Дифференцирования простых йордановых и лиевых супералгебр

Понятие дифференцирования алгебры обобщалось многими математиками в самых различных направлениях. Так, в [24] можно найти и определение дифференцирования подалгебры в алгебру, и определение (si,^{-дифференцирования} из одной алгебры в другую, где Si, S2 ~~ некоторые гомоморфизмы алгебр. Напомним, что линейное отображение j является йордановым дифференцированием, если выполненно j (x2) = j (x)x + xj (x).

В свое время йордановы дифференцирования первичных ассоциативных колец характеристики отличной от 2 рассматривал И. Н. Херстейн [5]. Им было показано, что йорданово дифференцирование такого кольца является обычным дифференцированием. В дальнейшем, Дж. Кусак обобщил данный результат на случай полупервичного кольца [4].

В последствии, результаты И. Н. Херстейна получили широкое обобщение в работе М. Брешара и Дж. Вукмэна, которые рассматривали обобщение дифференцирований на кольцах с выделенными эндоморфизмами ф кв. Отметим, что аддитивное отображение d: R —У R, удовлетворяющее условию d (xy) = {x)d{y) + d (x)d (y), они называл (ф, #)-дифференцированием. В [1] было показано, что йорданово ф, 0)-дифференцирование первичного кольца, с автоморфизмами ф ив, будет являться (ф, 0)-дифференцированием. В дальнейшем, условие первичности было ослаблено до полупервичности в работе Ч. Ланского [15].

Антидифференцирования, то есть такие линейные отображения /х, что выпол-ненно ц (ху) = ~[i (x)у — X/Jt (y), возникают и рассматриваются в работах [2,6,29]. В работе [2] антидифференцирования возникают при изучении некоторых некоммутативных йордановых алгебр, также Н. С. Хопкинс были получены примеры ненулевых антидифференцирований на простой трехмерной алгебре Ли s/2 и показано отсутствие ненулевых антидифференцирований на простых конечномерных алгебрах Ли с нулевым центром и размерности строго выше 3 при некоторых ограничениях на характеристику основного поля.

Результаты Н. С. Хопкинс получили широкое обобщение в работах В. Т. Филиппова, где он рассматривал понятие^{-дифференцирования.} То есть такого линейного отображения ф, где для фиксированного элемента 5 из основного поля верно ф (ху) = 8(ф (х)у + хф{у)).

В результате, В. Т. Филиппов дал описание 5-дифференцирований первичных альтернативных, лиевых и мальцевских алгебр над ассоциативно-коммутативным кольцом с g [30−32]. А именно, им было доказано, что первичные альтернативные и мальцевские нелиевы алгебры не имеют нетривиальных 5-дифференцированийпервичные алгебры Ли не имеют ненулевых «^-дифференцирований при 5 ф —1,0, |, 1- первичные алгебры Ли с невырожденной симметрической инвариантной билинейной формой не имеют нетривиальных й-дифференцированийа также, были приведены примеры нетривиальных^{-дифференцирований} для простой бесконечномерной алгебры Ли И^. Результаты В. Т. Филиппова получили широкое обобщение в работе [16], где рассматривались квазидифференцирования, то есть такие линейные отображения /, что существует линейное отображение D (f) и выполнение».

D (f)(xy) = f (x)y + xf (y).

Отметим, что квазидифференцирования являются обобщением дифференцирований и^{-дифференцирований.} Дж. Ладжер и Е. Лаке показали, что пространство квазидифференцирований простой конечномерной алгебры Ли ранга выше 1 совпадает с прямой суммой пространства дифференцирований и центроида алгебры. В дальнейшем, исследования в области (^-дифференцирований продолжили автор и П. Зусманович. Автором были описаны <5-(супер)дифференцирования простых конечномерных супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль и полупростых конечномерных йордановых супералгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от 2. П. Зусманович в [?] показал, что первичные супералгебры Ли над полем характеристики отличной от 2 не имеют нетривиальных S-(супер)дифференцирований при 5 ф —1,0, 1, а также, в случае положительной характеристики поля, им был дан положительный ответ на вопрос В. Т. Филиппова о существовании делителей нуля в кольце^{-дифференцирований} первичной алгебры Ли сформулированный в [31].

Под тернарными дифференцированиями алгебры, А мы понимем такие тройки (di, d,2,d3) е End (A)3, что выполняется di (xy) = d2{x)y + xd3{y).

Отметим, что тернарные дифференцирования являются обобщениями^{-дифференцирований} и квазидифференцирований. Тернарные дифференцирования рассматривались в работах [7,8].

В диссертации дается описание^{-дифференцирований} полупростых конечномерных йордановых алгебр над полем характеристики отличной от 2 [теорема 3.7]- (^-дифференцирований и 5-супердифференцирований простых конечномерных супералгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики нуль [теорема 2.27], простых супералгебр йордановых скобок над полем характеристики отличной от 2 [теорема 3.34], которые в общем случае не являются конечномерными, полупростых конечномерных йордановых супералгебр над алгебраически замкнутым полем характеристики отличной от 2 [теорема 3.48]. Приводятся новые примеры нетривиальных —дифференцирований и |-супердифференцирований для йор-дановых супералгебр [теорема 3.34, леммы 3.42−3.43].

Автор выражает искреннюю благодарность своим научным руководителям Виктору Николаевичу Желябину и Александру Петровичу Пожидаеву за проявленное внимание, активное участие в формировании научного мировоззрения, помощь и всестороннюю поддержку. Пользуясь случаем, автор выражает благодарность всему отделу алгебры Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН, в частности, Павлу Сергеевичу Колесникову и Евгению Петровичу Вдовину.

Работа выполнена при поддержке АВЦП Рособразования «Развитие научного потенциала высшей школы» (проект 2.1.1.419), РФФИ 09−01−157-А, Совета по грантам Президента РФ для поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (проекты НШ-3669.2010.1, МД-2438.2009.1), ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009;2013 гг. (гос. контракты № 02.740.11.0429, № 02.740.11.5191), интеграционного проекта СО РАН № 97, Лаврентьевского гранта для коллективов молодых учёных СО РАН, постановление Президиума СО РАН № 43 от 04.02.2010.

1. Bresar М., Vukman J., Jordan (9, ф)-derivations, Glasnik Mat., 26 (1991), № 3, 13−17.

2. Brown R. В., Hopkins N. C., Noncommutative matrix Jordan algebras, Cayley-Dicson algebras, and Schafer’s theorem, Comm. Algebra, 23 (1995), № 1, 373−397.

3. Cheng S. J., Кае V. G., A new N=6 superconformal algebra, Comm. Math. Phys., 186 (1997), № 1, 219−231.

4. Cusack J. M., Jordan derivations on rings, Proc. Am. Math. Soc, 53 (1975), № 2, 321−324.

5. Herstein I. N., Jordan derivations of prime rings, Proc. Am. Math. Soc., 8 (1957), 1104−1110.

6. Hopkins N. C., Generalizes Derivations of Nonassociative Algebras, Nova J. Math. Game Theory Algebra, 5 (1996), № 3, 215−224.

7. Jimenez-Gestal C., Perez-Izquierdo J. M., Ternary derivations of generalized Сayley-Dickson algebras, Comm. Algebra 31 (2003), № 10, 5071−5094.

8. Jimenez-Gestal C., Perez-Izquierdo J. M., Ternary derivations of finite-dimensional real division algebras, Linear Algebra Appl., 428 (2008), № 8−9, 21 922 219.

9. Кас V. G., Lie superalgebras, Advances in Math, 26 (1977), № 1, 8−96.

10. Kac V. G., Classification of simple Z-graded Lie superalgebras and simple Jordan superalgebras, Comm. Algebra, 5 (1977), № 13, 1375−1400.

11. Kantor I. L., Connection between Poisson brackets and Jordan and Lie superalgebras, in «Lie Theory, Differential Equations and Representation Theory», publications in CRM, Montreal (1990), 213−225.

12. Kaplansky I., Graded Jordan algebras I, preprint.

13. King D., McCrimmon K., The Kantor construction of Jordan Superalgebras, Comm. Algebra, 20 (1992), № 1, 109−126.

14. King D., McCrimmon K., The Kantor doubling process revisited, Comm. Algebra, 23 (1995), № 1, 357−372.

15. Lanski C., Generalization derivations and nth power maps in rings,. Comm. Algebra, 35 (2007), № 11, 3660−3672.

16. Leger G., Luks E., Generalized Derivations of Lie Algebras, J. of Algebra 228 (2000), Ж, 165−203.

17. Martinez C., Zelmanov E., Simple finite-dimensional Jordan superalgebras of prime characteristic, J. of Algebra 236 (2001), № 2, 575−629.

18. Oehmke R. H., On flexible algebras, Annals of Math., 68 (1957), № 2, 221−230.

19. Penkov I., Characters of strongly generic irreducible Lie superalgebra representations, Internat. J. Math. 9 (1998), № 3, 331−366.

20. Racine M., Zelmanov E., Simple Jordan superalgebras, Nonassociative Algebra and its Applications, Ed. by E.Gonzalez. Kluwer Academic Publishers, (1994), 344−349.

21. Wall С. Т. C., Graded Brauer groups, J. Reine und angew. Math., 213 (1964), 187−199.

22. Zelmanov Е., Semisimple finite dimensional Jordan superalgebras, in: Y. Fong, A. A. Mikhalev, E. Zelmanov (Eds.) Lie Algebras and Related Topics, Springer, New York, 2000, 227−243.

23. Zusmanovich P., On 5-derivations of Lie algebras and superalgebras, arXiv:0907.2034v2.

24. Джекобсон П., Алгебры Ли, M., Мир, 1964.

25. Жевлаков К. А., Слинько А. М., Шестаков И. П., Ширшов А. И., Кольца, близкие к ассоциативным, М., Наука, 1978.

26. Кантор И. Л., Йордановы и лиевы супералгебры, определяемые алгеброй Пуассона, в сб. «Алгебра и анализ», Томск, изд-во ТГУ (1989), 55−80.

27. Пожидаев А. П., Шестаков И. П., Некоммутативные йордановы супералгебры степени п>2, Алгебра и логика, 49 (2010), № 1, 26−59.

28. Скосырский В. Г., Строго первичные некоммутативные йордановы алгебры, в сб. «Исследования по теории колец и алгебр» (Тр. Ин-та матем. СО АН СССР, 16), Новосибирск, Наука, 1989, 131−163.

29. Филиппов В. Т., Об алгебрах Ли, удовлетворяющих тождеству 5-ой степени, Алгебра и логика, 34 (1995), № 6, 681−705.

30. Филиппов В. Т., О 6-дифференцированиях алгебр Ли, Сиб. матем. ж., 39 (1998), № 6, 1409−1422.

31. Филиппов В. Т., О 5-дифференцированиях первичных алгебр Ли, Сиб. матем. ж., 40 (1999), № 1, 201−213.

32. Филиппов В. Т., О 5-дифференцированиях первичных альтернативных и малъцевских алгебр, Алгебра и Логика, 39 (2000), К- 5, 618−625.

33. Шестаков И. П., Первичные альтернативные супералгебры произвольной характеристики, Алгебра и логика, 36 (1997), № 6, 701−731.

34. Херстейн И., Некоммутативные кольца, М., Мир, 1972. Работы автора по теме диссертации.

35. Кайгородов И. Б., О 5-дифференцированиях классических супералгебр Ли, Сиб. матем. ж., 50 (2009), № 3, 547−565. (Перевод Kaygorodov I. В., 5-derivations of classical Lie superalgebras, Siberian Mathematical Journal, 50, 3, 2009, 434−449.).

36. Кайгородов И. В., О 5-супердифференцированиях простых конечномерных йордановых и лиевых супералгебр, Алгебра и Логика, 49 (2010), № 2, 195−215.

37. Желябин В. Н., Кайгородов И. Б., О 5-супердифференцированиях простых супералгебр йордановых скобок, Алгебра и Анализ, сдано в печать.

38. Кайгородов И. Б., О 8-супердифференцированиях полупростых конечномерных йордановых супералгебр, Математические заметки, сдано в печать.

39. Кайгородов И. Б., О 8-дифференцированиях алгебр и супералгебр, «Проблемы теоретической и прикладной математики», 41-ая Всероссийская молодежная школа-конференция 1 февраля 5 февраля 2010 г., сдано в печать.