Компьютерное моделирование пьезопреобразователей и анализ их параметров методами конечных и граничных элементов

Пьезоэлектрические и пьезомагнитные преобразователи (ПЭП и ГТМП) являются важной частью многих самых различных гидроакустических систем, а также широко применяются в ультразвуковых установках, радиотехнике, автоматике, робототехнике, измерительной технике. Технические характеристики любой акустической системы в значительной степени зависят от основных параметров используемых в ней пьезопреобразователей (ПП). В настоящее время наибольшее распространение получили ПП, активный элемент которых выполнен из пьезоэлектрической или пьезомагнитной керамикион может иметь различную геометрическую форму и размеры.

Полный анализ ПП произвольной формы и размеров содержит две основные задачи, которые фактически являются связанными, — анализ многомерных колебаний ПП с учетом пьезоэффеьсга и анализ акустического поля многомерными колебаниями ПП. Аналитические позволяют рассматривать только небольшой класс таких задач, используя различные приближенные модели теории колебаний и теории излучения. В монографии М-Д.Смарышева [117] отмечается: «В принципе задача об излучении или приеме звука антенной сводится к необходимости совместного решения двух задач — волновой и задачи о механических колебаниях преобразователей. Поэтому наиболее строгий метод должен состоять в совместном решении волнового уравнения, определяющего распространение звука в среде, и уравнения колебаний преобразователя. Однако в такой постановке задачу удается довести до конца только в простейших случаях. В связи с этим обычно для описания колебаний преобразователя пользуются упрощениями, позволяющими рассматривать преобразователь как механическую систему с сосредоточенными параметрами.» В этом случае ПП заменяют классическими одномерными моделями, которые анализируются либо аналитическим методом, либо следующим из него методом эквивалентных схем. Одномерные модели не учитывают конечность нерезонансных размеров ПП и ограничиваются простейшими геометрическими формами: пластинами, стержнями, цилиндрами и сферами [1, 57, 63, 64,103−106, 113, 122, 126−128, 211].

Во многих практических случаях одномерная модель весьма далека от реального ПП, поэтому аналитические методы дают только приближенные значения основных параметров ПП, не позволяют учесть конструктивные особенности и выбрать оптимальные геометрические размеры. Одномерная модель предполагает также постоянство колебательной скорости на излучающей поверхности, что часто не соответствует фактической ситуации и приводит к большой погрешности при расчете характеристики направленности. В статье В. В. Мелешко [97] отмечено: «Экспериментальные данные, полученные в последние годы, наглядно свидетельствуют о том, что задание на поверхности излучателя равномерно распределенной колебательной скорости, не отражающей фактически реализуемой формы движения, приводит к существенным погрешностям в определении диаграммы направленности в дальнем поле» .

Отметим также, что существующие аналитические методы, основанные на одномерной теории, неприменимы для исследования перспективных ПИ неканонической формы и усложненных конструкций, представляющих практический интерес, например, рассмотренных в данной работе цилиндрических ПП с внутренними пассивными элементами. Таким образом, ситуация в теории пьезопреобразователей аналогична с положением дел в гидроакустике в целомтак как по мнению известного сторонника численных методов В. Ю. Завадского, изложенному' в его монографии [62]: «В настоящее время даже минимальные требования гидроакустики выше максимальных возможностей метода нормальных волн и лучевого метода.» .

Ограниченные возможности аналитических методов приводят к тому, что многие вопросы разработки отечественных ПП сейчас можно решить только опытным путем, что связано с большими затратами времени и материалов. Вопрос об оптимальности конструкции при этом обычно остается открытым, так как часто невозможно исследовать все варианты. Компьютерное моделирование на основе метода конечных элементов (МКЭ) и метода граничных элементов (МГЭ) позволяет анализировать реальную конструкцию при варьировании ее параметров и таким образом значительно ускорить и удешевить разработку высокоэффективных ПП. По этой причине автор работы солидарен с мнением уже упоминаемого В. Ю. Завадского [62]: «. необходимы своевременная смена научных концепций, разработки радикально новых теорий, математическое и численное моделирование в условиях наиболее близких к реальным. Становится необходимым не просто улучшать и усложнять прежние формулы, а принципиально изменять подход, переходя от чрезмерной, иногда парализующей всякий анализ (даже численный) сложности теоретических формул к простоте, ясности и своеобразной красоте алгоритмических решений, которые берут в основу простоту и красоту исходных уравнений математической физики.» .

Кратко рассмотрим ситуацию в аналитической теории колебаний ограниченных лтфугих тел без учета и с учетом пьезоэффекта. Анализ собственных частот и форм колебаний конечных однородных изотропных упругих тел (то есть без учета анизотропии и пьезоэффекта) был предметом исследования известных ученых прошлого: Дебая, Кри, Ламе, Лауэ, Лэмба, Похгаммера, Пуассона. Задача о колебаниях сферы оказалась единственной пространственной задачей, имеющей строгое решение [50]. Основные трудности связаны с тем, что конечное тело ограничено координатными поверхностями различных типов и поэтому не является гладким, а имеет линии (ребра), в которых существует неединственная нормаль. Это приводит к значительным трудностям при подборе решения, удовлетворяющего граничным условиям. Большие проблемы возникли при анализе собственных колебаний конечных круглых цилиндров. «Сложности в построении точных аналитических решений привели Лауэ (1925 г.) к парадоксальному заключению о том, что собственных колебаний цилиндра со свободной поверхностью вообще не существует» [50]. (Макс фон Лауэ (1879−1960 г. г.), немецкий физик, лауреат Нобелевской премии 1914 г.).

Трудности получения точных решений для упругих тел конечных размеров стимулировали развитие приближенных теорий. К началу XX века приближенные решения были получены для пластин, мембран, стержней, оболочекработы в этом направлении продолжаются и до настоящего времени. Аналитические методы для изотропных твердых тел развиты в работах В. Т. Гринченко и В. В. Мелешко [50]- Б. А. Касаткина [81−84]- Е. В. Именитовой, К. В. Чернышева, В. В. Шегай [72, 131]- Дж.Р.Хатчинсона а&НшсЫшюп) [174]- Р. Кумара (Д.Китаг) [192−194]- М. Румермана (М.Кшпегтап) [216] и многих других отечественных и зарубежных ученых. Однако, многолетние исследования в этом направлении привели лишь к частичному успеху для упругих тел простейшей геометрической формы без учета анизотропии и пьезоэффекха, причем применяемый математический аппарат достаточно сложен и неуниверсален. Обобщение же разработанных методов на пьезокерамику приводит к непреодолимым математическим трудностям. Отметим также, что анализ полученных результатов часто невозможен без разработки специализированных программ, иногда требующих корректировки алгоритма яри изменении размеров упругого тела. Следовательно, значительного прогресса в аналитическом направлении не ожидается.

Неодномерные приближенные аналитические модели с учетом пьезоэффекта, рассматривались в работах ЛЛ. Гутина [53]- В. Н. Лазуткина и А. И. Михайлова [90−94]- В. З. Партона и Б. А. Кудрявпева [103], а также в статьях зарубежных авторов [152, 166, 203, 212, 235, 236, 240]. Д. С. Друмхеллер и А. Калнинс (О.З.ОгшпЬеИег, А. Ка1шш, Университет Лехай, г. Бетлехем, Пенсильвания) [153] рассмотрели две низшие моды колебаний пьезоэлектрических цилиндров конкретных размеров с радиальной и осевой поляризацией на основе теории оболочек. Заметим, что допущения, принятые в этой теории, накладывают большие ограничения на возможные формы колебаний и, как будет показано в главе 2, не позволяют анализировать изгибные моды, поэтому полученная этим методом информация является неполной.

В статьях сотрудников отдела электроупругости Института механики Академии наук Украины А. М. Болкисева и Н. А. Шульги, опубликованных в журнале «Прикладная механика», например, [32, 33] используется классический метод разделения переменных Фурье. Для этого подбираются «искусственные» краевые условия, при которых этот метод можно применять, в том числе, одновременное наличие электродов на цилиндрических поверхностях и торцах. Недостаток теоретических результатов в некоторой мере компенсировался экспериментальными исследованиями [2, 206,219, 231].

Лучшие результаты были получены вариационными методами. Р. Хол-ленд и ЕНЭрниссе (R.Holland, Е. Р. Еег Nisse, Лаборатория Сандиа, г. Альбукерке, Нью-Мексико) в работах [154, 167−169] применили вариационный метод Ритца для анализа собственных колебаний ПЭП конечных размеров и исследовали резонансные частоты, формы колебаний и динамические емкости прямоугольных и круглых пластин и прямоугольных параллелепипедов. В. Н. Лазуткин и А. И. Михайлов (Научно-исследовательский инженерный институт г. Балашиха) в статье [91] использовали этот метод для анализа колебаний цилиндров конечных размеров с осевой поляризацией и рассмотрели зависимости резонансных частот и динамических емкостей от длины цилиндра (первые четыре моды).

В вариационном методе решения для электрического потенциала и смещения ищутся в виде рядов по координатным функциям, которые должны наиболее полно приближаться к точному решению и зависят от геометрической формы ПЭП. Если область имеет неканоническую форму вариационный метод неприменим, так как нельзя подобрать систему координатных функций для всей области в целом. МКЭ представляет собой один из вариационно-разностных методов. Его большим преимуществом, по сравнению с обычными вариационными методами, является универсальность: МКЭ можно анализировать 1111 произвольной геометрической формы и размеров с любым типом поляризации и произвольной формой электродов с учетом пассивных элементов конструкции.

Высокая производительность современных ЭВМ (в том числе персональных компьютеров), а также перспективы их развития изменили соотношение между численными и аналитическими методами в пользу первых. Современные численные методы, особенно МКЭ и МГЭ, следует считать наиболее эффективным и перспективным математическим аппаратом для анализа реальных 1111. Важными преимуществами МКЭ и МГЭ являются эффективность, относительная простота, универсальность: многие подпрограммы не зависят от геометрической формы ГШ, а также перспективность, связанная с дальнейшим совершенствованием компьютеров. Точность численных методов вполне удовлетворяет требованиям практики, особенно, если учитывать, что постоянные пьезокерамики нестабильны (разброс значений постоянных может достигать 20%) — совпадение численных результатов с экспериментальными измерениями хорошее. Таким образом, автор солидарен с мнением В. Ю. Завадского [62]: «Высокая производительность компьютеров изменила соотношение между вычислениями при использовании теоретических решений в виде формул для волновых задач и численными алгоритмами, схемами, разностными методами, применяемыми непосредственно к исходным уравнениям задачи. Конечно, формулы сохранили свое значение как более наглядные средства представления решения простых идеализированных задач. В то же время стало ясно, что в более сложных задачах необходимо использовать всю мощность компьютера и применять универсальные алгоритмы.» .

Первые работы по численному анализу ПЭП были опубликованы в Англии, Канаде, США и Японии в конце 60-х — начале 70-х годов. Одной из первых работ является статья П. Ллойда и М. Рэдвуда (Р.Ь1оус1, М. КесЬуооё, Университет Лондона, Англия) [201], которые применили метод конечных разностей (МКР). В статье Г. У.Мак-Магона (ОЛУ.МсМаЪоп, Атлантическое оборонное научно-исследовательское учреждение, г. Дартмут, Канада) [207] МКР рассчитаны две первые резонансные частоты изотропного круглого стержня конечной длины и представлены их зависимости от длины стержня.

В 1965 г. Г.М. Л. Глэдуэлл (0.М.Ь.01асЬ-е11, Университет Ватерлоо, Канада) в докладе [159] впервые применил матричные методы структурного анализа к задачам акустики. Позже он вместе с соавторами исследовал МКЭ собственные колебания конечных упругих цилиндров и осесимметричных резонаторов [160−162].

Фундаментальные работы, давшие мощный толчок компьютерному моделированию ПЭП были выполнены в начале 70-х годов практически одновременно и независимо в США и Японии. В США работы в этом направлении были начаты корпорацией Дженерал дайнемикс в отделе электросудов (гХротон, Коннектикут) и продолжены в Военно-морском центре подводных исследований (г.Сан-Диего, Калифорния). Группой из восьми ученых: Х. Аллтс Т.Дж.Р.Хьюз, К. М. Вебман, Дж.Т.Хант, Р. Р. Смит, Д. Барач, М. Р. Книттель. Ч. С. Нихолс (Н.АШк, Т.Ш.Ни^ез, К.М.УеЬтап, ГТ. Нип! К.Я.БгшШ, О. Вагаск М.К.КшИе1, С.З.МсЬоЬ) были получены фундамевпгальные результаты по применению МКЭ для анализа колебаний ПЭП, излучения и рассеяния звука конечными телами, кратко опубликованные в 1970;1975 годах в открытой печати в виде шести журнальных статей.

В статье [136] приведена в матричной форме система линейных алгебраических уравнений, описывающая пьезоэлектрический конечный элемент (КЭ), которая получена на основе вариационного принципа, обобщающего пришил минимума потенциальной энергии. В работе [137] рассмотрены результаты анализа свободных колебаний ПЭП в виде пьезоцилиндра с радиальной поляризацией и дополнительными массами, отмечено хорошее соответствие расчетов с экспериментом. В статье [234] анализируется сферический и цилиндрический тангенциально поляризованный ПЭП. Рассмотрены три первые моды колебаний пьезоцилиндра конкретных геометрических размеров (радиальная, изгибная, высотная). Изложен один из методов учета жидкой акустической нагрузки, основанный на применении граничного интегрального уравнения Гелъмгольца, фактически МГЭ, хотя сам этот термин в то время еще не сформировался, а был введен П. Бенерджи и Р. Баттерфилдом позже: в 1975 г. [142]. В этой работе поставлена и решена задача «стыковки» ранее разработанных программ: СШЕБ (Центр подводных исследований) и МАШКАМ (Дженерал дайнемикс). В статье содержится ошибочное мнение, что изгибная мода, которая плохо возбуждается в воздухе, хорошо возбуждается в воде. Это заблуждение исправлено в комментарии авторов [190]. В работе [172] изложен иной способ учета жидкой акустической нагрузки на примере свободно-погруженного пьезоцилиндра: ближнее поле описывается жидкими КЭ, а дальнее поле — расходящимися сферическими волнами. Представлены экспериментальные и расчетные частотные характеристики комплексного электрического импеданса и диаграммы направленности для пьезоцилиндра конкретных размеров. Применение МКЭ к анализу акустического рассеяния от упругих структур рассмотрено в статье [173].

Объективности ради отметим, что не все более поздние работы других американских ученых сохранили первоначально высокий уровень. Например, в статье Дж. ФМак-Дермона (G.F.McDeaimorL Аэрокосмическая корпорация Goodyear, г. Акрон, Огайо) [205] рассмотрено добавление пьезоэлектрических свойств к структурным конечно-элементным программам. Статья содержи! подробно расписанные матрицы для трехмерных колебаний прямоугольных тел (операция известная и обычно опускаемая), ссылку на разработанную программу PIFEN и до сих пор невыполненные обещания о том, что в дальнейших публикациях будет приведен анализ нескольких ПЭП с помощью этой программы.

В Японии пионером МКЭ является Ю. Кагава (Y.Kagawa, Национальный университет Тояма). Учет пьезоэлектрического эффекта в конечно-элементной модели выполнен им совместно с Г. М. Л. Глэдуэллом [179]. Ю. Кагавой и Т. Ямабучи (T.Yamabuchi) сначала вдвоем, а потом и с сотрудниками, опубликованы фундаментальные работы по исследованию различных акустических устройств: акустических и электромеханических фильтров [177, 180], приборов на поверхностных волнах [182], электромеханических резонаторов, в том числе и с захватом энергии [178, 185], ПЭП [183, 184], передающе-излучающих систем с приложением полученных результатов к расчету рупоров, глушителей и громкоговорителей [186, 187] и т. д. В статье [184] для анализа составных осесимметричных ПЭП в жестком плоском экране, контактирующих с жидким полупространством, предложен комбинированный численно-аналитический метод. Последние работы этих ученых посвящены применению численных методов в медицине, например, одна из последних статей [181], в которой построена модель речевого тракта человека.

Следующей довольно многочисленной группой ученых, внесшей определенный вклад в применение МКЭ, являются французские акустики. В статье [144] рассмотрен комбинированный метод: МКЭ и теория возмущений, который позволяет снизить затраты на вычисления. Комбинированный численно-аналитический метод (МКЭ и плоских волн) предложен в статье [150] и применен для анализа колебаний в воздухе ПЭП, изготовленного из столбика пьезоактивных элементов, присоединенной массы и металлического конуса. Обзор работ по использованию МКЭ к задачам акустики, выполненных фирмой Томсон-Синтра за 6 лет, дан в [241].

Конечно, основоположники применения численных методов проложили основные направления и расставили главные ориентиры, но они оетсшшш и большое поле деятельности продолжателям этих методов. И главной проблемой здесь является отсутствие программного обеспечения, поскольку ¿-штору известны ссылки на существующие американские программы, вероятно, в свое время недоступные даже французским ученым, так как есть ссылки на значительно более поздние французские программы (MODULEF, только МО, 1986 г., авторский коллектив — 10 человек и ATTLA, авторский коллектив — 9 человек). Из этого следует, что им, как и автору, пришлось разрабатывать свои собственные алгоритмы и программы, что является весьма непростым и трудоемким делом, оцениваемым обычно (МКЭ и МГЭ) в несколько человеко-лет. В этом и заключается одна из причин недостаточного применения МКЭ и МГЭ в отечественной акустике. Сами же публикации по этим методам несколько своеобразны, так как носят в какой-то мере «рекламный» характер: их результаты весьма непросто повторить и использовать без соответствующего программного обеспечения.

В последующих работах французских ученых предложен комбинированный метод решения внешней акустической задачи, основанный на объединении известных подходов: интегрального уравнения и метода нулевого поля (Т-матриц) [237]. В статье [143] моделирование излучающей структуры выполнено МКЭ с помощью окружения этой структуры конечной жидкой областью и использования дипольных демпфирующих элементов. Известны также и другие работы этих авторов, например, [138,139, 165].

В завершении «географического обзора» отметим более поздние работы Р. Лерча (КХегсЬ, Сименс АГ, г. Эрланген, Германия) [197−200]. Известно еще много других работ зарубежных авторов по МКЭ, выполненных, в основном, в США, Японии, Англиинекоторые из них, но, естественно, не все приведены в списке литературы, на часть этих работ будут даны ссылки в дальнейшем.

География" же работ по применению МГЭ к задачам излучения и рассеяния звука упругими телами более широка: от США, Японии, европейских стран до Турции (Е.БокитасО и даже Индонезии (В.Боепагко, в соавторстве с учеными США). Поэтому отметим только большое количество недавних работ А. Ф. Сейберта с сотрудниками (А.Р.ЗеуЬей, Университет Кентукки, гЛексинг-тон) [224−230, 243], которые внесли большой вклад в решение задач излучения звука упругими телами произвольной формы и преодоление возникающих при этом трудностей. В списке литературы указаны и многие другие работы.

Необходимо заметить, что хотя количество статей, посвященных анализу акустического излучения конечных тел численными методами (в основном МГЭ) значительно, особенно в последние годы, работ, в которых рассматривается излучение 1111, совсем немного: фактически это уже упоминаемые статьи [143, 172, 184, 190, 234]. Подчеркнем, что речь идет о так называемых «сквозных» задачах (в терминологии автора статьи [41]), когда задано электрическое напряжение, а не скорость (или сила) на поверхности ПП, иначе говоря, учтен пьезоэффект.

Отметим еще две статьи, в которых для решения «сквозной» задачи использованы аналитические или численно-аналитические методы. В статье [41] И. В. Вовка (Институт гидромеханики Академии наук Украины, г. Киев) аналитическим методом частичных областей рассмотрено излучение звука конечной решеткой, состоящей из открытых цилиндрических оболочек (с учетом ряда тгрощающих предположений). П. Х. Роджерс (P.H.Rogers, Технологический институт Джорджии, г. Атланта) в статье [215] разработал численно-аналитическую модель водозаполненного пьезоцилиндра с радиальной поляризацией. Для моделирования пьезоцилиндра использована теория оболочек, а для численного интегрирования граничного интегрального уравнения Гельм-гольца — известная программа SHIP (ранее созданная под его руководством в Военно-морской научно-исследовательской лаборатории г. Вашингтон). Как уже отмечалось, теория оболочек, а, следовательно, и предложенная комбинированная математическая модель, не учитывает изгибные моды, поэтому полученная на ее основе информация будет неполной. В главе 3 на основе разработанной автором комбинированной модели (МКЭ и МГЭ) водозаполненного пьезоцилиндра, свободной от ограничений, присущих моделям в статьях [41], [215], будет показано, что изгибная мода может значительно искажать частотные характеристики ПП и его диаграмму направленности.

Известно небольшое количество отечественных работ по применению МКЭ к анализу ПЭП. В работе [85] С .П.Ковалева, В. А. Кузьменко, Г. Г.Писарен-ко, В. МЧушко (Институт проблем прочности АН Украины, г. Киев) рассмотрено построение численного решения задач электроупругости на основе общего энергобаланса. Р.-И.Ю.Кажис и Л. Ю. Мажейка (Лаборатория ультразвука Каунасского политехнического института) изучили двумерные задачи по исследованию неоднородных акустических и электрических полей и нестационарного режима ПЭП [74−78]. В статьях [3, 5] А. М. Аллавердиева, Н.Б.Ахмедо-ва, ИИСтыриковича, М. С. Третьяка, Т. Д. Шермергора (Московский институт электронной техники, НПО «Уран», г. Санкт-Петербург, НИИ «Элпа», г. Зеленоград) рассмотрены колебания осесимметричного ПЭП и составного ПЭП, контактирующего с бесконечной жидкой средой. Известны и некоторые другие работы, часть из которых приведена в списке литературы.

Таким образом, из сопоставления количества и качества зарубежных и отечественных работ очевидно, что МКЭ и МГЭ еще не получили должного применения у отечественных исследователей. В то же время даже вполне доступные сейчас персональные компьютеры типа PC IBM позволяют решить многие довольно сложные задачи моделирования и анализа ПП в том числе и с учетом акустического излучения. Это дает возможность получить новые теоретические результаты, которые имеют также и большое практическое значение. На исследование этой актуальной проблемы и направлена данная диссертационная работа, в которой решены следующие основные задачи:

1. Разработан комбинированный метод конечных и граничных элементов для анализа ПП произвольной геометрической формы и размеров, который позволяет исследовать как собственные колебания ПП (собственные частоты, формы колебаний, динамический коэффициент электромеханической связи, входной электрический импеданс или проводимость), так и работу ПП с учетом акустического излучения (частотные характеристики, диаграмму направленности, распределения скорости и давления на излучающих поверхностях).

2. Выполнена программная реализация комбинированного метода конечных и граничных элементов для осесимметричных ГШ, состоящих из пьезоактивных и пассивных конструктивных элементов.

3. Разработана комбинированная численно-аналитическая компьютерная модель пьезомагнитного преобразователя с аналитическим учетом магнитного поля.

4. Разработана комбинированная численно-аналитическая компьютерная модель тангенциально поляризованной пьезооболочки вращения с аналитическим учетом электрического поля.

5. Выполнен полный анализ собственных колебаний (спектры собственных частот, формы колебаний, динамический коэффициент электромеханической связи) ПП произвольных размеров классических типов: пьезоэлектрических цилиндров с радиальной, осевой и тангенциальной поляризациями, пьезомагнитного цилиндра с тороидальной обмоткой и некоторых других, направленный, в частности, на оптимизацию геометрических размеров ПП, обеспечивающих максимальную эффективность преобразования энергии, а также на определение пределов применимости классических одномерных аналитических теорий.

6. Выполнен анализ и оптимизация геометрических размеров водозапол-ненного (свободно-погруженного) пьезоцилиндра с тангенциальной и радиальной поляризацией.

7. Выполнен анализ и оптимизация геометрических размеров ПП в виде тангенциально поляризованных пьезоцилиндров с внутренним пассивным заполнением и внутренним стержнем. Показано, что пьезоцилиндр с внутренним заполнением, выполненным из материала с небольшим акустическим сопротивлением, обладает широкополосной частотной характеристикой чувствительности излучения с двумя максимумами, то есть он является аналогом водозаполненного пьезоцилиндра.

8. Выполнен анализ и оптимизация размеров ПП усложненных конструкций на основе водозаполненного пьезоцилиндра: пьезоцилиндра с гшутрС1шш упругой сферической перегородкой и пьезоконуса. Показана возможность формирования при определенных размерах направленного излучения вдоль оси симметрии таких ПП с небольшим уровнем тыльного излучения. Можно получить диаграмму направленности по форме близкую к кардиоидетакая диаграмма направленности может быть необходима для специальных гидроакустических устройств.

9. Выполнен анализ и оптимизация размеров цилиндрической гидроакустической антенны, состоящей из двух водозаполненных пьезоцилиндров с учетом их акустического взаимодействия.

10. Предложена некоторая модификация известного численно-аналитического метода Ю. Кагавы и Т. Ямабучи для анализа осесимметричных ПП в плоском жестком экране.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы.

3.18. Выводы.

1. Рассмотрен комбинированный численно-анатшический метод для анализа акустического излучения осесимметричных ПЭП в плоском жестком экране, выполнена его программная реализация. С помощью этого метода исследовано акустическое излучение пьезопласшны, находящейся в плоском жестком экране.

2. Рассмотрены основные положения МГЭ, разработано его программное обеспечение для осесимметричных ПЭП. Программа МГЭ проверена по задаче, имеющей точное решение, — излучению пульсирующей сферы. Получено хорошее соответствие численных результатов с аналитическими.

3. Разработан комбинированный метод конечных и граничных элементов с учетом пьезоэффекта для анализа вынужденных колебаний конечных ПП, находящихся в жидкости, выполнена программная реализация этого метода для осесимметричных ПЭП.

4. Расчеты по программе комбинированного метода проверены по известным численным и экспериментальным результатам для водозаполненных пьезоцютишров с тангенциальной и радиальной поляризацией. Показано, что результаты расчетов находятся в хорошем соответствии с экспериментом.

5. Рассмотрен вопрос об исключении погрешности решения МГЭ на критических частотах. Отмечено, что погрешность решения комбинированного метода можно исключить, используя известный метод. Кроме того, предложен довольно простой и физически очевидный способ устранения этой погрешности, основанный на введении потерь (комплексного волнового числа в жидкости). Показано, что с помощью предложенного метода можно получить практически идентичные результаты при анализе ПП по сравнению с известным более сложным классическим методом.

6. Выполнен анализ основных характеристик водозаполненных пьезоцилиндрое с тангенциальной и радиальной поляризацией. Определены оптимальные геометрические размеры этих ПЭП, при которых достигается наиболее равномерная широкополосная частотная характеристика чувствительности излучения. Показано, что изгибная мода может значительно искажать частотные характеристики и диаграмму направленности водозаполненного пьезоцилиндра. Обсуждены способы устранения влияния паразитной изпгбной моды.

7. Выполнен анализ гидроакустической антенны из двух одинаковых водозаполненных пьезоцилиндров с учетом их акустического взаимодействия. Показано, что акустическое взаимодействие между пьезоцилиндрами при малом расстоянии между ними приводит к значительному изменению распределений нормальной колебательной скорости и давления на излучающих поверхностях. Также показано, что акустическое взаимодействие может приводить к появлению паразитной антисимметричной моды, которая искажает частотные характеристики антенны и ее диаграмму направленности. Обсуждены способы устранения паразитной антисимметричной моды.

8. Исследован цилиндрический ПЭП с внутренним твердым заполнением. Показано, что при заполнении пьезоцилиндра материалом с малым акустическим сопротивлением он является аналогом водозаполненного пьезоцилиндра, то есть имеет широкополосную частотную характеристику с двумя максимумами. Определены оптимальные геометрические размеры такого ПЭП, обеспечивающие его наиболее равномерную широкополосную частотную характеристику.

9. Рассмотрен цилиндрический ПЭП с внутренним пассивным стержнем, выполненным из материала с небольшим акустическим сопротивлением. Показана возможность формирования направленного излучения вдоль оси стержня с небольшим уровнем бокового и тыльного излучения при определенных геометрических размерах ПЭП.

10. Исследован ПЭП в виде водозаполненного полого усеченного конуса (более общая задача по сравнению с водозаполненным пьезоцилиндром). Показано, что применение водозаполненного пьезоконуса в качестве гидроакустического излучатеж позволяет либо сформировать диаграмму направленности в виде, близком к кардиоиде, либо получил, почти ненаправленное излучение.

11. Выполнен анализ цилиндрического водозаполненного ПЭП с внутренней упругой перегородкой, представляющей собой часть сферы. Показано, что при определенных геометрических размерах формируется характеристика направленности с небольшим уровнем тыльного излучения, осевое сечение которой похоже на кардиоиду.

Основное содержание этой главы опубликовано в работах [13, 14, 17, 18, 247 252].

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Подводя итоги, сформулируем основные результаты проведенных исследований.

1. Разработан комбинированный метод конечных и граничных элементов с учетом пьезоэффекта и аку стической нагрузки для анализа конечных пьезопреобразо-вателей произвольной геометрической формы и размеров. Он позволяет анализировать как собственные колебания пьезопреобразователей конечных размеров: частоты резонанса и ангарезонанса, динамический коэффициент электромеханической связи, формы колебаний, входной электрический импеданс или проводимость, так и вынужденные колебания конечного пьезопреобразовагеля, находящегося в жидкосд й,-частотные характеристики, диаграмму направленности, распределения скорости и давления на излучающих поверхностях.

2. Разработано программное обеспечение комбинированного метода конечных и граничных элементов для анализа конечных осесимметричных пьезопреобразователей, состоящих из пьезоактивных и пассивных конструктивных элементовоно представлено блок-схемой, текстами 31 подпрограммы на языке Фортран для ГС IBM и 2 программ, в которых используются эти подпрограммы.

3. Разработана комбинированная численно-аналитическая компьютерная модель конечного пьезомагнишого преобразователя с аналитическим учетом магнитного полявыполнена программная реализация этой модели для случая пьезомагнишого цилиндра с тороидальной обмоткой.

4. Разработана комбинированная численно-аналитическая модель конечной секционированной пьезооболочки вращения с аналитическим учетом электрического полявыполнена программная реализация этой модели для тангенциально поляризованного пьезоцилиндра.

5. Предложена модификация известного численно-аналитического метода Ю. Кагавы и Т. Ямабучи для анализа конечных осесимметричных пьезопреобразователей в плоском жестком экране, разработано соответствующее программное обеспечение и выполнен анализ эффективности акустического излучения круглой пьезопластины конечных размеров, находящейся в плоском жестком экране.

6. Рассмотрен вопрос об исключении погрешности решения метода граничных элементов на критических частотах. Показано, что эту погрешность в комбинированном методе конечных и граничных элементов можно исключить, используя известный метод. Кроме того, предложен простой и физически очевидный способ устранения этой погрешности, основанный на введении потерь в жидкости. Показано, что с помощью предложенного метода можно получить практически идентичные результаты по сравнению с более сложно реализуемым известным методом при анализе конечных пьезопреобразователей комбинированным методом.

7. Результаты расчетов по разработанным программам метода конечных элементов, метода граничных элементов и комбинированного метода конечных и граничных элементов тщательно проверены по известным аналитическим, численным и экспериментальным результатам для собственных и вынужденных колебштё пьезопреобразователей. Показано, что результаты расчетов находятся в хорошем соответствии с экспериментом и известными теоретическими результатами, поэтому представленные в диссертации результаты можно считать достаточно обоснованными. Более того, показано, что комбинированный метод конечных и граничных элементов дает лучшее соответствие с экспериментом, чем предложенный в статье [143] метод с использованием дипольных демпфирующих элементов, при анализе водозаполненно-го радиально поляризованного пьезоцилиндра.

8. Выполнен полный анализ собственных колебаний: спектров собственных частот, динамического коэффициента электромеханической связи, форм колебаний пьезопреобразователей произвольных размеров классических типов: пьезоэлектрических цилиндров с радиальной, осевой и тангенциальной поляризацией, пьезомагнит-ного цилиндра с тороидальной обмоткой и некоторых других. Определены пьезоак-тивные участки спектра, которые эффективно возбуждаются приложенным электрическим полем. Показано, что наличие пьезоактивных участков в спектре пьезоцилиндра зависит от типа его поляризации: радиальной, осевой или тангенциальной. Полученные результаты имеют большое практическое значение, так как позволяют оценить пределы применимости классических аналитических теорий (либо по отклонению резонансной частоты от соответствующего одномерного приближения, либо по отклонению динамического коэффициента электромеханической связи от соответствующего статического коэффициента связи, либо по отклонению реального распределения смещений от идеализированного одномерного) и обосновать выбор оптимальных геометрических размеров (или диапазона размеров) пьезопреобразователей, обеспечивающих максимальный динамический коэффициент электромеханической связи, а следовательно, максимальную эффективность преобразования энергии и максимальную широкополосность.

9. Выполнен анализ основных параметров водозаполненных пьезоциливдрок с тангенциальной и радиальной поляризацией. Определены их оптимальные геометрические размеры, при которых достигается наиболее равномерная широтшлоешя частотная характеристика чувствительности излучения. Показано, что шраэжшя изгибная мода может значительно искажать частотные характеристики и дашршму направленности водозаполненного пьезоцилиндра. Отмечено, что известные аналитические модели пьезоцшшндров, основанные на теории оболочек, не учитывают изшбную моду, поэтому на их основе нельзя получить достоверную информацию о цилиндрических пьезопреобразователях. Обсуждены способы устранения влияния паразитной изптбной моды.

10. Исследована гидроакустическая антенна из двух водозаполненных пьезоци-линдров с учетом их акустического взаимодействия. Показано, что акустическое взаимодействие между пьезоцилиндрами при малом расстоянии между ними приводит к значительному изменению распределений нормальной колебательной скорости и давления на излучающих поверхностях. Также показано, что акустическое взаимодействие может приводить к появлению паразитной антисимметричной моды, которая, как и изгибная мода, искажает частотные характеристики антенны и ее диаграмму направленности. Отмечено, что антисимметричная мода также не учитывается в известных аналитических моделях пьезоцилиндров, основанных на теории оболочек. Обсуждены способы устранения влияния этих паразитных мох.

11. Рассмотрен цилиндрический пьезопреобразователь с внутренним твердым пассивным заполнением. Показано, что при заполнении пьезопилиндра материалом с малым акустическим сопротивлением он является аналогом водозаполненного пьезоцилиндра, так как имеет широкополосную частотную характеристику с двумя максимумами. Определены оптимальные геометрические размеры такого пьезопреобразовагеля, обеспечивающие его наиболее равномерную широкополосную частотную характеристику чувствительности излучения.

12. Исследован цилиндрический пьезопреобразователь с внутренним пассивным стержнем, выполненным из материала с малым акустическим сопрошжиегаем. Показана возможность формирования направленного излучения вдоль оси стержня о небольшим уровнем бокового и тыльного излучения при определенных гшметричсж" ких размерах этого пьезопреобразовагеля.

13. Рассмотрен пьезопреобразователь в виде водозаполненного полого усеченного пьезоконуса Показано, что применение водозаполненного пьезоконуса в качестве гидроакустического излучателя позволяет при определенных геометрических размерах либо сформировать диаграмму направленности в виде, близком к кардиоиде, либо получить почти ненаправленное излучение.

14. Исследован цилиндрический водозаполненный пьезопреобразователь с внутренней упругой перегородкой, представляющей собой таль сферы. Рассмотрена возможность формирования направленного излучения вдоль оси симметрии этого пьезопреобразовагеля. Показано, что при определенных геометрических размерах пьезопреобразовагеля формируется характеристика направленности с небольшим уровнем тыльного излучения, осевое сечение которой по форме похоже на кардиоиду, что может быть необходимо для специальных гидроакустических устройств, например, донных маяков-ответчиков навигационных систем.