Нелинейные модели описывают широкий класс явлений, играющих фундаментальную роль в современной физике. Эти модели, как правило, основываются на нелинейных уравнениях математической физики. Особый интерес представляют уравнения в многомерных пространствах с переменными коэффициентами (внешними полями) и различными видами нелинейности. Разработка аналитических методов интегрирования таких уравнений представляет актуальную проблему не только для математической физики, по и для физических приложений, описываемых этими моделями. Одним из нелинейных уравнений, которое служит основой описания различных моделей квантовой теории и нелинейной оптики, является уравнение типа Хартри.
Точно решаемые задачи математической физики исключительно важны, поскольку р позволяют проиллюстрировать основные положения и выводы рассматриваемой теории или модели. Однако такие задачи чаще всего возникают вследствие упрощения исследуемой модели. Для нелинейных моделей с переменными коэффициентами фактически отсутствуют точные аналитические методы интегрирования, и поэтому проблема разработки различных асимптотических методов для них особенно актуальна.
В линейных задачах математической физики эффективными оказались асимптотические методы, получившие название квазиклассических. Квазиклассическое приближение естественно возникло в квантовой механике, поскольку одним из постулатов квантовой теории является принцип соответствия который предъявляет к теории требование, чтобы в пределе Л —" О квантовая динамика переходила в соответствующую классическую. С другой стороны, форма квазиклассических решений определяется тем, «что основные квантовомеханнческие уравнения содержат параметр 11 при старших производных. Например, для уравнения Шрёдингера имеем.
ОУ ш— = Щг) = н (р, х,1), р = -ш. (о.1).
Здесь Н (р, х,1) — вейлевский символ оператора «Н (£). Существует широкий круг задач, в которых параметр к можно считать малым, и, следовательно, возникает математическая задача о построении приближенных асимптотических решений этих уравнений. Математический аппарат решения проблемы соответствия получил название метода квазиклассических асимптотик.
Исторически сложились два подхода к решению этой проблемы. В первом из них, % предложенном Борном [1], квантовая система приближенно описывается классическим статистическим ансамблем, который определяется квазиклассической волновой функцией. Строгое обоснование этого подхода основывается на алгоритме построения квазиклассических решений волновых уравнений, который задаётся каноническим оператором Маслова [2-С]. В этом случае соответствие результатов квантовой и классической теорий проявляется в том, что главный член асимптотического разложения матрицы плотности квантовой системы является при й —> 0 решением уравнения Лиувилля.
В основе второго подхода, предложенного Эренфестом [7], лежит представление о классических уравнениях движения как о пределе при Л —> 0 уравнений движения для средних значений соответствующих квантовомеханических величин. В рамках такого представления соответствие между квантовыми наблюдаемыми, имеющими клас-* сический аналог, и классическими наблюдаемыми понимается в следующем смысле: квантовые средние, но некоторым (специально выбранным — квазиклассическн сосредоточенным) нестационарным состояниям должны в пределе при /I —0 переходить в фазовую плотность, представляющую собой классическую наблюдаемую, вычисленную па характеристиках уравнения Лиувилля.
Подход Эреифеста связан с представлением кваптовомеханических состоянии в виде волновых пакетов, локализованных в окрестности положения частицы на классической траектории. С математической точки зрения локализованность означает, что квантовые средние по таким состояниям от операторов координат и импульсов в пределе при Я —> О являются решениями классических (гамильтоновых) уравнений движения.
Нш<�г> = гс1Ц, г0), О^г^Г. (0.2).
Л->0 Условие (0.2) было названо [8,9] условием траекторной когерентности. Прагматическая сторона этого подхода, по существу, связана с представлением волновых пакетов как решений (точных пли приближенных по Н —>• 0) уравнения Шрёдингера (0.1), удовлетворяющих условию траекторной когерентности (0.2). Эта задача первоначально была решена для случая движения частиц в заданном потенциальном поле В. М. Бабичем и Ю. П. Даниловым [11] и позднее для уравнения Шрёдингера в произвольном электромагнитном поле В. Г. Багровым, В. В. Беловым и И. М. Терновым [8−10] па основе метода комплексного ростка Маслова [12−10]. Подробную библиографию, но этому вопросу можно найти в работах [17−20).
В работах [18,19,21−23] был развит новый подход в квазиклассическом приближении для нерелятивистских уравнений квантовой механики. Суть этого подхода состоит в том, что в классе квазиклассическн сосредоточенных состояний средние значения наблюдаемых приближенно (с любой степенью точности К —> 0, N > 0) определяются по решению конечномерной системы обыкновенных дифференциальных уравнений относительно квантовых средних базисного набора наблюдаемых теории (в случае, например, уравнения типа Шрёдингера этот базис — универсальная обертывающая алгебра алгебры Гейзенберга-Вейля). Такая система для уравнения Шрёдингера была получена впервые в работах [21−23] и названа системой Гамильтоиа-Эренфеста.
Метод квазиклассическн сосредоточенных состояний оказался эффективным инструментом исследования математических моделей, основанных на линейных уравнениях. Обобщение этого метода на случай нелинейных моделей, основанных на нелинейном уравнении типа Хартри, является одной из основных задач диссертации. Последнее представляется особо актуальным, поскольку «проблема соответствия» для нелинейных квантовых систем практически не изучена. Полученные в диссертации результаты позволяют по-новому взглянуть па эту проблему. Показано, например, что классические уравнения движения квантовых средних значений различны в зависимости от классов состояний, на которых осуществляется предельный переход при Н —> 0.
Помимо решения фундаментальных проблем квантовой теории, квазиклассическое приближение доказало свою эффективность при расчёте конкретных кваптовомеханических эффектов (см. [19,24−38] и цитируемую там литературу). Например, кваз и классическими методами могут быть описаны геометрические свойства физических систем, находящихся под внешним периодическим воздействием. Нетривиальная геометрия и топология системы определяют глобальные свойства решений математических уравнечип, её описывающих. Для квантовых систем с нетривиальной топологией такие свойства «представлены» так называемыми топологическими или геометрическими фазами.
ГФ) волновой функции. Проявления ГФ были обнаружены о поляризационной оптике, механике, химии молекулярных комплексов. Теоретические и экспериментальные исследования геометрических фаз в квантовой механике проводились, начиная с конца 20-х годов прошлого века (Вап-Флек, 1929; Дирак, 1931; Ааронов-Бом, 1959). Работа Беррн [39] (1984) существенно расширила область применения ГФ и привела к интерпретации этого понятия в терминах калибровочной симметрии и эффективного калибровочного поля или в геометрической формулировке — гильбертова расслоения с конечномерной базой [40,41]. Подробное изложение данной проблематики можно найти, например, в обзорах [42,43].
Для линейного уравнения Шрёдпигера с Т-периодическпм гамильтонианом %{t) Зельдовичем [45] и Рптусом [4G] впервые был введен важный класс решений — ква-зиэпергетические состояния ^.'¿-(х, t, h), обладающие свойством.
Ъ?(х, t, П) = e-i?t'hy?{x, t, h), (0.3) где tp?(x, t + T, h) = ipe{?, t, h). (0.4).
Величина ?, входящая в (0.3), была названа квазиэиергией и определена по модулю tao (со — 2iг/Т), т. е. ?' =? + rnhui, тп € Z. Состояния такого типа называются квазн-энергетическнмп и играют ключевую роль при описании квантовомехапических систем, находящихся под влиянием сильных периодических внешних воздействий, когда стандартные методы нестационарной теории возмущений оказываются неприемлемыми.
Квазпэиергетпческие состояния (0.3) являются частным случаем циклических состояний, введенных Аароновым и Ананданом [48] (см. также обзоры [42−44]). Под циклической эволюцией квантовой системы па временном интервале [0,Т] понимается следующее: вектор состояния vI-(i) имеет вид ф (0 = е^ф), t G [0,Т], (0.5) где.
ДТ) — ДО) = ?(mod 2тг), (0.0) р (Т) = yj (O). (0.7).
При этом полная фаза ф функции (0.5) разбивается па два слагаемых: динамическую фазу.
4=Lee (о.8) л J (Ф (01ФМ> о и геометрическую фазу Ааронова-Анандана = ,/" (0.9).
J ШМФ о.
Сравнив (0.3) и (0.5), получаем, что для квазиэпсргетических состояний функция f (t) равна f (t) = -et/h, (o.io) а для подпои фазы ф, согласно (0.6), имеем Т ф=—— (тос127г).
0.11).
В силу (0.8)—(0.11) фаза Ааропова-Анандапа 7 г, отвечающая данному квазиэнергетп-ческому состоянию Ь), может быть определена по формуле (шос127г) т ^.
Явление бозе-энпштейновской конденсации было предсказано еще па заре квантовой механики и с тех нор постоянно привлекало внимание как теоретиков, так и экспериментаторов. Это явление было одним из первых, которое показало, что квантовая механика может описывать эффекты не только на микроскопическом атомном уровне, но и в привычном нам повседневном масштабе. Первоначально было установлено, что бозе-эйнштейновский конденсат (БЭК) играет главную роль в явлениях сверхтекучести и сверхпроводимости. Однако в обоих случаях изучение самого БЭК, не говоря уже о динамике перехода системы в состояние БЭК, было крайне трудным, поскольку температуру газа следовало довести до уровня лишь немногим выше абсолютного нуля. С открытием лазерного охлаждения эту задачу удалось решить. Экспериментаторы фиксировали атомы газа магнитными ловушками, затем замедляли их движение лазерными лучами. А далее, опять же лазерным лучом, отбирали самые быстрые атомы, пока не оставалось сколько-то с минимальной энергией. Несколько лет назад БЭК был напрямую получен в лаборатории (см., например, [49−51]). Экспериментаторы к тому времени научились удерживать облако атомов щелочных металлов в магипто-оптических или чисто оптических ловушках. Охлаждая удержанные атомы до сверхнизких температур, удалось добиться перехода атомов в состояние бозе-конденсата.
Теория БЭК основана на уравнении Гросса-Питаевского [52], которое в математической литературе известно как нелинейное уравнение Шрёдингера. Учёт «иеиде-альности» межатомного взаимодействия частиц конденсата приводит к нелокальному уравнению Гросса-Питаевского [53,55]. Наличие пелокальиостп оказывается полезным сточки зрения проблемы коллапса волновой функции [54]. В различных разделах нелинейной физики нелокальное уравнение Гросса-Питаевского имеет различные названия (обобщенное нелинейное уравнение Шрёдингера, уравнение Гинзбурга-Ландау и др.). Здесь и далее мы будем использовать термин «уравнение типа Хартри». Изучение различных аспектов конденсации Бозе-Эйнштейна превратилось в бурно развивающееся направление современной физики. Исследование ГФ в БЭК [56−58] вызывает интерес к проблеме ГФ нелинейных систем.
Теория ГФ в квантовой механике опирается на свойство линейности уравнения Шрёдингера. Для нелинейных уравнений понятие ГФ также может быть введено (см., например, [42]), хотя не вполне очевидно, что построенное выражение определяется лишь геометрией системы и не содержит динамический вклад, обусловленный нелинейностью. Геометрические фазы в нелинейных системах менее изучены не только из-за неприменимости классического принципа суперпозиции решений. Нетривиальная топология системы может определяться как соответствующими граничными условиями, так и внешними полями. Последние входят в уравнение в виде переменных коэффициентов. Построение квазнэнергетических состояний и геометрических фаз в этом случае.
0.12) о сталкивается с фундаментальной проблемой интегрируемости нелинейных уравнений, поэтому естественно изучать ГФ в нелинейных системах в квазиклассическом приближении.
В настоящей работе под уравнением типа Хартри мы будем понимать уравнение вида.
— ihdt + = 0, ф е ?2(R?), (0.13) где действие оператора типа Хартри определяется формулой ('H (t) + xV{t, Ф))Ф. (0.14).
Здесь.
H (t)=U (z, t), V (t, V) = J dy (y, t), (0.15).
Bu, а самосопряжённые в и упорядоченные по Вейлю [59,00] операторы Tl (z, t), V (z, w, t) — функции от иекоммутирующих операторов z = (—ihd/dx, x), w = (—ihd/dy, if), z, y? R" - функция Ф* комплексно сопряжена к Фк — вещественный параметрh — «малый параметр», h 6 [0,1[.
В частном случае, когда вейлевские символы операторов в (0.15) имеют вид 2.
Щг, 0 = У + U (?, t), pe Rn, V (z, w, t) = V (x, y, t), уравнение.
— ih^-!jA*+(u (x, t) + x: J V (x, y, t)MM2dyyV = 0 (0.10).
R" называется в квантовой механике нестационарным уравнением типа Хартри во внешнем поле с потенциалом U (x, t), где V (x,?j, t) — потенциал самосогласованного поля.
В задачах квантовой механики и ядерной физики при исследовании взаимодействия систем многих частиц в приближении Хартри (см., например, [G1−6G]) потенциал V (x, у, t) имеет, как правило, сингулярности, в частности, в обычном уравнении Хартри [G7] - кулоповского типа. Уравнение (0.1G) с гладким интегральным ядром возникает, например, при описании взаимодействия бозонов с формфактором в потенциале взаимодействия [G8], фермиоиов в модели Тиринга [G9], коллективных возбуждений в молекулярных цепочках [70], в сверхтекучих квантовых жидкостях [71]. Это же уравнение возникает и в задачах квантовой теории нелинейных оптических явлений, например «сжатого» [72] света, при распространении коротких и мощных импульсов в нелинейной среде с учётом вклада молекулярных колебаний в нелинейную поляризацию среды [73].
Математическая теория уравнений типа Хартри (0.1G) (задача Коши) развита в [74−85], важные результаты были получены также в спектральной теории таких уравнений [80−101]. Теория квазнклассического приближения при h —" 0 для этого тина нелинейных уравнений начала систематически разрабатываться в [102−104] (см. также [105]). При этом предполагалось, что интегральное ядро в потенциале взаимодействия в (0.1G) достаточно гладкое. Для такого гладкого случая была построена (формальная) квазпклассичсская асимптотика задачи Коши с быстроосциллнрующими начальными условиями [103], а для соответствующих спектральных задач были впервые построены квазимоды, сосредоточенные вблизи точки [12,103,106]. Асимптотические решения, локализованные в окрестности незамкнутых кривых, для стационарного ураву нения типа Хартрн (0.10) были построены в [107,108]. Случай сингулярного ядра взаимодействия в квазиклассической асимптотике спектра уравнения типа Хартрн активно исследовался, начиная с [103], в работах [109−111]. Интересные результаты в теории построения квазимод уравнения типа Хартри, сосредоточенных при h —" 0 вблизи маломерных подмногообразий, были получены в [112,113] на основе «сингулярной» версии ВКБ-метода, разработанной в [111]. Наконец, отметим, что уравнения типа Хартри вида (0.13) (с симметричным символом интегрального «операторного» ядра в (0.15): V (z, w, t) = V (w, z, t)) играют важную роль в конструкции асимптотических решений для iV-частичного уравнения Шрёдингера при N —> оо [114,115]. В данной работе для уравнения типа Хартри (0.13) (с гладкими вейлевскими символами в операторе (0.14)) мы строим локализованные асимптотические при h —> 0 решения — «квазисолитопы»,.
• обладающие рядом свойств, присущих уединенным волнам.
Наиболее характерным свойством уединённых волн («квазисолитоиов») является проявление частицеподобиых свойств. Для «квазисолитоиов» — квазиклассически сосредоточенных состояний уравнения типа Хартри — эти свойства представлены ниже динамической системой обыкновенных дифференциальных уравнений относительно «квантовых» средних X (t, ti), P (t, h) операторов координат х и импульсов р и центрированных моментов высших порядков. В пределе при h —> 0 «центр тяжести» такого «квазисолнтопа» движется в фазовом пространстве по траектории этой динамической системы: в каждый момент времени квазиклассически сосредоточенное состояние эффективно сосредоточено в окрестности точки X (t, 0) (в ^-представлении) и в окрестности точки P (t, 0) (в/^-представлении). Эту систему1 относительно квантовых средних для уравнения типа Хартри мы так же, как и в линейном случае, называем системой Гамилътоиа-Эреифесгпа. Отметим, наконец, следующий важный факт, что в отличие от (линейного) уравнения типа Шрёдингера в самой конструкции квазиклассически сосредоточенных состояний уравнения типа Хартри существенно используются решения системы Гамильтопа-Эренфеста.
Ключевым методом рассматриваемой диссертации является разработанный метод решения задачи Флоке в классе траекторпо-сосредоточениых функций. Он развивает метод решения задачи Коиш, предложенный в [110,117]. В результате удается построить квазиэнергетические спектральные серии (0.3) уравнения типа Хартри и исследовать отвечающие им геометрические фазы.
Перейдём к описанию содержания диссертации. Диссертация состоит из введения,.
Заключение
.
В работе впервые получены следующие основные результаты:
1. Предложен метод решения задачи Флоке для уравнения типа Хартри с периодическим по времени оператором в классе траекторно-сосредоточенных функций.
2. Построены с любой степенью точности по /I —> 0 квазиклассические квазпэнерге-тпческне спектральные серии, асимптотика оператора Флоке и фаза Ааронова-Апапдана (в классе траекторно-сосредоточенных функций) для уравнений типа Хартри с периодическим по времени оператором.
3. Построены оператор эволюции и однопараметрическое семейство операторов симметрии (операторы которого задают нелинейный аналог представления группы Гейзеиберга-Вейля) одномерного уравнения типа Хартри с квадратичным оператором.
4. Сформулирован нелинейный принцип суперпозиции позволяющий каждой линейной комбинации точных решений сопоставить решение уравнения тина Хартри.
Результаты диссертации опубликованы в работах [1С9−174]. В заключение я хотел бы выразить глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору Трифонову А. 10. и научному консультанту доктору физико-математических наук, профессору Шаповалову А. В. за многочисленные обсуждения различных аспектов данной работы, постоянную помощь в работе.
