Вариационные методы в прикладных динамических системах

Актуальность работы. Прогресс в вычислительной технике, в том числе использование высокопроизводительных параллельных компьютеров, стимулирует активное развитие моделей, которые давали бы количественные оценки характеристик, относящихся к системе в целом, на основе детального описания отдельных объектов. Примерами таких моделей являются «нервопринципные» модели в магнетизме металлов, модели общего экономического равновесия и модели общей циркуляции океана и атмосферы (см., напр., [1−3]). Модели указанного типа используются для определения равновесных характеристик систем, а также флуктуаций в окрестности положения равновесия, и являются альтернативой (полу)эмпирическим моделям, которые, несмотря на возможности качественного анализа, имеют ограниченные предсказательные возможности из-за сложности описываемых процессов.

Однако, даже при стремительном росте вычислительных возможностей, полное описание динамики целого ряда перечисленных систем остаётся невозможным или неэффективным вследствие большого числа участвующих объектов (см., напр., § 2 в [4]). Это приводит к необходимости использовать методы усреднения, принципы построения которых определяются типом взаимодействия между объектами в системе. Взаимодействие может быть явным, как гравитационное притяжение между телами в классической задаче многих тел или кулоновское отталкивание между электронами в квантовой задаче многих тел, а может быть неявным, вытекающим из балансовых соотношений для агентов в моделях общего экономического равновесия или отдельных блоков в моделях общей циркуляции. Тем не менее, общим является тот факт, что точный вид и методы вычисления соответствующих средних, обычно определяются на основе тех или иных вариационных принципов. Это приводит к рассмотрению агрегированных динамических систем. Задачи качественного анализа решений, восстановления параметров и управления, но данным наблюдений в таких динамических системах активно изучаются в настоящий момент (см., напр., [5−12]).

Цель диссертационной работы состоит, во-первых, в разработке вариационных методов усреднения (агрегирования) в системах многих объектов с взаимодействием и разработке численных методов, нацеленных на практическое использование при решении соответствующих систем уравнений, во-вторых, в демонстрации работоспособности предложенных методов и, в-третьих, в разработке методов качественного анализа траекторий агрегированных динамических систем.

Методы исследования. В работе используются методы классической и квантовой теории возмущений, метод функционального интегрирования, принцип минимума свободной энергии, метод функций Грина, гармонический анализ, теория бифуркаций, методы дифференциальных уравнений с разрывной правой частью, теория дифференциальных включений и распределений Гурса, различные формы принципа максимума Понтрягина, условия второго порядка оптимальности особых экстремалей, теория двойственности вариационных задач, методы численной оптимизации.

Научная новизна предложенного в диссертации подхода состоит в том, что он позволяет в рамках детального (микроскопического, микроэкономического и т. и.) описания системы большого числа взаимодействующих объектов эффективно вычислять интегральные характеристики, относящиеся ко всей системе в целом (намагниченность, совокупный спрос и т. п.) с учётом динамики, которая может отражать квантовые эффекты, изменение демографических факторов и др.

Практическая значимость. Результаты диссертации, представляющей собой теоретическое исследование, имеют широкие возможности практических приложений и используются в настоящий момент в магнетизме металлов, экономике энергоресурсов и физике океана и атмосферы (см., напр., [13−15]).

Эффективность теоретических результатов, изложенных в диссертации, продемонстрирована автором в расчётах магнитных характеристик металлов и сплавов при различных температурах в рамках динамической теории спиновых флуктуаций, при получении количественных оценок влияния демографических факторов на спрос на энергоносители и выбросы парниковых газов в рамках модели Population-Environment-Technology (PET), а также при анализе устойчивости процессов циркуляции углерода по отношению к изменению внешних условий.

Предложенные автором численные методы позволили значительно улучшить количественное согласие с экспериментом для магнитных характеристик металлов при высоких температурах и значительно уменьшить время счёта многорегиональной модели прогнозирования спроса на энергоресурсы и выбросов углерода iPET (http://www.cgd.ucar.edu/ccr/iam/research/).

Написанные автором программные модули на языке Фортран и в среде Mathematica используются для проведения расчётов в Институте физики металлов УрО РАН, Национальном центре исследований атмосферы (Боулдер, США), Национальной ассоциации по океану и атмосфере (Сиэтл, США) и Международном институте прикладного системного анализа (Лаксенбург, Австрия).

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

1. Дано математическое обоснование гауссовой аппроксимации в теории произвольного случайного поля, флуктуирующего в пространстве и «времени». При помощи принципа минимума свободной энергии получены формулы для среднего и матрицы ковариации оптимального гауссового приближения. Предложен метод частичного гауссового усреднения, позволяющий учесть члены высокого порядка свободной энергии в оптимальной гауссовой аппроксимации флуктуирующего поля.

2. На основе оптимальной гауссовой аппроксимации и её обобщений получен метод вычисления функциональных интегралов по внешнему полю, учитывающий динамику и нелокальность флуктуаций. Этот метод успешно применён для математического обоснования расчётов в теории спиновых флуктуаций. В частности, получены формулы для фурье-образов флуктуирующего поля и функций Грина. С их помощью доказана формула, связывающая свободную энергию с функцией Грина системы во внешнем поле. Доказаны соотношения между корреляционными функциями спиновой плотности и флуктуирующего обменного поля.

3. Проведён качественный анализ решений системы нелинейных интегральных уравнений, определяющей оптимальную гауссову аппроксимацию в теории спиновых флуктуаций. Доказана диагональность квадратичной формы оптимальной гауссовой аппроксимации в импульсно-«частотном» представлении. Дано подробное доказательство формул для вычисления сумм по термодинамическим «частотам» в виде контурных интегралов, которые лежат в основе численной процедуры. Проведён сравнительный анализ используемых численных методов. Эффекты различных приближений теории продемонстрированы в расчётах магнитных свойств конкретных металлов и сплавов в рамках программного комплекса «MAGPROP».

4. Для динамических моделей общего экономического равновесия разработан вариационный метод вычисления параметров потребительского сектора на основе усреднения исходных данных относительно неоднородных групп потребителей. Метод реализован в виде программы «CALPET-HH» и использован для расчётов в рамках экономико-энергетической модели «PET». Показано, что рассчитанные характеристики для репрезентативного агента с усреднёнными параметрами находятся в хорошем согласии с совокупными характеристиками нескольких различных групп потребителей. Проведён анализ устойчивости результатов в широком диапазоне изменения значимых параметров модели. Кроме того, указан класс динамических моделей общего экономического равновесия, для которого задача об усреднении решается точно. В этом классе получены явные формулы для параметров репрезентативного агента.

5. Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающей процесс двойной диффузии, получено достаточное условие на функцию переноса, обеспечивающее существование предельного цикла. Показано, что этот цикл появляется в системе в результате мягкой потери устойчивости положения равновесия при сглаживании скачкообразно меняющейся функции переноса (негладкий аналог бифуркации Андронова-Хопфа). Подобные блочные системы используются, в частности, для изучения качественного характера температурно-солёностной циркуляции в океане и её устойчивости по отношению к изменению внешних параметров.

6. Для управляемой системы, описываемой распределением Гурса, доказано, что достаточно малый участок любой особой траектории первого порядка доставляет слабый минимум задачи быстродействия. Более того, произвольная сингулярная кривая является особой траекторией, и любой — не обязательно малый — участок этой траектории доставляет слабый минимум. Если особое управление оказалось граничным, то минимум в задаче является одновременно и сильным.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих международных конференциях: Intern. Conference «Kolmogorov and contemporary mathematics» in commemoration of the centenary of A.N. Kolmogorov, 2003 (Moscow, Russia) — Workshop on Hamiltonian Dynamical Systems, 2004 (Montreal, Canada) — IIASA Workshop «Biologizing Control Theory» 2005, (Laxenburg, Austria) — Intern. Seminar «Control Theory and Theory of Generalized Solutions of Hamilton-Jacobi Equations» CGS-2005, dedicated to 60th anniversary of A.I. Subbotin (Ekaterinburg, Russia) — IIASA Intern. Conference «Learning and Climate Change» 2006 (Laxenburg, Austria) — Intern. Conference on Dynamical Systems and Differential Equations DSDE-2006 (Suzdal, Russia) — Intern. Congress of Mathematicians ICM-2006 (Madrid, Spain) — Intern, school-symposium «Analysis, modeling, control, development of economical systems» 2007 (Sevastopol, Ukrain) — V Intern. Conference on Dynamic Systems and Applications DSA-2007 (Atlanta, USA) — VII Intern. Conference on Differential Equations EQUADIFF-2007 (Vienna, Austria) — Intern, conference «Analysis and singularities», dedicated to the 70th anniversary of V. I. Arnold, 2007 (Moscow, Russia) — Intern, winter school on theoretical physics «Kourovka-2008» (Novouralsk, Russia) — Intern. Conference «Differential Equations and Topology» 2008, dedicated to the 100th anniversary of L. S. Pontryagin (Moscow, Russia) — Moscow Intern. Symposium of Magnetism 2008 (Moscow, Russia) — Intern. Conference «Algorithmic Analysis of Unstable Problems» AAUP-2008, dedicated to the centenary of V. K. Ivanov (Ekaterinburg, Russia) — Intern. Conference on Magnetism ICM-2009 (Karlsruhe, Germany) — Intern. Conference «Actual Problems of Stability and Control Theory» APSCT-2009 (Ekaterinburg, Russia) — IV Euro-Asian Symposium «Trends in MAGnetism» EASTMAG-2010 dedicated to the centenary of S. V. Vonsovsky (Ekaterinburg, Russia) — VI Intern. Conference on Differential and Functional Differential Equations DFDE-2011 (Moscow, Russia).

Материалы диссертации неоднократно докладывались на Ломоносовских и Тихоновских чтениях факультета ВМК МГУ, на научных семинарах Международного института прикладного системного анализа (Лаксенбург, Австрия), факультета математики и статистики университета Джорджии (Атланта, США) и отдела теоретической и математической физики Института физики металлов УрО РАН.

Результаты диссертации докладывались на научных семинарах: «Математическая теория оптимального управления и теория дифференциальных включений» Математического института им. В. А. Стеклова РАН (преде, акад. Ю.С. Осипов), «Экономический рост: математические модели и методы» ВМК МГУ (преде, акад. A.B. Кряжимский), семинаре отдела динамических систем ИММ УрО РАН (рук. чл.-корр. В.Н. Ушаков), «Оптимальное управление: математическая теория и прикладные задачи» ВМК МГУ (рук. проф. H.JI. Григоренко), «Математическая экономика» ЦЭМИ РАН (рук. акад. В.М. Полтерович), семинаре кафедры вычислительных методов УрГУ (рук. проф. В.Г. Пименов) и семинаре отдела теории приближения функций ИММ УрО РАН (рук. чл.-корр. Ю.Н. Субботин).

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 48 печатных работах, из них 17 статей в рецензируемых журналах [16]—[32], 6 статей в рецензируемых сборниках [33]—[38] и 3 свидетельства об отраслевой регистрации электронного ресурса [39]—[41] (всего 17 публикаций из перечня ВАК).

Личный вклад автора. Содержание диссертации и основные положения, выносимые на защиту, отражают персональный вклад автора в опубликованные работы.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 4 глав и библиографии. Общий объём диссертации 221 страница, из них 203 страницы текста, включая 14 рисунков и 2 таблицы. Библиография включает 165 наименований на 19 страницах.

1. Мория Т. Спиновые флуктуации в магнетиках с коллективизированными электронами. М.: Мир, 1988.

2. Kehoe Т. Computation and multiplicity of equilibria // Ed. by W. Hildenbrand, H. Sonnenschein. North-Holland, 1991. Vol. IV of Handbook of Mathematical Economics. P. 2049;2144.

3. Whitehead J. A. Thermohaline ocean processes and models // Ann. Rev. Fluid Mech. 1996. Vol. 27. P. 89−113.

4. Кон В. Электронная структура вещества — волновые функции и функционалы плотности // Успехи физич. наук. 2002. Т. 172. С. 336−348.

5. Асеев С. М., Кряжимский А. В., Тарасьев А. М. Принцип максимума Понтрягина и условия трансверсальности для одной задачи оптимального управления на бесконечном интервале // Труды Математич. института им. В. А. Стеклова. 2001. Т. 233. С. 71−88.

6. Kurzhanski А.В., Varaiya P. On reachability under uncertainty // SIAM J. Control. 2002. Vol. 41, no. 1. P. 181−216.

7. Зеликин M. И., Борисов В. Ф. Особые оптимальные режимы в задачах математической экономики // Современная математика и ее приложения. 2003. Т. 11. С. 3−161.

8. Demidov A. S., Moussaoui М. An inverse problem originating from magne-tohydrodynamics // Inverse Problems. 2004. Vol. 20, no. 1. P. 137−154.

9. Kryazhimskiy A., Maksimov V. On exact stabilization of an uncertain dynamical system //J. Inverse and Ill-Posed Problems. 2004. Vol. 12. P. 125−144.

10. Нелинейная динамика. Сборник статей, посвящённый 80-летнему юбилею акад. Н. Н. Красовского // Современная математика. Фундаментальные направления / Под ред. Р. В. Гамкрелидзе. Т. 26. 2005.

11. Vasin V. V., Gribanov К. G., Zakharov V. I., et al. Regular methods of solution of ill-posed problems for remote sensing of Earth atmosphere using high-resolution spectrometry // Proc. SPIE. Vol. 6580. 2006. P. 65800T.

12. Дифференциальные уравнения и топология. Сборник статей, посвящённый 100-летию со дня рождения акад. J1.C. Понтрягина // Труды Мате-матич. института им. В. А. Стеклова / Под ред. Е. Ф. Мищенко. Т. 268, 271. 2008.

13. Datta S.N., Panda A. All-temperature magnon theory of ferromagnetism // J. Phys.: Condens. Matter. 2009. Vol. 21. P. 336 003 (14 pp.).

14. O’Neill В. C., Dalton M., Fuchs R. et al. Global demographic trends and future carbon emissions // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 2010. Vol. 107, no. 41. P. 17 521−17 526.

15. Eliseev A. V., Mokhov I. I. Carbon cycle-climate feedback sensitivity to parameter changes of a zero-dimensional terrestrial carbon cycle scheme in a climate model of intermediate complexity // Theor. Appl. Climatol. 2007. Vol. 89. P. 9−24.

16. Мельников H. Б. Локализация невырожденных бифуркаций периодических решений ограниченной задачи трех тел // Вестн. МГУ, Сер. 15 ВМК. 2005. Т. 2. С. 33−38.

17. Мельников Н. Б. Существование и единственность функции цены в многомерной модели Рамсея // Вестник МГУ, сер. 15 ВМК. 2005. Т. 3. С. 53−56.

18. Melnikov N. В., O’Neill В. С. Learning about the carbon cycle from global budget data // Geophys. Res. Lett. 2006. Vol. 33. P. L02705 (4 pp.).

19. Мельников H. Б. Экстремальные свойства особенностей распределения Гурса // Успехи математич. наук. 2006. Т. 61, № 4. С. 191−192.

20. Мельников Н. Б. Оптимальность сингулярных кривых в задаче о тягаче с п прицепами // Современная математика. Фундаментальные направления. 2006. Т. 19. С. 114−130.

21. Давыдов А. А., Мельников Н. Б. Бифуркация Андронова-Хопфа в простых моделях двойной диффузии // Успехи математич. наук. 2007. Т. 62, № 2. С. 175−176.

22. Давыдов А. А., Мельников Н. Б. Мягкая потеря устойчивости в блочной модели океанической циркуляции с турбулентными потоками // Труды Математич. инст. им. В. А. Стеклова. 2007. Т. 259. С. 10−19.

23. O’Neill В. С., Melnikov N. В. Learning about parameter and structural uncertainty in carbon cycle models // Climatic change. 2008. Vol. 89. P. 23−44.

24. Reser В. I., Melnikov N. B. Problem of temperature dependence in the dynamic spin-fluctuation theory for strong ferromagnets //J. Phys.: Condens. Matter. 2008. Vol. 20. P. 285 205 (10 pp.).

25. Melnikov N. B. Optimality of rectilinear motions in the problem of a tractor with n trailers // J. Mathem. Sciences. 2009. Vol. 158, no. 2. P. 249−254.

26. Reser В. I., Grebennikov V. I., Melnikov N. B. Temperature Hysteresis in the Dynamic Spin-Fluctuation Theory for Strong Ferromagnets // Solid State Phenom. 2009. Vol. 152−153. P. 579−582.

27. Reser В. I., Melnikov N. В., Grebennikov V. I. Beyond Gaussian approximation in the spin-fluctuation theory of metallic ferromagnetism // J. Phys.: Confer. Ser. 2010. Vol. 200. P. 12 163 (4 pp.).

28. Melnikov N. В., Reser В. I., Grebennikov V. I. Spin-fluctuation theory beyond Gaussian approximation //J. Phys. A: Math. Theor. 2010. Vol. 43. P. 195 004 (19pp).

29. Мельников H. Б., Резер Б. И. Оптимальное гауссово приближение в теории флуктуирующего поля // Труды Математич. инст. им. В. А. Стек-лова. 2010. Т. 271. С. 159−180.

30. Melnikov N. В., O’Neill В. С., Dalton М. G. Consumer aggregation in dynamic general equilibrium models with CES utility functions // Труды ИММ УрО РАН. 2010. Т. 16, № 5. С. 289−296.

31. Мельников Н. Б., О’Нилл Б. К., Дальтон М. Г. Учёт неоднородности потребителей в динамических моделях общего экономического равновесия // Математич. теория игр и её приложения. 2010. Т. 2, К2 4. С. 52−73.

32. Melnikov N. В., Reser В. I., Grebennikov V. I. Extended dynamic spin-fluctuation theory of metallic magnetism //J. Phys.: Condens. Mater. 2011. Vol. 23. P. 276 003 (11 pp.).

33. Мельников H. Б. Сингулярные возмущения однократных порождающих орбит ограниченной задачи трех тел // Нелинейная динамика и управление. Вып. 4 / Под ред. С. В. Емельянова, С. К. Коровина. М.: Физматлит, 2004. С. 295−308.

34. Melnikova I., Filinkov A., Melnikov N. Price models and equations for the interest rates term structure // Intern, school-symposium «Analysis, modeling, control, development of economical systems». Sevastopol, Ukrain: 2007. P. 224−228.

35. Melnikov N. В., Reser В. I. Instability analysis for the system of nonlinear equations of the dynamic spin-fluctuation theory // Proceedings of Dynamic Systems and Applications. Vol. 5. Atlanta GA, USA: Dynamic Publishers, Inc., 2008. P. 312−316.

36. Мельников H. Б. Непрерывная деформация модели Рамсея к модели с перекрывающимися поколениями // Труды 6-ой всероссийской конф. «Математич. моделирование и краевые задачи». Т. 2. Самара: СамГТУ, 2009. С. 107−110.

37. Мельников Н. В., О’Нилл Б. К., Дальтон М. Г. Учёт неоднородности потребительских предпочтений в моделях экономического роста // Проблемы динамического управления. Вып. 5. / Под ред. Ю. С. Осипова, А. В. Кряжимского. М.: ВМК МГУ, 2010. С. 166−179.

38. Мельников Н. Б. Особые оптимальные траектории распределений Гур-са // Конкурс научных работ молодых учёных МГУ им. М. В. Ломоносова: Сборник рефератов / Под ред. А. В. Ильина, В. В. Фомичёва. М.: МГУ, 2007. С. 26−28.

39. Н. Б. Мельников. Программный модуль «CALISAM» для вычисления параметров модели глобального цикла углерода. Отраслевой фонд электронных ресурсов науки и образования. Свидетельство об отраслевой регистрации электронного ресурса № 17 345 от 26.07.2011 г.

40. Мельников Н. Б. Сингулярные возмущения некоторых порождающих периодических орбит ограниченной задачи трех тел: Деп. ВИНИТИ 2257-В2003. М.: МГУ, 2003. (15 е.).

41. Melnikov N. Robust stabilization of atmospheric carbon within a family of uncertain carbon cycle dynamics: Interim Report IR-04−053. Laxenburg, Austria: IIASA, 2004. (12 pp.).

42. Davydov A. A., Melnikov N. B. Existence of self-sustained oscillations in an ocean circulation box model with turbulent fluxes: Interim Report IR-06−049. Laxenburg, Austria: IIASA, 2006. (5 pp.).

43. Melnikov N. В., Sanderson W. Intergenerational transfers as a link between overlapping generations and Ramsey models: Interim Report IR-07−013. Laxenburg, Austria: IIASA, 2007. (10 pp.).

44. Melnikov N. В., O’Neill В. C., Dalton M. G. Accounting for the householdheterogeneity in general equilibrium models: Interim Report IR-09−051. Lax-enburg, Austria: IIASA, 2009. (22 pp.).

45. Мельников H. Б. Особенности 2£>-многообразия периодических решений ограниченной задачи трех тел // Тезисы всероссийск. конф. «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» / ИММ УрО РАН. Екатеринбург: 2004. С. 199−200.

46. Мельников Н. Б. Сингулярные возмущения периодических решений ограниченной задачи трех тел // Тезисы всероссийск. конф. «Алгоритмический анализ неустойчивых задач» / ИММ УрО РАН. Екатеринбург: 2004. С. 354−355.

47. Melnikov N. В. Optimal singular trajectories for the Goursat distribution // Abstr. Intern. Confer, on Dynamical Systems and Differential Equations / V1GU. Vladimir, Russia: 2006. P. 281−283.

48. Melnikov N. B. Optimality for horizontal paths in the singular locus of the Goursat distribution // Abstr. Intern. Congress of Mathematicians / European Math. Union. Madrid, Spain: 2006. P. 545.

49. Davydov A. A., Melnikov N. B. Limit cycle oscillations in thermohaline circulation box model with turbulent fluxes // Abstracts EQUADIFF / TU. Vienna, Austria: 2007. P. 94.

50. Davydov A. A., Melnikov N. B. Limit cycle bifurcation in thermohaline convection box-model // Abstracts of Intern. Confer. «Analysis and singularities» / Steklov Mathematical Institute. Moscow, Russia: 2007. P. 133−134.

51. Reser В. I., Grebennikov V. I., Melnikov N. В. Temperature hysteresis in the dynamic spin-fluctuations theory for strong ferromagnets // Abstracts of Moscow International Symposium of Magnetism / MSU. Moscow, Russia: 2008. P. 529−530.

52. Melnikov N. В., Reser В. I., Grebennikov V. I. Singularities of hysteresis type in the dynamic spin-fluctuations theory // Abstracts of Intern. Confer. «Differential equations and Topology» / MSU. Moscow, Russia: 2008. P. 269−270.

53. Melnikov N. В., Reser В. I. Numerical solution of nonlinear systems in the dynamic spin-fluctuations theory // Abstracts of Intern. Confer. «Algorithmic analysis of unstable problems» / IMM RAS. Ekaterinburg, Russia: 2008. P. 249−250.

54. Reser В. I., Melnikov N. В., Grebennikov V. I. Beyond Gaussian approximation in the spin-fluctuation theory // Abstracts of Intern. Confer, on Magnetism / KIT. Karlsruhe, Germany: 2009. P. 224.

55. Melnikov N. B. Variational Gaussian approximation in the fluctuating-field theory // Abstract of Intern. Confer. DFDE-2011 / Steklov Mathemat. Inst. Moscow, Russia: 2011. P. 43−44.

56. Афендиков A. JL, Брушлинский К. В. «И. М. Гельфанд и прикладная математика» // Успехи математич. наук. 2009. Т. 64, № 6(390). С. 642−675.

57. Стратонович P. JT. Об одном методе вычисления квантовых функций распределения // ДАН СССР. 1957. Т. 115, № 6. С. 1097−1100.

58. Hubbard J. Calculation of Partition Functions // Phys. Rev. Lett. 1959. Vol. 3, no. 2. P. 77−78.

59. Зинн-Жюстен Ж. Континуальный интеграл в квантовой механике. М.: Физматлит, 2006.

60. Hubbard J. The magnetism of iron // Phys. Rev. B. 1979. Vol. 19. P. 2626−2636.

61. Гребенников В. И., Прокопьев Ю. И., Соколов О. Б., Туров Е. А. Методлокальных флуктуаций в теории магнетизма переходных металлов // ФММ. 1981. Т. 52, № 4. С. 679−694.

62. Kakehashi Y. Dynamical coherent-potential approximation to the magnetism in a correlated electron system // Phys. Rev. B. 2002. Vol. 65. P. 184 420 (16 P.).

63. White R. M. Quantum Theory of Magnetism. 3rd edition. Berlin: Springer, 2007.

64. Hubbard J. Electron Correlations in Narrow Energy Bands // Proc. Royal Soc. London A. 1963. Vol. 276.

65. Абрикосов А. А., Горьков JI. П., Дзялошинский И. Е. Методы квантовой теории поля в статистической физике. М.: Физматгиз, 1962.

66. Медведев Б. В. Начала теоретической физики. 2-е изд. М.: Физматлит, 2007.

67. Райдер Л. Квантовая теория поля. М.: Мир, 1987.

68. Hertz J. A., Klenin М. A. Fluctuations in itinerant-electron paramagnets // Phys. Rev. B. 1974. Vol. 10, no. 3. P. 1084−1096.

69. Kim D. J. New perspectives in magnetism of metals. New York: Kluwer Academic, 1999.

70. Хорн P., Джонсон Ч. Матричный анализ. M.: Мир, 1989.

71. Feynman R. P. Slow electrons in a polar crystal // Phys. Rev. 1955. Vol. 97. P. 660−665.

72. Тябликов С. В. Методы квантовой теории магнетизма. 2-е изд. М.: Наука, 1975.

73. Резер Б. И., Гребенников В. И. Расчет плотности состояний и намагниченности ферромагнитных металлов с учётом локальных спиновых флуктуаций // ФММ. 1997. Т. 83, № 2. С. 29−40.

74. Гребенников В. И. Динамическая теория тепловых спиновых флуктуаций в металлических ферромагнетиках // ФТТ. 1998. Т. 40, № 1. С. 90−98.

75. Резер Б. И., Гребенников В. И. Температурная зависимость магнитных свойств ферромагнитных металлов с учётом динамики и нелокальности спиновых флуктуаций // ФММ. 1998. Т. 85, № 1. С. 30−42.

76. Боголюбов Н. Н., Ширков Д. В.

Введение

в теорию квантованных полей. 4-е изд. М.: Наука, 1984.

77. Grebennikov V. I. Spin-density correlations in paramagnetic iron //J. Magn. Magn. Mater. 1990. Vol. 84. P. 59.

78. Bruus H., Flensberg K. Many-body quantum theory in condensed matter physics. 3rd edition. Oxford: OUP, 2007.

79. Hasegawa H. Single-site spin fluctuation theory of itinerant-electrons systems with narrow bands. II. //J. Phys. Soc. Japan. 1980. Vol. 49. P. 963−971.

80. Poston Т., Stewart I. Catastrophe Theory and its Applications. New York: Dover, 1998.

81. Резер Б. И. Локальные магнитные характеристики ферромагнитных металлов при высоких температурах. II. Численные расчеты и сравнение с экспериментом // ФММ. 1994. Vol. 77. Р. 5−16.

82. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М: Мир, 1980.

83. Каханер Д., Моулер К., Нэш С. Численные методы и программное обеспечение. М: Мир, 2001.

84. Гилл Ф., Мюррей У., Райт М. Практическая оптимизация. М: Мир, 1985.

85. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М: Мир, 1988.

86. Johnson D. D., Pinski F. J., Stocks G. M. Self-Consistent Electronic Structure of Disordered Feo. e5Nio.35 // JAppl. Phys. 1985. Vol. 57. P. 3018−20.

87. Crangle J., Hallam G. C. The magnetism of face-centered cubic and body-centered cubic iron-nickel alloys // Proc. R. Soc. A. 1963. Vol. 272. P. 119−132.

88. Макаров В.JI., Рубинов A.M. Математическая теория экономической динамики и равновесия. М.: Наука, 1973.

89. Mas-Colell A. The Theory of General Economic Equilibrium: a Differentiable Approach. Econometric Society monographs. Cambridge: CUP, 1985.

90. Асеев С. M., Кряжимский А. В. Принцип максимума Понтрягина и задачи оптимального экономического роста // Труды Математич. института им. В. А. Стеклова. 2007. Т. 257. С. 5−271.

91. O’Neill B.C., L. MacKellar, W. Lutz. Population and Climate Change. Cambridge, UK: CUP, 2001.

92. Dalton M., O’Neill В., Prskawetz A. et al. Population aging and future carbon emissions in the United States // Energy economics. 2008. Vol. 30. P. 642−675.

93. Paltsev S., Reilly J. M., Jacoby H. D. et al. The MIT Emissions Prediction and Policy Analysis (EPPA) Model: Version 4: Report 125. Cambridge, MA: MIT Joint Program on the Science and Policy of Global Change, 2005.

94. Caselli F., Ventura J. A representative consumer theory of distribution // American Economic Review. 2000. Vol. 90. P. 909−926.

95. Gorman W. M. Community Preference Fields // Econometrica. 1953. Vol. 21, no. 1. P. 63−80.

96. Eisenberg E. Aggregation of Utility Functions // Management Science. 1961. Vol. 7, no. 4. P. 337−350.

97. Kehoe T. J., Levine D. K., Romer E. M. Determinacy of equilibria in dynamic models with finitely many consumers // Journal of Economic Theory. 1990. Vol. 50. P. 1−21.

98. Creedy J., Guest R. Population ageing and intertemporal consumption: representative agent versus social planner // Economic Modelling. 2008. Vol. 25. P. 485−498.

99. Dalton M., Jiang L., Pachauri S., O’Neill B. Demographic Change and Future Carbon Emissions in China and India. Population Association of America, Annual Meeting, NY. 2007. 31 pp.

100. Varian H. R. Microeconomic Analysis. 3rd edition. New York: WW Norton, 1992.

101. Stokey N. L., Lucas R. Recursive Methods in Economic Dynamics. Cambridge, MA: Harvard Univ. Press, 1989.

102. Marini G., Scaramozzino P. Overlapping generations and environmental control //J. Environmental Economics and Management. 1995. Vol. 29. P. 64−77.

103. Yaari M. E. The uncertain lifetimes, life insurance and the theory of consumers // Rewiew of Economic Studies. 1965. Vol. 32. P. 137−150.

104. Blanchard O. J. Debt, deficits, and finite horizons // Journal of Political Economy. 1985. Vol. 93. P. 223−247.

105. Weil P. Overlapping families of infinitely-lived agents // Journal of Public Economics. 1989. Vol. 38. P. 183−198.

106. Buiter W. H. Death, birth, productivity growth and debt neutrality // Economic Journal. 1988. Vol. 98. P. 279−293.

107. Bewley T. An integration of equilibrium theory and turnpike theory // J. Math. Econ. 1982. Vol. 10. P. 233−67.

108. Беленький В. З. Теорема о стационарном решении обобщенной модели Рамсея-Касса-Купманса. Анализ и моделирование экономических процессов № 1. М.: ЦЭМИ РАН, 2004. С. 95−108.

109. Яковенко С. Ю. Неподвижные точки полугруппы операторов Беллмана и инвариантные многообразия гамильтоновых субдифференциальных уравнений // Автоматика и телемеханика. 1989. Т. 6. С. 43−52.

110. Lahr М., de Mesnard L. Biproportional Techniques in Input-Output Analysis: Table Updating and Structural Analysis // Economic Systems Research. 2004. Vol. 16. P. 115−134.

111. Zigova К., Fuchs R., Jiang L. et al. Household survey data used in calibrating the Population-Environment-Technology model: Interim Report IR-09−046. Laxenburg, Austria: IIASA, 2009. (26 pp.).

112. Алексеев В. В., Гусев А. М. Свободная конвекция в геофизических процессах // УФН. 1983. Т. 141, № 2. С. 311−342.

113. Taylor F. W. Elementary Climate Physics. Oxford: Oxford Univ. Press, 2005.

114. Rahmstorf S., Crucifix M., Ganopolski A. et al. Thermohaline circulation hysteresis: a model intercomparison // Geophys. Res. Lett. 2005. Vol. 32. L23605.

115. Keller K. Mclnerney D. The dynamics of learning about a climate threshold // Climate Dynamics. 2008. Vol. 30. P. 321−332.

116. Titz S., Kuhlbrodt Т., Feudel U. Homoclinic bifurcation in an ocean circulation box model // Intern. J. Bifurcation and Chaos. 2002. Vol. 12, no. 4. P. 869−875.

117. Stommel H. Thermoholine Convenction with Two Stable Regimes of Flow // Tellus. 1961. Vol. 13. P. 224−230.

118. Cessi P. A. Simple Box Model of Stochastically Forced Thermohaline Flow // J. Phys. Oceanogr. 1994. Vol. 24, no. 8. P. 1191−1920.

119. Marotzke J. Abrupt climate change and thermohaline circulation: mechanisms and predictability // Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A. 2000. Vol. 97, no. 4. P. 1347−1350.

120. Welander P. A simple heat-salt oscillator // Dynamics of Atmosphere and Oceans. 1982. Vol. 6. P. 233−242.

121. Арнольд В. И. Геометрические методы в теории обыкновенных дифференциальных уравнений. 2-е изд. Ижевск: РХД, 2000.

122. Филиппов А. Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью. М.: Наука, 1985.

123. Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1970.

124. Nordhaus W. D. Thinking about carbon dioxide: theoretical and empirical aspects of optimal control strategies: Cowels foundation discussion 565. New Haven, USA: Yale Univ., 1980. 69 pp.

125. Svirezhev Yu., Brovkin V., von Bloch W., Petschel-Held G. Optimization of reduction of global C02 emissions based on a simple model of the carbon cycle // Environmental Modelling and Assessment. 1999. Vol. 4. P. 23−33.

126. Красовский H. H., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. M.: Наука, 1974.

127. Jain А. К., Kheshgi Н. S., Hoffert М. I., Wuebbles D. J. Distribution of Radiocarbon as a Test of Global Carbon Cycle Models // Global Biogeo-chemical Cycles. 1995. Vol. 9. P. 153−166.

128. Kheshgi H. S., Jain A. K., Wuebbles D. J. Accounting for the Missing Sink with the C02 Fertilization Effect // Climatic Change. 1996. Vol. 33. P. 31−62.

129. Varin V. P. Degeneracies of periodic solutions to the Beletsky equation // Regular and Chaotic Dynamics. 2000. Vol. 5, no. 3. P. 313−328.

130. Арнольд В. И., Козлов В. В., Нейштадт А. И. Математические аспекты классической и небесной механики. Динамические системы. М.: ВИНИТИ, 1985. T. 3 из Итоги науки и техн. Совр. пробл. матем. Фундам. напр.

131. Брюно А. Д. Ограниченная задача трех тел: Плоские периодические орбиты. М.: Наука, 1990.

132. Henon M. Generating families of the restricted three-body problem. II. Quantitative study of bifurcations. Berlin: Springer, 2001. Vol. 65 of Lecture Notes in Physics.

133. Whitney H. On singularities of mappings of Euclidean spaccs. I. — Mappings of the plane into the plane // Ann. Math. 1955. Vol. 62. P. 374−410.

134. Breakwell J. V., Perko L. M. Matched asymptotic expansions, patched conics and the computation of interplanetary trajectories // Proc. XVI International Astronautical Congress. Berlin: 1965. P. 43−59.

135. Perko L. M. Periodic orbits in the restricted three-body problem: existence and asymptotic approximation // SIAM J. Appl. Math. 1974. Vol. 27, no. 1. P. 200−237.

136. Font J., Nunes A., Simo C. Consecutive quasi-collisions in the planar circular RTBP // Nonlinearity. 2002. Vol. 15. P. 115−142.

137. Henon M. Sur les orbites interplanetaires qui rencontrent deux fois la terre // Bull, astron. Ser. 3. 1968. P. 337−402.

138. Laumond J.-P. Controllability of a multibody mobile robot // Procs. Intern. Conf. on Advanced robotics and Automation. Pisa, Italy: 1991. P. 1033−1038.

139. Fliess M., Levine J., Martin P., Rouchon P. On differential flat nonlinear systems // Procs. of the IFAC Symp. «Nonlinear Control Systems Design». Bordeaux, France: 1992. P. 408−412.

140. Murray R. M., Sastry S. S. Nonholonomic Motion Planning: Steering using sinusoids. 1993. Vol. 38, no. 5. P. 700−716.

141. S0rdalen O. J. Conversion of the kinematics of a car with n trailers into a chain form // IEEE Intern. Conf. on Robotics and Automation. Atlanta, USA: 1993. P. 382−387.

142. Luca F., Risler J.-J. The maximum of the degree of nonholonomy for the car with n trailers // 4th IFAC Symposium on Robot Control. Capri, Italy: 1994. P. 165−170.

143. Jean F. The car with n trailers: characterization of the singular configurations // ESAIM: Control, Optimization and Calculus of Variations. 1996. Vol. 1. P. 241−266.

144. Montgomery R., Zhitomirskii M. Geometric approach to Goursat flags // Ann. Inst. Poincare Anal. Non Lineare. 2001. Vol. 12, no. 4. P. 459−493.

145. Долгалева О. E. Особенности распределений Гурса в задачах оптимального управления // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2005. Т. 5. С. 34−39.

146. Zelikin M. I., Borisov V. F. Theory of Chattering Control. Boston: Birkhaiiser, 1994.

147. Zelikin M. I. Control Theory and Optimization. Springer, 2000. Vol. 86 of Encyclopaedia of Mathematical Sciences.

148. Зеликин M. И., Борисов В. Ф. Синтез оптимальных управлений с накоплением переключений // Итоги науки и техн. Сер. Совр. матем. и ее приложения. ВИНИТИ. 2002. Т. 90. С. 5−189.

149. Левитин Е. С., Милютин А. А., Осмоловский Н. П. Условия высших порядков локального минимума в задачах с ограничениями // Успехи математич. наук. 1978. Т. 33, № 6(204). С. 85−148.

150. Dmitruk A.V. Quadratic order conditions of a local minimim for singular extremals in a general optimal control problem // Procs. Symp. Pure Math. «Differential Geometry and Control» / Ed. by Ferreyra G. et al.- AMS. Vol. 64. 1999. P. 163−198.

151. Филиппов А. Ф. О некоторых вопросах теории оптимального управления // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 1959. С. 25−32.

152. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.

153. Дмитрук А. В. Квадратичные достаточные условия минимальности анормальных субримановых геодезических // Итоги науки и техн. Сер. Совр. матем. и ее приложения. ВИНИТИ. 1999. Т. 65. С. 5−89.

154. Kelley Н. J., Корр R. Е., Moyer М. G. Singular extremals // Topics in optimization-Theory and Applications / Ed. by G. Leitmann. NY: Acad. Press, 1967. P. 63−101.

155. Robbins H. M. A generalized Legendre-Clebsh condition for singular cases of optimal control // IBM Journal. 1967. P. 361−372.

156. Mormul P., Cheaito M. Rank 2 distributions satisfying the Goursat condition: all their local models in dimension 7 and 8 // ESAIM: Control, Optimization and Calculus of Variations. 1999. Vol. 4. P. 137−158.