К качественной теории систем квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка

Установившееся течение идеальной (невязкой, и несжимаемой.) жидкости описывается векторным полем, компоненты которого удовлетворяют системе квазилинейных уравнений с частными производными первого порядка, так называемой системе уравнений Эйлера [18]. Известным частным случаем указанной системы являются двумерные уравнения Эйлера, относящиеся к плоским и осе-симметричным векторным полям [22,25], к течениям на сфере [II] и на двумерном торе [ 38], к тем классам установившихся течений, которые могут быть описаны в терминах некоторого векторного поля 2ft, заданного на двумерном римановом многообразии [15]. При изучении указанных уравнений в ограниченной области обычными средствами теории граничных задач возникает целый ряд трудностей. Неясны условия, обеспечивающие существование и единственность решения (исключая специальный случай «простого протекания», относящийся к регулярному С т. е. не имеющему особых точек) векторному полю, рассмотренный в работе [2]), связь стационарной: и нестационарной задачине обоснованы приближенные методы исследования. Кроме того, информация (представляющая как физический, так и принципиальный интерес), которую желательно извлекать из уравнений, выходит за ражи стандартных теорем и касается структурных свойств соответствующего векторного поля: общей картины расположения линий тока, характера и распределения особых точек, условий их отсутствия (или возникновения) и т. п.

Настоящая диссертация посвящена как получению и анализу соотношений, тесно связанных с уравнениями Эйлера, которые могут оказаться полезными именно при получении результатов указанного выше качественного характера, так и ряду конкретных приложений, относящихся к плоским и осесимметричным течениям. В этом смысле она цримыкает к работам [l2,I3,I5,34,35,38,4l].

Работа состоит из двух частей:. Первая часть, носящая подготовительный характер, содержит две главы. В первой главе исследуются характер и распределение изолированных особых точек гладкой вещественной функции vp, заданной на некотором двумерном многообразии М. В приложениях в роли указанной функции выступает так называемая функция тока, сопоставленная (по меньшей мере локально) некоторому соленоидальному векторному полю UL, соответствующему течению несжимаемой жидкости [l5]. В § I доказывается утверждение (теорема 1.3), что всякая гладкая вещественная функция на Л,, допускающая внутри At лишь изолированные особые точки, локально топологически эквивалентна некоторой гармонической функции, имеющей, быть может, особые точки типа логарифмического полюса (соответствующие точкам локального экстремума). В §§ 2 и 3 изучаются целочисленные соотношения, связывающие сумму индексов особых точек j/ с эйлеровой характеристикой. Л, и поведением р на границе JX. Указанные соотношения аналогичны известным соотношениям Морса — Гейнса [28], но получены при существенно менее стеснительных условиях, относящихся к поведению цу на границе JJL, что весьма важно в приложениях [" 13,34]. Во второй., части полученные соотношения используются при изучении картин эйлеровых течений.

Естественным (но не используемом в учебниках. по гидродинамике) способом задания эйлерова течения служит постановка граничной задачи для соответствующей системы уравнений Эйлера. Специфика двумерного случая, если ограничиться анализом плоских течений, заключается в том, что в этом случае эйлерову полю Vb в ограниченной области можно поставить в соответствив некоторый гладким: вещественный функционал Ъ, определяемый однозначно граничным! значениями поля^ и его завихренности OU , — интеграл энергии исходной граничной задачи [35]- искомому течению TJL будет соответствовать тогда критическая точка функционала & (нуль производной ФрешеX.

Основным объектом изучения второй главы первой части является специальный класс гладких вещественных функционалов заданных на некотором банаховом пространстве, обладающих определенной правильной, структурой, характеризуемой, приводимыми в § I условиями (I.D-G.3) (так называемые условия расщепления). Функционалы с указанными свойствами напоминают простейшие квадратичные формы вида: или и в этом смысле допускают изучение как в контексте теории выпуклых функций [30,36], так и с точки зрения вариационного исчисления в целом Г46,50]. С точки зрения теории граничных задач [35,40,42,44], наиболее значительный интерес представляет выяснение дополнительных ограничений на^, обеспечивающих существование и единственность его особой (или критической) точки. Кроме обычного центра (точки экстремума [27,31]-, правильные функционалы допускают особенности типа седла (точки смешанного экстремума [20,36]). Существование центра обеспечивается выполнением минимального требования к ^ - условия дифферен-цируемости С утверждение 1.5 из § I). Аналогичное утверждение 1.6 (§ I), относящееся к седлу, доказывается ниже лишь при дополнительном предположении о рефлексивности банахова пространства ?3 (которое обычно и используется в приложениях [35,36,40,42, 44]). В отличии от сравнительно общей ситуации, характерной для выпуклых функции [Зб], для правильных функционалов сформулированное выше требование не является необходимым и ниже заменяется на условие двукратной непрерывной дифференцируемости (утверждения 2.3 и 2.4 из § 2). К основным результатам §§ I и 2 относятся неравенство СЕ) из § I и теорема 2.1 из § 2.

В заключительном § 3 исследуется конкретная вариационная задача, иллюстрирующая основные свойства правильных функционалов. Полученные результаты используются во второй части при доказательстве теоремы существования и единственности, относящейся к установившимся течениям идеальной жидкости. Различие между центром и седлом правильного функционала учитывается при классификации эйлеровых полей (приводимой ниже).

Вторая часть диссертации, состоящая из трех глав, посвящена приложениям к гидродинамике. Объектом изучения первой главы являются некоторые свойства плоских течений. Во второй главе рассматривается граничная задача для установившегося осесимметричного течения идеальной жидкости в конечном цилиндре при условии непротекания на боковой поверхности и заданной нормальной составляющей скорости на основаниях цилиндра. Параллельно исследуется аналогичный класс плоских течений.

Центральным утверждением данной главы является приводимая в § I теорема I. I, относящаяся к существованию и единственности эйлеровых полей с произвольным наперед заданным числом особых точек. Схема доказательства этой теоремы была изложена автором в заметке Е35]. Ниже она приводится с некоторыми уточнениями и добавлениями, учитывающими результаты второй главы первой части.

Доказательство приведенной теоремы связано существенно с использованием упомянутого выше вариационного метода. Соответствующим интегралом энергии служит некоторый правильный функционал?. На основе информации, относящейся к структуре особой точки Ъ, в § 2 второй главы производится классификация эйлеровых полей: течения, соответствующие центру, относятся к «ламинарным», а течения, соответствующие седлу к «вихревым» эйлеровым полям.

В заключительной главе второй части исследуются различные картины эйлеровых течений. В §§ I и 2 рассматриваются примеры ламинарных эйлеровых полей: потенциальные течения (завихренность СО=0- § I) и семейство течений с со = СцУ, где Сварьируемая постоянная, IJ, — независимая переменная, а Vвещественный, параметр, принимающий, значения 0 и 1 соответственно для случая плоского векторного поля и осесимметрическо-го течения (§ 2). В § 3 приводится пример, иллюстрирующий механизм перехода от ламинарного эйлерова поля к вихревому течению, связанный, с изменением структуры особой точки — рассматривается дискретная серия течений с со (ipфункция тока). Варьирование постоянной С приводит к последовательности бифуркаций особой точки: центр fe переходит в седло, седло с меньшим индексом (понимаемым в смысле [50]) -в седло с большим индексом. Вышеуказанные изменения сопровождаются возникновением течений со сколь угодно большим числом вихрей, возрастающим с увеличением индекса седла функционала? , что и отличает данное вихревое течение от отмеченных выше ламинарных полей. Хотелось бы заметить, что используемые в этой главе методы исследования (это особенно относится к § I) заметно отличаются от классических [21,23,45] и аналогичны использованным в [13].

В заключении автор пользуется случаем выразить признательность профессору Дезину А. А. за внимание к работе.

Часть первая НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ АНАЛИЗА.

1. Агмон С., Дуглис А., Еиренберг Л. Оценки решений эллиптических уравнений вблизи границы. М.: ИЛ, 1962.

2. Алексеев Г. В. О единственности и гладкости плоских вихревых течений, идеальной жидкости.- Динамика сплошной среды (сб. научн. трудов). Новосибирск, 1973, выпуск 15, с. 7−17.

3. Аносов Д. В. Геодезические потоки на замкнутых римано-вых многообразиях отрицательной кривизны. М.: Наука, 1967.

4. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

5. Бакельман И. Я., Вернер А. Л., Кантор Б. Е.

Введение

в дифференциальную геометрию «в целом». М.: Наука, 1973.

6. Бирман М. Ш., Скворцов Г. Е. О квадратичной суммируемости старших производных решения задачи Дирихле в области с кусочно гладкой границей.- Изв. ВУЗов, 1962, № 5 30 с. 12 -21.

7. Бицадзе А. В. Некоторые классы уравнений в частных производных. М.: Наука, I.98I.

8. Векуа Н. Н. Обобщенные аналитические функции. М.: Физматгиз., 1959.

9. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.

10. Гельфанд И. М., Фомин С. В. Вариационное исчисление. М.: Ф М, 1961.

11. Громека И. С. Собрание сочинений. М.: АН СССР, 1952.

12. Дезин А. А. Некоторые модели, связанные с уравнениями Эйлера.- Дифференциальные уравнения, 1970, т. 6, i,' I, с. 17 -26.

13. Дезин А. А. Об одном классе векторных полей.- Комплексный анализ и его приложения (сб. статей). М.: Наука, 1978, с. 203 208.

14. Дезин А. А. Общие вопросы теории граничных задач. М.: Наука, 1980.

15. Дезин А. А. Инвариантные формы и некоторые структурные свойства гидродинамических уравнений ЭйлераZ&-iltckzipt jfiutpalpus tW, Uuit jtH/hrencLchput, 1983; -1(5SAD1 h-09.

16. Канторович I.В., Акилов Г. П. Функциональный анализ в нормированных пространствах. М.: Физматгиз, 1959.

17. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функции и функционального анализа. М.: Наука, 1972.

18. Кочин Н. Е., Кибель И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика. М.: Физматгиз, 1963.

19. Красносельский. М.А., Перов А. И., Поволоцкий А.й., Забрейко П. П. Векторные поля на плоскости. М.: Физматгиз, 1963.

20. Лаврентьев М. А., Люстерник Л. А. Курс вариационного исчисления. М.-Л.: ГИТТ, 1950.

21. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1973.

22. Лаврентьев М. А., Шабат Б. В. Проблемы гидродинагжки и их математические модели. М.: Наука, 1977.

23. Ламб Г. Гидродинамика. М.: Гостехиздат, 1947.

24. Ландис Е. М. Уравнения второго порядка эллиптического и параболического типов. М.: Наука, 1971.

25. Милн-Томсон Л. М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964.

26. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1976.

27. Михлин С. Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Гостехиздат, 1957.

28. Морс М. Топологические методы теории функций: комплексного переменного. М: ШЕ, 1951.

29. Немыцкий В. В., Степанов В. В. Качественная теория дифференциальных уравнений. М.-Л.: ГИТТ, 1949.

30. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М.: Мир, 1973.

31. Соболев C.I. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.: ЛГУ, 1950.

32. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Физматгиз, 1959.

33. Стоилов С. Лекции о топологических принципах теории аналитических функций. М.: Наука, 1964.

34. Трошкин О. В. О некоторых свойствах эйлеровских полей. -Дифференциальные уравнения, 1982, т. 18, № I, с. 138 144.

35. Трошкин О. В. Допустимость множества граничных значений в одной стационарной гидродинамической задаче.- ДАН СССР, 1983, т. 272, № 5, с. 1086 1090.

36. Экланд И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные.проблемы. М.: Мир, 1979.

37. Юдович В. И. Двумерная нестационарная задача о протекании идеальной жидкости сквозь заданную область.- Математический сборн., 1964, т. 64, с. 562 588.

38. ЛькМ if, %ui id cjiontbtuc (Ju^wildisL dv> <jftcUj№с.

39. MpyL С. X. Tlonйшж inieijtaE ecyuaticMS o^ tkiЯьнлмлАип. bjfsu, Viot. ТЫ. tlcaJi. iti. IL. 5. H.} 19iTcrt.3^^, 60−65″ .ЛшимллЖик iype. Отажs. OLMVL. mcdk. 5oc.- 1949, Vol. 66, 1 г. X, j? cw, t Е, pp. 2 89 -30?.

40. ИсишМ X, ве^ср. Ж. 61 g^froi tWtj 4 steady xfmkvt гскуЛ in cut icltaZ fiiiucL. Clcta W, i/ot.^32, л/1, ^ 13−51.4.2. jt. ШскОсМА/сh&Ut ЛущгельcLuKfUi>- add TYlaik. j 1930, i/X 54 111-Ш.

41. Xa-KclevvvtaM. Хагшс 61. С. Хбтг ес^ммгаЯмялСШ.с1аУюК^'МйЛ icniYldcvUj Voint JiXC&itUl. L^tc J-owinatc'lfWdk.) 1Щ tret 33, л/2., № 311−328.

42. Zami d.C.j XancW^an УШумл tfcarijL Kl. OK SacUie feni 'pxc'CfWtS in. ihe Catoulub ojy lfoA (ct{ian/)) bli? Hilt Ql^otolkm ctMcl TYlmoimt Смпгегсушс1.1 mcuik, dwd. Clppt., ifi. 52, Л/3, pp. 594 №.