Прямая. 
Плоскость. 
Кривые и поверхности второго порядка

Задание 1:

Даны вершины треугольника АВС с координатами, А (-4; -1), В (8; 8), С (6; -6).

Найти:

1) длину стороны АВ;

2) уравнение стороны АВ;

3) уравнение высоты СD и ее длину;

4) уравнение медианы АМ и координаты т. К пересечения медианы с высотой;

5) уравнение прямой проходящей ч/з т. К

Решение:

1. Расстояние d между точками М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) определяется по формуле:

Найдем длину стороны АВ:

2. Уравнение прямой проходящей через точки М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂) имеет вид:

Найдем уравнение прямой АВ:

— уравнение прямой АВ.

3. уравнение высоты СD и ее длину;

Уравнение высоты, опущенной из точки М₀(х₀; у₀) на прямую Ах + Ву + С=0. представляется уравнением:

Уравнение высоты, опущенной из точки С (6; -6) на прямую АВ:

представляется уравнением:

— уравнение искомой высоты СD

Расстояние d от точки М₁(х₁; у₁) до прямой Ах+Ву+С=0 определяется по формуле:

Найдем длину высоты СD; С (6; -6);

4. Уравнение медианы АМ т.к. АМ медиана, то М середина ВС. Найдем координаты т. М по формуле: В (8; 8), С (6; -6).

;

Следовательно

Найдем уравнение прямой АМ:

— уравнение медианы АМ.

Так как К — точка пересечения прямых АМ и СD найдем ее координаты решив систему.

К (1,5; 0)

6) уравнение прямой, проходящей через точку К, параллельно АВ Уравнение прямой проходящей через точки М₁(х₁; у₁) и параллельная прямой Ах+Ву+С=0, представляется уравнением А (х-х₁)+В (у-у₁)=0.

— уравнение прямой АВ.

Поэтому:

3(х-1,5) — 4(у-0) = 0; 3х — 4,5 — 4у =0

3х — 4у — 4,5 =0

уравнение прямой параллельной АВ и проходящей через точку К.

Задание 2

При каких значениях, А и С прямые а) перпендикулярны; б) параллельны; в) совпадают.

Решение:

а) перпендикулярны При любом С и, А = 9 прямые перпендикулярны б) параллельны При любом С и, А = -4 прямые параллельны в) совпадают При С = -8 и, А = -4 прямые совпадают Задание 3:

Уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно прямой ВС Решение:

Плоскость, проходящая через точку М₀(х₀; у₀; z₀) и перпендикулярная прямой Имеет нормальный вектор представляется уравнением Уравнение прямой проходящей через точки М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), имеет вид:

Найдем уравнение прямой ВС:

— уравнение прямой ВС.

— уравнение плоскости, проходящей через точку А, перпендикулярно вектору ВС;

Задание 4:

Найти расстояние от т., до плоскости, проходящей через точки:

Решение:

1) Расстояние d между точками М₁(х₁; у₁; z₁) до плоскости Ах + Ву + Сz + D = 0 по формуле:

Составим уравнение плоскости Уравнение плоскости проходящей через три точки М₀(х₀; у₀; z₀), М₁(х₁; у₁; z₁) и М₂(х₂; у₂; z₂), имеет вид:

— уравнение плоскости проходящей через точки:

.

Найдем длину высоты пирамиды, опущенной из вершины S на грань АВС Задание 5

Найти угол между плоскостями

Решение:

А₁х + В₁у + С₁z + D₁=0; А₂х + В₂у + С₂z + D₂=0

Находится по формуле:

Задание 6

При каких значениях l прямая параллельна плоскости Решение:

При l = 6 прямая параллельна плоскости

Задание 7

Перейти к каноническим уравнениям прямой:

треугольник прямая плоскость канонический уравнение Решение:

Найдем координаты любой точки М на данной прямой. Пусть х = 1, тогда можем найти у и z.

Вычислим направляющие коэффициенты:

— каноническое уравнение прямой.

Задание 8

Найти точку пересечения прямой и плоскости

Решение:

Запишем параметрические уравнения прямой:

Подставим их в уравнение плоскости Подставляем значение в параметрическое уравнение прямой.

Точка пересечения прямой и плоскости (2; -1; 4).

Задание 9

Привести к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить его Решение:

— уравнение окружности с центром в т. (2; -3) и радиусом 3.

Задание 10

Приведите уравнение кривой к каноническому виду. Определите вид кривой. Изобразите кривую. Найдите фокусы и директрисы. Отметьте на рисунке Решение:

— парабола Расстояние между фокусами FF^/ равно 2c

Следовательно, координаты фокусов:

Вершины эллипса имеют координаты:

А^/ А большая ось В^/В и ОВ^/ малая ось Эксцентриситет найдем по формуле:

Найдем директрисы:

Вершины точки D и D^/ имеют координаты:

Прямые проходящие через точки D и D^/ параллельно малой оси эллипса являются директрисами эллипса.

Сделаем чертеж:

Расстояние между фокусами FF^/ равно 2c

Следовательно координаты фокусов:

Вершины гиперболы имеют координаты:

ОА и ОА^/ действительные полуоси ОВ и ОВ^/ мнимые полуоси Асимптоты гиперболы:

Эксцентриситет найдем по формуле:

Найдем директрисы:

Вершины точки D и D^/ имеют координаты:

Прямые проходящие через точки D и D^/ параллельно оси ОУ являются директрисами гиперболы.

Сделаем чертеж:

Задание 11

Привести к каноническому виду уравнение поверхности и построить его Решение:

— двуполостный гиперболоид

— эллипсоид.