Решение задачи управляемости систем с фазовыми ограничениями

Актуальность темы

В настоящей работе изучаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений, содержащие управление. Задачей исследования является определение условий, при которых система управляема, и её решение не выходит в течение заданного отрезка времени из заранее заданного множества.

Необходимость решения данной задачи возникает при математическом. моделировании физических, химических, биологических, социально-экономических и других процессов [4, 8, И, 12, 14, 20, 24, 34, 53, 60−63, 76, 79, 80, 84].

Большинство реальных процессов описывается системами, правая часть которых содержит параметры, которые могут рассматриваться в качестве управления системой, например, отстрел особей — как управление системой «хищник-жертва», количество катализатора — управление скоростью химической реакции. В связи с этим возникает задача об управляемости системы, то есть задача перевода системы за некоторый промежуток времени из одного состояния в другое. При этом зачастую необходимо, чтобы параметры системы не выходили за границы допустимых значений.

Создание математической теории управления обязано трудам Калмана Р., Понтрягина JI.C., Красовского H.H., Зубова В. И., Беллмана Р. Значительный вклад внесен Болтянским В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Габасовым Р. Ф., Кирилловой Ф. М., Куржанским Д. 5., Осиповым Ю. С., Тонковым E. JL, Воскресенским Е.В.

Вопросу управляемости систем посвящено много работ (например, [18, 33]), но рост мощности вычислительной техники и появление новых программных продуктов дали новые возможности для исследований. В связи с этим, целесообразно подобные проблемы рассматривать сквозь призму необходимости получения достаточно точных численных результатов, применяя теоретически полученные методы.

Следует заметить, что в большинстве работ, посвященных локальным свойствам управляемых систем, предполагается, что известно некоторое расчетное движение — пара «управлениесоответствующее ему решение», и при условии существовании возмущающих воздействий, проводятся исследования проблемы управляемости системы в достаточно малой окрестности этой пары. Поэтому, особый интерес и актуальность представляют задачи нахождения расчетного движения (глобальная краевая задача) и определение условий, при которых решение принадлежит заранее заданной области фазового пространства.

Цель работы. Развитие качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей, описываемых управляемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Получение достаточных условий существования управления, которому соответствует решение системы.

1 =/(/, Х, и), (0−1) удовлетворяющее краевым условиям и принадлежащее заранее заданному множеству фазового пространства.

Предполагается, что х — «-мерная вектор-функция, и е Я» 1 -управление, х0, хх — фиксированные «-мерные векторы, а некоторые числа.

В частном случае, когда х0=хг рассматривается вопрос о существовании периодических решений.

Методика исследования. В случае, когда правая часть системы (0.1) является линейной функцией переменных х и и, требуемое управление отыскивается в виде конечного ряда сводится к вопросу о разрешимости линейной системы недифференциальных уравнений. Нахождение точки х (7) в каждый гиперпространстве, определяемом гиперплоскостью, проведенной к каждой граничной точке замкнутого выпуклого множества Х (7), доказывает факт принадлежности решения множеству Х (1).

Вопрос о локальной управляемости в случае, когда система (0.1) является нелинейной, сводится к вопросу существования решения нелинейной системы недифференциальных уравнений.

В случае, когда т>п, решение краевой задачи отыскивается в виде кусочно-постоянной функции. При этом сегмент предварительно разбивается на к равных частей, на каждой из которых управление находится в виде постоянной функции с помощью метода последовательных приближений.

Доказательства теорем основаны на применении метода неподвижной точки нелинейного оператора. и вопрос об управляемости системы фиксированный момент времени в отрицательном.

Основные результаты, имеющиеся по данной проблеме.

Математическая теория управления возникла недавно, и наибольшее развитие получила во второй половине XX века. Совершенствование техники и растущая потребность в надежности и безопасности функционирования управляемых систем определило круг задач, которые составляют предмет математической теории управляемых процессов. Так возникли теория управляемости, связанная с проблемой перевода управляемого объекта в заданное конечное состояние, теория оптимального управления, направленная на уменьшение потерь при протекании процессов, теории наблюдения и стабилизации. И если принцип максимума и методы динамического программирования предоставляют необходимые признаки существования оптимального управления, то общих методов в разрешении краевой задачи, особенно для нелинейных систем, не существует. При этом следует отметить, что работы, посвященные проблеме существования оптимального управления процессами [1, 7, 29, 35, 44, 45, 55, 59, 77], основываются на предположении, что система обладает свойством управляемости, то есть, что существует допустимое управление, переводящее объект в заданное конечное состояние.

Система х = Ах + Ви, хей", меГ (0.3) с постоянными параметрами достаточно подробно исследовалась в работах [7, 30, 31, 36, 55, 59, 74, 75]. При условии \и\<�М>0 определена структура области управляемости, получены некоторые свойства решений краевых задач.

При условии, что система х = Ах не имеет периодических решений, кроме тривиального, авторами работы [53] Петровой В. В. и Тонковым Е. Л. получены достаточные условия, при которых каждому допустимому управлению соответствует периодическое решение системы (0.3), находящееся в заранее заданной области фазового пространства.

Достаточно подробно основные вопросы математической теории управления рассмотрены Красовским H.H. в [33]. Проблемы управляемости линейной, квазилинейной систем, задачи наблюдаемости и оптимальности сведены к задачам функционального анализа. Задача об управлении для системы дифференциальных уравнений вида х = j (t)x + B (t)u + w (t) рассматривалась как проблема моментов. Получены достаточные условия управляемости систем с постоянными параметрами, нестационарных систем, квазилинейных систем. Определена зависимость оптимального решения от краевых условий. В предположении, что система линейного приближения квазилинейной системы является вполне управляемой на отрезке [ta, t?, с помощью метода последовательных приближений доказывается существование релейного управления, разрешающего краевую задачу. Получены достаточные условия полной управляемости линейной системы с переменными коэффициентами.

Исследованию квазилинейных систем посвящены работы Альбрехта Э. Г., Соболева О. Н. [2, 3]. В статье [2] рассмотрена управляемая система х = A (t)x + b (t)u+juf (x, t) с краевыми условиями x (ta) = xa, x (t?)=x?. В предположении полной управляемости системы первого приближения указан итерационный метод построения оптимального управления.

Краевая задача для линейных и квазилинейных систем рассматривалась Зубовым В. И. [28]. Большое внимание уделяется возможности численного решения с помощью методов последовательного приближения.

Исследование системы х = + и) проводилось в работе Пантелеева В. П. [49]. Для линейных по состоянию нестационарных динамических систем получен необходимый и достаточный признак локальной управляемости.

Большой трудностью до сих пор является исследование проблемы управляемости нелинейных систем. Этой проблеме посвящены работы [37−43, 47, 49−52, 56, 57, 64, 65, 70, 81]. Большинство результатов этих работ относятся к изучению задачи локальной управляемости.

Авторами работ [64, 81] в предположении полной управляемости системы линейного приближения получены достаточные условия управляемости нелинейной системы.

В работах [65, 70] рассмотрены системы, не являющиеся в общем случае управляемыми. Исследуется проблема определения множества, в любой точке которого система управляема.

В работах Львовой Л. Л. [37, 38], в предположении, что система линейного приближения может не быть вполне управляемой, для нелинейной системы получены условия существования пары «управление — параметр», которая переводит объект из нуля в нуль.

При исследовании системы вида х=/(х)+Ви Митрохин Ю. С., Степанов А. Н. [41−43] предполагали, что система линейного приближения неуправляема. Сформулированы необходимые и достаточные условия управляемости нелинейных систем, линейно зависимых от управления, в окрестности нуля.

В работах [39, 40] Мастерковым Ю. В. введено понятие локально управляемых, устойчиво управляемых и Л^-управляемых систем. Получены соотношения между этими понятиями.

Показано, что свойство TV-управляемости является наиболее сильным.

Петров Н. Н при исследовании нелинейной автономной системы в работе [50] не предполагал полной управляемости системы линейного приближения. При помощи функции Ляпунова получены достаточные условия существования кусочно-постоянного управления, переводящего динамическую систему за конечный промежуток времени из любой точки фазового пространства в начало координат. Рассматривая проблему локальной управляемости нелинейных систем в работах [50−52] Петров H.H. в качестве множества допустимых управлений рассматривал кусочно-постоянные функции, принимающие значения из конечного множества.

Управлением динамическими системами с помощью кусочно-постоянных функций занимались Раковщик JI.C. [56, 57], Нгуен Тхянь Банг [47], Землякова JI.С. 22−27].

В работах [56, 57] Раковщик JI.C. с помощью метода последовательных приближений получил достаточные условия существования кусочно-постоянного управления-, переводящего динамическую систему из точки X некоторой окрестности точки х0 фазового пространства, за конечный промежуток времени в точку х0. Подробно рассмотрен вопрос об управляемости системы х = f (t, x, u) + Au .

Исследования Раковщика JI.C. в своих работах продолжили Нгуен Тхянь Банг и Землякова JI.C. В работе [47] классическим методом последовательных приближений Пикара решены задачи о существовании и нахождении управляющих воздействий, переводящих квазилинейную систему из некоторого заданного положения фазового пространства в начало координат за фиксированное время. Рассмотрен вопрос об области управляемости, найден верхний предел для значений параметров нелинейных частей, при которых исследуемая система управляема.

В работах [22−27] большое внимание уделено проблеме локальной управляемости. Получены достаточные условия существования кусочно-постоянного управления, разрешающего глобальную краевую задачу.

Широкое распространение в нелинейной механике и особенно в теории колебаний получил метод усреднения, при использовании которого системе с периодической по t правой частью ставится в соответствие автономная система. В работах [6, 54] были предложены и обоснованы алгоритмы усреднения уравнений в случаях различных ограничений, налагаемых на управление.

Достаточно общий подход к вопросу управляемости нелинейных систем разработан Воскресенским Е. В. [13−17]. В основе его лежит метод сравнения системы с другой линейной или нелинейной, более удобной для исследования. При этом помимо управляемости метод сравнения позволяет установить ряд других полезных свойств, например, устойчивость. Использование этого метода требует наличие определенных навыков у исследователя: необходимо подобрать уравнение сравнения, эталонную функцию, чтобы, основываясь на эквивалентности по Брауэру сравниваемых систем, сделать определенные выводы об управляемости.

Метод сравнения использовал в своих работах также Павлов А. Ю. В работе [48], исследуя систему dx = A (t)x + B (t)u + f (t, x, и) + F (t), (0.4) dt dx он сравнивал её с линейной системой — = A (t)x + B (t)u + F (t), в dt предположении, что в фиксированном классе допустимых управлений, система (0.4) является управляемой за конечный или бесконечный промежуток времени.

Вопросы существования управлений, разрешающих краевую задачу (0.1), (0.2) для нелинейных систем решались различными методами [6, 72, 78, 81, 83]. Терехин М. Т., Землякова Л. С. [69] предлагают, например, метод вариации промежуточной точки, Габасов Р. Ф. и Кириллова Ф. М. [18] используют метод приращений, рассматриваемых на траекториях системы.

В работе [18] получены достаточные условия управляемости линейных систем с нелинейным входом, условия управляемости систем с отклоняющимся аргументом по линейному приближению. Установлены признаки оптимальности и доказана единственность оптимальных управлений.

Авторами работы [82] получен аналог критерия Калмана, сформулированный для систем с запаздыванием.

В последнее время появились работы [5, 9], направленные на численное решение задач математической теории управления. Так в работе [5] построен алгоритм вычисления управления, приводящего систему в заданное состояние покоя. Рассмотрена задача об управлении материальной точкой неизвестной массы, перемещающейся вдоль горизонтальной прямой.

Авторами работы [9] для нелинейной системы третьего порядка построен программный комплекс, позволяющий разбить фазовую плоскость на ячейки — области, в которых все траектории системы являются орбитно устойчивыми и имеют одни и те же а-и ¿-«-предельные множества.

Содержание работы. Особую роль при исследовании математических моделей занимают исследования периодических решений. В первой главе получены условия существования допустимого управления, при котором система х = + В (г)и имеет периодическое решение, принадлежащее заранее заданной области фазового пространства. В отличие от работы [53] Петровой В. В. и Тонкова E.JI. исследования проводятся в предположении, что система x = A (t)x имеет нетривиальные периодические решения.

Наиболее сложной, но имеющей большое прикладное значение, является проблема глобальной управляемости нелинейных систем. Исследованию этой проблемы посвящены в частности работы [22−27, 47, 56, 57, 81]. В диссертации методом неподвижной точки и методом последовательных приближений получены условия глобальной управляемости нелинейных систем при более общих предположениях, при этом рассмотрен вопрос о возможности непрерывных управляющих воздействий на систему. Кроме того, в настоящей работе представлена программа и результаты её выполнения для нахождения решения глобальных краевых задач.

Вопрос о локальной управляемости рассматривался Красовским H.H. [33], Зубовым В. И. [28], Альбрехтом Э. Г., Соболевым О. Н. [2, 3], Габасовым Р. Ф., Кирилловой Ф. М. [18] в предположении полной управляемости системы линейного приближения. Результаты же второй и третьей главы не связаны данным ограничением. Условия существования решения краевой задачи определяются свойствами как линейных, так и нелинейных частей системы. Применение теорем Мастеркова Ю. В. [39, 40] к решению вопроса об управляемости предполагает нахождение решения исследуемой системы, обладающего определенными свойствами, что вызывает определенные затруднения. Результаты, полученные в диссертации, не связаны подобным предположением. Работы Львовой Л. Л. [37, 38] направлены на поиск пары «управление — параметр», которым соответствует решение системы с нулевыми начальным и конечным состояниями. В третьей же главе настоящей работы найдены условия существования тройки «начальное значение — управлениепараметр» разрешающей периодическую краевую задачу.

Во введении содержатся: обоснование актуальности темы, цель работы, методика исследования, краткий обзор результатов других авторов, краткое содержание работы. Диссертация состоит из трех глав, разбитых на параграфы, заключения и приложения.

В § 1 главы 1 дается постановка задачи, вводятся определение (U, X, W)-допустимости, (V, W) -регулярности и множества регулярности. Приведен пример, в котором на основе свойства допустимости установлено влияние управления на отдельные координаты решения линейной системы. В § 2 получены достаточные условия регулярности систем. В § 3 содержится описание методов нахождения множества регулярности, описаны способы сведения системы интегральных уравнений к нелинейной системе недифференциальных уравнений относительно постоянного вектора. Приведен пример линейной системы, обладающей свойством (U, X, W)-допустимости.

Вторая глава посвящена изучению достаточных условий управляемости систем. В § 4 найдены условия существования кусочно-постоянных решений краевых задач. Установлен итерационный метод нахождения искомых управлений, получены условия полной управляемости нелинейных систем. В § 5 рассмотрен вопрос о существовании непрерывных решений краевой задачи, § 6 содержит примеры управляемых систем. Для иллюстрации возможности применения алгоритма вычисления решения краевой задачи, полученного в ходе доказательств теорем §§ 4, 5, приведены результаты выполнения программы, написанной в среде Maple 7. Представлены графики, характеризующие точность вычислений.

Проблеме существования решения краевой задачи в некоторой окрестности тривиального решения посвящена глава III. В § 7 на основании теорем §§ 4, 5 установлены достаточные условия локальной управляемости систем. В § 8 сформулировано понятие периодической краевой задачи, получена нелинейная система недифференциальных уравнений, связывающая искомые начальное значение, управление и параметр, которым соответствует периодическое решение системы. В § 9 приведены теоремы существования решения периодической краевой задачи, как в критическом, так и в некритическом случае. Приведены примеры нелинейных систем, имеющие периодические решения в окрестности нулевого. В § 10 в предположении, что известно приближенное значение пары «управление — соответствующее ему решение», получены результаты, позволяющие сделать вывод о существовании решения периодической краевой задачи при более слабых предположениях, чем в теоремах § 9.

В приложении приведены блок-схемы программы вычисления решения краевых задач, реализованные в среде Maple 7, результаты их выполнения, графики.

Необходимые сведения по теории дифференциальных уравнений взяты из [21], по функциональному анализу из [19, 32, 71].

На защиту выносятся следующие положения:

1. Достаточные условия допустимости системы (0.3) в критическом случае.

2. Условия глобальной управляемости системы (0.2) в случае, когда размерность управления больше или равна размерности вектора состояния объекта.

3. Условия локальной управляемости системы (0.2), получаемые при использовании матриц линейного приближения.

Апробация диссертации. Основные результаты докладывались на заседаниях научно-исследовательского семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Рязанском государственном педагогическом университете, на VIII Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» в г. Пущино, на VI Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании» в Рязанской государственной радиотехнической академии, на IX Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование» в г. Дубна, на XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова, на VII Всероссийской научно-технической конференции студентов, молодых ученых и специалистов «Новые информационные технологии в научных исследованиях и в образовании» в Рязанской государственной радиотехнической академии, на Всероссийской конференции «Качественная теория и её приложения» в г. Рязани в 2001 году.

Основные результаты исследований по теме диссертации опубликованы в работах [85−95].

Заключение

.

Работа посвящена исследованию математических моделей процессов, описываемых системами обыкновенных дифференциальных уравнений с управлением. Исследуются проблемы глобальной и локальной управляемости линейных и нелинейных систем. Применяется метод разложения управления в конечный ряд по заданным базисным функциям, что позволило вопрос о разрешимости дифференциальных и интегральных систем свести к вопросу о разрешимости соответствующих систем недифференциальных уравнений. Теоремы существования решения краевых задач основываются на применении теоремы о неподвижной точке нелинейного оператора. Получены утверждения об управляемости системы как требующие, так и не требующие вычисления фундаментальной матрицы системы линейного приближения. Предложен метод последовательных приближений для решения краевой задачи, на основании которого реализована программа в среде Maple 7. Приведены численные результаты, графики.

С помощью полученных утверждений исследованы математические модели биологического и химического процессов.