Модификация и исследование метода Т-матриц в задачах рассеяния электромагнитного излучения телами вращения

Актуальность проблемы. При решении многих реальных проблем радиофизики, оптики атмосферы и океана, геофизики, астрофизики, биофизики и т. д. требуются надежные сведения о характеристиках электромагнитного излучения тел, возбужденных точечными источниками, либо о характеристиках излучения, рассеянного отдельными объектами и их совокупностями. Так, дифракция поля электрического (магнитного) диполя в присутствии абсолютно проводящего или диэлектрического тела служит широко распространенной моделью в теории антенн [5,8,9,16,26,50,83,88], распространении волн в волноводе Земля — ионосфера и т. д. Рассеяние электромагнитного излучения отдельными частицами и их ансамблями играет важную роль в локации [50,89], при исследовании распространения излучения в дисперсных средах [7,8,10,31,51−53,69,74,76,77,83](анализ влияния естественных и искусственных аэрозолей, метеообразований и т. п.), радиационного баланса атмосферы Земли [25] и т. д. В последние годы большое значение придается оптическим методам контроля за состоянием биосферы на основе мониторинга окружающей среды и дистанционного зондирования атмосферы в различных регионах [20,21].

Обычно моделью рассеивающих объектов являются однородные шары [7,31,51−53,77,83]. Однако реальные объекты и частицы имеют несферическую форму и, как правило, достаточно хорошо могут быть аппроксимированы аксиально симметричными телами [10,2022,31,77,83]. Важнейшим частным случаем подобных рассеивателей является вытянутый или сплюснутый сфероид (эллипсоид вращения). Модель сфероидов дает возможность исследовать основные эффекты, возникающие при отклонении формы рассеивателей от шарообразной. В этом случае появляется дополнительный, по сравнению с шаром, геометрический параметр — отношение большой полуоси сфероида к малой а/Ь, варьируя который можно рассматривать тела от близких по форме к сферическим до игл (вытянутые сфероиды) и дисков (сплюснутые сфероиды). Привлечение других моделей несферических объектов (конечные круговые цилиндры, чебышевские частицы (многолистники) и т. д.) позволяет более полно исследовать возникающие эффекты [77,83,86].

Большинство современных методов расчета рассеяния электромагнитного излучения несферическими телами конечных размеров являются универсальными, т. е. могут быть применены к рассеивателям произвольной формы. Наиболее известными из них являются: метод Т-матрицы [31,57,77,84,91−94], различные варианты метода интегральных уравнений [9,24,69,95], включая метод дискретных диполей [63,64,77] и близкий к нему метод вторичных источников [16,17]. Чаще всего они применяются при изучении рассеяния света осесимметричными частицами (сфероиды, чебышевские частицы, конечные круговые цилиндры и т. д.). Однако даже для таких частиц с размерами, сравнимыми с длиной волны падающего излучения, расчеты характеристик рассеянного излучения требуют значительного компьютерного времени [70,77]. Исключение составляет, до некоторой степени, метод Т-матрицы, но он неудовлетворительно работает при значительном отклонении формы частицы от сферической. С другой стороны, в случае тел сфероидальной формы хорошо себя зарекомендовал метод разделения переменных [54,77,86].

Цель работы. Основной целью диссертации является развитие, а также аналитическое и численное исследование модифицированного метода Т-матриц для решения задачи рассеяния электромагнитного излучения аксиально симметричными телами при помощи специально выбранных скалярных потенциалов.

Задачи работы. 1. Решение модифицированным методом Т-матриц осесимметричных задач дифракции электромагнитных волн на абсолютно проводящих и диэлектрических телах вращения с использованием скалярных потенциалов, связанных с азимутальными компонентами электромагнитных полей.

2. Аналитическое и численное исследование построенных решений, включающее анализ разрешимости бесконечных систем линейных алгебраических уравнений и численное тестирование.

3. Решение неосесимметричной задачи дифракции плоской электромагнитной волны на абсолютно проводящих телах вращения модифицированным методом Т-матриц. Аналитическое и численное исследование, итогом которого является определение области применимости метода Т-матриц и его модификаций.

Методы исследования. Для решения поставленных задач используются методы математической физики, теории функций комплексного переменного, линейной алгебры и вычислительной математики. Для численного тестирования рассматриваемых задач, а также для расчета характеристик рассеянного излучения используется язык FORTRAN.

Научная новизна работы. 1. Предлагается новый подход к решению рассматриваемых задач дифракции электромагнитных волн на осесимметричных телах, который соединяет преимущества метода разделения переменных для сфероидов (выбор скалярных потенциалов) и метода Т-матрицы (интегральная постановка задачи и представление полей в виде разложений по волновым сферическим функциям).

2. Проведенное аналитическое и численное исследование решений задач дифракции на абсолютно проводящих и диэлектрических телах вращения позволило сделать строго обоснованные выводы относительно области применимости метода Т-матриц и его модификаций.

Научная и практическая значимость работы. Особую практическую и научную ценность имеет аналитико-численное исследование области применимости модифицированного метода Т-матриц в задачах рассеяния электромагнитного излучения абсолютно проводящими и диэлектрическими телами вращения. Это тем более важно, что полученные результаты справедливы не только для этой конкретной модификации, но и в отношении метода Т-матриц в целом, включая рассеяние света дисперсными системами. Практический интерес представляет комплекс программ, которые реализуют построенные алгоритмы расчета характеристик рассеянного излучения (сечения ослабления и рассеяния, радарные сечения рассеяния, а также диаграммы направленности) для осесимметричных тел различной формы (см. website http://www.astro.spbu.ru/staff/ilin2/INTAS).

Содержание диссертации. Во введении показана актуальность исследований, проведенных в диссертации, сформулирована цель работы, изложены основные научные результаты, выносимые на защиту, их новизна и практическая ценность.

Первый раздел посвящен обзору различных строгих и приближенных методов и подходов к решению проблемы рассеяния электромагнитного излучения отдельными телами. Сначала приводятся диффренциальные и интегральные формулировки задачи, а также формулы для характеристик рассеянного излучения, включая интегральные сечения ослабления и рассеяния, факторы эффективности радарного рассеяния и диаграммы направленности. Во втором подразделе рассматриваются строгие методы решения задачи дифракции: разделение переменных, метод Т-матриц (или расширенных граничных условий), различные варианты метода интегральных уравнений, аппроксимация дискретными диполями и метод вспомогательных источников, метод возмущений. Здесь отмечаются их основные достоинства и недостатки, в частности, приводится таблица сравнительных характеристик методов разделения переменных и Т-матриц.

Основными моментами метода Т-матриц являются: 1) формулировка задачи в виде поверхностных интегральных уравнений с использованием функции Грина волнового уравнения, 2) применение волновых сферических функций в качестве базиса для разложений электромагнитных полей (или скалярных потенциалов) и 3) определение неизвестных коэффициентов разложений из бесконечных систем линейных алгебраических уравнений (БСЛАУ). Наша модификация метода Т-матриц относится к первому шагу. Электромагнитные поля выражаются через специальным образом выбранные скалярные потенциалы, относительно которых и формулируется задача. Эти потенциалы полностью оправдали себя при решении электромагнитной задачи дифракции на сфероидах методом разделения переменных.

Приближения Релея, Релея-Ганса, ван де Хюлста (аномальной дифракции) и ВКБ (Вентцеля-Крамера-Бриллюэна), квазистатическая аппроксимация и Э-аппроксимация обсуждаются в последнем подразделе. Изложение основывается на едином подходе, при котором характеристики рассеянного излучения находятся по внутреннему полю, которое аппроксимируется либо из физических соображений, либо при помощи решений более простых задач.

Во втором разделе рассматривается дифракция поля электрического или магнитного диполя на абсолютно проводящем теле вращения в осесимметричном случае, т. е. предполагается, что диполь находится на оси вращения тела и направлен вдоль нее.

Для решения задачи вводятся скалярные потенциалы, связанные с азимутальными компонентами напряженностей электрического и магнитного полей.

Все компоненты электромагнитных полей выражаются через эти скалярные потенциалы, поэтому их использование позволяет свести исходную векторную задачу электромагнитной дифракции к скалярной задаче относительно потенциалов.

Скалярные потенциалы удовлетворяют волновому уравнению, граничным условиям и условию излучения на бесконечности. Учитывая свойства решений волнового уравнения, выводятся поверхностные интегральные уравнения относительно скалярных потенциалов. Каждый из двух потенциалов определяется независимо от другого.

На следующем этапе потенциалы представляются в виде разложений по волновым сферическим функциям. Принимая во внимание аналогичное разложение для функции Грина и ортогональность угловых сферических функций на любой сфере, поверхностные интегральные уравнения сводятся к бесконечным системам линейных алгебраических уравнений (Б СЛАУ) относительно неизвестных коэффициентов разложений потенциалов рассеянного излучения.

Полученные БСЛАУ аналогичны системам, к которым приходят при использовании метода диаграммных уравнений (МДУ) для решения скалярной задачи дифракции [28,30]. Результаты аналитического исследования разрешимости БСЛАУ, возникающих в рамках МДУ, справедливы и в нашем случае. В диссертации показано, что МДУ является модификацией метода Т-матриц, когда рассеянное поле определяется только в дальней зоне относительно рассеивателя ((г —> сю)). Тела, для которых можно обоснованно применять метод Т-матриц в дальней зоне, предлагается называть «слабо релеевскими». Заметим что «релеевскими» называются тела, для которых справедлива гипотеза Релея: разложения полей по волновым сферическим функциям сходятся вплоть до границы рассеивателя. Для этого необходимо и достаточно, чтобы особенности аналитического продолжения рассеянного поля находились внутри сферы, полностью содержащейся внутри рассеивающего тела [2]. Для того, чтобы сфероид был релеевским телом, необходимо и достаточно, чтобы отношение его полуосей удовлетворяло условию а/Ъ < у/2. Для того, чтобы тело было «слабо релеевским «необходимо и достаточно, что области сходимости аналитических продолжений решений внутренней и внешней задач имели бы общее кольцо с центром в начале координат. Последнее условие значительно более слабое, чем гипотеза Релея, в частности, ему удовлетворяют все выпуклые тела с аналитическими границами, в том числе любые сфероиды.

Для тестирования используется закон сохранения энергии и оптическая теорема при условии, что падающим излучением является не зависящая от азимутального угла часть плоской волны. Это утверждение справедливо, так как оператор, соответствующий задаче дифракции, и оператор Ьг = д/д (р коммутируют. Численные расчеты, проведенные для сфероидов и чебышевских частиц (образующие их поверхности описываются полиномами Чебышева), подтверждают справедливость полученных ранее аналитических результатов.

В заключение раздела приводятся диаграммы направленности излучения, рассеянного вытянутыми и сплюснутыми сфероидами, чебышевскими частицами и конечными круговыми цилиндрами, когда источником падающего излучения является диполь, расположенный на оси вращения тела и направленный вдоль нее.

Осесимметричная задача дифракции электромагнитного излучения на диэлектрическом теле вращения рассматривается в третьем разделе. Сначала излагается стандартная схема решения задачи, когда на первом шаге определяется поле внутри тела, а затем по внутреннему полю определяется рассеянное. В модифицированной схеме рассеянное поле определяется непосредственно. Кроме того, излагается метод диаграммных уравнений применительно к данной задаче. Данный метод является модификацией метода Т-матриц, когда рассматривается только поле в дальней зоне. Следует отметить, что БСЛАУ, получающиеся в рамках МДУ и в модифицированной схеме, совпадают.

Центральное положение в данном разделе занимает исследование БСЛАУ, которые возникают при решении рассматриваемой задачи. С помощью метода перевала оцениваются матричные элементы и свободные члены БСЛАУ. Найденные оценки позволяют сделать вывод о том, что для бесконечных систем, как и в скалярном случае (см. раздел 2), справедлива альтернатива Фредгольма и решение может быть найдено методом редукции при условии ai < сг2, где, а — расстояние от начала координат до наиболее удаленной особой точки рассеянного излучения, <72 — расстояние от начала координат до ближайшей особой точки излучения внутри частицы. Таким образом, области применимости метода Т-матриц и его модификаций различны для релеевских и «слабо релеевских» рассеивателей и определяются только их геометрией. В первом случае метод можно применять во всей области вне рассеивающего тела, во втором — область применимости ограничивается дальней зоной, т. е. можно вычислять сечения ослабления, рассеяния и поглощения, а также индикатрисы рассеянного излучения, но нельзя достоверно вычислять интенсивности излучения на конечном расстоянии от рассеивателя. Сфероиды являются релеевскими рассеивателями при а/Ъ < /2 и слабо релеевскими — при а/Ь < сю.

Численный анализ подтверждает выводы теории, в том числе область применимости метода Т-матриц, действительно, слабо зависит от химического состава (диэлектрической проницаемости) рассеивающей частицы и ее ориентации. Расчеты показали, что для сфероидов предложенное решение имеет некоторое преимущество перед классической схемой в области больших отношений а/Ъ.

В последнем разделе рассматривается рассеяние плоской электромагнитной волны абсолютно проводящим осесимметричным телом. По сравнению с предыдущими задачами данная является неосесимметричной, т. е. падающее и рассеянное электромагнитные поля зависят от азимутального угла. Для ее решения используются скалярные потенциалы, которые наиболее эффективны для сфероидов в рамках метода разделения переменных [37, 40], особенно при значительном отклонении их формы от сферической [86,87].

Аналитическое и численное исследование области применимости метода Т-матриц в рассматриваемой неосесимметричной задаче дает результаты аналогичные тем, которые получаются для осесимметричных задач. В качестве теста на правильность получающихся численных результатов можно рассматривать сходимость разложений для внутреннего и внешнего излучений на поверхности рассеивателя и поточечное выполнение граничных условий. Если рассматривается только рассеянное поле в дальней зоне, то в качестве теста наряду со сходимостью в дальней зоне самих разложений можно использовать закон сохранения энергии для непоглощающих частиц.

Результаты исследований по теме диссертации были получены при выполнении НИР по двум грантам Центра фундаментальных исследований (СПбГУ) и гранту фонда концерна «Фольксваген» (1998 -2000 гг.), а также госбюджетного НИР кафедры прикладной математики ГУАП.

Апробация диссертации. Основные научные результаты, полученные в диссертации, обсуждались на трех международных конференциях «Естественные и антропогенные аэрозоли» (С-Петербург, 1997, 1999 и 2001гг.), двух международных семинарах «Day on Diffraction» (С-Петербург, 2000 и 2001 гг.), Межрегиональной конференции «Экология космоса» (С-Петербург, 2002), а также докладывались на научных семинарах в С-Петербургском отделении математического института РАН им. А. В. Стеклова, Астрофизическом институте Университета Йены (Германия), кафедры прикладной математики СПбГУАП.

Публикации. По теме диссертации автором опубликовано семь печатных работ, в том числе пять статей [6,32,33,47,67] и тезисы докладов.

Farafonov V.G., IPin V.B., Loskutov А.А. On applicability of T-matrix-like methods. // Day on Diffraction '2001. Abstract. Universitas Petropoli-tana, p.29, 2001.

Фарафонов В.Г., Ильин В. Б., Лоскутов А. А., Прокопьева М. С. О применимости метода Т-матриц для расчета рассеяния несферическими частицами. // Межрегиональная конференция «Экология космоса» (С-Петербург, 2002). Тезисы докладов. Изд-во НИИХ СПбГУ, 2002. С. 1617.

4.8. ВЫВОДЫ.

В последнем разделе были получены следующие результаты.

1. Модифицированным методом Т-матриц построено новое решение задачи рассеяния электромагнитного излучения абсолютно проводящими телами в неосесимметричном случае. Все поля представлялись в виде суммы двух слагаемых, одно из которых не зависит от азимутального угла, а интегрирование другой по этому углу дает ноль. Для каждой части задача решается самостоятельно. В неосесимметричной задаче в качестве скалярных потенциалов использовались комбинации потенциалов Дебая и вертикальных компонентов векторов Герца. Первые из них применялись ранее в задачах для шаров, вторые — в задачах для бесконечных круговых цилиндров.

2. Проведено аналитическое исследование области применимости модифицированного метода Т-матриц в неосесимметричном случае рассеяния электромагнитных волн абсолютно проводящими телами вращения. Показано, что область применимости метода Т-матриц и его модификаций определяется формой частиц.

3. Численный анализ подтвердил теоретические выводы. Эффективность иетода Т-матриц в неосесимметричном случае примерно такая же, как и в осесимметричном. С ростом размерности решаемых систем линейных алгебраических уравнений они становятся плохо обусловленными, что приводит к значительной потере точности расчетов. Так как количество учитываемых слагаемых в разложениях полей (и размерность алгебраических систем) увеличивается с ростом размера рассеивателя, а также с отклонением его формы от шара, то эффективность метода в этих случаях ухудшается. Однако модифицированный метод эффективнее классического для вытянутых и сплюснутых сфероидов с большими отношениями а/Ь.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

1. В диссертации предложены новые решения задачи дифракции электромагнитных волн на абсолютно проводящих и диэлектрических телах вращения в осесимметричном случае, а также решение задачи рассеяния плоской электромагнитной волны абсолютно проводящими осесимметричными телами. Они являются модификациями метода Т-матриц, отличаясь специальным выбором скалярных потенциалов. Эти потенциалы оправдали себя при решении задачи для сфероидов методом разделения переменных. Показано, что метод диаграммных уравнений является модификацией метода Т-матриц при условии, что рассеянное поле рассматривается только в дальней зоне.

2. Аналитическое исследование области применимости метода Т-матриц и его модификаций показало, что она различна для релеевских и «слабо релеевских» рассеивателей (в этот класс входят все выпуклые тела с аналитическими границами). В первом случае метод можно применять всюду вне рассеивающего тела, во втором — только в дальней зоне. Показано, что область применимости метода Т-матриц и его модификаций определяется только формой частиц. Сфероиды (эллипсоиды вращения) являются релеевскими рассеивателями при а/Ь < /2 и слабо релеевскими — при любых отношениях а/Ъ. В случае чебышевских частиц класс «слабо релеевских» рассеивателей также шире класса «релеевских» тел, в который, в свою очередь, входят все выпуклые чебышевские частицы.

3. Численный анализ подтвердил выводы теории. Область применимости метода Т-матриц и его модификаций действительно определяется, в основном, формой рассеивателей, и слабо зависит от их химического состава и ориентации. Эффективность метода ухудшается по мере отклонения формы рассеивателя от шара. Для сфероидов предложенное решение имеет преимущество перед классической схемой в области больших отношений а/Ъ в силу лучшей сходимости разложений по волновым сферическим функциям.

4. Практический интерес представляет комплекс программ для расчета характеристик рассеянного излучения (сечения ослабления и рассеяния, радарные сечения рассеяния, а также диаграммы направленности) для осесимметричных тел различной формы.