Множества, свободные от решений линейных уравнений

Теория перечисления, связанная с проблемами существования, построения и подсчета числа элементов заданного множества, обладающих некоторыми свойствами, представляет собой важный раздел дискретной математики. К проблемам теории перечисления относятся, например, задачи о числе п-вершинных неизоморфных графов с определенными свойствами, числе решений задач целочисленного линейного программирования или о числе изомеров химических элементов. Традиционным и широко используемым методом решения подобных задач является классический метод производящих функций, связанный с использованием перечислительных теорем Пойя, де Брейна и Робинсона. Однако метод производящих функций требует существования разрешимых рекуррентных соотношений, что не всегда выполняется.

В теории перечисления достаточно часто возникают задачи оценки числа множеств с запретами. Такими являются, например, задачи о числе связных подмножеств, с заданной мощностью границы, в графах, числе антицепей в унимодальных частично упорядоченных множествах, числе независимых множеств в регулярных графах и о числе множеств, свободных от решений линейных уравнений (МСРЛУ), в конечных абелевых группах. Как правило, для таких задач отсутствуют разрешимые рекуррентные соотношения. В связи с этим для решения этих задач разработали метод контейнеров. Сущность данного метода состоит в том, что для оценки мощности семейства, которое мы оцениваем, строится система, так называемых «контейнеров», такая, что каждый элемент семейства содержится полностью или частично в некотором контейнере из построенной системы. В случае, когда мы имеем дело с задачей нахождения числа объектов, обладающих свойством наследственности, для нахождения нижней оценки логарифма этого числа часто бывает достаточно оценить снизу размер максимального по мощности объекта, обладающего свойством наследственности. Метод контейнеров позволяет не только получать достаточно точные оценки, а в некоторых случаях и асимптотики. В частности, методом контейнеров получены асимптотика числа множеств, свободных от сумм (МСС), в начальном отрезке натуральных чисел (гипотеза Камерона-Эрдёша), асимптотика числа МСС в конечных абелевых группах четного порядка, и асимптотика числа МСС в группах простого порядка.

Основными задачами диссертации являются оценка числа МСРЛУ в циклических группах, нахождение максимальной мощности МСРЛУ в конечных абелевых группах и оценка числа подмножеств, пред ставимых в виде суммы и разности заданного числа подмножеств в циклических группах. Для решения этих задач существенно использовались результаты из теории сложения множеств (например, теоремы Коши-Давенпорта, Полларда, Кнезера, Воспера). При получении верхних оценок используется техника, связанная с преобразованиями Фурье.

В диссертации получена асимптотика логарифма числа МСРЛУ в группах простого порядка, найдено точное значение максимальной мощности МСРЛУ в циклических группах, улучшена нижняя оценка максимальной мощности МСРЛУ в конечных абелевых группах, а также найдено точное значние максимальной мощности МСРЛУ в конечных абелевых группах при некоторых ограничениях на их экспоненту. Получены верхнюю и нижнюю оценки числа подмножеств, представимых в виде суммы и разности заданного числа подмножеств в группах простого порядка.

История вопроса.

В 1916 году для решения задач шифрования И. Шур (I. Schur) ввел понятие множества, свободного от сумм (МСС). Множество, А называется свободным от сумм, если х + у ф, А для любых ж, у Е А, другими словами, если уравнение х + у — z не имеет решений в А.

Классический результат И. Шура [39], утверждает, что натуральный ряд не может быть представлен в виде объединения конечного числа попарно непересекающихся МСС.

Для натуральных чисел тип обозначим через [га, п] множество натуральных чисел х, таких, что т < х < п.

В 1985 году П. Камерон (P. Cameron) [18] оценивал хаусдорфову размерность семейства всех МСС в множестве натуральных чисел и предположил, что она равна ½. Финитизацией данной проблемы стал вопрос о числе МСС в начальном отрезке натуральных чисел. Начало исследований в этом направлении было положено совместной работой П. Эрдёша (Р. Erdos) и П. Камерона [19], в которой высказана гипотеза о том, что мощность семейства всех МСС в отрезке натуральных чисел [1,п] есть 0(2П/2). В частности, они доказали, что мощность семейства всех МСС в отрезке натуральных чисел [|n/3j, n] асимптотически равна ст (п)2п/2, где т (п) принимает только два значения в зависимости от четности п.

Вместе с тем интенсивно рассматривались обобщения задачи о числе МСС. В частности, речь шла о числе множеств, (к, I)-свободных от сумм.

М)-МСС).

Пусть к и I — неотрицательные целые числа, удовлетворяющие условию к + / > 3. Множество, А называется (к, I) -свободным от сумм, если уравнение хЛ——+ хк = yi Н——-h yi не имеет решений в А.

Исследовались две естественные перечислительные задачи:

1) оценка числа всех /)-МСС,.

2) нахождение максимальной мощности (k, l)~МСС.

Пусть G — множество с определенной на нем операцией сложения. Семейство всех (/с, Z)-MCC в G обозначим через SFkj (G). Множество, (2,1)-свободное от сумм, называется просто множеством, свободным от сумм (МСС).

Н. Калкин (N. Calkin) [15] и, независимо, Н. Алон (N. Alon) [10] доказали, что 1 log|SF2il ([l, n])| <п/2.

Решение гипотезы Камерона-Эрдёша и асимптотика числа МСС в отрезке [1,п] были найдены методом контейнеров (А. А. Сапоженко [2] и, независимо, Б. Грином (В. Green) [22]). Доказано, что.

5F2il ([l, n])|~crW2², где т (п) принимает только два значения в зависимости от четности п.

Проблема нахождения асимптотики числа МСС в произвольных конечных абелевых группах открыта до сих пор. Приведем обзор основных результатов по данной тематике.

В 1991 году Н. Алон [10] получил следующую оценку сверху числа МСС в произвольных конечных группах.

2f (i+o (i)).

Далее данный результат уточнялся для разных подклассов конечных абелевых групп.

1 Здесь и далее log х = log2 х.

В 2002 году А. А. Сапоженко [1] и, независимо, Лев-Лучак-Шон (В. Lev, Т. Luczak, Т. Schoen) [27] получили асимптотику максимально возможного числа МСС для конечных абелевых групп, содержащих хотя бы одну подгруппу индекса 2. Группу вычетов по модулю п обозначим через Ъп.

В 2002 году В. Лев и Т. Шон [28] доказали, что если р — достаточно большое простое число, то справедливы оценки.

2L (p-2)/3JQ9 + 0(2-S1P)) < SF2, I (ZP) < 2Р/2-?2Р, где Е и ?2 — положительные константы.

В 2005 году Б. Грин и И. Ружа (I. Ruzsa) [23] использованием преобразований Фурье получили асимптотику логарифма числа МСС в конечных абелевых группах. Они доказали, что для любой конечной абелевой группы G справедливо log|SF2>i (G)|~A2|i (G), где А2д ((?) — максимальная мощность МСС в G (см. теоремы 4 и 5).

В 2009 году А. А. Сапоженко [3] получил асимптотику числа МСС в группах простого порядка.

Теорема 1. Для любого a Е { — 1,1} существует константа са, такая, что для любого е > 0 существует натуральное число N, такое, что для любого простого р видар = a (mod 3), такого, что р > N, выполняются неравенства.

— са (р — l)2LO-2)/3j < ^ +.

Для произвольных к и I вопросы о числе (А,/)-МСС в абелевых группах практически не исследовались.

Выделим основные работы о числе (к, 1)~МСС в отрезке натуральных чисел [1, п].

В 1996 году Н. Калкин и А. Тайлор (А. Taylor) [16] доказали, что при к > 3 и I = 1 выполняется равенство.

В 1998 году Н. Калкин и Дж. Томсон (J. Thomson) [17] расширили эту оценку на все пары (к, 1), к > 4/ — 1 и I > 1.

В 2000 году Т. Шон [37] получил асимптотику для IS’F^Ql, п])| при некоторых ограничениях на к и /.

Теорема 2. Если к > I > 3 — положительные целые числа и где г = п (mod в), 0 < г < в, в — наименьшее натуральное число, не являющееся делителем к — I, < г, для которых НОД (т, х) = 1, и <-р (х) = (рх{х).

В 1998 году Ю. Билу (Уи. ВПи) [14] при к = 3 и в 2001 году Т. Шон [38] при к = 2 доказали, что.

В 2003 году В. Лев [29] получил верхнюю оценку для ^^?([^ п])|.

Теорема 3. Если (к, I) ^ ф, то существует положительная константа? — е (к, 1), такая, что.

SFkJ ([l, n]) = 0(2^n/k). то.

SFM ([1, п])| = Ш +.

SFk+hk ([l, n]) = (l + o (l))2^+l^.

SFktl ({l, n])=ckiltn2*+0(2№n) если V1 < ъ k-i.

5Ffc>i ([l, n])| < + 4, i, n)2п¥- + 0(2(^" e) n) если^y > и n])| < (cM, n + c’kl + с" ,+.

6Ci/b'Lb — ^ ^ где 0 — наименьшее натуральное число, не являющееся делителем к — I, и.

Ск1о= 2 tf-t-V+W,.

1=1 (t, 0)=l k-l-1 к~1 Г г=0 с' = 2.

2k-l I ' с" 5.

Z к — 1.

Q = {(М) | ^ < и I < 9} U {(А-, I) | > i w /с < 27} U {(11,10)}U.

К и К и.

U{(fc, к-2) I /с е [12,18]}и{(/с, fc-4) | к е [14, 20]}и{(А-, к-6) к е [25,29]}.

Нахождение максимальной мощности (к, 1)-МСС в абелевых группах является одной из задач диссертации. Этой задаче посвящено значительное число работ.

Пусть G — абелева группа, и.

A = max А.

AeSFKl (G).

Что касается задачи нахождения максимальной мощности МСС, то она окончательно решена. Основные результаты по теме нахождения максимальной мощности МСС и описания структуры максимальных по включению МСС изложены в работах [12, 20, 23, 24, 25, 26, 30, 35, 36], [40]-[48]. Приведем обзор основных результатов о максимальной мощности МСС.

В 1969 году Х. П. Яп (Н.Р. Yap) и П. Диананда (P. Diananda) [20] получили верхнюю и нижнюю оценки величины Л2д©, показав, что.

Теорема 4. Пусть С — абелева группа порядка п. Тогда выполняются неравенства max dv d+1 п.

— d < t d + 1 n d где v — экспонента группы G.

В частности, если п делится на простое р = 2 (mod 3), то.

СV + 1) п.

3V где р — наименьшее такое простое числоесли п не делится ни на какое простое р = 2 (mod 3), но 3|п, то.

А2д (G) =.

Окончательное решение задачи о максимальной мощности МСС в абе-левых группах, получено в работе [23] Б. Грином и И. Ружей в 2005 году.

Теорема 5. (Теорема 1.5, [23]) Пусть G — абелева группа порядка п. Если п делится только на простые р = 1 (mod 3), то выполняется равенство v — 1) п a2, i (g9 где и — экспонента группы G.

Зи.

Теперь выделим основные работы о максимальной мощности (/с, /)-МСС.

В 2001 году Т. Биер (Т. Bier) и А.Я. М. Чин (A.Y.M. Chin) [13] рассматривали задачу о максимальной мощности (k, l)-МСС в группах простого порядка, показав, что.

A M (ZP) =.

В 2002 году А. Плань (A. Plagne) [33] показал, что любое максимальное по мощности множество, А Е SFkj (Zp) является арифметической прогрессией, при простом р и таx (k, I) > 3.

Р- 1 к + 1.

В 2004 году Я. О. Хамидун (Y. О. Hamidoune) и А. Плань [24] использованием обобщения теоремы о критических парах (теорема Воспера) для конечных абелевых групп доказали следующее утверждение.

Теорема 6. Пусть G — абелева группа порядка п, а к и I — различные положительные целые числа. Тогда справедливы неравенства.

Т1Л (TL — 6П) (TL Л Ay (G) < max (-^.тах^.^)-) j, где atkjfad) ~ максимальная мощность арифметической прогрессии, (к, I) -свободной от сумм, в Z^, и и — экспонента группы G, а е{п) = 1, если п — нечетное, и е (п) = 0, иначе.

В 2007 году Б. Байнок (В. Bajnok) [11] использованием алгоритма Евклида и теоремы Кнезера, получил верхнюю и нижнюю оценки максимальной мощности (к, ¿-)-МСС в абелевых группах, а также вычислил точное значение максимальной мощности (/с,/)-МСС в абелевых группах при некоторых ограничениях на их экспоненту (теоремы 7−9). Определим okti (d) равенством ok, i (d) =НОД (о (, к — I).

Теорема 7. Пусть G — абелева группа порядка п, а к и I — различные положительные целые числа. Тогда справедливы неравенства max dv d- 1 — ok, i (d) к + l где v — экспонента группы G. 1)^1^k, i{G) ^ max J d I dn d-2 k + l 1) i.

Теорема 8. Пусть G — абелева группа порядка п, а к и I — различные положительные целые числа. Тогда если экспонента v имеет делитель d, такой, что d {1,., 5k, i (d)} (mod (к + /)), то выполняется равенство п k, i{G) = A/^(Z")—.

В случае циклических групп получена следующая формула для максимальной мощности (k, l)~МСС.

Теорема 9. Пусть к и I — различные положительные целые числа. Тогда для любого п справедливо равенство max {afc)Z (Zd)^), dn К Ci J где akjfad) ~ максимальная мощность арифметической прогрессии, (к, I) -свободной от сумм, в Z^.

Пусть к > 0 и / > 0 целые числа, удовлетворяющие условию к +1 > 2. Подмножество В CG называется (к, I)-суммой, если существует подмножество, А С G, такое, что.

В = кА — 1А = {xi Н——-Ь хк — хк+1——-хк+1 | xi,., хш € ^4}.

В диссертационной работе рассматривается еще одна естественная перечислительная задача: оценка числа всех (fc,/)-сумм. Одной из задач диссертации является получение верхней и нижней оценок числа (к, 1)-сумм в группах простого порядка. Семейство всех (к, 1)-сумм в G обозначим через SSk1i (G).

В 2004 году Б. Грин и И. Ружа [21] доказали следующее утверждение.

Теорема 10. (Теорема 2, [21]) Пусть р — простое число. Тогда справедливы неравенства p22P? ^ SS2, o{ZP) < 2p/3+K{p) где к (р)/р —У 0 при р —>¦ сю, причем к (р) p (log logp)2//3(logp)-1⁹.

Важный вклад в эту область исследований внесли следующие математики: Н. Алон, Б. Грин, П. Диананда, П. Камерон, В. Лев, A.A. Сапоженко, П. Эрдёш, Х. П. Яп, И. Шур, Т. Шон, А. Плань, Н. Калкин, Б. Байнок, Т. Лучак, И. Ружа, Я. О. Хамидун и другие.

Краткое содержание диссертации.

Диссертация состоит из трёх глав.

В первой главе получена асимптотика логарифма числа (А-,/)-МСС в группах простого порядка. В параграфе 1.1 даются определения и доказываются вспомогательные утверждения. В параграфе 1.2 доказывается утверждение, являющееся основным инструментом доказательства верхних оценок. Основным результатом главы является следующая.

Теорема (пар. 1.3, теорема 14). Пусть р — достаточно большое простое число, к > О и I > 0 целые числа, удовлетворяющие условию к + I > 3 и к ф I (mod р). Тогда выполняются неравенства p2[(p-2)/(k+i) (1 + 0(1)) < |SFkti (Zp) <

Вторая глава диссертации посвящена оценке числа (А-,/)-сумм в группах простого порядка. В параграфе 2.2 вводятся некоторые определения и доказывается нижняя оценка числа (А-,/)-сумм. В параграфе 2.3 доказывается верхняя оценка числа (А-,/)-сумм. Основным результатом главы является следующая.

Теорема (пар. 2.1, теорема 15). Пусть р — достаточно большое простое число, к > 0 и I > 0 целые числа, удовлетворяющие условию к + I > 2. Тогда выполняются неравенства.

Cki2p/(2(k+i)-i) < |sSk, i (Zp) < 2р/(к+1+1)+о (р)} где Ckj — положительная константа.

В третьей главе исследуется максимальная мощность (к, 1)-МСС в конечных абелевых группах. В параграфе 3.2 найдено точное значение максимальной мощности (А-, /)-МСС в циклических группах. В параграфе 3.3 улучшена нижняя оценка максимальной мощности (А-,/)-МСС в абелевых группах, и найдено точное значение максимальной мощности (/с, /)-МСС в абелевых группах при некоторых ограничениях на их экспоненту.

Через ?J>k, i (d) обозначим наименьшее целое число из интервала [1, dkj (d)], для которого существует число h Е {0}, такое, что выполняются неравенства.

1 + 1 d- 1 — fik, i (d) к +1 (к— l) h < d — 1 — к d- 1 — Hk, i{d) к +1.

Главными результатами третьей главы являются следующие утверждения.

Теорема (пар. 3.2, теорема 18). Пусть к и I — различные положительные целые числа. Тогда для любого п выполняется равенство d- 1 — ?1к, М).

Afc, i (Zn) = max dn 1 i к + 1.

Теорема (пар. 3.3, теорема 19). Пусть С — абелева группа порядка п, а к и I — различные положительные целые числа. Тогда справедливо неравенство k, i (G) > max dv { где и — экспонента группы G. d k +1 1 n d.

Теорема (пар. 3.3, теорема 20). Пусть G — абелева группа порядка п, а к и I — различные положительные целые числа. Тогда, если экспонента v имеет делитель d, такой, что d ^ {1,., fj, kti (d)} (mod (к + I)), то справедливо равенство d — 1 — Hk, i{d).

Afc.iCG) = max du k + l.

Основные результаты диссертации.

1. Получена асимптотика логарифма числа (к, ¿-)-МСС в группах простого порядка (теорема 14).

2. Получены верхняя и нижняя оценки числа (А-,/)-сумм в группах простого порядка (теорема 15).

3. Найдено точное значение максимальной мощности (/с,/)-МСС в циклических группах (теорема 18).

4. Улучшена нижняя оценка максимальной мощности (к, 1)~МСС в абеле-вых группах (теорема 19).

5. Найдено точное значение максимальной мощности (к, 1)-МСС в абе-левых группах при некоторых ограничениях на их экспоненту (теорема 20).

1. Сапоженко A.A. О числе множеств, свободных от сумм, в абелевых группах // Вестник Московского Университета, сер. 1. Математика, Механика. 2002. № 4. С. 14−17.

2. Сапоженко A.A. Гипотеза Камерона-Эрдёша // Докл. РАН. 2003. Т. 393. № 6. С. 749−752.

3. Сапоженко А. А. Решение проблемы Камерона-Эрдёша для групп простого порядка // Вычислительная математика и математическая физика. 2009. Т. 49. № 8. С. 1−7.

4. Саргсян В. Г. Асимптотика логарифма числа множеств, (к, 1)-свободных от сумм, в группах простого порядка // Вестник Московского Университета, сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2012. № 2. С. 101−108.

5. Саргсян В. Г. О числе множеств, /с-свободных от нуля, в группах простого порядка // Сборник статей молодых учёных факультета ВМК МГУ. 2012. Вып. 9. С. 154−172.

6. Саргсян В. Г. О числе к-сумм в группах простого порядка // Дискретная математика. 2012. Т. 24. Вып. 3. С. 25−38.

7. Sargsyan V. Counting (/с, ?)-sumsets in groups of a prime order // Acta Universitatis Sapientiae, Informatica. 2012. 4(1). P. 33−47.

8. Alon N. Independent sets in regular graphs and sum-free subsets of abelian groups // Israel J. Math. 1991. 73. P. 247−256.

9. BajnokB. On the maximum size of, а (к, I)-sum-free subset of an abelian group // Journal of Number Theory. 2009. 5(6). P. 953−971.

10. Balasubramanian R., Prakash G. Large sum-free sets in abelian groups // http://arxiv.org/pdf/math/50 2374v2.pdf 22 pp.

11. Bier Т., Chin A. Y. M. On (к, I)-sets in cyclic groups of odd prime order // Bull. Austral. Math. Soc. 2001. 63. P. 115−121.

12. Bilu Yu. Sum-free sets and related sets //Combinatorica. 1998. 18(4). P. 449−459.

13. Calkin N.J. On the number of sum-free set // Bull. London Math. Soc. 1990. 22. P. 140−144.

14. Calkin N. J., Taylor A. C. Counting sets of integers, no к of which sum to another // Journal of Number Theory. 1996. 57. P. 323−327.

15. Calkin N. J., Thomson J. M. Counting generalized sum-free sets // Journal of Number Theory. 1998. 68. P. 151−160.

16. Cameron P. J. Cyclic automorphisms of a countable graph and random sum-free sets // Graphs Combin. 1985. 1. P. 129−135.

17. Cameron P. J., Erdos P. On the number of sets of integers with various properties // Journal of Number Theory (Bnaff, AB, 1988). Berlin: de Gruyter, 1990. P. 61−79.

18. DianandaP.H., Yap H.P. Maximal sum-free sets of elements of finite groups // Proc. Japan Acad. 1969. 45(1). P. 1−5.

19. Green B., Ruzsal. Counting sum-sets and sum-free sets modulo a prime // Studia Sci. Math. Hungarica. 2004. 41. P. 285−293.

20. Green B. The Cameron-Erdos conjecture // Bull. London Math. Soc. 2004. 36(6). P. 769−778.

21. Green B., Ruzsa I. Sum-free sets in abelian groups // Israel J. Math. 2005. 147. P. 157−188.

22. HamidouneY.O., PlagneA. A new critical pair theorem applied to sum-free sets in Abelian groups // Commentarii Mathematici Helvetici. 2004. 79. P. 183−207.

23. Deshouillers J.-M., Freiman G. A. On sum-free sets modulop //Functiones et Approximatio XXXV. 2006. P. 7−15.

24. Deshouillers J.-M., Lev V. F. A refined bound for sum-free sets in groups of prime order // Bull. London Math. Soc. 2008. 40(5). P. 863−875.

25. Lev V. F., Luczak T., Schoen T. Sum-free sets in abelian groups // Israel J. Math. 2001. 125. P. 347−367.

26. Lev V. F., Schoen T. Cameron-Erdos modulo a prime // Finite Fields Appl. 2002. 8(1). P. 108−119.

27. Lev V. F. Sharp estimates for the number of sum-free sets // Journal fur die reine und angewandte Mathematik (Crelle's Journal). 2003. 555. P. 1−25.

28. Lev V. F. Large sum-free sets in Z/pZ // Israel J. Math. 2006. 154. P. 221 234.

29. Nathanson M.B. Additive number theory: Inverse problems and the geometry of sumsets, Graduate Texts in Mathematics 165. Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1996.

30. Olson J.E. On the sum of two sets in a group // Journal of Number Theory. 1984. 18(18). P. 110−120.

31. PlagneA. Maximal (kj)~free sets in Z/pZ are arithmetic progressions // Bull. Austral. Math. Soc. 2002. 65. P. 137−144.

32. Pollard J. M. A generalization of the theorem of Cauchy and Davenport // J. London Math. Soc. 1974. 8(2). P. 460−462.

33. Rhemtulla A.H., Street A.P. Maximal sum-free sets in finite abelian groups // Bull. Austral. Math. Soc. 1970. 2. P. 289−297.

34. Rhemtulla A.H., Street A.P. Maximal sum-free sets in elementary abelian p-groups // Canadian Math. Bull. 1971. 14. P. 73−81.

35. Schoen T. A note on the number of (k, I)-sum-free sets // Electronic Journal of Combinatorics. 2000. 7(1). P. 1−8.

36. Schoen T. The number of (2, 3)-sum-free subsets of {1, 2,., n} // Acta Arithmetica. 2001. 98(2). P. 155−163.

37. Schur I. Uber die Kongruenz xm + ym = zm (mod p) // Jahresber. Deutsch. Math. Verein. 1916. 25. P. 114−117.

38. Street A.P. Maximal sum-free sets in cyclic groups of prime-power order // Bull. Austral. Math. Soc. 1971. 4. P. 407−418.

39. Street A.P. Maximal sum-free sets in abelian groups of order divisible by three // Bull. Austral. Math. Soc. 1972. 6. P. 439−441.

40. YapH.P. The number of maximal sum-free sets in Cp // Nanta Math. 1968. 2(1). P. 68−71.

41. YapH.P. Maximal sum-free sets of groups elementsin //J. London Math. Soc. 1969. 44. P. 131−136.

42. YapH.P. Structure of maximal sum-free sets in Cp // Acta Arithmetica. 1970. 17. P. 29−35.

43. Yap H.P. Structure of maximal sum-free sets in groups of order 3p // Proc. Japan Acad. 1970. 46. P. 758−762.

44. YapH.P. Maximal sum-free sets in finite abelian groups // Bull. Austral. Math. Soc. 1971. 4. P. 217−223.

45. YapH.P. Maximal sum-free sets in finite abelian groups, II // Bull. Austral. Math. Soc. 1971. 5. P. 43−54.

46. YapH.P. Maximal sum-free sets in finite abelian groups, III // Journal of Number Theory. 1973. 5. P. 293−300.