператора г подается на вход оператора если найдется такой номер д, что хзч = уг для любых хзч, у^.

Пусть рассматриваемые операторы соединены таким образом по некоторой схеме, представляемой связным графом (рис. 1.1). Если число к{ выходов других операторов, подаваемых на вход оператора i, меньше, чем щ, то оставшиеся свободные каналы образуют множество пг Д Х^, г 6 I = {г: ^ < кг +1 без ограничения общности считаем, что свободные каналы имеют номера от + 1 до щ. Такую систему будем называть сетью операторов.

Рис. 1. Сеть операторов.

Описанную сеть можно рассматривать как некоторый оператор

М N.

X =П О,-=П ?=Д?г,.

61 1=1 г=1 где X/, I = 1,., М, — все свободные каналы. Будем называть его оператором следующего верхнего уровня (при сравнении в обратном порядке будем говорить об операторах следующего нижнего уровня). Если заданы схема соединений (топология сети) и описание каждого оператора, то тем самым задано описание всей сети или, иначе, задано описание оператора следующего верхнего уровня. Такое описание может оказаться сложным и плохо обозримым. Тогда возникает задача нахождения упрощенного описания оператора следующего верхнего уровня на основе изучения сети.

Наглядными примерами сети операторов могут служить блок-схема телевизора, системы автоматического управления, компьютерная программа, конечный автомат, нейронная сеть, сеть Петри и т. п.

Смысл такого подхода состоит в том, что проблема моделирования сложного объекта, представляющего собой систему взаимодействующих частей, сводится к определению топологии сети (из наблюдений) и описанию элементарных операторов сети.

Подчеркнем, что все рассмотренные понятия имеют одну и ту же природу и на таком абстрактном уровне ни одно из них не имеет смысла априори рассматривать как обобщение или конкретизацию другого. Какому из них отдать предпочтение — зависит от характера решаемой проблемы. Так, если нас интересует не внутреннее строение системы, а лишь то, что она отражает некоторую причинно-следственную связь, то понятие оператора, очевидно, предпочтительнее понятия сети операторов. Если нас интересует лишь факт связи между явлениями в реальной системе, и не важно — что причина, а что — следствие, то, по-видимому, лучше использовать понятие отношения, а не оператора и т. д. С этой точки зрения наиболее абстрактным понятием системы (с минимумом деталей) является унарное отношение (И, X).

Хотя математическое моделирование в настоящее время ориентировано, как правило, на применение вычислительной техники, взаимодействие различных моделей с компьютерами далеко не одинаково. По этому признаку все модели можно разделить, впрочем достаточно условно, на два больших класса — имитационные и теоретические. Первые рассчитаны на непосредственное использование компьютеров. С такими моделями обращаются примерно так, как с экспериментальной установкой, работающей в условиях помех и ошибок измерения, т. е. проводят статистические эксперименты и обработку их результатов статистическими методами. Примером имитационной модели является модель Азовского моря [46]. Часто сам этот процесс, организацию машинных экспериментов, и называют моделированием. Ясно, что при этом важно возможно точнее отобразить реальный объект, чтобы результаты эксперимента были достаточно объективными. Ограничений на средства описания не накладывается. Здесь возникает множество проблем, связанных с большой сложностью моделей, их программной и технической реализацией. В связи с этим разработан ряд универсальных и узкоспециальных средств программирования, облегчающих процесс моделирования.

Теоретические модели рассчитаны, главным образом, на предварительное исследование аналитическими методами с использованием компьютеров лишь на конечных этапах для получения численного решения задач, поставленных на модели. Простейшим примером теоретической модели является любой из законов Ньютона. Для них весьма существенны методические ограничения при выборе средств описания, связанные с возможностью применения тех или иных методов исследования. Так, при моделировании сложных экономических систем популярны линейные системы уравнений и неравенств, поскольку для них имеются надежные математические методы решения характерных задач оптимизации, которые, как правило, ставятся для таких моделей.

Очевидно, при решении практических проблем желательно иметь модели обоих типов для одного и того же объекта, как взаимно дополняющие друг друга.

Вопросам построения моделей систем посвящены работы [96, 6, 8, 119].

Перейдем теперь к вопросам оптимизации управляемых процессов.

В конце 50-х и начале 60-х годов XX века в связи с бурным развитием техники и появлением первых космических программ возникла настоятельная необходимость решения задач оптимизации процессов управления. В это время были сформулированы такие основополагающие результаты, обобщающие известные положения вариационного исчисления, как принцип максимума Понтрягина и метод динамического программирования Беллмана [128, 14], принцип оптимальности Кротова [100], общая теория экстремума Милютина-Дубовицкого [88].

Несмотря на то, что эти новые теории учитывали особенности современных задач управления, главным образом, наличие разнообразных ограничений в дополнение к основным — дифференциальным — связям в вариационном исчислении, их прямое практическое использование оказалось весьма ограниченным сложностями реализации теоретических соотношений, описывающих искомое решение получаемых уравнений. Как правило, аналитическое решение можно было найти лишь в редких случаях, если не считать специально подобранных примеров. Это послужило причиной для разработки приближенных методов, позволяющих решать сложные практические задачи.

За прошедший с момента их появления полувековой период было предложено множество разнообразных приближенных, численных методов, позволяющих искать оптимальное решение напрямую, минуя условия оптимальности, посредством операций улучшения управления, повторяемых в итерационной процедуре. При этом косвенно использовались как сами основополагающие результаты, так и принципы, лежащие в их основе.

Будем использовать далее следующие постановки задач оптимизации и улучшения управления в стандартной форме, для непрерывной и дискретной систем = /(*,*,"), *ет = (1) х (г +) = /(*,*(*),"(*)), г ет = {?7,^ + 1,.,^}, (2) жеГ, и е и (г, х) с (з).

Предполагается, что ?/, х (?/) = ж/, Ьр фиксированы. Задан функционал как функция конечного состояния: I = Р (х (&)).

Задача оптимизации состоит в поиске последовательности {тв} С О, минимизирующей функционал I, 1({гп3}) —> игр, где Ю— множество процессов т — (ж^), гг (£)), удовлетворяющих (1) или (2) и (3). Построение минимизирующей последовательности может вестись через решение задачи улучшения, в которой задан некоторый элемент т1 £Б. Требуется найти элемент гп11? О, на котором I меньше: /(га11) < /(га1). Решая эту задачу итерационно, можно получить улучшающую, в частности, минимизирующую последовательность {га5}.

Непрерывная задача рассматривается в естественных для практики предположениях: непрерывность функций / х: и), ^ (х) и многозначного отображения и (?, ж), кусочная непрерывность кусочная гладкость ж (£). В дискретной задаче никаких теоретико-функциональных ограничений априори не накладывается.

Исторически развитие методов улучшения началось с методов первого порядка, известных как градиентные методы, одновременно с созданием современной теории оптимального управления. В числе основоположников отметим Р. Куранта [1], Д. Е. Охоцимского и Т. М. Энеева [126, 127, 145], Л. В. Канторовича [92], Л. И. Шатровского [144], Дж. Келли [93].

Улучшающее изменение управления строится по схеме 5и3{1) = —?31^, где ?3 > 0, /" — градиент минимизируемого функционала. Выбором ?3 обеспечивается выполнение неравенства 51 < 0, где 51 — первая вариация функционала. При вычислении производной функционала обычно используют уравнение в вариациях и тождество Лагранжа, что приводит к необходимости решения системы дифференциальных уравнений для сопряженной переменной с соответствующими начальными условиями.

В зависимости от способа выбора величины получаются различные формы градиентных методов. Для задачи с закрепленным левым концом, свободным правым и при отсутствии ограничений вариация управления выбирается в виде 5и3(1) = ?3-Ни (Ь, х3(Ь), и3(1), ф^)), где Н = ф'/ — сопряженная система ф = — НХ (Ь, х3^), ф (£)) дополняется условием на правом конце ф (Ьр) = ¦ Подробный вывод уравнений градиентного метода в терминах конструкций достаточных условий оптимальности можно найти в книге [103]. Более сложные схемы требуются при наличии ограничений на переменные управления и состояния. Здесь можно отметить, например, работы Р. П. Федоренко и В. Г. Гюрджиева [140, 85]. Описание некоторых из градиентных методов можно найти в [127, 7]. Наряду с этим реализовались и другие методы, родственные градиентным, основанные на принципе максимума Понтрягина [105, 106, 36]. Ряд интересных схем предложен в книге H.H. Моисеева [114]. Для линейных систем весьма эффективным оказался метод моментов [98, 40].

Методы первого порядка демонстрируют, как правило, высокую эффективность на первых итерациях и ее резкое снижение в окрестности оптимума. Это заставило обратиться к более сложным схемам построения алгоритмов и разработке методов второго порядка [2, 104, 10]. Они связаны с тейлоровской аппроксимацией функции Кротова-Беллмана и условий Беллмана в окрестности текущего приближения с точностью до малых второго порядка, что приводит к дифференциальным уравнениям для первых и вторых производных функции Кротова-Беллмана. Если при этом так же аппроксимируются правые части систем (1), (2) по переменным состояния и управления то получается метод слабого улучшения, а результирующий синтез управления оказывается линейным. Ряд таких методов для непрерывных и дискретных систем приведен в [58, 71, 56]. Иначе получаются методы сильного улучшения. Такого типа методы представлены в [104, 68, 51].

Приведем соотношения в методе сильного улучшения: ф = -Н- (т{П — H?), ф (гР) = -aFx{xtF)) — (1 — а) Е, (4) & = ~(П1ХХ + аПх + П1хра + аНра)), a (tF) = -aFxx{xtF))+ (5) х) = х, (ф (Ь) + сг (ж — х1 {€)))), (6).

Н.(Ь, х, ф) = тах Н (Ь, х, ф, и), иеи (г, х) х, р) — arg тах Н (Ь, х, р, и). ие и (г, х).

Здесь ф и ст соответственно градиент и матрица вторых производных функции Кротова по компонентам гг на опорной таектории. Уравнение для матрицы, а представляет собой матричное уравнение Риккати, которое может и не иметь решения в одной из точек заданного отрезка (особая точка). В этом случае предложена специальная процедура сдвига особой точки в начало отрезка и модификация алгоритма [58].

Новые методы повлекли за собой новую проблему. Если близость соседних приближений в методах градиентного типа первого порядка регулировалась величиной шага по градиенту, то методы второго порядка потребовали иных подходов. Один из возможных подходов был сформулирован в [51] и получил название принципа локализации. Он использовался в [68, 58, 71, 56]. Остановимся на этом подробнее. Вместо исходного функционала рассматриваются функционалы следующего вида:

1″ = а1 + (1-а) IАх2сИ + ^Ах{ЬР)2, и кр

1а = а1 + ±-{1-а) I [/3|Д.т|2 + (1 — ¡-3)Аи2] <И + и.

О < а < 1, 0</3<1, Ах = х — х1^), Аи = и-и1^).

В первой конструкции второе слагаемое является «штрафом» за отклонение от опоры по состоянию. Второй функционал содержит еще одно слагаемое как «штраф» за отклонение и по управлению. В каждом из функционалов коэффициенты, а и /5 являются весовыми коэффициентами. Специальный подбор весовых коэффициентов позволяет регулировать близость соседних приближений.

Это позволяет решать по единой схеме задачи поиска оптимального процесса путем итерационного улучшения и реализации найденного решения в форме синтеза оптимального управления в окрестности его траектории. При этом получаются матричные уравнения Риккати относительно коэффициентов функции Кротова и их дискретные аналоги. В общем случае они отличны от уравнений Риккати классической теории АКОР [109, 4], и соответствующий им приближенно-оптимальный синтез управления, в общем случае, в отличие от синтеза в АКОР — нелинейный.

Если положить, а — 0 в уравнениях (4), (5), то получается метод первого порядка, отличный от градиентного. Методы улучшения, как первого, так и второго порядков, использовались для решения широкого круга прикладных задач [83, 39, 86].

Эпоха освоения космоса привела к необходимости расчета траекторий перелета с одной планеты Солнечной системы на другую (Земля-Марс) и разработки алгоритмов передвижения шагающих аппаратов по поверхностям других планет. Особенность указайных задач состоит в том, что на заданном отрезке времени управляемый процесс разбивается на отдельные этапы, каждый из которых имеет свое описание либо в терминах дифференциальных, либо дискретных уравнений. Все эти этапы связаны общим функционалом. Такие процессы получили название сложных или многоэтапных. В настоящее время их часто называют гибридными. Для них сформулированы общие достаточные условия оптимальности типа Кротова [48, 51], и на этой основе разработана серия приближенных численных методов, которыми только и возможно практическое исследование столь сложных объектов [42, 67, 65, 66, 125].

В работе В. И. Гурмана [48] впервые была приведена математическая модель сложного процесса, и сформулированы достаточные условия оптимальности. Модель сложного процесса содержит два уровня. Нижний уровень представляет собой непосредственное описание управляемого процесса. На этом уровне действует непрерывная модель. Верхний уровень создается искусственно в виде дискретного процесса, связывающего моменты изменения описания исходной системы управления. Позднее обнаружилось, что существуют процессы подобного вида, описываемые дискретными уравнениями. Поэтому в работе [67] модель и достаточные условия оптимальности были распространены на класс дискретных задач. В этом случае модели верхнего и нижнего уровней дискретные.

В работе К. Н. Габелко [42] приведен первый алгоритм решения задачи оптимального управления для сложных процессов градиентного типа. С помощью аналогичного метода решена задача оптимизации химического процесса [9]. Позднее в работах В. И. Гурмана и А. Г Орлова [65, 66] были приведены более общая модель и достаточные условия оптимальности, и решена задача управления шагающим аппаратом. Затем в работе [125] впервые построен для сложных процессов метод улучшения второго порядка.

В статье [129] приведены достаточные условия оптимальности как в форме Кротова, так и в форме Беллмана. Сочетание этих условий и специальное преобразование части приращения функционала позволило построить алгоритм второго порядка, содержащий меньшее число сопряженных переменных на каждом этапе по сравнению с более ранними вариантами метода. В [131, 130] рассматривались достаточные условия оптимальности для сложных процессов с параметрами и процессов с запаздыванием по состоянию. Для последних получен алгоритм градиентного типа.

Иные подходы к оптимизации сложных процессов как процессов в логико-динамических системах развиваются в [37] и в [28].

В конце 1980;х, в 1990;ые годы и в первые годы 21-го века, с одной стороны шла шлифовка разработанных методов, а с другой продолжался процесс создания новых алгоритмов по ранее рассмотренным направлениям. В монографии [35] наряду с методами решения экстремальных задач подробно освещаются итерационные процессы, основанные на принципе максимума. Большое внимание уделено градиентным методам и задаче с дополнительными функциональными ограничениями. Широкий спектр методов и их приложения для решения практических задач представлены в [12, 13]. В монографии [13], помимо изложения методов улучшения и исследования вопросов их настройки, рассматриваются вопросы сходимости методов.

Своеобразным итогом и обобщением многолетних исследований достаточных условий оптимальности и методов улучшения, построенных на базе достаточных условий оптимальности служит монография В. Ф. Кротова [5]. В ней в частности описан общий метод глобального улучшения управления и его конкретная реализация с линейной разрешающей функцией, оказавшаяся особенно эффективной в приложении к управлению квантовыми системами. Родственные методы улучшения, называемые нелокальными, описаны в книге В. А. Срочко [133]. Эти методы развиваются в работах A.C. Булдае-ва [31, 32, 33].

К нелокальным следует также отнести процедуры улучшения в вырожденных задачах оптимального управления, которые характеризуются наличием пассивных дифференциальных связей. Их исключение не меняет искомого решения задачи, но приводит к задаче меньшего порядка (производной задаче). При этом известные локальные улучшения в производной задаче автоматически ведут к нелокальным в исходной [47, 54, 55, 89, 56, 57].

Иные подходы к решению задач улучшения, использующие схемы динамического программирования, представлены в [115, 142, 113].

Большое количество разработанных методов, их модификаций и решенных практических задач привело к появлению обзоров и созданию первых монографий по приближенным методам оптимального управления, досконально освещающим проведенные исследования и новые, возникающие по ходу исследований проблемы. Среди них [143, 111, 94, 40].

Развитие вычислительной техники, появление суперкомпьютеров создало предпосылки для активного использования в задачах улучшения и приближенно-оптимального синтеза схем многомерной аппроксимации уравнения Беллмана, непосредственное использование которого связано с катастрофическим ростом объемов вычислений и памяти с увеличением размерности решаемой задачи. В. Ф. Кротовым впервые предложена схема приближенного синтеза с оценкой на основе достаточных условий оптимальности [101]. Она может реализоваться с помощью различных аппроксимирующих конструкций.

Одна из них, композиция одномерных полиномов, предложенная и реализованная в свое время в [29, 30, 50] позволяет проводить интерполяцию на прямоугольной сетке. Другие варианты интерполяции функции Кротова-Беллмана рассмотрены в [56]. В совместных работах В. И. Гурмана и В. А. Батурина [52, 53] используется интерполяция функции Кротова-Беллмана либо кусочно-постоянной функцией, либо кусочно-линейной. Родственный подход для дискретных систем рассматривался в [62]. Вторая конструкция, регулярный тейлоровский полином обеспечивает интерполяцию на специальной сетке.

Наиболее широкие возможности для применения разнообразных конструкций предоставляет аппроксимация по методу наименьших квадратов.

Сами аппроксимирующие конструкции при этом тоже могут улучшаться. Разные аспекты такого подхода рассматривались в [80, 78, 138]. Теми же методами возможно приближенное аналитическое представление моделей объектов управления, необходимое для применения методов теории управления как точных, так и приближенных, в то время как в реальности эти модели зачастую представлены сложными зависимостями, в том числе эмпирическими, табличными, и компьютерными программами. Наглядным примером может служить модель вертолета при оптимизации режимов нештатной посадки [61, 135, 24].

Отметим, что в связи с этим повысился интерес к дискретизации непрерывных систем — переходу от непрерывной модели к дискретной на ранних стадиях исследования задачи, а не в конце, при численном интегрировании конечных дифференциальных соотношений оптимального процесса. Такое преобразование модели управляемой системы позволяет обойти обременительные теоретико-функциональные требования в применяемых схемах аппроксимации и оценках приближенных решений. Кроме того, в терминах постановки дискретной задачи оптимального управления и соответствующих достаточных условий, возможна интерпретация самых разнообразных задач. Эти вопросы затрагивались в работах [48, 51, 13]. Дискретные модели естественно используются для применения развитых методов нелинейного программирования к решению задач оптимального управления [90, 41, 44].

Как известно, выбор начального приближения, достаточно близкого к оптимуму, играет важную роль при проведении расчетов любым итерационным I методом. Общих методик и рекомендаций на этот счет не существует. Однако для вырожденных задач, широко распространенных на практике, предлагается в качестве начальных приближений находить магистральные решения таких задач специальными методами [49, 81, 79]. 1.

В связи с появлением суперкомпьютеров появилась уникальная возможность параллельных вычислений для решения оптимизационных задачи, что позволяет существенно увеличить их допустимую размерность. Вопросы распараллеливания алгоритмов при решении задач оптимального управления и некоторые результаты этого направления рассматриваются в [73, 74]. В указанных статьях представлен опыт применения параллельных вычислений для приближенного решения задач улучшения и оптимизации законов управления динамическими системами. Для этих целей в ИПС им. А.К. Айламазя-на РАН разрабатывается программный комплекс ISCON (Improvement and Synthesis of Control).

Одним из перспективных направлений решения задач оптимизации является применение многометодного подхода, заключающегося в комбинировании различных методов в процессе решения задачи. Описание подобных технологий есть в работах А. И. Тятюшкина, А. Ю. Горнова [137, 45].

Авторы предлагают в качестве средства для создания многометодных процедур использовать механизм параллельных вычислений, при котором выполняется одновременный запуск нескольких алгоритмов, а на основе сравнения полученных промежуточных результатов выбирается наилучший. Описанный метод достаточно прост в реализации, но при этом не используются знания о свойствах решаемой задачи и применяемых алгоритмах улучшения, которые бы позволили снизить объем вычислений.

В [15, 17] предложен и получил определенное развитие принцип построения многометодных процедур оптимального управления, использующий интеллектуальный анализ соответствия задач и алгоритмов их решения.

Такой подход ориентирован не только на повышение эффективности поиска оптимальных управлений но, что может быть важнее, — на решение проблемы отдаления потенциальных пользователей из предметных областей от ценных достнжеиий теории управления, заключенных в большом разнообразии предлагаемых приближенных схем и алгоритмов, иными словами — на автоматизацию процесса поиска решения по тому запросу, который способен сформулировать пользователь.

Хотя этот подход еще далек от полного воплощения, но проведенный анализ обзорного характера и собственный опыт убеждают в том, что в сочетании со стремительным прогрессом в области технических средств он представляет главное направление развития приближенных методов оптимального управления.

Из приведенного обзора видно, что возможная перспектива развития приближенных методов оптимального управления неотъемлемо связана с высокопроизводительными вычислениями. В данной работе освещены некоторые наработки в этом направлении.

Синтез законов управления, обеспечивающих требуемые свойства управляемой системы и достижение требуемых целей, является кардинальной проблемой теории управления, которая влечет многочисленные математические постановки и их теоретические исследования, соответствующие разнообразным практическим ситуациям. Практическая численная реализация ценных теоретических результатов, полученных в этом направлении ранее, вызывает трудности, связанные со сложностью изучаемых объектов. Получение точного численного решения задач синтеза оптимального управления связано с «проклятием размерности» — проблемой экспоненциального возрастания количества данных из-за увеличения размерности пространства. Термин был введен Ричардом Беллманом в 1961 году. «Проклятие размерности» особенно явно проявляется при работе со сложными системами, которые описываются большим числом параметров.

В работе развивается приближенный изначально (а не на стадии реализации теоретических результатов) подход к синтезу оптимального управления для дискретных динамических систем. Теоретической основой данного подхода являются общая теория достаточных условий оптимальности Крото-ва [ЮЗ] и общего принципа расширения Гурмана [51], которые дают возможность вычисления, по крайней мере, верхних оценок точности приближенных решений. При этом в конструктивном плане используются аппроксимация решений уравнений типа Беллмана, как функций многих переменных.

Помимо прямого назначения, процедуры синтеза оптимального управления и описываемый приближенный подход могут быть использованы для исследования свойств управляемых систем, для повышения эффективности итерационных методов улучшения управления и решения на этой основе широкого круга задач оптимального управления, возникающих в приложениях.

Поскольку даже приближенный подход к решению задач улучшения и синтеза оптимального управления требует больших вычислительных мощностей, исследования в этом направлении стимулируются активным развитием суперкомпьютерной отрасли в России. Благодаря этому в последнее время интенсивно развиваются новые методы, ориентированные на параллельные вычисления на кластерных вычислительных устройствах с учетом высокой степени возможного параллелизма, обусловленного самой природой рассматриваемого класса задач.

Реализация вышеизложенных идей воплотилась в разработке программного комплекса КССЖ (ПК КСОМ), предназначенного для моделирования сложных динамических процессов, решения оптимизационных задач и задач улучшения и синтеза приближенно-оптимального управления для различных прикладных областей на кластерной высокопроизводительной системе семейства «Скиф».

Непосредственной целью работы является развитие приближенного подхода к решению задач моделирования и синтеза приближенно оптимального управления на основе среднеквадратических аппроксимаций, а также реализация и апробация на прикладных задачах соответствующих алгоритмов и их внедрение в ПК ]БС (Ж. Для достижения поставленной цели в работе решаются следующие задачи:

— разработка и реализация эффективных алгоритмов аппроксимации функции многих переменных;

— разработка методов и алгоритмов улучшения и приближенно-оптимального синтеза управления в окрестности траектории текущего приближения или некоторой заданной траектории;

— исследование тестовых и актуальных прикладных задач.

Разработанные алгоритмы аппроксимации функций многих переменных и приближенного синтеза оптимального управления в окрестности опорной траектории могут быть применены для решения широкого круга практических задач моделирования и управления.

По результатам испытаний ПК 1БС (Ж можно сказать, что на основе нового априорно приближенного подхода к решению прикладных задач моделирования, оптимизации, улучшения и синтеза управления разработан достаточно эффективный инструмент, позволяющий решать вышеперечисленные задачи на кластерной высокопроизводительной системе семейства «Скиф».

Результаты исследований проведенных с применением ПК ЕЭССШ и его алгоритмов отражены в ряде публикаций, и в научных отчетах выполненных актуальных исследований в рамках:

1) проектов РФФИ (Ж)6−01−330-а «Реализация обобщенных решений задач управления», № 09−01−170-а «Вырожденные задачи оптимального управления», № 05−01−260-а «Приближенный синтез оптимального управления», № 08−01−274-а «Приближенные методы оптимизации управления на основе аппроксимаций модели объекта»);

2) Программы Союзного государства «Развитие и внедрение в государствах участниках Союзного государства наукоемких компьютерных технологий на базе мультипроцессорных вычислительных систем», шифр «ТРИАДА», подпроект «Разработка программного комплекса улучшения и оптимизации законов управления для приложений в различных областях (ПК ISCON — Improvement and Synthesis of Control)»);

3) Научно-технической программы Союзного государства «Разработка и использование программно-аппаратных средств Грид-технологий перспективных высокопроизводительных (суперкомпыотерных) вычислительных систем семейства «СКИФ» (шифр «СКИФ-ГРИД»), подпроект «Многовариантные расчеты стратегии устойчивого развития Байкальского региона с применением ПК ISCON на суперЭВМ «СКИФ».

Результаты работы обсуждались на семинарах исследовательского центра процессов управления и исследовательского центра системного анализа ИПС им. А. К. Айламазяна РАН. В виде докладов результаты были представлены на следующих научных конференциях:

— Международная конференция «Программные системы: теория и приложения» (PSTA-2006), ИПС РАН, г. Переславль-Залесский, 23−28 октября 2006 г.;

— Международная конференция «КОЛМОГОРОВСКИЕ ЧТЕНИЯ. Общие проблемы управления и их приложения. Проблемы преподавания математики» (ОПУ-2007), ТГУ им. Г. Р. Державина, г. Тамбов, 8−12 октября 2007 г.;

— Третья всероссийская научно-практическая конференция по имитационному моделированию и его применению в науке и промышленности «Имитационное моделирование. Теория и практика» (ИММОД-2007), ФГУП ЦНИИ ТС, г. Санкт-Петербург, 17−19 октября 2007 г.;

— Научно-практическая совместная конференция студентов, аспирантов, преподавателей и научных сотрудников Института программных систем Российской академии наук и «Университета города Переславля» им. А. К. Айламазяна, г. Переславль-Залесский, апрель 2008 г.;

— Международный симпозиум «Обобщенные решения в задачах управления», 23−28 июня 2008. г. Улан-Удэ — б/о «Ровесник» (оз. Байкал) Бурятия, Россия;

— IV международная конференция «Параллельные вычисления и задачи управления», РАСО-2008, 27−29 октября 2008 г., Москва;

— Международная конференция «Программные системы: теория и приложения», ИПС им. А. К. Айламазяна РАН, г. Переславль-Залесский, май 2009 г.;

— школа-семинар «Приближенные методы оптимального управления в параллельных вычислениях», ИПС им. А. К. Айламазяна РАН, Переславль-Залесский, 2−5 января 2011 г.

Основные результаты исследования отражены в 15 печатных работах, в т. ч. 6 в ведущих рецензируемых журналах [16, 21−27,59,60,72,74,76,132,136].

В работе [25] автором разработан алгоритм приближенно-оптимального синтеза управления в окрестности опорной траектории, и приведен пример решения задачи пространственного маневра вертолета, посчитанный автором. Вклад автора в работу [136] заключается в описании аппроксимации модели вертолета по методу наименьших квадратов. В работах [26,27] изложены идеи диссертационной работы: приближенный подход к решению задач моделирования и синтеза оптимального управления на основе среднеквадра-тических аппроксимаций. Совместно с соавтором описана реализация прототипа ПК ШССШ, исполняемыми модулями которого в частности являются построенные в работе алгоритмы. Соавтору принадлежит описание технической стороны реализации прототипа комплекса. В работе [16] автором описана идеология применения среднеквадратической аппроксимации управляемых систем и особенности параллельной реализации алгоритма в ПК КСОМ. В статье [24] совместно с соавтором рассмотрен приближенный подход к исследованию оптимального управления летательным аппаратом как сложным объектом, не имеющим полного аналитического описания. Предлагается аппроксимация практических (в том числе — имитационных) моделей объекта аналитическими конструкциями различной сложности и точности. Приводится пример восполнения аналитического описания динамической модели. В конце статьи приведено описание ПК 1БСОМ, выполненное совместно с другим соавтором. В совместной работе [76] автором описан этап преобразования модели в предлагаемом подходе к решению задач оптимизации управления. В работе [60] соавторами рассмотрена модификация модели, предназначенной для качественного анализа и демонстрации различных вариантов управления системой «Человек-Природа», которая учитывает инновации как важнейший фактор устойчивого развития. На основе метода кратных максимумов автором решена задача оптимального управления для этой модели и произведены сравнительные расчеты для различных наборов параметров. Вклад автора в работы [22,23,74] состоит в описании разработанных им и использованных в ПК 1БС (Ж алгоритмов и область их применения. Описание идеологии интеллектуального интерфейса ПК ГБСОК является вкладом автора в совместную работу [72]. В работе [132] автором реализовано магистральное решение.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Ниже приводятся основные научные результаты, полученные в диссертации.

1. Разработана методика построения аналитических динамических моделей объекта управления с использованием его описания в форме компьютерных программ и эмпирических данных на основе среднеквадра-тических аппроксимаций. Указанная методика апробирована на практической задаче.

2. Разработан метод и реализован единый настраиваемый алгоритм улучшения и приближенно оптимального синтеза управления в окрестности опорной траектории для дискретной или дискретизованной динамической системы на основе среднеквадратической аппроксимации функции Кротова и условий Беллмана.

3. Показана практическая применимость и действенность разработанных подходов: исследованы и решены практические задачи подъема-разгона и безопасной нештатной посадки вертолета, оптимизации развития региона на многокомпонентной модели с применением разработанных алгоритмов, реализованных в ПК 18С (Ж, на кластерной высокопроизводительной системе семейства «Скиф».