Строго вещественные унипотентные подгруппы групп лиева типа

Нормальные и скрученные группы лиева типа являются естественным обобщением классических линейных групп. Группа UTn (K) — группа верхних унитреугольных п х п — матриц над кольцом К и ее аналоги для других групп лиева типа представляют особый интерес, в частности, как силовские рподгруппы, когда К—поле характеристики р. Подгруппа UTn (K) и унипотентные подгруппы групп лиева типа изучались многими авторами с разных сторон: абелевы подгруппы наивысшей размерности, нормальные подгруппы, группы автоморфизмов, элементарная эквивалентность и др. С другой стороны сама группа UTn (K) и ее предельные случаи являются неиссякаемым источником различных примеров.

Основным объектом исследований в диссертации являются унипотентные подгруппы групп лиева типа над полем характеристики 2.

Элемент группы G назовем вещественным (строго вещественным), если он сопряжен некоторым элементом (некоторой инволюцией) из G со своим обратным элементом. Все комплексные характеры принимают на вещественных элементах вещественные значения. Группа G называется вещественной (строго вещественной), если все ее элементы вещественны (если все ее неединичные элементы строго вещественны). Отметим, что вещественность (строгая вещественность) всей группы не влечет вещественность (строгую вещественность) ее подгруппы.

В 1995 г. A.A. Кириллов высказал гипотезу, о вещественности характеров унитреугольной группы UTn (K) над полем К = GF{2), т. е. гипотезу о вещественности группы UTn (2). При п < 12 А. Вера-Лопэз и Дж.М. Арреги, опираясь на свои результаты [16, 17], установили вещественность группы UTn (2). В 1998 г. И. М. Айзеке и Д. Карагуиузян [14] привели пример матрицы, А из группы UTiz (2), которая не сопряжена в группе UT2,{2) со своей обратной, тем самым гипотеза A.A. Кириллова при п > 13 была опровергнута. Как выяснилось позже, в группе UTz (2) существует единственная пара обратных сопряженных классов с представителями Ап, А *) [18].

В силу результатов Д. З. Джоковича [19] (1967 г.), П. Х. Тьепа и А. Е. Залесского [6] (2005 г.) в общей линейной группе GLn (2m) все уни-потентные элементы являются строго вещественными. В [19] доказано, что в GLn (K) для любого поля К все вещественные элементы являются строго вещественными, а в [6] утверждается, что все унипотент-ные элементы из специальной линейной группы SLn (2m) вещественны. С другой стороны, Р. Гов [1] (1981 г.) доказал строгую вещественность симплектической группы PSp2n{K) для любого поля К характеристики 2. Учитывая этот результат Р. Гова и указанный выше пример матрицы И. М. Айзекса и Д. Карагуиузяна получаем, что в силовской 2-иодгруппе S2 строго вещественной группы PSp2n{2m) при п > 14 существует элемент, который не является вещественным в подгруппе 5 г.

Я.Н. Нужин записал в «Коуровскую тетрадь» следующий вопрос: Какие унипотентные погруппы (силовские 2-подгруппы) групп лиева типа над полем характеристики 2 являются строго вещественными [21, вопрос 16.76].

Одним из основных результатов работы является.

Теорема 1. Пусть U — унипотентная подгруппа группы лиева типа G ранга I над полем К характеристики 2.

Подгруппа U не является строго вещественной если:

1) тип G равен 2A2i, I > l, 2В2, 2F±;

2) I > 13 и тип G равен A?-i, B?, Q, Di, 2A2i-i, 2Di+ц.

3) в поле К существует элемент r? такой, что многочлен X2+X+r? неприводим в К[Х] (в частности, если К — конечное поле) и тип G равен F4, Eq, ?7,.

4) в подполе неподвиэюных элементов Kq существует элемент щ такой, что многочлен X2 + X + щ неприводим в Kq[X] (в частности, если К — конечное поле) и тип G равен 2Eq.

Подгруппа U является строго вещественной, если I < 4 и тип G отличен от типов из пунктов 1), 3), 4) или тип G равен Ai и I = 5,6.

Из формулировки теоремы 1 следует, что получен ответ на указанный выше вопрос 16.76 для классических групп лиева ранга I при I < 4 и I > 13, а для типа Ai и при / = 5,6, над произвольным полем характеристики 2, и исключительных групп лиева типа над полем К характеристики 2, в котором существует элемент r? такой, что многочлен X2+X+r? неприводим в К[Х] или (в частности, если К — конечное поле).

При исследовании вопроса 16.76 принципиально важно и полезно знать являются ли строго вещественными регулярные унипотентные элементы?

По определению регулярными унипотентными элементами в группе лиева типа (7, ассоциированной с фундаментальной системой корней П = {гь Г2,., г-}, являются элементы, сопряженные с элементами вида хГ1 г щ). .Х8к (ик), и ф О, Т{< ву.

В частности, если группа С? типа А[, то регулярным элементом является элемент, приводимый к нормальной жордановой форме с одним блоком. Основным результатом главы 2 является следующая.

Теорема 2. Пусть (2 — группа лиева типа над конечным полем характеристики 2.

1) В группе (7 типа А, 2Л2/-ъ В/, Сг, Д, 2Д, 3?>4, С?2 все регулярные унипотентные элементы строго вещественны.

2) В группе С типа М2ь 252, все регулярные унипотентные элементы не строго вещественны.

3) Группа С? типа 2Е6 содержит один класс строго вещественных и один класс не строго вещественных сопряженных регулярных унипотентных элементов.

4) Группа (7 типа Ет, Е&-, ^ содержит два класса строго вещественных и два класса не строго вещественных сопряженных регулярных унипотентных элементов.

По теореме 2 группы типа 2Л2/, I > 1, 2#2, 2Ее, Ее, В?, Е&над конечным полем характеристики 2 содержат хотя бы один не строго вещественный класс сопряженных регулярных унипотентных элементов. Таким образом, из теоремы 2 вытекает.

Следствие. Группы Шевалле типа I > 1, 2?2> F4, 2Л?6, Ее, Еъ Е8 над конечным полем характеристики 2 не являются строго вещественными.

В 1999 г. А. И. Созутов записал в «Коуровскую тетрадь» следующий вопрос: Описать конечные простые группы, в которых каждый элемент является произведением двух инволюций [20, вопрос 14.82]. Отметим, что конечная простая группа является строго вещественной тогда и только тогда, когда каждый ее элемент представим в виде произведения двух инволюций.

Вопрос о строгой вещественности отдельных классов конечных простых групп рассматривался и ранее. К. Багински [4] (1987 г.) доказал, что знакопеременная группа Ап, п > 5, строго вещественна тогда и только тогда, когда п = 5, б, 10,14- строгую вещественность симплектиче-ской группы) установили Р. Гов при q = 2 т [1] (1981) и при д = 1 {той 4) [3] (1988 г.) и Э. В. Элерс и В. Нольт при д = 2 т [2] (1982 г.) — в [5] (2005 г.) С. Г. Колесников и Я. Н. Нужин доказали, что среди спорадических групп только две группы Янко «Д и Зч являются строго вещественными, там же было установлено, что группы Р5Хп (д), п > 3, Р5С/п (д), п > 3, Р8р2п{(1) при п > 1 и д = 3{той 4), а также некоторые ортогональные группы и некоторые исключительные группы лиева типа не являются строго вещественными. В 2005 г. П. Х. Тьеп и А.Е. За-лесский [6] показали, что все исключительные группы лиева типа над любым конечным полем не являются даже вещественными. Таким образом, вопрос о строгой вещественности конечных простых групп (следовательно, и вопрос 14.82) остается открытым только для некоторых ортогональных групп.

Диссертация состоит из введения и трех глав. Опишем содержание диссертации по главам.

1. Gow R. Products of two involutions in classical groups of characteristic 2 11 J. Algebra. 1981. V. 71. P. 583−591.

2. Elers E.W., Nolte W. Bireflectional of orthogonal and symplectic groups 11 Arch. Math. 1982. V. 39. P. 113−118.

3. Gow R. Commutators in the symplectic group // Arch. Math. 1988. V. 50. P. 204−209.

4. Baginski C. On sets of elements of the same order in the alternating group An // Publ.Math. 1987. V. 34. P. 313−315.

5. Kolesnikov S.G., Nuzhin Ya.N. On strong reality of finite simple groups 11 Acta Appl. Math. 2005. V. 85, № 1−3. P. 195−203.

6. Tiep RH., Zalesskii A.E. Real conjugacy classes in algebraic groups and finite groups of Lie type// J. Group Theory. 2005. V. 8. P. 291−315.

7. Вурбаки H. Группы и алгебры Jin. VII-VIII. Москва: Мир, 1978.

8. Carter R.W. Simple groups of lie type. London: Wiley and Sons, 1972.

9. Борель А. и др. Семинар по алгебраическим группам. Москва: Мир, 1973.

10. Carter R.W. Finite groups of Lie type. London: Wiley and Sons, 1985.

11. Mizuno K. The conjugate classes of unipotent elements of the Chevalley groups E7, Es // Tokyo J. Math. 1980. V. 3, № 2. P. 391−459.

12. Tiep P.H., Zalesskii A.E. Unipotent elements of finite groups of Lie type and realization fields of their complex representations // J.Algebra. 2004. V. 271. P. 327−390.

13. Shinoda K. The conjugacy classes of Chevalley groups of type F4 // J. Fac. Sci. Univ. Tokyo. 1974. V. 21. P. 133−159.

14. Isaacs I.M., Karagueuzian D. Conjugacy in groups of upper triagular matrices // J.Algebra. 1998. V. 202. P. 704−711.

15. Isaacs I.M., Karagueuzian D. Erratum (Isaacs I.M., Karagueuzian D. Conjugacy in groups of upper triagular matrices // J.Algebra. 1998. V. 202. P. 704−711.) // J.Algebra. 1998. V. 208. P. 722.

16. Arregi J.M., Vera-Lopez A. Conjugacy classes in Sylow p-subgroups of GL{n, q) // J.Algebra. 1992. T. 152. C. 1−19.

17. Arregi J.M., Vera-Lopez A. Some algorithms for the calculation conjugacy classes in the Sylow p-subgroups of GL (n, q) // J.Algebra. 1995. V. 177. P. 899−925.

18. Arregi J.M., Vera-Lopez A. Computing in unitriangular matrices over finite fields // Linear algebra and its applications. 2004. V. 387. P. 193— 219.

19. Djokovic D.Z. Product of two involutions// Arch.Math. 1967. V. XVIII. P. 582−584.

20. Коуровская тетрадь// Новосибирск, CO РАН ИМ, 2002.

21. Коуровская тетрадь// Новосибирск, СО РАН ИМ, 2006. РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ.

22. Газданова М. А., Нужин Я. Н. Об унипотентных подгруппах групп лиева типа// Сборник материалов международной конференции: «Алгебра, логика и кибирнетика». Иркутск, 2004, С. 241.

23. Газданова М. А. О строгой вещественности унитреугольных подгрупп матриц над полем характеристики 2// Сборник материалов всероссийской конференции: «Молодежь и наука». Красноярск: ИПЦ, КГТУ, 2005, С. 62−64.

24. Газданова М. А., Нужин Я. Н. О строгой вещественности унипотентных подгрупп групп лиева типа над полем характеристики 2 // Международная алгебраическая конференция: Тезисы докладов. Екатеринбург, 2005, С. 46−47.

25. Газданова М. А., Нужин Я. Н. О регулярных унипотентных элементах групп лиева типа над полем характеристики 2// Международная алгебраическая конференция «Классы групп и алгебр»: Тезисы докладов. Гомель, 2005, С. 59−60.

26. Газданова М. А. О строгой вещественности группы унитреугольных матриц размерности 6×6 над полем характеристики 2// Algebra and Model Theory. Novosibirsk: NSTU, 2005, T. 5, C. 44−53.

27. Газданова М. А. О строгой вещественности группы унитреугольных матриц размерности 7×7 над полем характеристики 2 // Вестник КрасГУ: физ.-мат. науки. Красноярск, 2006, № 7, С. 43−53.

28. Газданова М. А., Нужин Я. Н. О строгой вещественности унипотентных подгрупп групп лиева типа над полем характеристики 2 // Сибирский математический журнал, 2006, № 5 (в печати).