Актуальность темы
Подавляющее большинство проблем квантовой механики, как правило, не имеет точных аналитических решений. Часть таких задач решается или с использованием упрощенных математических моделей, не отражающих всю полноту проблемы, или с использованием медленно сходящихся рядов теории возмущений. С развитием компьютерных методов научных исследований становится очевидным, что, применяя ЭВМ, мы способны решать значительно более широкий класс задач, чем это было возможно до сих пор при помощи аналитических или модельных методов расчета. Неоспоримым преимуществом аналитических методов является то, что они позволяют получить общее решение задачи, но численные методы позволяют исследовать даже те проблемы, которые не могут быть описаны ни точными, ни приближенными аналитическими методами.
В последнее время численные методы часто используются при решении квантовомеханических задач. В большинстве случаев это стационарные задачи. При решении эволюционных задач обычно применяются квазиклассическое приближение или метод молекулярной динамики. Точное решение эволюционных задач обычно сопряжено с большими вычислительными затратами. Тем не менее, бурно развивающиеся возможности вычислительных машин позволяют справляться с теми задачами, которые в недалеком прошлом находились за пределом возможностей ПЭВМ.
Наиболее естественным и точным способом исследования эволюционных задач квантовой механики является решение нестационарного уравнения Шрёдингера, так как вычисление волновой функции дает максимально возможное полное описание квантовой системы.
Целью диссертационной работы является исследование некоторых нерешенных проблем атомной физики на основе численного решения многомерного нестационарного уравнения Шрёдингера и развитие техники проведения расчетов такого типа.
Направление и объект исследований. В данной диссертационной работе исследуются физические системы, состоящие из двух типов частиц: а) квантовых частиц, движение которых необходимо описывать на основе квантовой механикиб) частиц с относительно слабо выраженными квантовыми свойствами в рассматриваемой задаче.
Так, в работе исследованы столкновения атома водорода и протона в области промежуточных энергий, когда относительная скорость тяжелых частиц соизмерима со скоростями электронов на боровских орбитах. Описано основное состояние однократно ионизированной молекулы водорода, продемонстрирована возможность расчета многомерного туннельного эффекта и представлены различные подходы к изучению систем, состоящих из двух квантовых частиц.
Научная новизна работы состоит в применении численных методов решения многомерного уравнения Шрёдингера в совокупности с другими численными методами к задачам физики атомных столкновений и физической электроники.
Научная и практическая значимость работы. Полученные результаты свидетельствуют о применимости использованных в работе методов для исследования широкого круга задач квантовой физики и, в частности, физической электроники, и позволяют в полной мере использовать возможности современных ЭВМ для решения этих проблем.
Достоверность результатов подтверждается согласием расчетных данных с экспериментальными данными для тех решенных в работе задач, для которых они известны, а также внутренней согласованностью и логической завершенностью применяемых математических моделей.
Личный вклад автора заключается в развитии математических моделей, разработке и тестировании компьютерных программ, выполнении численного моделирования, анализе промежуточных и окончательных результатов.
Основные положения, выносимые на защиту.
• Результаты исследования процессов рассеяния атома водорода на протоне. Произведенная оценка сечения перезарядки при рассеянии хорошо согласуется с экспериментальными данными.
• Получена и исследована осцилляционная зависимость сечения перезарядки при рассеянии протона на атоме водорода на угол 3°, находящаяся в хорошем согласии с экспериментальными данными.
• Путем введения комплексного времени в нестационарное уравнение Шрёдингера рассчитана волновая функция основного состояния электрона в ионе Hj, находящаяся в хорошем согласии с экспериментом.
• Продемонстрирована возможность расчета многомерного туннельного эффекта.
• Проанализированы некоторые подходы к исследованию систем, состоящих из двух квантовых частиц.
Апробация работы. Основные результаты диссертации и работа в целом докладывались на:
• XXX Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, НИИЯФ МГУ, май 2000 г.);
• Международной конференции по ядерной физике «Кластеры в ядерной физике» (г. Санкт-Петербург, 2000 г.);
• XXXII Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, НИИЯФ МГУ, май 2002 г.);
• XVI Международной конференции «Взаимодействие ионов с поверхностью. ВИП-2003» (г. Звенигород, август 2003 г.);
• XXXIV Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, НИИЯФ МГУ, май 2004 г.);
• XXXV Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, НИИЯФ МГУ, май 2005 г.);
• XVII Международной конференции «Взаимодействие ионов с поверхностью. ВИП-2005» (г. Звенигород, август 2005 г.);
• XXXVI Международной конференции по физике взаимодействия заряженных частиц с кристаллами (г. Москва, НИИЯФ МГУ, май 2006 г.).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 статей, в том числе 5 статей в академических журналах и 2 статьи в материалах конференций.
Содержание работы.
Во введении кратко сформулированы цели и существенные результаты, полученные в диссертации.
В первой главе приведен краткий обзор аналитических методов изучения атомных столкновений. Приведены критерии применимости широко распространенных методов и подходов. Приведено краткое описание методов изучения квантовых систем, состоящих из небольшого числа частиц и не поддающихся точному аналитическому описанию, в частности атомных столкновений в области малых и средних энергий. Дан краткий обзор работ, отражающих современное состояние теоретических подходов и расчетных методов для исследования таких систем.
Во второй главе рассмотрены использованные в работе методы изучения квантовых систем на основе численного решения нестационарного уравнения Шрёдингера.
В третьей главе представлены основные результаты, полученные автором работы. В подразделе 3.1 представлены результаты исследований столкновений атома водорода и протона при относительной скорости частиц от -0.5 до ~ 1.5 атомных единиц1 (а.е.). В подразделе 3.2 приведены результаты расчета многомерного туннелирования. В подразделе 3.3 приведен один из способов определения стационарных состояний квантовой системы, основанный на решении нестационарного уравнения Шрёдингера путем введения комплексного времени. В подразделе 3.4 приведены результаты исследований двухчастичных квантовых систем при помощи численного решения уравнения Шрёдингера.
В заключении приведены и обобщены основные результаты, полученные в диссертационной работе.
1 В атомной системе единиц в качестве единиц измерения массы, длины и времени выбираются соответственно тее тее т. = 9.11 -10−31 кг,^- = 5.29−10-" м, дцд Т =2А2-Ю'1Т с, где гпе — масса электрона, ?"=8.85−10 Ф-м — электрическая постоянная, /г = 1.055−10″ 34 Дж • с — постоянная Планка, е = 1.602−10″ 19 Кл — заряд электрона.
1 Обзор литературы.
Заключение
.
В работе проведены исследования целого ряда задач физики атомных столкновений и физической электроники. Применяя численное решение многомерного нестационарного уравнения Шрёдингера для описания квантовомеханических систем, мы получаем волновую функцию квантовой частицы. Как известно, волновая функция содержит в себе наиболее полную информацию о частице. Это делает применение численного решения уравнения Шрёдингера достаточно привлекательным инструментом для исследования некоторых процессов. Кроме того, визуализация рассчитываемых процессов дает простое и наглядное объяснение многим процессам, происходящим в изучаемой системе.
В данной работе развиты подходы к изучению физических систем с малым числом квантовых частиц или систем, в которых квантовыми свойствами большинства частиц можно пренебречь. Основным направлением исследований в работе выбрана физика атомных столкновений и электроники.
Исследованы процессы рассеяния атома водорода на протоне. На основе визуализации плотности электронного облака качественно объяснены осцилляционные зависимости вероятности перезарядки от прицельного параметра и относительной скорости сталкивающихся частиц. Качественно можно сказать, что от прицельного параметра зависит частота переходов области повышенной плотности электронного облака от одного протона к другому, а от относительной скорости столкновений зависит время нахождения протонов на расстоянии, достаточно близком для быстрых переходов области повышенной плотности электронного облака между протонами, и, следовательно, и фаза этих переходов. Произведенная оценка сечения перезарядки при рассеянии атома водорода на протоне хорошо согласуется с экспериментальными данными.
Получена и исследована осцилляционная зависимость сечения перезарядки при рассеянии протона на атоме водорода на угол 3°, находящаяся в хорошем согласии с экспериментальными данными.
Путем введения комплексного времени в нестационарное уравнение Шрёдингера рассчитана волновая функция основного состояния электрона в ионе Н^. Энергия полученного состояния находится в хорошем согласии с экспериментальным значением.
Введение
комплексного времени позволяет получать волновые функции и возбужденных уровней стационарных состояний.
Показана возможность расчета многомерного туннельного эффекта.
Приведены подходы к исследованию систем, состоящих из двух квантовых частиц. Исследование двухчастичных систем на основе численного решения многомерного уравнения Шрёдингера является весьма ресурсоемкой задачей. В работе разработаны подходы, учитывающие различные типы симметрии задачи с целью уменьшения требований к объему оперативной памяти ЭВМ.
Для проведения расчетов задач с участием большего числа частиц, чем в данной работе, необходимо увеличить размеры сетки, что повлечет за собой резкое увеличение требований к скорости вычислений и объему оперативной памяти. В настоящее время большинство программ 32-х разрядные, что ограничивает объем доступной для проведения расчетов оперативной памяти 2ч-3 Гигабайтами. Появление новых 64-х разрядных процессоров данное ограничение снимает. К тому же многие разностные схемы, в частности, используемые в данной работе, легко поддаются распараллеливанию. Использование многопроцессорных 64-х разрядных архитектур с большими объемами оперативной памяти должно в будущем позволить значительно расширить круг задач квантовой механики, которые можно будет описать путем численного решения нестационарного многомерного уравнения Шрёдингера.
