Методы регуляризации в задачах идентификации входов динамических систем

Предметом исследования настоящей работы являются задачи, относящиеся к классу обратных задач динамики управляемых систем, в которых требуется по результатам измерения выхода динамической системы восстановить её вход.

Такого рода постановки возникают, например при решении одной из двух основных задач динамики: по указанному движению механической системы определить силы, вызвавшие это движение [52].

Интенсивное развитие этой области современной математики в значительной степени обусловлено многочисленными проблемами практики, требующими для своего решения разработки методов обработки и интерпретации результатов наблюдений. Под входом системы обычно понимают величины, однозначно определяющие движение системы. Как правило, такими величинами являются начальное состояние системы и управляющее воздействие на систему. Под выходом системы понимается любая информация о системе, доступная измерению. Как правило, это, либо состояние системы, либо, в общем случае, некоторая функция от времени, состояния системы и управляющего воздействия.

Современный уровень исследований по обратным задачам динамики управляемых систем сложился, во многом, благодаря работам JI.C. Пон-трягина, В. Г. Болтянского и др. по математической теории оптимальных процессов управления [97, 25, 79, 20, 59, 115, 1], Р. Калмана по общей теории систем [58], Н. Н. Красовского, А. Б. Куржанского по теории гарантированного оценивания [68, 72].

Важным вопросом для исследователей всегда был вопрос существования и единственности решения обратной задачи. В работах Р. Брокета, М. Месаровича, JL Силвермана, М. С. Никольского и др. [125, 133, 140, 143, 138, 93] для систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, были получены критерии однозначной разрешимости обратной задачи при условии достаточной гладкости управляющих воздействий.

Поскольку измерение выхода динамической системы часто проводится с некоторой погрешностью, то не менее важной проблемой является выяснение устойчивости решения обратной задачи относительно ошибок измерения выхода. В работе [125] рассматривался вопрос о непрерывной зависимости входного воздействия от выходного сигнала. Однако, обратная задача является, вообще говоря, неустойчивой относительно ошибок измерения выхода, т. е. некорректно поставленной. Поэтому для ее решения требуется привлекать методы, развитые в теории некорректных задач и получившие название методы регуляризации. Существенный вклад в развитие теории некорректных задач внесли А. Н. Тихонов, В. К. Иванов, М. М. Лаврентьев, В. А. Морозов, В. В. Васин, Ф. П. Васильев и др. [22, 27, 28, 36, 53, 54, 77, 78, 90, 107, 110].

Большой интерес представляет вопрос оценки погрешности методов регуляризации. Основные результаты по этой теме получены в работах [26, 30, 55, 54, 88, 90, 104, 107, 109, 130, 139].

Интересным частным случаем обратной задачи динамики оказывается задача численного дифференцирования [31, 33, 48, 86, 127]. Задача оценки погрешности решения такой задачи имеет тесную связь с задачей оценки погрешности вычисления значений неограниченного оператора [54, 18, 19, 42].

Численное решение обратной задачи динамики невозможно без использования конечномерных аппроксимаций. Отметим некоторые работы по конечномерным аппроксимациям некорректных задач вообще и обратным задачам динамики в частности [28, 32, 34, 35, 50, 54, 107, 128, 132].

В работах Ю. С. Осипова, А. В. Кряжимского, В. И. Максимова, А.В. А. И. Короткого и др. [60, 61, 71, 80, 81, 82, 70, 135] развивается подход, сочетающий методы теории некорректных задач и теории позиционных дифференциальных игр. В этих работах вычисление входного воздействия производится в режиме «реального времени» (т.е. по мере поступления информации о выходе системы). Оценки погрешности таких методов получены в работах А. Ю. Вдовина, В. Л. Розенберга [37, 40, 98, 99]. В данной работе применяется, в основном, априорный подход к решению обратных задач, т. е. предполагается, что результаты измерения выхода известны сразу на всем промежутке измерения.

Ряд интересных результатов по обратным задачам динамики получен также в работах Б. И. Ананьева, А. С. Галиуллина, М. И. Гусева, А. И. Исакова, Н. Е. Кирина, Е. К. Костоусовой, С. В. Кругликова, П.Д. Круть-ко, Г. Н. Милыптейна, О. И. Никонова, Б. Н. Петрова, И. Ф. Сивергиной, А. И. Субботина, Т. Ф. Филипповой, А. Г. Ченцова, Ф. Л. Черноусько, П. Е. Эльясберга и др. [2, 17, 43, 46, 47, 51, 57, 62, 65, 66, 69, 73, 74, 75, 84, 94, 96, 101, 105, 116, 119, 120, 126, 131, 136].

Цель данной диссертационной работы составляет изучение задач восстановления входа динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениямиисследование сходимости и получение оценок погрешности методов регуляризации для таких задачисследование сходимости и получение оценок погрешности конечноразност-ных аппроксимаций.

Перейдем к изложению основных результатов, полученных в диссертации.

Рассматривается динамическая система х = f (t, x, u (t)), x (t0) = х°, у (t) = .

0.0.1).

Требуется по результатам измерения выхода системы у (-) восстановить вход системы (х°, и (-)). Задачи такого рода принято называть обратными. Ввиду того, что эта задача некорректно поставленная для ее решения применяется метод регуляризации А. Н. Тихонова.

В первой главе рассматриваются вопросы сходимости этого метода. Теорема 1.2.8 дает необходимые и достаточные условия сходимости метода регуляризации в терминах оператора, А — оператора «вход-выход» системы (0.0.1). Эти условия несколько расширяют обычное требование слабозамкнутости оператора А. В разделе 1.4 для линейной системы описан адаптивный алгоритм восстановления входа, позволяющий при увеличении интервала наблюдения, использовать результаты расчетов, полученных для предыдущего интервала.

Во второй главе получены оценки погрешности метода регуляризации при условии линейности оператора А. В Теореме 2.1.10 получена оценка погрешности метода регуляризации А. Н. Тихонова для абстрактного операторного уравнения I рода пространства W, Y — гильбертовы). В оценке присутствует стандартная оценочная функция, выписанная для сопряженного оператора Л*. На основе этой оценки получены оценки погрешности метода регуляризации для задачи восстановления входа динамической системы.

В разделе 2.2 строится последовательность операторов {Ak}, удовлетворяющих условиям До = Л,.

Aw = у, w G W, у G У.

Im А% С Im Л С Im Л С • • • С Im А*.

Im Л = ImAl = • • • = Im А*.

Это позволило в теореме 2.2.17 получить оценку погрешности в условиях обобщенной истокообразной представимости неизвестного входа uv =.

О&М-)): w* Е 1тД£ для некоторого к 6 7VU{0}. Теорема 2.2.23 дает оценку погрешности при условии нормальной разрешимости оператора Ак при некотором к. В оценку входит интегральный модуль непрерывности неизвестного входного воздействия и*(-): h ш (е, щ{-)) = sup (/ u*(t + г) — u*(t)2dt)½.

И<£ /о полагаем u*(t) = 0 при t? который можно считать показателем гладкости гг*(-). Теорема 2.3.1 и следствие 2.3.2 дает достаточные условия нормальной разрешимости оператора, А кВ конце раздела 2.2 приведен пример, показывающий, что для задачи вычисления n-ой производной погрешность метода регуляризации имеет порядок при 8 О.

5 — погрешность измерения выхода), если си (е, и*(-)) = 0(^1//2).

В разделе 2.4 строится последовательность операторов {F^j, удовлетворяющих условиям Fq = А* А,.

Im F0 С Im F{ С Im F2* С • • • С Im А* А, ImTf = ImFf = • • • = 1тА*А.

В теореме 2.4.7 получена оценка погрешности в условиях еще одного вида обобщенной истокообразной представимости неизвестного входа w* 6 Im-FJ.

В Теореме 2.6.6 приведена нижняя оценка погрешности метода регуляризации для задачи вычисления производной. В теореме 2.7.1 получена двусторонняя оценка точности метода регуляризации на классе функций с заданным интегральным модулем непрерывности.

В третьей главе доказана сходимость конечноразностных аппроксимаций к «точному» решению задачи восстановления входа динамической системыполучены оценки погрешности конечноразностных аппроксимаций для линейных систем и систем с полностью измеряемым состояниемполучены явные формулы для вычисления приближенного входаприведены результаты численного моделирования.

Основные обозначения сЮ (ги*) — субдифференциал функционала fi (-) в точке w*;

А* — сопряженный оператор;

1 т Л — область значений оператора А;

Кег Л — ядро оператора А;

Л+ — оператор, псевдообратный к А,.

ML — ортогональное дополнение к М;

М — замыкание множества МrankD — ранг матрицы D;

D (t) — производная матричной функции D (-) в точке ?;

Е — единичная матрица подходящей размерности;

D' — транспонированная матрицапсевдообратная матрица;

ColjDi,., Dk} ~ матрица, составленная из матриц Dь ., D^, записанных одна под другой;

Col{?/i,., yk} — вектор-столбец, составленный из векторов-столбцов yi,. записанных один под другим;

N —• множество натуральных чисел;

R — множество действительных чисел;

Rn — n-мерное вещественное евклидово пространство;

L™ — пространство m-мерных функций, интегрируемых по Лебегу с квадратом на отрезке.

Hp — пространство^{-мерных} функций, имеющих интегрируемую с квадратом на отрезке tfi] обобщенную производную в смысле Соболева до к-го порядка включительно (полагают, что Н®- — Lf) — • | — евклидова норма в соответствующем конечномерном пространстве или согласованная с ней норма в пространстве матриц- • ||у — норма в пространстве Y;

Л|| — норма оператора А;

• — слабая сходимость в соответствующем пространстве.

D\ = sup{|?)(?)|: t€ [to, t}} — норма в пространстве непрерывных матричных функцийу{-) — производная функции у (-) в смысле Соболеваy^(t) — значение j-ой производной функции у (-) в смысле Соболева в точке i p (w, W) — расстояние от элемента w до множества W в метрике соответствующего пространства. zi, %2 — множество целых чисел {ii, i + 1,., ?2}- число сочетании из п элементов по т;

1. Алексеев В. М., Тихомиров В. М., Фомин С. В. Оптимальное управление. — М.: Наука, 1979.

2. Ананьев Б. И. К задачам оптимального наблюдения для линейных управляемых систем с запаздыванием // Дифференциальные игры и задачи управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1975. — С.3−28.

3. Аникин С. А. Конечноразностпые аппроксимации и обратных задачах динамики управляемых систем / АН СССР. УрО. ИММ, — Свердловск, 1989. Рукопись ден. в ВИНИТИ 22.05.89 N 3302-В89. 44 с.

4. Аникин С. А. Об оценке погрешности конечноразпостных аппроксимаций в обратных задачах динамики / АН СССР. УрО. ИММ.-Свердловск, 1990. Рукопись деп. в ВИНИТИ 11.07.90 N 3873-В90. 45 с.

5. Аникин С. А. Об оценке погрешности метода регуляризации А. Н. Тихонова в задачах восстановления 'входов динамических систем // Журнал вычислительной математики и математическойфизики, — 1997. N 9, — С.1056−1067.

6. Аникин С. А. Параллельный вариант алгоритма восстановления входов динамических систем //Алгоритмы и программные средства па-ралллельных вычисленийвып. 4. Екатеринбург: УрО РАН, 2000. С. 24−31.

7. Аникин С. А. Конечномерная аппроксимация в задачах восстановления входа динамических систем // Проблемы теоретической и прикладной математики. Информационные материалы. Свердловск: УрО АН СССР, 1989. — С.3−4.

8. Аникин С. А. Об оценке погрешности конечноразностных аппроксимаций в задачах восстановления входа управляемых систем / / Проблемы теоретической и прикладной математики. Информационные материалы. Свердловск: УрО АН СССР, 1990. — С.3−4.

9. Аникин С. А. Конечноразностные аппроксимации в обратных задачах динамики // Седьмая всесоюзная конференция «Управление в механических системах». 12−14 июня 1990 г. Тезисы докладов. -Свердловск, 1990. С. 8.

10. Аникин С. А. Оценивание возмущающих сил, но результатам измерения траектории движения J J Гагаринекие научные чтения по космонавтике и авиации, 1990, 1991 гг. М.: Наука, 1991. — С. 196−197.

11. Аникин С. А. Об оценке точности метода регуляризации на классе функций с заданным модулем непрерывности // Тезисы конференции «Алгоритмический анализ некорректных задач». Екатеринбург, 1998.

12. Аникин С. А. Выбор параметра регуляризации по оценочной функции сопряженного оператора // Дифференциальные и интегральные уравнения: Тез. докл. Междунар. науч. конф., 22−26 июня 1999 г. Челябинск: Челяб. гос. ун-т, 1999. С. 14.

13. Аникин С. А., Гусев М. И. Оценивание возмущающих сил по измерениям параметров движения // Гарантированное оценивание и задачи управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. — С. 19−30.

14. Арестов В. В. О равномерной регуляризации задачи вычисления значений оператора // Матем. заметки. 1977. — Т.22, N2. — С.231−244.

15. Арестов В. В. О наилучшем приближении оператора дифференцирования // Приближение функций полиномами и сплайнами. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1985. — С.3−14.

16. Атанс М., Фалб П. Оптимальное управление.- М.: Машиностроение, 1968.

17. Ахиезер Н. И. Лекции по теории аппроксимации. М.: Наука, 1947.

18. Бакупшнский А. В., Гончарский А. В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989.

19. Беллман Р. Динамическое программирование. М.: Из-во иностр. литер., I960.

20. Бесов О. В., Стечкин С. Б. Описание модулей непрерывности в Ь2 // Труды Математичемкого института АН СССР. 1975. — Т.134. -С.23−25.

21. Болтянский В. Г. Математические методы оптимального управления.- М.: Наука, 1969.

22. Бушманова М. В. Об оценке устойчивости в методе регуляризации // Методы решения условно-корректных задач. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1975. — С.14−26.

23. Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986.

24. Васильев Ф. П. Методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1981.

25. Васильев Ф. П. Численные методы решения экстремальных задач. -М.: Наука, 1988.

26. Васильев Ф. П. Оценка скорости сходимости метода регуляризации А. Н. Тихонова для неустойчивых задач минимизации // Докл. АН СССР. 1988. — Т.299, N4. — С.792−796.

27. Васин В. В. Регуляризация задачи численного дифференцирования // Мат. зап. Уральского ун-та. 1969. — Т.7, тетр.2. — С.29−33.

28. Васин В. В. О /3 -сходимости проекционного метода для нелинейных операторных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. -1972. Т. 12, N2. — С.492−497.

29. Васин В. В. Об устойчивом вычислении производной в пространстве С (—оо, оо) // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1973. — Т.13, N6. — С.1383−1389.

30. Васин В. В. Конечномерная аппроксимация семейства приближенных решений в методе регуляризации // Мат. зап. Уральского ун-та.- 1975. Т.9, тетр.2. — С.10−17.

31. Васин В. В. Дискретная сходимость и конечномерная аппроксимация регуляризующих алгоритмов // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1979. — Т.19, N1. — С.11−21.

32. Васин В. В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: УИФ «Наука», 1993.

33. Вдовин А. Ю. Оценки погрешности в задаче динамического восстановления управления // Задачи позиционного моделирования.- Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986.

34. Вдовин А. Ю. Расширение класса задач, допускающих восстановление управления с гарантированной оценкой по неточной информации // Некоторые методы позиционного и программного управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1987. — С.4−11.

35. Вдовин А. Ю. О динамическом методе восстановления производной в ?/2 повышенной точности // Качественные вопросы теории дифференциальных уравнений и управляемых систем. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1988. — С.4−11.

36. Вдовиц А. Ю. К задаче восстановления возмущения в динамической системе. Диссертация. канд. физ.-мат. наук. Свердловск: Ии-т матем. и мех. УрО АН СССР, 1989.

37. Владимиров А. А, Нестеров Ю. Е., Чеканов Ю. Н. О равномерно выпуклых функционалах // Вестник МГУ. Сер. Вычисл. матем. и ки-берн. 1978. — N3. — С.12−23.

38. Габушин В. Н. Оптимальные методы вычисления значений оператора Vx, если х задано с погрешностью. Дифференцирование функций, определенных с ошибкой // Труды Матем. ин-та АН СССР. -1980. Т. 145. — С.63−78.

39. Галиуллин А. С. Методы решения обратных задач динамики. М.: Наука, 1986.

40. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц. М.: Наука, 1966.

41. Гилязов С. Ф. Методы решения линейных некорректных задач. М.: МГУ, 1987.

42. Гусев М. И. Об одном классе обратных задач динамики управляемых систем // Стохастическая оптимизация.- Междунар. конф. Тез. докл.: в 2-х частях (Киев, 9−16 сент. 1984 г.). Киев: ИК АН УССР, 1984. — 4.1. С.72−74.

43. Гусев М. И., Куржанский А. Б. Обратные задачи динамики управляемых систем // Механика и научно-технический прогресс. Т.1. Общая и прикладная механика. М.: Наука, 1987. — С.187−195.

44. Демидович В. Б. Восстановление функции и ее производных по экспериментальной информации // Вычислительные методы и программирование. Т.8. М.: МГУ, 1967. — С.96−102.

45. Дитенбергер М. А., Хейпс П. А., Луэрс Дж.К. Реконструкция у слонин авиакатастрофы и Попом Орлеане // Аюрокосмич. техника. -1986. N5. — С.3−15.

46. Дончев А. Системы оптимального управления: возмущения, приближения и анализ чувствительности. М.: Мир, 1987.

47. Жирабок Л. Н., Шумский А. Е. О преобразованиях нелинейных динамических систем // Изв. АН СССР. Тех. кибернетика. 1994. -N6. — С.25−30.

48. Жуковский Н. Е. Теоретическая механика. М.: Гостехиздат, 1952.

49. Иванов В. К. О равномерной регуляризации неустойчивых задач // Сиб. матем. журн. 1966. — Т.7, N4. — С.546−558.

50. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач ее приложения. М.: Наука, 1986.

51. Иванов В. К., Королюк Т. И. Об оценке погрешности при решении линейных некорректных задач // Ж. вычисл. матем. и матом, физики. 1969. — Т.9, N1. — С.30−41.

52. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука, 1974.

53. Исаков А. И. О двойственных соотношениях и задачах идентификации и наблюдения // Автоматика и телемеханика. 1975. — N8. -С.47−54.

54. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем, — М.: Мир, 1971. 400 с.

55. Квакериаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.: Мир, 1977.

56. Ким А. В., Короткий А. И. Динамическое моделирование возмущений в параболических системах // Изв. АН СССР. Тех. кибернетика. 1989. — N6. — С.78−84.

57. Ким А. В., Короткий А. И., Осипов Ю. С. Обратные задачи динамики параболических систем // Прикладная мат. и мех. 1990. — Т.54, вып.5. — С.754−759.

58. Кирин Н. Е. Методы последовательных оценок в задачах оптимизации управляемах систем. Ленинград: ЛГУ, 1975.

59. Коддингтон Э. А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Из-во иностр. литер., 1958.

60. Коркина Л. Ф. Оценка модуля непрерывности обратного оператора // Мат. зап. Уральского ун-та. 1969. — Т.7, тетр.2.

61. Костоусова Е. К. О слабой наблюдаемости распределенных систем и разностных аппроксимациях в задачах наблюдения / АН СССР. УрО. ИММ, — Свердловск, 1990. Рукопись дсп. в ВИНИТИ 20.04.90 N 2125-В90.

62. Костоусова Е. К. О параллельном алгоритме решения задачи наблюдения для одномерного волнового уравнения // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений. Екатеринбург, 1995. — С.

63. Красносельский М. А. Непрерывность оператора f’u (x) = f (x, u (x)). // ДАН. 1951. — Т.77, т. — С.185−188.

64. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука, 1968.

65. Крутиков С. В. О разделении задач управления и наблюдения в условиях неопределенности //' Диф. уравнения. 1985. — Т.21, N3. -С.398−404.

66. Кряжимский А. В., Максимов В. И., Осипов Ю. С. о позиционном моделировании в динамических системах // Прикл. матем: и мех. -1983. Т.47, N6, — С.815−825.

67. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. О позиционном моделировании управления в динамической системе // Изв. АН СССР. Тех. кибернетика. 1983. — N2. — С.51−60.

68. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

69. Куржанский А. В., Никонов О. И. Об адаптивных процессах гарантированного управления // Изв. АН СССР. Тех. кибернетика. 1986. — N4. — С.3−15.

70. Куржанский А. В., Сивергина И. Ф. Метод гарантированных оценок и задача регуляризации // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. -1992. Т.32, N11. — С.1720−1773.

71. Куржанский А. В., Филиппова Т. Ф. Об описании пучка выживающих траекторий управляемой системы // Диф. уравнения. 1987. -Т.23, N8. — С.1303−1315.

72. Куржанский А. В., Хапалов А. К). Об оценивании распределенных полей, но результатам наблюдения // Дифференциальные уравнения с частными производными. Новосибирск: Наука, 198G. — С.102−108.

73. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Нововсибирск: Наука, 1962.

74. Лаврентьев М. М., Савельев Л. Я. Линейные операторы и некорректные задачи. М.: Наука, 1991.

75. Ли Э. Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления.- М.: Наука, 1972.

76. Максимов В. И. О динамическом оценивании управлений в условиях неопределенности // Изв. РАН. Тех. кибернетика. 1994. — N3. -С.127−133.

77. Максимов В. И. Об устойчивом решении обратных задач для нелинейных распределенных систем. I // Дифференц. уравнения. 1990.-Т.26, N12, — С.2059;2067.

78. Максимов В. И. Задачи динамического восстановления входов бесо-нечномерных систем, — Екатеринбург: УрО РАН, 2000.

79. Мелешко В. И. Возмущения неограниченных замкнутых псевдообратных операторов // Диф. уравнения. 1979. — Т.15, N4. — С.681−694.

80. Мильштейн Г. Н., Соловьева О. Э. Построение фильтров в нелинейных детерминированных системах // Прикладная мат. и мех. 1994. — Т.58, вып.6. — С.29−40.

81. Морозов В. А. О регуляризирующих семействах операторов // Вычислительные методы и программирование. Т.8. М.: МГУ, 1967. -С.63−95.

82. Морозов В. А. О задаче дифференцирования и некоторых алгоритмах приближения экспериментальной информации // Вычислительные методы и программирование. Т. 14. М.: МГУ, 1970. — С.46−62.

83. Морозов В. А. О решении методом регуляризации некорректно поставленных задач с нелинейными неограниченными операторами // Диф. уравнения. 1970. — Т. 6, N8. — С. 1453−1458.

84. Морозов В. А. Оценивание точности решения некорректных задач и решение системы линейных алгебраических уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физики. 1977. — Т. 17, N6. — С.1341−1349.

85. Морозов В. А. Регулярные методы решения нелинейных операторных уравнений // Изв. вузов. Матем. 1978. — N11. — С.74−86.

86. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

87. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

88. Немыцкий В. В. Теоремы существования и единственности для нелинейных интегральных уравнений. Матем. сб. — 1934. — Т.41, № 4.

89. Никольский М. С. Об идеально наблюдаемых системах // Диф. уравнения. 1977. — Т.7, N4. — С.631−638.

90. Никонов О. И. Экстремальные свойства входных воздействий в задачах гарантированного оценивания // Гарантированное оценивание и задачи управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. — С.83−91.

91. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О моделировании параметров динамической системы // Задачи управления и моделирования в динамической системах. Свердловск: УНЦ АН ССОР, 1984. С.47−08.

92. Петров Б. Н., Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели // Изв. АН СССР. Тех. кибернетика.- 1980. N4. — С.147−156.

93. Понтрягин JI.C., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 1976.

94. Розенберг B.JI. Об одном алгоритме решения обратной задачи с неполной информацией // Задачи моделировании и оптимизации.- Свердловск: УрО АН СССР, 1991. С.175−191.

95. Розенберг В.JI. О динамическом восстановлении управлений при измерении части координат. Диссертация. канд. физ.-мат. наук. -Екатеринбург: Ин-т матем. и мех. УрО РАН, 1995.

96. Ройтенберг Я. Н. Автоматическое управление. М.: Наука, 1978.

97. Сивергина И. Ф. Оценивание траектории систем с неопределенными параметрами при обобщенном квадратичном критерии // Гарантированное оценивание и задачи управления. Свердловск: УНЦ АН СССР, 1986. — С.101−109.

98. Сивергина И. Ф. Параллельные вычисления в задаче идентификации источника для уравнения атмосферной диффузии // Алгоритмы и программные средства параллельных вычислений: Сб.науч.тр. Екатеринбург: УрО РАН, 1998. Вып.2.

99. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1988.

100. Страхов В. Н. О построении оптимальных по порядку приближенных решений линейных условно-корректных задач // Диф. уравнения. 1972. — Т.9, N10. — С.1862−1874.

101. Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука, 1981.

102. Субботин Ю. Н. Наилучшее приближение) оператора дифференцирования в пространстве Ь2 // Матем. заметки. 1968. — Т. З, N2. -С.157−164.

103. Танана В. П. Методы решения операторных уравнений. М.: Наука, 1981.

104. Танана В. П. О критерии сходимости метода невязки // Доклады Академии паук. 1995. — Т.343, N1. — С.22−24.

105. Танана В. П., Данилин А. Р. Об оптимальности регуляризирующих алгоритмов при решении некорректных задач // Диф. уравнения. -1976. Т.12, N7. — С.1323−1326.

106. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач.- М.: Наука, 1986.

107. Трикоми Ф. Интегральные уравнения. М.: Из-во иностр. литер., 1960.

108. Ульянов П. Л. Вложение некоторых классов функций Н^ j j Изв. АН СССР. Сер. матем. 1968. — Т.32, N3. — С.649−686.

109. Устюжанин A.M. Задача оценивания матричного параметра // Диф. уравнения. 1985. — Т.21, N3. — С.410−416.

110. Уиттекер Э. Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. ч.П. М.: Физматгиз, 1963.

111. Флеминг У., Ришел Р. Оптимальное управление детерминированными и стохастическими системами. М.: Мир, 1978.

112. Черноусько Ф. Л. Оценивание фазового состояния динамических систем. Метод эллипсоидов. М.: Наука, 1988.

113. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1979.

114. Эклапд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы.- М.: Мир, 1979.

115. Эльясберг П. Е. Определение движения по результатам измерений.- М.: Наука, 1976.

116. Armn’ev B.I. A guaranteed filtering scheme for hereditary differential systems with no information on the initial states // Proc. of 3rd European Control Conference, Rome, Italy, September. 1995. — V.2. -P.966−971.

117. Anikin S.A. On stable reconstruction of inputs of dynamical systems // First Workshop on Numerical Analysis and Applications, Rousse, Bulgaria, June 24−27, 1996. P. 22−23.

118. Anikin S.A. Finite difference approximations for inverse problems of dynamics // Conference of Finite Difference Methods: Theory and Applications, Rousse, Bulgaria, August 10−13, 1997, — P. 4−5.

119. Anikin S.A. The Deviation Method and Finite Difference Approximations for Inverse Problems of Dynamics // Abstracts of the Second International Conference «Finite Difference Methods: Theory and Applications» (CFDM98). Minsk, Belarus, 1998. P. 12−13.

120. Brocket R.W., Mesarovic M.D. The reproducibility of multivariable control systems // J. of Math. Anal, and Appl. 19o5. — V. ll, N1−3. -P.548−563.

121. Choilli M. Abstract inverse problem and application // J. of Math. Anal, and Appl. 1991. — V.160, N1. — P.190−202.

122. Cullum J. Numeical differentiation and regularization // SIAM J. on Numerical Anal. 1967. — V.8, N2. — P.254−265.

123. Cullum J. Finite-dimensional approximations of state-constrained continuous optimal control problems // SIAM J. on Conrol and Optiin. -1972. V.10, N4. — P.649−670.

124. Golub G.N., Pereyra V. The differentiation of pseudo-inverses and nonlinear least squares problems whose variables separate // SIAM J. on Numerical Anal. 1973. — V.10, N2. — P.413−431.

125. Groetsch C.W. On the asymptotic order of accuracy of Tikhonov regu-larization // J. Optim. Theory and Appl. 1983. — V.41, N2. — P.293−298.

126. Gusev M.I. On the stability of solution of the inverse problems in control system dynamics // Problems of Control and Information Theory. -1988. V.17, N5. — P.297−310.

127. Hager W.W. Rates of convergences for discrete approximations to Unconstrained Control problems // SIAM J. on Numerical Anal. 1976. -V.13, N4. — P.449−472.

128. Hinshorn R.M. Invertibility of nonlinear control systems // SIAM J. on Conrol and Optim. 1979. — V.17. — P.289−297.

129. Kammerer W.J., Nashecl M.Z. Iterative method for best approximate solutions of linear integral equations of the first and second kinds //J. of Math. Anal, and Appl. 1972. — V.40, N3. — P.547−573.

130. Krjazimskii A.V., Osipov Yu.S. On positional calculation on Q-normal conrols in dynamical system // Problems of Control and Information Theory. 1984. — V.13, N6. — P.425−436.

131. Lorenzi A., Sinestry E. An inverse problem in theory of materials with memory // Nonlinear Anal. 1988. — V.12, N12. — P.1317−1335.

132. Reid W.T. Solution of a Riccati matrix differential equations as functions of initial values //J. Math. Meeh. -1959. V.8(2).-P.221−230.

133. Sain M.K., Massey J.L. Invertibility of linear time-invariant dynamical systems // IEEE Tr. Aut. Control. 19G9. — V.14. — P.141−149.

134. Schock E. On the asymptotic order of accuracy of Tikhonov regulariza-tion //J. Optim. Theory and Appl. 1984. — V.44, N1. — P.95−104.

135. Silverman L.M. Inversion of multi-variable linear systems // IEEE Tr. Aut. Control. 1969. — V.14. — P.270−276.

136. Stewart G.W. On the continuity of the generalized inverces // SIAM J. on Appl. Math. 1969. — V.17, N1. — P.33−45.

137. Wedin P.-A. Pertubation theory for pseudo-inverces // BIT. 1973. -V.13, N2. — P.217−232.

138. Willsky A.S. On the invertibility of linear systems // IEEE Tr. Aut. Control. 1974. — V.19. — P.272−274.