Алгоритм решения Диофантовых уравнений

Данная статья является продолжением работы

«Алгоритм решения Диофантовых уравнений».

Нижегородская область

Г. Заволжье

Белотелов В.Д.

2009 год

Подход к решению уравнений

(1)

(2)

Сейчас данные уравнения, насколько мне известно, решены для n=4.

Т.е. доказано наличие для каждого из уравнений бесконечного количества сочетаний натуральных чисел a, b, c, d удовлетворяющим условиям равенств уравнений (1), (2).

Причём доказательства основаны на компьютерном поиске данных чисел. Нашли компьютерным расчётом для n=4, отлично — теперь сделайте тоже самое для n=5 и т. д., т.к. даже для n=1000 в целом проблема не будет закрыта.

Мне кажется, что есть общий подход к доказательству утверждения о существовании равенств в уравнениях (1), (2) при любых n .

Я сомневаюсь, что мои рассуждения сойдут за доказательства, но направление, может быть, окажется верным.

I.

Существует наличие сочетаний a, b, c, d на чётность и нечётность.

Разберу одну возможность, — пусть все числа a, b, c, d будут чётными.

А далее буду использовать алгоритм решения Диофантовых уравнений.

Составлю систему уравнений. Бумагу экономить не буду, — распишу подробно.

… (3)

В этих уравнениях пусть ₁ > ₃ > ₄ > ₂ — очевидное предположение.

Произведу в уравнениях системы сокращения на 2ⁿ и члены с ₂ перенесу в правую часть уравнений, а члены с ₃ — в левую.

Сокращением же на 2ⁿ от чётных значений a, b, c, d уравнения системы переведены в значения всего натурального ряда.

…

Далее используются формулы разности степеней.

+…+=+…+

+…+=+…+

+…+=+…+

… (4)

+…+=+.+

+…+=+…+

Т.к., система (4) примет вид:

p+…+=f+…+

p+…+= f+…+

p+…+= f +…+ …

p+…+= f+…+

p+.+=f+…+

Т.е. у каждого уравнения начальной системы уравнений (3) произведено понижение формы.

Ну и конечно же доказательство надо вести не от n к n-1, а наоборот, — от n=2 поэтапно к n .

Уравнение (2) доказывается аналогичным образом.

и т.д.

Мне в вышеизложенное и самому не на все 100% верится.

Поэтому я взываю к коллективному разуму.

Главное сомнение же вот в чём:

В таком разе все уравнения с нечётным числом членов решений в натуральных числах не будут иметь, ну или не так строго, могут не иметь.

Т.к. нет понижения формы у одного из членов уравнения.

Как, например, у уравнения (2) бесконечное число сочетаний натуральных чисел a, b, c, d существует, тогда, как у уравнения

таких сочетаний может и не быть.

И без компьютерного расчёта, хотя бы для n=3, не обойтись, и если взять мои утверждения, и очень убедительные контрдоводы кого-либо другого.