Метод регуляризации Тихонова с негладкими стабилизаторами

Понятие корректности задачи математической физики было введено Ж. Адамаром [1] в начале прошлого столетия. Им было высказано мнение о том, что корректная постановка является непременным условием, которому должна удовлетворять всякая математическая модель, соответствующая физической реальности. Эта точка зрения не подвергалась сомнению в течение многих лет. Корректные модели хороши тем, что классическая вычислительная математика позволяет решать задачи традиционными методами. При этом зачастую удается ответить на вопрос о сходимости предложенного алгоритма и оценке возникающей здесь погрешности. Конечно, появляются дополнительные трудности реализации алгоритма на компьютере, учете погрешностей округления, представления данных и результатов вычислений и т. д. Но эти проблемы обычно успешно решаются, особенно если учесть, что технические возможности современных компьютеров расширяются очень быстро. Однако часто имеющаяся у исследователя информация позволяет построить лишь такую математическую модель, для которой нет теорем существования решения в естественных функциональных пространствах и, самое главное, нет устойчивости решения по входным данным задачи. Для такой модели нельзя получить регулярные вычислительные алгоритмы с помощью традиционных методов.

В 1943 году появилась работа А. Н. Тихонова [2], в которой впервые была указана практическая важность неустойчивых по входным данным (некорректно поставленных) задач и принципиальная возможность их успешного решения в условиях принадлежности точного решения компактному множеству. В середине 50-х годов и, особенно интенсивно, в начале 60-х годов прошлого столетия началась систематическое изучение некорректных задач. Образовалось новое направление, лежащее на стыке функционального анализа и вычислительной математики, которое затем оформилось в самостоятельную область науки. Основопологающие подходы для теории некорректных задач связаны с именами А. Н. Тихонова, М. М. Лаврентьева, В. К. Иванова.

В первой отечественной монографии по некорректным задачам М. М. Лаврентьевым было введено понятие корректности по Тихонову [3] задачи математической физики, на основе которого М. М. Лаврентьевым, его учениками и последователями, получены глубокие результаты по регуляризации широкого спектра некорректных в классическом смысле задач, таких, например, как задача аналитического продолжения, обратные задачи для многих классов дифференциальных уравнений, задачи интегральной геометрии и многие другие. Многие результаты в этой области отражены в монографии М. М. Лаврентьева, В. Г. Романова, С. П. Шишатского [4]. Там же приведена обширная библиография по данному вопросу.

С понятием корректности по Тихонову тесно связано понятие квазирешения, введенное в 1962;1963 годах В. К. Ивановым в работах [5, 6] и обобщающее понятие обычного решения операторного уравнения.

Au = f (0.0.1) на случай, когда оно неразрешимо для заданной пары метрических пространств U и F. Это обобщение оказалось чрезвычайно плодотворным и индуцировало целое направление в теории некорректных задач. Для линейных некорректных задач оно представлено в монографиях А. Н. Тихонова, В. Я. Арсенина [13] и В. К. Иванова, В. В. Васина, В. П. Тананы [7].

Дальнейшие исследования в указанном направлении проводил О. А. Лисковец, автор вышедшей в 1981 году монографии [8] (было введено понятие почти-квазирешения, проведены обобщения на максимально широкие классы функциональных пространств и операторных уравнений).

В 1963 году А. Н. Тихоновым в работах [11, 12] было сформулировано понятие регуляризирующего алгоритма (регуляризирущего оператора, регуляризатора) для некорректно поставленной задачи как однопарамет-рического семейства операторов, специальным образом аппроксимирующего обратный оператор и обеспечивающего при согласовании параметра с уровнем погрешности исходных данных устойчивое восстановление искомого решения. Для корректных по Адамару задач (например, вида (0.0.1)) в качестве формального регуляризирующего алгоритма может быть взят сам обратный оператор А~1. Другое дело, что такой алгоритм может оказаться неконструктивным (практически нереализуемым). Понятие регуляризирующего алгоритма оказалось весьма эффективным и работоспособным. Казалось, что для любой некорректной задачи можно построить соответствующий регуляризирующий алгоритм. Как отмечено в [8, стр. 14]: «В отличие от господствовавшего прежде мнения, что все задачи, описывающие физическую реальность, корректны, по современным представлениям каждая реальная задача регуляризируема, т. е. имеет хотя бы один регуляризатор». Однако оказалось не все так просто. Как показано, например в работах Л. Д. Менихеса [9, 10], некоторые линейные интегральные уравнения первого рода могут быть нерегуляризируемы на паре пространств С[0,1] и 1*2[0,1].

В работах [11, 12] А. Н. Тихоновым предложен универсальный способ построения регуляризирующего алгоритма (метод регуляризации), основанный на введении так называемого сглаживающего функционала. Универсальность метода А. Н. Тахонова заключается в том, что он применим к существенно некорректным задачам [13, стр. 53], у которых класс возможных решений не является компактом.

Значительным достижением явились фундаментальные исследования.

A.Б.Бакушинского и Б. Т. Поляка [14, 15] по итеративной регуляризации некорректных задач, позволившие создать концепцию регуляризации различных итерационных процессов (например, метода Ньютона-Канторовича или простой итерации), которая дает возможность получить сильную сходимость в том случае, когда отсутствие непрерывного обратного оператора А~1 или его производной [.А']~1 исключает использование классических схем.

Понятие регуляризирующего алгоритма имело революционное значение в вычислительной математике и фактически послужило основой для развития новой математической дисциплины. Большой вклад в эту область внесли А. Л. Агеев, Я. И. Альбер, В. Я. Арсенин, А. Б. Бакушинский, Г. М. Вайникко, Ф. П. Васильев, В. В. Васин, А. Ю. Веретенников,.

B.А.Винокуров, Ю. Л. Гапоненко, А. М. Денисов, С. И. Кабанихин,.

A.С.Леонов, О. А. Лисковец, И. В. Мельникова, В. А. Морозов, В. Г. Романов,.

B.Н.Страхов, В. П. Танана, А. Г. Ягола и многие другие.

К настоящему времени созданы общие принципы конструирования ре-гуляризирующих алгоритмов для широких классов некорректных задач. Было показано, в частности, что многие классические схемы, например итерационные методы решения линейных операторных уравнений, могут быть успешно использованы и при построении регуляризирующих алгоритмов для них. Процесс должен быть дополнен только правилом окончания (останова) итерационного процесса в зависимости от величины погрешности входных данных задачи [16−19].

В монографии В. В. Васина и А. Л. Агеева [20] систематически изложены регулярные методы решения неустойчивых задач, позволяющие учитывать дополнительную априорную информацию о решении (сведения о форме описываемого объекта, более детальные свойства гладкости, тонкую структуру решения, вытекающую из физической сущности задачи). Учет дополнительных сведений о решении особенно важен при рассмотрении математических моделей с неединственным решением базового уравнения. Много внимания в монографии уделено развитию регуляризации, основанной на введении корректирующих (демпфирующих) множителей, идея которой восходит к работам Ф. Браудера и Б. Гальперина [21, 22].

Из зарубежных исследований по некорректным задачам необходимо упомянуть результаты Ж.-Л.Лионса и Р. Латтеса [30, 31], предложивших способ регуляризации некорректных задач математической физики, известный как метод квазиобращения. В [32] A. Neubauer и O. Scherzer обосновали сходимость дискретных аппроксимаций (полученных проекционным методом) регуляризованных по Тихонову решений нелинейного операторного уравнения первого рода. Также установлены условия, гарантирующие оптимальную по порядку скорость сходимости конечномерных приближений для случая зашумленных исходных данных. В работах [33] (O.Scherzer, H.W.Engl, K. Kunisch), [34] (K.Kunisch, W. Ring), [35] (U.Tautenhahn) изучены возможности априорного и апостериорного выборов параметра регуляризации в методе Тихонова для нелинейных задач, а также оценены скорости сходимости регуляризованных решений.

Библиография по теоретическим и прикладным аспектам методов регуляризации систематизирована в монографической литературе [13, 7, 3, 4, 8, 23, 25, 26, 20, 19, 27, 28, 29].

Широкий круг некорректных задач составляют обратные задачи, в частности, обратные задачи, модели которых описываются дифференциальными уравнениями, в том числе, динамическими системами. Под обратной задачей для динамических систем принято понимать задачу восстановления характеристик динамической системы (коэффициентов, параметров, входящих в дифференциальные уравнения, в начальные или граничные условия) по информации о пространственных координатах, скорости или других количественных характеристиках траектории (решения, движения) этой системы, поступающей в процессе специально организованных наблюдений (измерений). Такие задачи являются типичными для теории и методов обработки и интерпретации результатов наблюдений и возникают при изучении тех свойств объектов или процессов, которые недоступны или труднодоступны для прямого измерения и о которых приходится судить по измеренным в результате эксперимента их косвенным проявлениям. В качестве примеров можно привести медицинские эксперименты по изучению внутренних органов человека, эксперименты по неразрушающему контролю за качеством изделий, наблюдения и эксперименты, но определению физических характеристик тел по их взаимодействию с подходящими физическими полями и т. д.

Хотя отдельные классы обратных задач давно рассматриваются в науке и практике, широкое исследование обратных задач началось сравнительно недавно, что связано с прогрессом в соответствующих областях знаний. К настоящему времени теория обратных задач стала самостоятельной областью математики, в ней сформировались различные направления, обусловленные как различными сферами ее приложений, так и многообразием математических постановок обратных задач, ей посвящена обширная литература (см., например, [36−56]).

Существенную роль в становлении теории обратных задач сыграло интенсивное развитие в последние несколько десятилетий теории некорректных задач. Дело в том, что измерения результатов наблюдений и экспериментов (входных данных) сопровождаются неизбежными ошибками, поэтому искомые решения обратных задач также будут определяться с погрешностью. И оказывается, что в большинстве своем обратные задачи естествознания неустойчивы, т. е. сколь угодно малым погрешностям изменений входных данных могут соответствовать большие погрешности в определении искомого решения обратной задачи. Это обстоятельство затрудняет применение обычных методов для поиска решения обратных задач и требует привлечения для этих целей специальных методов, называемых методами регуляризации, разработанных в рамках общей теории некорректных задач [1−35].

В большинстве исследований в области обратных задач процесс решения задачи носит статический характер, т. е. при таком решении восстановление неизвестных характеристик осуществляется по завершении наблюдений по всей совокупности поступивших измерений. Иногда это обстоятельство приводит к некоторым затруднениям из-за большого объема информации, из-за ограниченного объема памяти и конечного быстродействия имеющихся вычислительных средств. В 1983 году вышли основополагающие работы академиков Ю. С. Осипова и А. В. Кряжимского [57, 58], в которых для решения обратных задач динамики предлагался новый метод, получивший затем название метода динамической регуляризации. Эти работы инициировали многочисленные исследования по динамическому методу решения обратных задач. Метод получил дальнейшее всестороннее развитие в школе Ю. С. Осипова и за ее пределами [57−70, 71]. С идейной точки зрения метод динамической регуляризации основывается на подходах теории позиционных дифференциальных игр, развитой Н. Н. Красовским и его школой [72−79], и подходах теории некорректных задач, развитой в школах А. Н. Тихонова, В. К. Иванова, М. М. Лаврентьева [2−20, 23−29, 37−39, 42−44, 46, 50, 56]. Этот метод целесообразно применять в тех случаях, когда требуется восстановить неизвестные характеристики интересующих явлений в динамике синхронно с развитием этих явлений или, как принято говорить в инженерной практике, в режиме реального времени. При этом предполагается, что информация об измерениях поступает в заданные дискретные моменты времени по ходу процесса и на каждом шаге метода для определения текущего приближения неизвестной характеристики процесса разрешено использовать лишь те измерения, которые уже имеются в распоряжении исследователя к данному моменту времени без привлечения тех измерений, которые поступят в последующие моменты времени. С подобными обратными задачами приходится иметь дело, например, в механике управляемого полета, при создании технологических и производственных процессов, в проблемах оперативной обработки информации, в проблемах обработки больших объемов информации и т. п.

Метод динамической регуляризации может быть применим и в тех ситуациях, когда уже закончены все измерения и известна вся информация о проведенных наблюдениях, но обработка этой информации традиционными (статическими) методами регуляризации затруднительна из-за большого объема информации или недостаточности вычислительных средств. Тогда имеет смысл накопленную информацию об измерениях обрабатывать отдельными порциями, опираясь на идеи метода динамической регуляризации. Таким образом, этот метод может быть использован и как метод декомпозиции, заключающийся в сведении исходной задачи большой размерности к последовательности задач меньшей размерности.

В данной диссертационной работе изучаются некорректные задачи (операторные уравнения первого рода, обратные задачи реконструкции управлений в динамических системах) и способы их регуляризации методом Тихонова. При этом регуляризация проводится с использованием нетрадиционных стабилизаторов, включающих классическую или обобщенную вариацию. Использование таких стабилизаторов имеет ряд преимуществ по сравнению с традиционными стабилизаторами, поскольку позволяет более качественно восстанавливать негладкие (разрывные) решения. Это показано на ряде задач нахождения решений операторных уравнений первого рода, восстановлении управлений в динамических системах статическими и динамическими методами. К числу недостатков использования таких стабилизаторов можно отнести большую вычислительную трудоемкость.

Цель работы состоит в обосновании метода регуляризации Тихонова для рассматриваемых классов некорректных задач, доказательстве теорем о разрешимости регуляризированных задач и кусочно-равномерной сходимости регуляризованных решений к искомому решению, а также в разработке соответствующих вычислительных алгоритмов и в проведении самих вычислительных экспериментов.

Из сказанного выше следует, что тема диссертации актуальна.

Диссертационная работа содержит список обозначений, введение, три главы и список литературы. В работе принята тройная нумерация объектов: первая цифра указывает на номер главы, вторая — на номер параграфа, третья — на номер объекта в данном параграфе.

1. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа. М.: Наука. 1978. 351 с.

2. Тихонов А. Н. Об устойчивости обратных задач // ДАН СССР. 1943. Т. 39. № 4. С. 195−198.

3. Лаврентьев М. М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск: СО АН СССР. 1962. 92 с.

4. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука. 1980. 288 с.

5. Иванов В. К. О линейных некорректных задачах // ДАН СССР. 1962. Т. 145. № 2. С. 270−272.

6. Иванов В. К. О некорректно поставленных задачах // Математический сборник. 1963. Т. 61. № 2. С. 211−223.

7. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука. 1978. 206 с.

8. Лисковец О. А. Вариационные методы решения неустойчивых задач. Минск: Наука и техника. 1981. 343 с.

9. Менихес Л. Д. Об одном достаточном условии регуляризируемости линейных обратных задач // Математические заметки. 2007. Т. 82. № 2. С. 242−247.

10. Менихес Л. Д. К теории регуляризации интегральных уравнений // Известия Уральского госуниверситета. 2008. № 58. (Серия: Математика. Механика. Информатика. Выпуск 11.). С. 138−154.

11. Тихонов А. Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т. 151. № 3. С. 501−504.

12. Тихонов А. Н. О регуляризации некорректно поставленных задач // ДАН СССР. 1963. Т. 153. № 1. С. 49−52.

13. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1979. 288 с.

14. Бакушинский А. Б. Методы решения монотонных вариационных неравенств, основанные на принципе итеративной регуляризации // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1977. Т. 17. № 6. С. 1350−1362.

15. Бакушинский А. Б., Поляк Б. Т. О решении вариационных неравенств // ДАН СССР. 1974. Т. 219. № 5. С. 1038−1041.

16. Вайникко Г. М. Анализ дискретизационных методов. Тарту: Издательство Тартусского университета. 1976. 161 с.

17. Вайникко Г. М. Оценки погрешности метода последовательных приближений для некорректных задач // Автоматика и телемеханика. 1980. № 3. С. 84−92.

18. Вайникко Г. М. Методы решения линейных некорректно поставленных задач в гильбертовых пространствах. Тарту: Издательство Тартусского университета. 1982. 107 с.

19. Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процессы в некорректных задачах. М.: Наука. 1986. 178 с.

20. Васин В. В., Агеев A.JI. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: УИФ Наука. 1993. 262 с.

21. Browder F.E. Fixed point Theorem for non compact mappings in Hilbert space // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1965. V. 53. № 6. P. 12 721 276.

22. Halperin B. Fixed pointes of nonexpensiv maps // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. № 6. P. 957−961.

23. Бакушинский А. В., Гончарский А. В. Некорректные задачи. Численные методы и приложения. М.: Изд-во МГУ. 1989. 197 с.

24. Бакушинский А. Б., Гончарский А. В. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1989. 128 с.

25. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Численные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1990. 230 с.

26. Тихонов А. Н., Леонов А. С., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука. Физматлит. 1995. 312 с.

27. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука. 1987. 239 с.

28. Морозов В. А. Методы регуляризации неустойчивых задач. М.: Издательство МГУ. 1987. 217 с.

29. Васильев Ф. П. Методы оптимизации. М.: Факториал Пресс. 2002. 824 с.

30. Латтес Р., Лионе Ж.-Л. Метод квазиобращения и его приложения. М.: Мир. 1970. 336 с.

31. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир. 1972. 414 с.

32. Neubauer A., Scherzer О. Finit dimensional approximation of Tikhonov — regularized solutions of nonlinear ill-posed problem // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1990. V. 11. № 1−2. P. 85−99.

33. Scherzer 0., Engl H. W., Kunisch K. Optimal a posteriori parameter choise for Tikhonov regularization for solving nonlinear ill-posed problems // SIAM J. Numer. Anal. 1993. V. 30. № 6. P. 1796−1838.

34. Kunisch K., Ring W. Regularization of nonlinear ill-posed problem with closed operators // Numer. Funct. Anal, and Optimiz. 1993. V. 14. № 3−4. P. 389−404.

35. Tautenhahn U. Error estimates for regularized solutions of nonlinear ill-posed problems 11 Inverse Problems. 1994. V. 10. № 2. P. 485−500.

36. Алифанов O.M., Артюхин E.A., Румянцев С. В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1988. 288 с.

37. Аниконов Ю. Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука. 1978. 118 с.

38. Антоненко О. Ф., Резницкая К. Г. Метод Ньютона-Канторовича в обратной динимической задаче сейсмики // Обратные задачи для дифференциальных уравнений математической физики. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1978. С. 18−25.

39. Баев А. В. О решении одной обратной задачи для волнового уравнения с помощью регуляризирующего алгоритма // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1985. Т. 25. № 1. С. 140−146.

40. Бамберже А., Шван Д., Лэли Б. Решение обратной задачи сейсмики на основе теории оптимального управления // Вычислительные методы в прикладной математике. Новосибирск: Наука. 1982. С. 108 118.

41. Бек Дж., Блакуэлл Б., Сент—Клэр Ч.(мл.). Некоторые обратные задачи теплопроводности. М.: Мир. 1989. 312 с.

42. Бухгейм А. Л. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука. 1983. 205 с.

43. Галиуллин А. С. Обратные задачи динамики. М.: Наука. 1986. 273 с.

44. Гласко В. Б. Обратные задачи математической физики. М.: Изд-во МГУ. 1984. 112 с.

45. Горюнов А. А., Сасковец А. В. Обратные задачи рассеяния в акустике. М.: Изд-во МГУ. 1989. 117 с.

46. Денисов A.M.

Введение

в теорию обратных задач. М.: Изд-во МГУ. 1994. 208 с.

47. Иманалиев М. И. Методы решения нелинейных обратных задач и их приложение. Фрунзе: Илим. 1977. 347 с.

48. Искендеров АД. Об одной обратной задаче для квазилинейных параболических уравнений // Дифференциальные уравнения. 1974. Т. 10. № 5. С. 890−898.

49. Искендеров А. Д. Обратная задача об определении коэффициентов квазилинейного эллиптического уравнения // Известия АН АзССР. Сер. физ.-техн. и мат. наук. 1978. № 2. С. 80−85.

50. Кабанихин С. И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических ураннений. Новосибирск: Наука. 1988. 167 с.

51. Коздоба Л. А., Круковский П. Г. Методы решения обратных задач теп-лопереноса. Киев: Наукова думка. 1982. 359 с.

52. Крутъко П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Линейные модели. М.: Наука. 1987. 319 с.

53. Крутько П. Д. Обратные задачи динамики управляемых систем. Нелинейные модели. М.: Наука. 1988. 332 с.

54. Левитан Б. Н. Обратные задачи Штурма-Лиувилля. М.: Наука. 1984. 319 с.

55. Погорелое А. Г. Обратные задачи нестационарной химической кинетики. М.: Наука. 1988. 392 с.

56. Прилепко А. И. Внутренние обратные задачи теории потенциала // ДАН СССР. 1968. Т. 182. № 3. С. 503−505.

57. Осипов Ю. С., Кряжимский А. В. О динамическом решении операторных уравнений // ДАН СССР. 1983. Т. 269. № 3. С. 552−655.

58. Кряжимский А. В., Осипов Ю. С. О моделировании управления в динамической системе // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1983. № 2. С. 51−60.

59. Osipov Yu.S., Kryazhimskii А. V. Inverse problems of Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. L.: Gordon and Breach, 1995. 625 p.

60. Максимов В. И. Задачи динамического восстановления входов бесконечномерных систем. Екатеринбург: УрО РАН, 2000. 304 с.

61. Осипов Ю. С., Короткий А. И. Динамическое моделирование параметров в гиперболических системах // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1991. № 2. С. 154−164.

62. Ким А. В., Короткий А. И., Осипов Ю. С. Обратные задачи динамики параболических систем // Прикладная математика и механика. 1990. Т. 54. № 5. С. 754−759.

63. Короткий А. И. Обратные задачи динамики управляемых систем с распределенными параметрами // Известия вузов. Математика. 1995. Ml. С. 101−124.

64. Вдовин А. Ю. Оценки погрешности в задаче восстановления управления // Сборник научных трудов «Задачи позиционного моделирования». Свердловск: ИММ УНЦ. 1986. С. 3−11.

65. Ловцкий К. Э. К задаче о моделировании управлении // Автоматика и телемеханика. 1987. № 6. С. 19−25.

66. Короткий А. И., Цепелев И. А. Динамическое решение обратной задачи определения параметров в системе Гурса-Дарбу // Труды Института математики и механики УрО РАН. Екатеринбург. 1995. Т. 3. С. 88−103.

67. Розенберг B. J1. О восстановлении функции источника в параболическом уравнении // Известия АН СССР. Техническая кибернетика. 1994. № 6. С. 126−130.

68. Близорукова М. С., Максимов В. И. Об одном алгоритме динамической реконструкции управлений // Известия РАН. Теория и системы управления. 1998. № 2. С. 56−61.

69. Мартьянов А. С. О реконструкции управлений по измерению части координат // Известия РАН. Теория и системы управления. 2004. № 4. С. 52−60.

70. Дигас Б. В., Максимов В. И. О динамической реконструкции управлений в параболических системах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1998. Т. 38. № 3. С. 398−412.

71. Осипов Ю. С., Васильев Ф. П., Потапов М. М. Основы метода динамической регуляризации. М.: Изд-во МГУ. 1999. 237 с.

72. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М.: Наука. 1968. 476 с.

73. Красовский Н. Н. Управление динамической системой: Задача о минимуме гарантированного результата. М.: Наука. 1985. 520 с.

74. Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М.: Наука. 1974. 456 с.

75. Осипов Ю. С. К теории дифференциальных игр в системах с распределенными параметрами // ДАН СССР. 1975. Т. 223. № 6. С. 13 141 317.

76. Куржанский А. Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука. 1977. 392 с.

77. Субботин А. И., Ченцов А. Г. Оптимизация гарантии в задачах управления. М.: Наука. 1981. 288 с.

78. Ушаков В. Н., Спесивцев Л. В. Приближенное построение ядра инвариантности в дифференциальных включениях // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2005. Т. 45. № 4. С. 592−602.

79. Ушаков В. Н., Матвийчук А. Р. О построении разрешающих управлений в задачах управления с фазовыми ограничениями // Известия РАН. Теория и системы управления. 2006. № 1. С. 5−20.

80. Giusti Е. Minimal surfaces and functions of bounded variations. Basel: Birkhauser. 1984. 239 p.

81. Acar R., Vogel C.R. Analysis of bounded variation penalty method for ill-posed problems // Inverse Problems. 1994. Vol. 10. P. 1217−1229.

82. Chavent G., Kunish K. Regularization of linear least squares problems by total bounded variation control // Optimization and Calculus of variation. 1997. Vol. 2. P. 359−376.

83. Vogel C.R. Computation methods for inverse problems // Philadelphia: SI AM. 2002. 183 p.

84. Neubauer A. Estimation of discontinuous solutions of ill-posed problems via adaptiv grid regularization // Jornal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2005. Vol. 14, № 7. P. 705−716.

85. Васин В. В., Сереэ/сникова Т. И. Об одном алгоритме решения уравнения Фредгольма — Стилтьеса // Известия вузов. Математика. 2001. № 4. С. 3−10.

86. Васин В. В., Сереоюникова Т. И. Двухэтапный метод аппроксимации негладких решений и восстановление зашумленного изображения // Автоматика и телемеханика. 2004. № 2. С. 126−135.

87. Агеев А. Л. Регуляризация нелинейных операторных уравнений на классе разрывных функций // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1980. Т. 20. № 4. С. 819−836.

88. Агеев А. Л. Алгоритмы конечномерной аппроксимации стабилизирующих добавок // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т. 31. № 7. С. 943−952.

89. Леонов А. С. Кусочно-равномерная регуляризация некорректных задач с разрывными решениями // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1982. Т. 22. № 3. С. 516−531.

90. Васин В. В. Регуляризация и дискретная аппроксимация некорректных задач в пространстве функций ограниченной вариации // Доклады РАН. 2001. Т. 376. № 1. С. 11−14.

91. Васин В. В. Устойчивая аппроксимация негладких решений некорректно поставленных задач // Доклады РАН. 2005. Т. 402. № 5. С. 586−589.

92. Васин В. В. Аппроксимация негладких решений линейных некорректных задач // Труды института математики и механики УрО РАН. 2006. Т. 12. № 1. С. 64−77.

93. Leonov A.S. Regularization of ill-posed problems in Sobolev space W// Journal Inverse Ill-Posed Problems. 2005. Vol. 13. № 6. P. 595−619.

94. Леонов А. С. Об iJ-свойстве функционалов в пространстве Соболева // Матем. заметки. 2005. Т. 77. Вып. 3. С. 378−394.

95. Леонов А. С. О сходимости по полным вариациям регуляризующих алгоритмов решения некорректно поставленных задач // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2007. Т. 47. № 5. С. 767−783.

96. Leonov A.S. Functions of several variables with bounded variations in ill-posed problems // Сотр. Maths. Math. Phys. 1996. Vol. 36. №. 9. P. 1193−1203.V.

97. Леонов А. С. Кусочно-равномерная регуляризация двумерных некорректных задач с разрывными решениями: численный анализ // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 1999. Т. 39. № 12. С. 1939;1944.

98. Понтрягин Л. С., Болтянский В. Г., Гамкрелидзе Р. В., Мищенко Е. Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1976. 392 с.

99. Черноусько Ф. Л., Меликян А. А. Игровые задачи управления и поиска. М.: Наука. 1978. 270 с.

100. Варга Дэю. Оптимальное управление дифференциальными и функциональными уравнениями. М.: Наука. 1977. 623 с.

101. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука. 1972. 496 с.

102. Натансон И. П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука. 1974. 480 с.

103. By лих Б. 3. Краткий курс теории функций вещественной переменной. М.: Наука. 1973. 352 с.

104. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

105. Поляк Б. Т.

Введение

в оптимизацию. М.: Наука. 1983. 384 с.

106. Демьянов В. Ф., Васильев В. П. Недифференцируемая оптимизация. М.: Наука. 1981. 384 с.

107. Иоффе А. Д., Тихомиров В. М. Теория экстремальных задач. М.: Наука. 1974. 480 с.

108. Данфорд Н.- Шварц Дою. Т. Линейные операторы. Общая теория. М.: Едиториал УРСС. 2004. 896 с.

109. Треногин В. А. Функциональный анализ. М.: Наука. 1980. 496 с.

110. Аникин С. А. Методы регуляризации в задачах идентификации входов динамических систем. Диссертация. канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург: ИММ УрО РАН. 2002.

111. Рублева С. С. О точности метода динамической регуляризации моделирования управления в системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Диссертация. канд. физ.-мат. наук. Екатеринбург: УрГУ. 2009. Публикации автора.

112. Vasin V.V., Korotkii М.А. Tikhonov regularization with nondifferentiable stabilizing functional // Jornal of Inverse and Ill-Posed Problems. 2007. Vol.15, N 8. P.853−865.

113. Короткий М. А. Восстановление управлений и параметров методом Тихонова с негладкими стабилизаторами // Известия вузов. Математика. 2009. № 2. С. 76−82.

114. Короткий М. А. Восстановление управлений статическим и динамическим методами регуляризации с негладкими стабилизаторами // Прикладная матем. и механика. 2009. Т. 73. Вып. 1. С. 39−53.