Модель ?4 теории критических явлений: асимптотики высоких порядков в схеме минимальных вычитаний

Диссертация просвещена разработке инстантонного формализма при исследовании высоких порядков полевых разложений констант ренормировки, критических индексов (аномальных размерностей) и скейлинговых функций на примере Опсимметричной модели ф4 в размерной регуляризации и схеме минимальных вычитаний. Опишем коротко историю задачи и ситуацию, сложившуюся сейчас в данной области.

К настоящему времени теория критического поведения является хорошо развитой и формализованной ветвью теоретической физики. Существенный прогресс в этой области был достигнут в результате внедрения идей универсальности и критического скейлинга, а также применения технического аппарата ренормализационной группы.

Универсальность критических явлений заключается в том, что поведение системы оказывается не зависящим от деталей взаимодействия и определяется лишь общими свойствами рассматриваемой модели — типом полей, числом их компонент, симметрией взаимодействия, размерностью пространства и.т.п. Например, для изотропного ферромагнетика Гайзенберга критическое поведение зависит только от числа компонент вектора спина и размерности пространства, но не зависит от типа решетки и деталей обменного взаимодействия спинов.

Вторая идей — гипотеза подобия (критического скейлинга) Вай-дома — Каданова — Паташинского — Покровского [65]. Согласно этой гипотезе в окрестности критической точки всем физическим величинам (точнее, их отклонениям от критических значений) можно сопоставить определенные «критические размерности». Математически это выражается в свойстве обобщенной однородности: если величина F с размерностью d зависит от набора переменных с размерностями di соответственно и некоторого масштабного параметра Л, то.

F (Л^ь А*>х2). Л^Хп) = AdF (xu х2 .хп). (1).

Строго говоря, этим свойством обладают не сами термодинамические функции, а ведущие члены асимптотик при Л —У 0 их «сингулярных частей», получаемых отбрасыванием регулярных членов тейлоровского разложения в критической точке (при = 0).

Гипотеза подобия позволила согласовать множество различных данных по критическому поведению. Из экспериментов и численных расчетов известно, что при подходе к критической точке различные термодинамические величины ведут себя как степенные функции параметра отклоненияпоказатели степеней получили название «критических индексов». Таких индексов очень много, так как есть много различных термодинамических величин (восприимчивость, намагниченность, теплоемкость и. т. д.) и различные способы подхода к критической точке (например, температура Т стремится к своему критическому значению Тс при нулевом внешнем поле h или, наоборот, Л —f 0 при Т = Тс). Согласно гипотезе подобия, все эти индексы должны выражаться через размерности тех параметров, от которых зависит термодинамический потенциал. Для магнетика таких параметров всего два — h и т = (Т — Тс)/Тс. Размерность самого термодинамического потенциала не является независимым параметром — ее можно считать фиксированной. Действительно, потенциал (точнее, его удельное значение на единицу объема для пространственно — однородной системы) выражается через удельное значение логарифма статсуммы. Статсумма и ее логарифм безразмерны (имеется ввиду не тривиальная безразмерность в обычном смысле, а равенство нулю критической размерности d в выражении (1)), поэтому потенциал имеет размерность обратного объема. Замена Л —f Ла в (1) приводит к умножению всех размерностей на а, что позволяет фиксировать одну из размерностей произвольно. Обычно за единицу принимают размерность импульса, этот выбор будет принят и в данной работе.

Таким образом, согласно гипотезе подобия все критические индексы выражаются через размерности независимых переменных термодинамического потенциала. Вытекающие отсюда связи между критическими индексами подтверждаются экспериментально и в настоящее время справедливость гипотезы подобия считается твердо установленной. Однако сама по себе эта гипотеза не содержит рецептов вычисления размерностей независимых переменных.

Такой рецепт был дан в 1971 году Вильсоном [40] (и разработан им позже в [44]), который предложил использовать для расчета размерностей технику ренормализационной группы (РГ). В квантовой теории поля эта техника давно известна: впервые существование группы ренормировок в квантовой теории поля было отмечено в работе Штюкельберга и Петермана [35], через год Гелл-Манн и Jloy [15] использовали функциональные уравнения типа РГ для анализа ультрафиолетовой асимптотики в квантовой электродинамике, еще через год в работал Боголюбова и Ширкова [54, 55, 56, 5] была установлена связь между результатами [35] и [15], впервые получены полные дифференциальные уравнения РГ и указан рецепт их практического использования в комбинации с расчетом РГ — функций по теории возмущений. Впоследствии Овсянников [64], а затем, независимо, Каллан и Симанзик [11, 36] предложили еще один вариант уравнений РГ, сформулировав их в виде одного уравнения в частных производных для функции многих переменных. Дифференциальные уравнения [54] играют роль характеристической системы для уравнения в частных производных [64, 11, 36]. Дифференциальные уравнения в форме [54] или [64, 11, 36] являются основой стандартной квантово-полевой техники РГ.

Предложенная Вильсоном в [40] процедура «рекурсионных соотношений» основана на идее РГ, но технически отличается от квантово-полевой формулировки. В более поздних работах (например, [7, 8]) используется уже стандартная квантово-полевая техника РГ совместно с идеей размерной регуляризации, также заимствованной из квантовой теории поля [37, 38]. В настоящее время в большинстве работ, относящихся к критической теории, используется стандартная полевая техника РГ. Отметим также, что упомянутая техника также используется для описания моделей развитой турбулентности [45, 46, 47, 48, 29, 33, 34].

Метод РГ естественно объясняет критический скейлинг и универсальность: в инфракрасно — устойчивой фиксированной точке РГ уравнение Каллана — Симанзика принимает вид дифференциального уравнения обобщенного подобия, общим решением которого являются функции со свойством (1), а универсальность объясняется эквивалентностью критического поведения всех систем, гамильтонианы которых различаются лишь инфракрасно — несущественными операторами. В соответствии со своей канонической размерностью все составные операторы делятся на инфракрасно (ИК) — существенные, ИК — несущественные и логарифмические: у первых каноническая размерность меньше размерности пространства D, в котором рассматривается модель, у вторых — больше, а у последних равна D. Несущественные операторы не влияют на критическое поведение, определяя лишь поправки к скейлингу [7, 8, 39]. Поэтому, если действия двух моделей различаются лишь несущественными членами, эти модели оказываются эквивалентными в асимптотической области, что и объясняет гипотезу универсальности.

Критическая размерность d произвольной величины (поля, параметра, составного оператора) есть сумма канонической и аномальной размерностей, последняя появляется в результате ренормировки. Как уже упоминалось, для фиксированной модели и данной физической величины ее размерность d зависит лишь от глобальных характеристик типа размерности пространства D и не зависит от значений конкретных параметров модели — масс, констант связи и.т.п. Например в 0{п) — симметричной модели ф* с п — компонентным полем ф критические размерности зависят лишь от D и п. Методов вычисления точных размерностей не существует, практически их находят лишь в форме различных асимптотических рядов. Исторически первым, наиболее универсальным, является предложенное Вильсоном [41, 42, 43] 4 — е — разложение по параметру е = 4 — Dотклонению размерности пространства от критической размерности которая в случае ф4 модели равна четырем). В задачах статистической физики D = 3, т. е. параметр е = 1 реально не является малым. Тем не менее результаты, получаемые в виде начальных отрезков асимптотических рядов 4 — е — разложения используют дня вычисления критических индексов различными методами пересуммирования [59, 3, 23], чтобы сравнить их затем с результатами, полученными из высокотемпературных разложений (см. обзоры [62, 65, 8]).

Существует по крайней мере два подхода к РГ — вычислению критических индексов: 4 — е — разложение и РГ непосредственно в реальной размерности пространства (см. [50, 57]). Технически они существенно различаются, мы ограничимся рассмотрением первого из них.

В настоящее время 4 — 6 разложение является важным методом расчета аномальных размерностей, причем не только в статике, но и в критической динамике [57, 18]. Усилиями различных авторов для основных моделей вычислено довольно много первых членов 4 — 6 разложений. Максимальным на данный момент достижением является расчет (3 — функции статической ф4 модели в шестипетлевом приближении (до порядка с5 в критических размерностях), выполненный в работе [21, 22].

Столь значительные успехи в конкретных расчетах по 4 — е разложению оказались возможными благодаря разработке удобной вычислительной схемы, а именно:

I) РГ — функции вычисляются через константы ренормировки Z.

II) Для вычисления констант ренормировки используется размерная регуляризация и схема минимальных вычитаний [37, 38] (MSсхемаот англ. «minimal subtraction11), в которой константы ренормировки зависят только от констант связи и параметра регуляризации.

III) Независимость констант ренормировки от массивных параметров (г для ф4 модели) позволяет вычислять их непосредственно в безмассовой теории (при г = 0), что существенно упрощает расчет диаграмм.

Возможность перехода к безмассовой теории является решающей для упрощения вычислений. Аномальные размерности параметров типа масс вычисляются в безмассовой теории через константы ренормировки подходящих составных операторов. Отметим, что еразложения в MS схеме оказываются удобными и при описании моделей развитой турбулентности [51, 52, 59, 63].

Как мы уже упоминали, получаемые методом РГ ряды для критических размерностей (индексов) оказываются расходящимися. В связи с этим оказывается необходимым некоторым образом переразложить (пересуммировать) полученный по теории возмущений отрезок ряда. Для получения численных значений индексов в реальных размерностях пространства используются разнообразные схемы пересуммирования, такие как методы Бореля-Лероя, Паде — аппрокси-мант и конформных отображений [50]. Данная тематика вызывала значительный интерес и в последнее время [2, 49, 32, 20].

Процедура пересуммирования существенно зависит не только от значений начальных коэффициентов ряда, вычисленных по теории возмущений, но и от асимптотики высоких порядков исследуемых рядов. Таким образом, исследование высоких порядков теории возмущений является важной задачей при рассмотрении полевых моделей.

В основе такого исследования лежит подход, разработанный в классической работе [61] и называемый инстангпонным, состоящий в обобщении для функционального интеграла метода перевала. Результаты [61] были применены в [9] для исследования разложений критических индексов, получаемых методом ренормализационной группы.

Как утверждается в [24], известная асимптотика высоких порядков дает информацию, позволяющую выбирать параметры, фиксирующие произвол схемы пересуммирования. Поэтому важен вопрос о том, насколько вычисленные к настоящему моменту коэффициенты разложений близки к асимптотическим значениям.

Согласно [61] N-Pi коэффициент стандартного теоретико-полевого разложения по константе взаимодействия д произвольной величины F (выражаемой через функции Грина) при больших N имеет вид.

F (N) и e^N-NaNNbFcp (2).

Здесь и далее хм обозначает коэффициент при gN разложения величины X в ряд по д. Константы, а и bp вычислялись для произвольных функций Грина [50]- в [61, 9] приведены также амплитуды ср для /^-функций теорий ф2т (т = 2, 3,.) в логарифмических размерностях пространства. Соответствующие результаты для теории фА в D = 2, 3 — мерных пространствах основываются на численных решениях уравнений стационарности массивной модели [10]. В работе [24], посвященной обсуждению различных схем пересуммирования рядов для критических индексов, (как и в [50]) амплитуда асимптотики ср для 4 — б разложений не приведена вовсе, в [25] утверждается, что она вычислена в [31], а в следующей работе тех же авторов [27] объявлено (со ссылкой на [50]), что не только ср, но и bp для 4 — е разложения неизвестна.

Попробуем прояснить эту необычную ситуацию. В [61, 9] для старших порядков разложения, например, вершинной функции ф*(Оп) теории в четырехмерном пространстве получено rf > я Const f к=1[Ыу*1(Ыу)]), (3) где вычисленная Const содержит зависимость от N, К — функция Макдональда. Здесь приведена частично ренормированая функция, в которой осуществлены вычитания расходимостей однопетлевых подграфов (следующие порядки разложения констант ренормировки признаны несущественными вследствие малости по 1/N). В теориях ф2т (т > 2) для асимптотики вершинной функции написано выражение, аналогичное (3), но без члена exp{(nf 8) In у/3}. Ультрафиолетовые (УФ) расходимости в этих формулах проявляются в интегралах по у при у -4 0 (у — масштабный параметр). Несложно убедиться, что в (3) отсутствуют УФ расходимости: множитель ехр{(п + 8)1пу/3} регуляризует интеграл в области малых у. Более того, аналогичным свойством обладают и, вычисленный в [60], поправочный по 1JN член рассматриваемой асимптотики: в нем УФ расходимости пропадают при учете двухпетлевых вкладов в константы ренормировки.

Напомним известный способ вычисления констант ренормировки [57]: вклад в Z данной диаграммы определяется расходимостью, оставшейся после применения к ней Я! операции, вычитающей все расходимости подграфов. Иначе говоря, для определения вклада в константы ренормировки совокупности диаграмм некоторого порядка следует рассмотреть частично ренормированную теорию, в которой все константы ренормировки учтены с точностью на один порядок меньше. Результаты [61, 9, 60] дают лишь конечные вклады в константы ренормировки (нулевые в схеме минимальных вычитаний (MS)). Вследствие общего утверждения о ренормализационной инвариантности теории, тем самым показано, что они вовсе не дают вклада в критические индексы.

Для исправления этой ситуации (отсутствия полюсов по е) в работе [31] была предложена принципиально новая непертурбативная ренормировочная схема, в которой обнаружена непертурбативная фиксированная точка уравнения РГ, координаты которой не являются аналитической функцией е. К сожалению непертурбативный характер схемы не позволяет сравнивать ее результаты с таковыми обычного 4 — € - разложения. Кроме того, сами авторы признают, что не могут оправдать свои построения. Видимо этим объясняется, что в работе [27] результаты [31] были признаны несостоятельными.

В свою очередь мы утверждаем, что отсутствие вкладов в асимптотику старших порядков разложения констант ренормировки в цитированных выше работах является следствием некорректного использования метода стационарной фазы при рассмотрении однопет-левых контрчленов в теории фА (в теориях ф2т (т > 2) сложностей не возникает). Проблема связана с тем, что метод вычисления асимптотики больших N не вполне согласуется с теорией ренормировки. Действительно, константы ренормировки естественно вычисляются в форме разложения по числу петель (имеется в виду структура R — операции). Статфазное вычисление асимтотики больших N тоже определяется петлевым разложением [57], но, строго говоря, 1/jV не является параметром этого разложения. Нулевой порядок разложения по петлям (т.н. «древесные» диаграммы) пропорциональны не нулевой степени 1/N, а большому параметру N, поэтому первый порядок (однопетлевые диаграммы) — порядка единицы и не содержит малости по 1 /N. При вычислении методом [61, 9, 60] асимптотики старших порядков теории ф4 в результате вычитания расходимостей однопетлевых вершинных подграфов в выражении (3) появляется множитель ехр ((п + 8) In у/3). Он есть сумма логарифмических по у вкладов порядка единицы по 1 /JV, поэтому он оставлен в виде экспоненты, и устраняет поверхностную УФ расходимость в произвольном порядке 1JN асимптотики.

В рамках 4 — е разложения наибольшее количество порядков для критических индексов было получено с использованием размерной регуляризации и MS схемы в безмассовой теории [21, 22]. В этой схеме РГ — функции (коэффициенты уравнения РГ) связаны известным образом [58, 50, 57] с вычетами первого порядка по е констант ренормировки теории:

7<Ы = -gd,{Zi}> = ~9(t + 7*), (4) здесь и далее {X} - вычет в полюсе первого порядка по б величины X, г = г, ф, д, в безмассовой теории критическая размерность т определяется ренормировкой составного оператора ф2.

Константы ренормировки в 4 — е (MS) схеме имеют вид.

00 JN) uN 1 а = i+E-^ + oy, (Ч причем вследствие соотношения (4) вся необходимая информация о критических индексах содержится в вычете первого порядка в нуле функций Z (e).

Константы ренормировки имеют смысл лишь в рамках определенной теории возмущений и не могут рассматриваться вне ее. Наше предложение состоит в том, чтобы вернуться к исходной форме разложения для учета вкладов расходимостей однопетлевых подграфов. Технически это заключается в использовании вместо (3) асимптотически эквивалентного при больших N выражения, дающего, впрочем, принципиально иное УФ поведение. А именно, вклад N-ro порядка теории возмущений по д теперь содержит необходимые полюса по е, коэффициенты при которых вычисляются в форме 1/7Vразложения. В MS схеме оказалось несложным проконтролировать то, что поправочные члены стацфазного вычисления функциональных интегралов дают поправочные же по 1/N вклады в РГ — функции. Изменение результата при использовании асимптотически эквивалентного выражения не означает возможность получить произвольный ответ, существенно здесь лишь то, конечное или бесконечное количество членов разложения множителя типа ехр ((п + 8) In у/3) в виде и.

J Jn + 8) In у 3 принимается в (3) во внимание.

Развитие метода перевала [68, 69] позволило аналитически вычислять липатовские асимптотики разложения различных величин не только в четырехмерном пространстве, как в [61, 9], но и в размерности 4 — 6. Впрочем в [68, 69] используется та же форма (3), поэтому касающиеся РГ результаты этих работ нельзя признать безупречными.

В данной диссертации мы вычисляем асимптотики членов разложения констант ренормировки и критических индексов теории ф4 в размерной регуляризации и MS схеме, а затем проводим их сравнение с современными результатами непосредственного расчета. Отклонения оказываются существенными, что ослабляет теоретическую обоснованность детерминированности коэффициентов схемы Бореля — Лероя пересуммирования рядов е — разложения критических индексов [24].

Столкнувшись этой проблемой, мы попытались экстраполировать значения неизвестных членов разложения констант ренормировки (шестой порядок и далее) с помощью поправочного по 1/N члена в правой части формулы (2), множитель при котором определялся по разнице точно вычисленного пятого порядка и соответствующего асимптотического значения (2) при N = 5. Упомянутый способ вычисления асимптотик констант ренормироввки и анализ результатов, к которым он приводит, представлен в главе 1 настоящей диссертации.

Кроме уже упомянутого использования наших результатов в различных процедурах пересуммирования, следует указать еще одну область их применения. В [70] был предложен модифицированный метод исследования фА модели, приводящий к принципиально сходящимся рядам теории возмущений (с конечным радиусом сходимости). Разработанный затем в [19], этот метод был приспособлен к 4 —? (MS) схеме. Мы развили инстантонный анализ для указанной ситуации и исследовали асимптотическое поведение этих сходящихся рядов. Затем мы использовали полученную информацию о поведении модели в высоких порядках теории возмущений, чтобы выделить явно главный вклад сингулярностей, определяющих радиус сходимости и тип особенности рядов модели [70, 19]. Вычисления проведены как для РГ — функций, так и для критических индексов. Данная процедура представлена в главе 2.

Кроме критических индексов в теории критического поведения рассматриваются универсальные отношения и скейлинговые (универсальные) функции [50, 57], высокие порядки разложений которых не были изучены. Несмотря на это, попытка пересуммирования соответствующих рядов была предпринята в [12]. Развитие метода перевала [68, 69] позволило аналитически исследовать асимптотики разложения различных величин в массивной теории ф* в е — разложении. Поэтому следующим логическим шагом данной диссертации было вычисление асимптотик старших порядков е — разложения скейлинговой функции парного коррелятора ф*(Оп) модели в размерной регуляризации и схеме минимальных вычитаний, представленное в главе 3.

Для обсуждения принципиального вопроса о точности результатов, получаемых методами пересуммирования [9] существенна скорость, с которой петлевые разложения теории возмущений приближаются к асимптотической формуле. Наш анализ этого вопроса для 4 — е (MS) схемы показал, что константы ренормировки монотонно приближаются к своей асимптотике, но достаточно далеки от нее (так, например, для константы ренормировки Zg при N = 5 наблюдается отличие примерно в 75 раз). Как уже упоминалось, этот факт ставит под сомнение точность результатов борелевского пересуммирования в данной схеме и вынуждает нас либо продолжать вычисление петлевых разложений, пока они не приблизятся в должной степени к асимптотике, либо интересоваться поправкой по 1 [N к асимптотической формуле.

В работе [60] была рассмотрена поправка к липатовской асимптотической формуле [61], улучшающая выход на асимптотику петлевых разложений в единичной схеме ренормировки. Однако данная работа имеет уже описанный дефект — некорректное рассмотрение порядка предельных переходов 1 /N, бЧОи, как следствие, приведенная там схема вычисления амплитуды поправки к исследуемой асимптотике не годна для 4 — 6 (MS) схемычтобы получить такую поправку для констант ренормировки в (4 — е) схеме, необходимо провести дополнительные вычисления, связанные с выделением УФ расходимостей в JV-том порядке теории возмущений. Эти вычисления также представлены в данной диссертации: в четвертой главе мы получаем поправку к асимптотике высоких порядков для константы ренормировки Zg и критического индекса rj в 4—е (MS) схеме. Конкуренция параметров 1/iV и е приведет к тому, что в отличие от [60] вклад в асимптотику высоких порядков дадут поправки по е к инстантону («точке» стационарности метода перевала в функциональном пространстве).

Константа ренормировки Zg (и связанная с ней ренормгрупповая функция /3(g)) является главной характеристикой при определении асимптотического поведения критических индексов. Именно она демонстрирует скорость выхода на асимптотику петлевых результат тов, поэтому при вычислении поправки к асимптотической формуле мы ограничились лишь исследованием асимптотики высоких порядков константы ренормировки Zg.

Суммируя все вышесказанное, перечислим проблемы, решаемые в данной работе.

1. Предложен способ вычисления асимптотик разложения констант ренормировки в высоких порядках теории возмущений для 0(п) — симметричной фА модели в 4 — е (MS) схеме на основе ин-стантонного анализа ультрафиолетовых расходимостей. Возникаюстантонного анализа ультрафиолетовых расходимостей. Возникающие в данной схеме особенности приводят к отличиям от канонической техники [50] при вычислении амплитуды асимптотики высоких порядков для критических индексов. Обнаружены значительные отклонения точно известных к настоящему моменту членов разложения от главного порядка исследованных асимптотик как для констант ренормировки так и для критических индексов.

2. Показана применимость инстантонного анализа в модели [70, 19], представляющей собой модифицированный метод исследования теории фА и приводящий к сходящимся рядам. Определен радиус сходимости и тип особенности рядов в этой модели, а также про-демонстрировно, как поправки к липатовским асимптотикам могут быть явно использованы при пересуммировании рядов модели фА.

3. Вычислена асимптотика высоких порядков е — разложения скей-линговой функции парного коррелятора 0{п) — симметричной модели ф4 (в размерной регуляризации и схеме минимальных вычитаний). Результат демонстрирует существенную неравномерность скей-линговой функции по ее аргументам.

4. Вычислена поправка к асимптотике высоких порядков для константы ренормировки Zg и критического индекса ц в 4 — е (MS) схеме. Полученные поправки существенно улучшают асимптотическое описание результатов петлевых расчетов.

Основные результаты опубликованы в статьях:

1. М. В. Комарова, М. Ю. Налимов, Теор. и Мат. Физ. 126, 409 (2001).

2. М. В. Комарова, М. Ю. Налимов, Теор. и Мат. Физ. 129, 387 (2001).

3. J. Honkonen, M. Komarova, M. Nalimov, Acta Physica Slovaca 52, 303 (2002).

Суммируя все вышесказанное, перечислим проблемы, решаемые в данной работе. Во — первых, на основе инстантонного анализа ультрафиолето вых расходимостей нами предложен способ вычисления асимптотик разложения констант ренормировки в высоких порядках теории воз мущений для 0{п) — симметричной ф^ модели. При этом использова лась схема минимальных вычитаний (MS) в (4 — €) разложении, как наиболее продвинутая в техническом отношении (вычислено пять порядков теории возмущений). В отличие от предыдущих работ в нашем методе ультрафиолетовые расходимости N — того порядка теории возмущений естественным образом проявляются в виде по люсов по е. Было показано, что для корректного использования ин стантонного подхода в теории ^* в 4 — 6 (MS) схеме необходимо ак куратное рассмотрение порядка предельных переходов 1/iV, е —> 0. Возникающие в данной схеме особенности приводят к отличиям от канонической техники [50] при вычислении амплитуды асимптотики высоких порядков для констант ренормировки и критических ин дексов. Нами обнаружены значительные отклонения точно извест ных к настоящему моменту членов разложения от асимптотических значений как для констант ренормировки и критических индексов. Упомянутый способ вычисления представлен в главе 1 настоящей диссертации. Во-вторых, мы применили инстантонный анализ в модели [70, 19], представляющей собой модифицированный метод исследования те ории ф^ и приводящий к сходящимся рядам. Мы определили ради ус сходимости и характер особенности рядов модели [19], а также, используя полученные в главе 1 результаты выделили явно глав ный вклад сингулярностей сходящихся рядов для РГ — функций и критических индексов. Наш результат также демонстрирует, каким образом поправки по 1/N к главному порядку липатовской асим птотики может быть принят во внимание при обработке рядов для критических индексов. Данная процедура представлена в главе 2. Затем, в главе 3, развитая идеология используется для вычис ления асимптотики высоких порядков е разложения скейлинговой функции парного коррелятора 0(п) — симметричной модели ф'^ (в размерной регуляризации и схеме минимальных вычитаний). Наш результат демонстрирует существенную неравномерность скейлин говой функции по ее аргументам. Так как в ходе исследования нами были обнаружены значитель ные отклонения точно известных к настоящему моменту членов раз ложения от асимптотических значений, в главе 4 мы вычисляем по правку к асимптотике высоких порядков для константы ренорми ровки Zg и критического индекса т/ (в 4 —б (MS) схеме). Полученные поправки существенно улучшают асимптотическое описание резуль татов петлевых расчетов — последний точно вычисленный вклад кон станты ренормировки Zg отличается от соответствующего асимпто 106 тического значения теперь уже не в 75 раз (как это было в главном по 1/N порядке), а примерно в два разанаблюдается монотонность в приближении упомянутых вкладов к асимптотике. Прилолсение 1 Здесь приведены некоторые факты, следующие из ренормируе мости теории, полезные для контроля вычислений и оценки резуль татов, а также обсужден вопрос о влиянии IjN поправок метода стационарной фазы на асимптотики констант ренормировки и кри тических индексов. Следствием определения QQ = gii^Zg является известное выраже ние Конечность ^ - функции при б —)> О требует сокращения старших полюсов по 6 в (5.1). Разлагая обе части этого равенства в ряды по д и учитывая факториальный рост коэффициентов, в асимптотике больших N для, например, для коэффициента при втором полюсе по б получаем {Zg = 1 + {Zg}j€ + Z{-2)g/t^ + .••). Имвнно такой результат для Z2) получается при вычислении G4 предложенным нами методом. Рассматривая (5.1) как дифференциальное уравнение на Zg^ в MS схеме получаем «(гд du гд du Ограничившись однопетлевым приближением ^{д) = д{—е — ад), имеем Zg «- ^ - + 0(^-1 (5.2) е — ад е что есть результат суммирования в разложении Zg «главных» вкладов по д/е. Заметим, что это выражение конечно при б —> О, ^ =Const.Аналогичное суммирование имело место в [61, 9], что и объясняет полученную конечность частично ренормированных функций Грина теории ф^ в этих работах. Обсудим вклады в {Zg} поправок порядка 1/7V перевального вы числения §<1д^Пф. Они получаются в результате учета поправоч ных членов при интегрировании по отклонениям 8ф^ 6д от положе ния точки стационарности фс, Qo и могут быть представлены диа граммами, линии которых определяются оператором 6³{фс, дс)/5ф^.Очевидно несингулярные при б —> О (и у —>• 0) вклады в эти диаграм мы дают лишь 0{l/N) поправки к {Zg}. Итак внимательно следует рассмотреть лишь полюсные по е члены. Интересуясь расходящимися диаграммами, следует выделить 1 ;

неприводимые (проблема с 1 — приводимыми диаграммами решается.

тривиально):

здесь хвостиками обозначены решения уравнения стацфазы фс, вы деление расходим остей по е, в частности, приводит к разложению линий в ряд по дсф1. Ренормировочные контрчлены теории — часть предэкспоненты вы числяемого методом перевЕша интеграла. Учтенный в главном по N те вышеупомянутых сокращений мы получаем вклады в S dyy^^^: при получении (1.32).Г[рилож:ение 2 Чтобы получить в (3.15) коэффициенты Ri, R2, Я3, диаграммы (3.8) раскладывались в ряд по параметру р^/т. Возникающие при этом логарифмические особенности приходилось выделять явно, по лучавшиеся интегралы упрощались с помощью пакета «Maple». Чис ленные значения кратных интегралов в выражениях для Ri, R2, R3, содержащих функции Бесселя, вычислялись методом Монте-Карло.Приведем результат:

27Г2 Jo X тг^ h h ^^ Jo Qqk^ k^Q2.

1)/ 2 Л «2 Уо ^ ^.

тгЗ Уо Уо ^^ Уо A-2g2(p_j_ 1)(д2_}_ 1)3 З’У 45 3.

4- — + -/п (7г) + 1.15 651 206 =^ 6.84, здесь Q = у’Агг + д2 + 2(kq).Прилолсение 3 OZ OZ Ь4 2 4 о здесь и далее 7 — постоянная Эйлера, 7 = Ф (1) 0.5772.79 560 417г2 71п7г 6757г^ ISTT^ ^ 16 3072 2 4096 32 157г^ 1п7г 797Г7 797г1п7г 157г⁷ 1 7^ •I _ 1- 1п7Г + 7 + i 64 32 32 64 ' 4 35 557г^ In^ TT ^ _ ^^. — 9 9 ' 36 ^ ' В1 = /, о^^(ЗМ^, в% = - ^ V (5.6).

3! ' ''" >/=Ж ^/^я.111 о ж11К 12 / 6, 24 12 Е (а Л, ^ Л) = у + е[^—1п7г-—-—q^ + +J*(l)) + 0(.^), (5.7) ^ , — .III " .||K 12 / 6, 12 «4n' + | ф (1)) + 0(е^), (5.8) Е (5А,^.Ф4) = 4. (5.9) Н = ^Ш±^-'-±1-Ц+1)ЧЦ + 2) (5.10)^3ln (x2)x2 + 3×2 — 9 + 7r2−7rV 121пх2 cp. правую часть с выражением для /i в [60]. ^^'-h-'-l' (^ ^^) здесь и далее т 0.749 [60]. /•оо гоо гоо 1 Т = / dti dt2 / i t s In³⁷ ^ X X exp TTTT7: j — W 1 ' о (5.16) ^ 360(п + 8)2 ^ (-15 601пЗ + 12 + 357г2 — 120In2 — 600 т + 32 407) п2 360(п + 8)2 (22 272 + 208 807 + ббОтг^ - 9840 In 3 — 1200 In 2 — 7440т) n 360(n + 8)2 (86 880 + 22 407г2 + 518 407 — 1920Ь2 — 21 120 т — 249 601пЗ) *» 360(п + 8)2 (3) — (ЗЗп^ + 922п + 2960 + 96С (3)(5п + 22)) д ал<^ ' (5.18) (3) _ (п + 2)(п + 8) ^Ф' = 1296 (5.19).