Задачи идентификации коэффициентов многомерных параболических уравнений

Обратными задачами для дифференциальных уравнений называются задачи определения входных данных — коэффициентов, правых частей дифференциальных уравнений, границ области, граничных или начальных условий по дополнительной информации о решениях уравнений. Эту дополнительную информацию часто называют условиями переопределения.

Обратные задачи возникают во многих областях науки и техники. Необходимость использования обратных задач возникает, например, в следующих случаях:

• создание приборов, техники с заранее заданными или заранее планируемыми характеристиками;

• оценка экспериментальных данных, получение тех или иных выводов по косвенным наблюдениям;

• обработка данных, полученных в результате проведенного эксперимента.

Теория и методы решения обратных задач составляют важное направление научных исследований в области дифференциальных уравнений в частных производных.

Обратная задача называется одномерной, если коэффициенты уравнения зависят только от одной пространственной переменной. В случае, когда уравнение зависит от нескольких пространственных переменных, обратная задача называется многомерной.

Первые результаты о разрешимости одномерных обратных задач принадлежат Г. Герглотцу [68] и Е. Вихерту [76]. Результаты, связанные с изучением многомерных обратных задач, были впервые получены Ю. М. Березанским в работе [21]. Одномерные обратные задачи для дифференциальных уравнений в частных производных рассматривались, например, в [42], [36, 37]. Исследования многомерных обратных задач проводились М. М. Лаврентьевым [39, 43], В. Г. Романовым [48, 51], Ю.Е. Анико-новым [1, 6, 59, 60, 61], Б. А. Бубновым [22], А. Д. Искендеровым [32, 34], М. В. Клибановым [35], А. И. Прилепко [44, 45], Н. Я. Безнощенко [8, 11], Н. И. Иванчовым [29, 30] и другими.

В диссертации рассматриваются задачи определения входных данных многомерных параболических уравнений.

Краевые задачи определения коэффициентов или функции источника для параболического уравнения в предположении независимости искомых коэффициентов (в том числе и функции источника) либо от временной переменной, либо от пространственной переменной рассматривались в работах [22], [23], [55], [64]-[67], [73], [75] и других.

В работах А. И Кожанова [36]-[38], [69]-[71] рассматривались краевые обратные задачи, в которых неизвестный коэффициент зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и является ядром некоторого дифференциального оператора первого порядка.

В работах [52, 54] исследовалась однозначная разрешимость обратных задач для параболических уравнений, когда искомый коэффициент или функция источника зависит от всех переменных и имеет вид /(?)д (х) или /(?)4-д (х). Обратным задачам для параболических уравнений с данными Коши посвящены работы [5], [8], [12]-[14], [16], [64], [66]. В указанных работах разрешимость получена в предположении, что искомые коэффициенты не зависят от каких — либо переменных, входящих в уравнение. В работе [49] в случае данных Коши доказана теорема единственности для задачи определения функции источника, зависящего от всех переменных и имеющего специальный вид.

В работах [25], [26] изучены задачи гиперболической аппроксимации для обратных задач, задачи однозначной разрешимости для гиперболических уравнений, содержащих малый параметр при второй производной по времени, исследован вопрос о близости решений задач с малым параметром и соответствующих предельных задач.

В работах [17]-[19] доказана однозначная разрешимость многомерной обратной задачи определения функции источника х) параболического уравнения, которая зависит от всех независимых переменных, входящих в уравнение, и представима в виде х) = /(?).

В основе исследования разрешимости задач с данными Коши лежит метод, позволяющий с помощью преобразования Фурье переходить от обратной задачи к прямой задаче для интегро-дифференциального уравнения. Механизм сведения обратной задачи к прямой впервые предложен Ю. Е. Аниконовым [1]. Далее такой подход к исследованию корректности обратных задач был развит в работах [4]-[6], [7], [14], [22], [64], [66] и применен к решению задач, исследованных в настоящей диссертации.

Диссертация состоит из введения, трех глав, списка литературы и списка публикаций автора по теме диссертации. Исследуются задачи определения одновременно нескольких коэффициентов многомерных параболических коэффициентов.

1. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений — Новосибирск: Наука. Сиб. отд. 1978.

2. Аниконов Ю. Е. Об однозначности решения обратной задачи для квантового кинетического уравнения// Матем.сборник. 1990. Т.181. № 1. С. 68 74.

3. Аниконов Ю. Е. Обратные задачи математической физики и биологии// ДАН СССР.1991. Т.318. № 6. С.1350 1354.

4. Аниконов Ю. Е. Псевдодифференциалъные операторы и обратные задачи Новосибирск — 1986. (Препринт / АН СССР. Сиб. от-ние. Вычислительный центр, N671).

5. Аниконов Ю. Е., Белов Ю. Я. Об однозначной разрешимости одной обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР. 1989. Т.306. № 6. С.1289 1293.

6. Аниконов Ю. Е., Бубнов Б. А. Существование и единственность решения обратной задачи для параболического уравнения // ДАН СССР. 1988. Т.298. № 4. С.777 779.

7. Ахтамова С. С., Белов Ю. Я. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений // ДАН СССР. 1991. Т.316. С.791 795.

8. Безнощенко Н.Я.0 задаче Коши для уравнения щ — Аи + иАи = / // Дифференциальные уравнения. 1983. Т.21. № 6. С.991−1000.

9. Безнощенко Н. Я. Об определении коэффициентов при младщих членах в параболическом уравнении// СМЖ. 1975. Т.16. № 3. С. 473 -482.

10. Безнощенко Н. Я. Об определении коэфициента при младшем члене общего параболического уравнения // Дифференциальные уравнения. 1976. Т.12. т. С.175 176.

11. Безнощенко Н. Я. Об определении коэффициентов при старших производных в параболическом уравнении// Дифференциальные уравнения. 1975. Т.П. т. С. 19 26.

12. Белов Ю. Я. Обратная задача для уравнения Вюргерса // ДАН СССР. 1992. Т.323. № 3. С.385 388.

13. Белов Ю. Я. О расщеплении одной обратной задачи для многомерного параболического уравнения // ДАН СССР. 1995. Т.345. № 4. С.441 444.

14. Белов Ю. Я., Саватеев Е. Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения с неизвестным коэффициентом при производной по времени // ДАН СССР. 1991. Т.334. № 5. С.800 804.

15. Белов Ю. Я., Шипина Т. Н. О задаче идентификации функции источника для системы составного типа. Тезисы докладов конференции «Обратные и некорректно поставленные задачи». Москва. МГУ. 15 — 18 июня 1998 г.

16. Белов Ю. Я., Шипина Т. Н. Об одной обратной задаче для системы составного типа. Тезисы докладов Третьего сибирскогоконгресса по прикладной и индустриальной математике. Часть 1. Новосибирск. 22 — 26 июня 1998 г. С. 136.

17. Белов Ю. Я., Шипина Т. Н. Об одной задаче определения функции источника. Тезисы докладов Международной конференции «Обратные задачи математической физики». — Новосибирск. 21 — 25 сентября 1998 г. С. 18.

18. Белов Ю. Я., Яненко H.H. Влияние вязкости на гладкость решения в неполно параболических системах // Матем. заметки. 1971. Т. 10. Ж. С. 93 — 99.

19. Березанский Ю. М. Об однозначности определения уравнения Шре-дингераЦ ДАН СССР. 1953. В.93. JVM. С.591 594.

20. Бубнов Б. А. К вопросу о разрешимости многомерных обратных задач для параболических уравнений Новосибирск — 1989 (Препринт /АН СССР. Сиб. отд. Вычислительный центр. С. 87 — 714).

21. Волков В. М. Обратная задача для квазилинейного уравнения параболического типа// Дифференциальные уравнеия.1983. Т. 19. № 12. С.2166 2169.

22. Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики М.: МГУ. 1979.

23. Ермолаева О. Н. О гиперболической регуляризации обратной задачи опеределения коэффициента при второй производной по пространственной переменной // Комплексный анализ и математическая физика. КрасГУ. 1998. С. 45−58.

24. Иванчов Н. И. Обратные задачи теплопроводности в двух компонентной среде// Дифференциальные уравнения. 1992. Т.28. № 4. С.666 672.

25. Иванчов Н. И. Некоторые обратные задачи для уравнения теплопроводности с нелокальными краевыми условиями// Украинский математический журнал. 1993. Т.45. № 8. С. 1066 1071.

26. Иванчов Н. И. Об обратной задаче одновременного определения коэффициентов теплопроводности и теплоемкости// Сибирский математический журнал. 1994. Т.35. №. С.612 621.

27. Иванчов Н. И. Об определении зависящего от времени старшего коэффициента в параболическом уравнении// Сибирский математический журнал. 1998. Т.39. № 3. С.539 550.

28. Ильин A.M., Калашников A.C., Олейник O.A. Линейные уравнения второго порядка параболического типа // Успехи матем. наук. 1962. Т. 17. С. 3−146.

29. Искендеров А. Д. Многомерные обратные задачи для линейных и квазилинейных параболических уравнений// ДАН СССР. 1975. Т. 225. №. С.1005 1008.

30. Искендеров А. Д. Об одной обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений// Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. № 5. С.890 898.

31. Искендеров А. Д., Тагиев Р. К. Задачи оптимизации с управлениями в коэффициентах параболического уравнения// Дифференциальные уравнения. 1983. Т. 19. №. С. 1324 1334.

32. Клибанов М. В. Обратная задача для параболического уравнения и одна задача интегральной геометрии// СМЖ. 1976. Т. 17. № 3. С.564 569.

33. Кожанов А. И. Уравнения составного типа и нелинейные обратные задачи для эллиптических и параболических уравнений Новосибирск, 1998 — 29с. (Препринт/ РАН Сиб. отд. Ин-т математики- № 54).

34. Кожанов А. И. Краевые задачи для уравнений математической физики нечетного порядка Новосибирск: Издательство Новосибирского университета, 1990, — 132с.

35. Кожанов А. И., Кириллова Г. А. О некоторых обратных задачах для параболического уравнения четвертого порядка // Математические заметки ЯГУ. 2000. Т.7, е 1. С. 35−49.

36. Лаврентьев М. М. Об одном классе обратных задач для дифференциальных уравнений// ДАН СССР. 1965. Т.160. № 1. С. 32 35.

37. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики Новосибирск: СО АН СССР. 1962.

38. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г. Теоремы единственности нелинейных обратных задач для уравнений параболического типа// ДАН СССР.1973. Т.208. № 3. С.531 532.

39. Лаврентьев М. М., Резницкая К. Г., Яхно В. Г. Одномерные обратные задачи математической физики Новосибирск: Наука. Сибирское отделение. 1982.

40. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализаМ.: Наука. 1980.

41. Прилепко А. И. Избранные вопросы в обратных задачах математической физики Новосибирск: Наука. 1992. С. 151 — 162.

42. Прилепко А. И. Обратные задачи теории потенциала (эллиптические, параболические, гиперболические уравнения переноса) // Математические заметки. 1973. Т.14,15.

43. Прилепко А. И., Костин A.B. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным наблюдением //Матем. сб. 1992. Т.183. № 4. С.49−68.

44. Понтрягин Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения М.: Наука, 1965.

45. Романов В. Г. К теоремам единственности одного класса обратных задач// ДАН СССР. 1972. Т.204. № 5. С.1075 1076.

46. Романов В. Г. Об одной обратной задаче для параболического уравнения// Матем. заметки. 1976. Т.19. № 4. С.595 600.

47. Романов В. Г. Обратные задачи для дифференциальных уравненийНовосибирск: НГУ. 1973.

48. Романов В. Г. Теорема единственности и устойчивости для нелинейного операторного уравнения// ДАН СССР. 1972. Т.207. № 5. С.1051 1053.

49. Саватеев Е. Г. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений//ДАН. 1995. Т.340. № 5. С.595 596.

50. Саватеев Е. Г. О задаче определения функции источника и коэффициента параболического уравнения//ДАН. 1995. Т.344. № 5. С. 597 -598.

51. Саватеев Е. Г. О задаче идентификации коэффициента параболического уравнения// СМЖ. 1995. Т.36. № 1. С.177 185.

52. Соловьев В. В. О разрешимости обратной задачи определения источника с переопределением на верхней крышке для параболического уравнения// Дифференциальные уравнения. 1989. Т.25. № 9. С. 1577 1583.

53. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач М.: Наука. 1979.

54. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач// ДАН СССР. 1943. Т.5. № 39. С.195 198.58. янбнко Н. Н. Метод дробных шагов решения многомерных задач математической физики Новосибирск, 1967.

55. Anikonov Yu.E. Multidimensional Inverse and Ill-Posed Problems for Differencial Equations / VSP. Utrecht. 1995.

56. Anikonov Yu.E. Formulas in Inverse and Ill-Posed Problems / VSP. Utrecht. 1997.

57. Anikonov Yu.E. Inverse Problems for Kinetic and other Evolution Equations / VSP. Utrecht. 2001.

58. Anikonov, Yu.E. and Belov, Yu.Ya. On unique solvability of an inverse problem for a parabolic equation / Dokl. Akad. Nauk SSSR, 306, 6, 1289 1293. English transl. in Sov. Math. Dokl., 39, 3, 601 — 605.

59. Anikonov Yu.E. and Belov, Yu.Ya. Determining two unknown coefficients of then parabolic type equation //J. Inv. Ill-Posed Problems.

60. Belov Yu.Ya. Inverse problems for parabolic equations// J. Inv. Ill-Posed Problems. 1993. V.l. № 4. P.283 305.

61. Cannon J.R. and Yanping Lin. Determination of a parameter p (t) in some quasi linear parabolic differential equations// J. Ill — Posed and Inverse Problems. 1988. V.4. № 1. P.595 — 606.

62. Herglotz. G. Uber die Elastizitat der Erde bei Borucksichtigung inter Variablen Dichte Zeit sehr, fur Math, und Phys. 1905. Bd52. № 3. S.275 — 299.

63. Kozhanov A. I. Composite Type Equations and Inverse Problems // Utrecht: VSP. 1999.

64. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problem with an unknown coefficient and right-hand side for a parabolic equation, I // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2002. V.10, N 6. P. 547−658.

65. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problem with an unknoun coefficient and right-hand side for a parabolic equation, II // J.Inv.Ill-Posed Problems. 2003. V. ll, N 5. P. 505−522.

66. Pilant M. and Rundell W. An inverse problem for nonlinear parabolic equation// Comm. in Partial Differntial Equation. 1986. V.ll. № 4. P. 445 457.

67. Riganti R. and Savateev E. On the solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation// Rapporto Interno. 1991. № 25. Politecnico di Torino. Torino.

68. Riganti R. and Savateev E. Solution of an inverse problem for the nonlinear heat equation // Comm. in Partial Differntial Equation. 1994. V.19. № 9&10. P. 1611 1628.

69. Riganti R. and Savateev E. Inverse problem for the nonlinear heat equation with final overdetermination // Rapporto Interno. 1995. № 7. Politecnico di Torino. Torino.

70. Wiechert E. und Zoeppritz K. Uber Erdbebenwellen Gotingen Nachr. Konigl. Geselschaft. 1907. № 4. S.415 — 549. Публикации по теме диссертации.

71. Баранов С. Н., Белов Ю. Я. О задаче идентификации трех коэффициентов с неоднородными условиями переопределения// Вычислительные технологии, т. 8, часть 4. Новосибирск. 2003. С. 92−102.

72. Баранов С. Н., Белов Ю. Я. О задаче идентификации нескольких коэффициентов с неоднородными условиями переопределения // Дальневосточный математический журн. Т. 5. -№ 1. — Владивосток, 2004. С. 30 — 40.