Исследование спектра и собственных функций эллиптических операторов

Спектральная теория эллиптических операторов является важным разделом общей спектральной теории операторов и активно развивается различными математическими школами. В этой области получены фундаментальные результаты, которые находят многочисленные применения при исследовании задач математической физики и квантовой механики.

В настоящей диссертации изучаются операторы вида.

Н = ^{Рк + ак)2 + У, (0.1) к=1 и п п В (В где Рк, к = 1, п — операторы импульса (ограничения на параметры входящие в данные операторы см. ниже). Общим для операторов вида (0.1),(0.2) является то, что они в качестве исходного или, если угодно, модельного оператора имеют оператор Шредингера.

— A + V, где Д — оператор Лапласа. Данный оператор играет исключительно важную роль в квантовой механике. Изучению его собственных функций и спектра посвящено большое количество работ. В частности, эспоненциаль-ное убывание на бесконечности собственных функций многомерного оператора Шредингера с полуограниченным снизу потенциалом впервые доказал И. Э. Шноль [8], результаты которого затем уточнялись в работах Б. Саймона [18].

Далее, одной из основных задач квантовой теории рассеяния является задача доказательства отсутствия положительных собственных значений оператора Шредингера. Отсутствие положительных собственных значений уравнения.

AU + U = 0 в одном классе бесконечных звездных областей методом априорных оценок доказал Ф. Реллих [22]. В работе [15] Т. Като развил технику априорных оценок для доказательства отсутствия положительных собственных значений оператора Шредингера в L2(Rn), потенциал которого подчинен условию lim xV (x) — 0. В дальнейшем, пользуясь своим методом «взвешенных» оценок, С. Агмон в работах [9],[10] доказал отсутствие сингулярно непрерывного спектра оператора Шредингера в L2(Rn) с неограниченным потенциалом вида V (x) = (1 + x)~sW (x), где s > 1, а функция W Д-компактна в L2(Rn) (условие s > 1 лежит в основе метода Агмона). Аналогичный результат другим методом установил В. Энсс в классе потенциалов V (x) = f{x)W (x), где /(г) > 0 — суммируемая монотонная функция [11],[12]. Наконец, Мурр в своей работе [17] (см. также [7]) развил метод, применимый к большому классу операторов, и использующий коммутаторную оценку для доказательства отсутствия сингулярно непрерывного спектра.

Со спектральным анализом тесно связан вопрос о единственности продолжения решения уравнения Шредингера. Теоремы единственности в L2(R2) впервые были доказаны Т. Карлеманом [23]. Аналогичные теоремы L2(R") при п > 2 получены С. Мюллером [20]. В дальнейшем эта задача для неограниченных потенциалов изучалась Е. Хайнцем [21].

В работах Р. Фрёзе [13],[14] (см. также [7], теорема 4.18.), при довольно жестком условии, что почти всюду существует производная по радиальной переменной от функции V (x), a А-ограничен .с Д-гранью меньшей.

2 доказывается, что собственные функции оператора Шредингера не могут убывать быстрее, чем е5^ при любом 5 > 0. Более точные результаты получены в монографии [5] X. X. Муртазина и В. А. Садовничего. В теореме 2.1. данной монографии доказано, что если V (x) = (1 + x)~1W (x), где W (x)A-ограничен и при размерности конфигурационного пространства п > 4 дополнительно удовлетворяет неким предельным соотношениям (см. ниже), то собственная функция соответствующая положительному собственному значению не может убывать быстрее любой степени |ж|. Этот результат хорошо согласуется с известным примером потенциала V (x) Вигнера-фон Неймана (см. [б], стр. 246). Далее, в теореме 2.2. той же монографии, при условии, что ЖД-компактен и при п > 4 дополнительно удовлетворяет предельным соотношениям, доказано что оператор Шредингера не имеет положительных собственных значений. Последняя теорема с применением метода Мурра приводит к тому, что при условиях теоремы 2.2. положи-. тельный спектр оператора —А + V абсолютно непрерывен.-Значительная часть данной диссертации — обобщение результатов данной монографии на операторы вида (0.1),(0.2).

Основной целью работы является доказательство теорем о скорости убывания, асимптотическом поведении собственной функции и отсутствии положительных собственных значений, а также об абсолютной непрерывности спектров операторов (0.1),(0.2).

При этом будут использоваться метод априорных оценок, естественный в теории эллиптических уравнений и метод Мурра.

Результаты работы носят в основном теоретический характер. Они могут найти применение в области дифференциальных уравнений и квантовой механики.

Диссертация состоит из введения, двух глав (§ 1—§ 4 и § 5—§ 9 соответственно), списка литературы, изложенных на 125 страницах машинописного текста.

Список литературы

насчитывает 29 наименований, из которых 15 на иностранных языках. Нумерация теорем, лемм и замечаний единая и сплошная в каждой главе.

1. Березанский Ю. М. Разложение по собственным функциям самосопряженных операторов. Из-во «Наукова думка» — Киев, 1965.

2. Като ТТеория возмущения линейных операторов. Из-во Мир. Москва, 1972.

3. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивисткая те-ория.Т.З. М.: Наука, 1989.

4. Лебедев Я. Н. Специальные функции и их приложения. Государственное из-во физико-математической литературы. Москва. 1963.

5. Муртазин X. X., Садовничий В. А. Спектральный анализ многочастичного оператора Шредингера. М.: Издательство МГУ, 1988.

6. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т.4. Анализ операторов. М.: Мир, 1982.

7. Цикон X., Фрезе Р., Кирш В., Саймон Б. Операторы Шредингера с приложениями в квантовой механике и глобальной.геометрии. М.: Мир, 1990.

8. Шнолъ И. Э. О поведении собственных функций уравнения Шредингера. Матем. сб. 1957. Т.42(84). № 3. С. 273−276.

9. Agmon S. Spectral properties of Schrodinger operators. Proc. Int. Cong. Math., v.2, p. 679−684, Paris: Gauthier-Villars, 1971.

10. Agmon S. Spectral properties of Schrodinger operators and scattering theory. Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa II, 1975, v. 2, p. 151−218.

11. Enss V. Asymptotic completenes for quantum mechanical potentialscattering I. Comm. Math. Phys., 1978, v. 61, p. 285−291.

12. Enss V. Scattering and spectral theory for three particle systems. «Differ. Equat. Proc. Conf. Birmingam, Ala, 21−26 March, 1983,» Amsterdam, 1984, p. 173−204.

13. Froese R., Herbst /.Exponential bounds and absence of positive eigenvalues for N-body Schrodinger operators. Commun. Math. Phys., 87. 429−447 (1982).

14. Froese R. et al. L2-exponential lower bounds to solutions of the N-body Schrodinger equation. Commun. Math. Phys., 265−286 (1982).

15. Kamo T. Growth properties of solutions of the reduced wave equation with variable coefficients. Comm. Pure Appl. Math., 1959, V. 12, p. 403−425.

16. Miller K., Simon B. Quantum magnetic Hamiltonians with remarkable spectral properties. Phys. Rev. Lett. 44, 1706−1707 (1980).

17. Mourre E. Absence of singular continuous spectrum for certain self adjoint operators. Commun. Math. Phys. 78, 391−408 (1981).

18. Simon B. Pointwise bounds on eigenfunctions and wave pacets in N-body quantum systems.

19. Proc. Amer. Math. Soc., 1974, v (42), p. 395−401;

20. Proc. Amer. Math. Soc., 1974, v (45), p. 454−456;

21. I Trans. Amer. Math. Soc., 1975, v (208), p. 317−329;

22. Stummel F. Singulare elliptische Differential operatoren in Hilbertschen Raumen. Math. Ann. 132, 150−176 (1956).

23. Miiller C. On the behavier of the solutions of the differential equation AU = F (x, U) in the neighborhood of a point. Comm. Pure Appl. Math., 1954, v. 7, p. 505−515.

24. Heinz E. Uber die Eindeutigkeit bein Cauchyshen Anfangswertproblem einer elliptiscen Differentialgleichungen zweiter Ordnung. Nachr. Acad. Wiss. Gottingen Math. Phys. Kl. 11(1), 1955, p. 1−12.

25. Rellich F. Uber das asymptotische Verhalten der Losungen vonAU 4- AU = 0 in in unendlichen Gebieten. Uber. Deutsch. Math. Verein, 1943, v. 53, s. 57−65.

26. Carleman T. Sur un probleme d’unicite pour les systemes d’equations aux derivees partielles a deux variables independantes. Ark. Math (17), 1939, v.268, p. 1−9.Публикации автора.

27. Губайдуллин M. Б. Некоторые свойства решений и спектра уравнения Шредингера в магнитном поле. Республиканская научная конференция студентов и аспирантов по физике и математике. Тезисы докладов.г. Уфа, 2000, с. 216−217.

28. Губайдуллин М. Б. О свойствах собственных функций и спектра эллиптического оператора. Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Сборник трудов. Том I. Математика, г. Уфа, 2001, с. 83−85.

29. Губайдуллин М. Б., Муртазин X. X. Некоторые свойства собственных функций оператора Шредингера в магнитном поле. ТМФ. 2001. Т.126. N° 3. с. 443−454.

30. Губайдуллин М. Б. О свойствах спектра оператора Шредингера в магнитном поле. ТМФ. 2002. Т.130. № 2. с. 267−274'.

31. Губайдуллин М. Б., Муртазин X. X. О свойствах собственных функций и спектра эллиптического оператора. ДАН. 2002. Т.382. № 3. с. 1−3.