Метод тонких оболочек в физике черных дыр и космологии

Уравнения общей теории относительности — это нелинейные уравнения второго прядка в частных производных. Как следствие, получение точных решений является сложной проблемой. Ещё более сложную проблему представляет изучение поведения гравитационного поля с полным учетом динамики гравитирующей материи. В этом случае известно лишь небольшое количество моделей, доступных для изучения аналитическими методами.

Одной из самых эффективных (с точки зрения полученных результатов) является модель тонкой самогравитирующей оболочки [1, 2]. Она использовалась при изучении большинства явлений в теории гравитации, где обратное влияние материи на геометрию пространства-времени является ключевым фактором. Так, например, теория тонких оболочек была использована в космологии при изучении фазовых переходов в ранней Вселенной [3−7]. С другой стороны, теория тонких оболочек оказалась чрезвычайно полезной в физике черных дыр. В частности, Израэль и др. применили данную модель для изучения внутренней структуры черной дыры Райсснера-Нордстрема с учетом обратной реакции [8, 9]. В случае теории квантовых черных дыр, модель самогравитирующей тонкой оболочки была проквантована, был получен спектр квантовой черной дыры, а также был предложен вариант механизма излучения Хокинга [10−15].

Цитированные выше работы позволяют говорить, что наиболее эффективным метод тонких оболочек становится, когда в задаче присутствуют дополнительные симметрии, в частности, сферическая симметрия. В этом случае становится возможным изучать глобальную структуру пространства-времени. Под глобальной структурой здесь понимается следующее. Как было впервые показано в работе [16], в случае сферической симметрии возможно представить пространство-время в виде множества областей, названных Яи Т-областями, смежными границами которых являются горизонты видимости, плюс конформные бесконечности, плюс возможные сингулярности. Свойства Яи Т-областей определяются поведением двух инвариантов: радиуса г и квадрата нормали к поверхностям постоянного радиуса.

В последние годы в связи с прогрессом в космологии, а также с возобновлением интереса к теориям с дополнительными пространственными измерениями, появились задачи, идеально подходящие для изучения с помощью метода тонких оболочек. В частности, данные наблюдений сверхновых типа 1а [17, 18], а также данные наблюдений космического микроволнового излучения [19, 20] показывают, что во Вселенной присутствует т. н. «темная энергия» необычным свойством которой является отрицательное давление. Для анализа эволюции темной энергии’обычно используется параметризация с помощью уравнения состояния р/е = ш. Тогда условие ш < —1/3 будет необходимым для объяснения наблюдаемого расширения Вселенной, а условие со = — 1 соответствует космологической постоянной [21]. Однако, данные наблюдений не исключают условие ш < — 1 [22, 23]. Более того, в работе [24] показано, что условие —1.2<о-<—1 является наиболее предпочтительным для описания Вселенной в настоящую эпоху. В этом случае световое энергетическое условие нарушается, е + р < 0. Следовательно, нарушаются также слабое и доминантное энергетические условия. Следует подчеркнуть, что плотность темной энергии положительна е > 0. Материю, для которой выполняется условие ш < — 1, называют фантомной материей.

Эволюция фантомной материи обычно изучается в контексте космологических проблем. Однако, не менее интересным представляется изучение эволюции такой материи с точки зрения теории гравитации. Свойство фантомной энергии нарушать световое энергетическое условие может сделать недействительной теорему о топологической цензуре [25] и, следовательно делает фантомную энергию естественным кандидатом для образования таких экзотических объектов как лоренцевы кротовые норы [26−30]. Кроме того, поведение горизонтов черных дыр при аккреции на них фантомной материи, априори может отличаться от поведения при аккреции обычной материи [31]. В частности, в работе [32] была сделана попытка рассмотреть стационарную, сферически-симметричную аккрецию фантомной материи на шварцшильдову черную дыру. По расчетам авторов, при такой аккреции масса черной дыры будет уменьшаться. Однако, этот результат был получен без учета обратной реакции материи на гравитационное поле.

Пусть у нас есть неизлучающая гравитирующая система, состоящая из черной дыры и окружающей её материи, для которой нарушено световое энергетическое условие. Если такая система замкнута, в том смысле, что тензор энергии-импульса на бесконечности исчезает, то это ведет к асимптотической плоскостности пространства-времени и, следовательно, к хорошо определенному понятию полной массы, которая является интегралом движения, связанным с симметриями вблизи бесконечности. В зависимости от того, вблизи какой из бесконечностей, пространственно-подобной г° или световой Х+ она определяется, мы получаем или массу Арновита-Дезера-Мизнера, или массу Бонди, соответственно [33, 34], хотя в шварцшильдовом случае они совпадают.

Если система не является замкнутой, то все равно возможно определить понятие квазилокальной массы-энергии. В частности, если система сферически-симметрична, то можно использовать определение массы, данное Кохилом и Маквитти в [35].

В любом случае, так как нулевое энергетическое условие нарушено, то можно ожидать, что поток массы-энергии аккрецирующей материи может становиться отрицательным. Это может приводить к различным патологиям в эволюции гравитирующей системы. Например, как говорилось выше, при аккреции фантомного вещества на черную дыру с фиксированной геометрией Шварцшильда, возможно уменьшение массы черной дыры. Другая патология — это переход к отрицательным значениям массы и, как следствие, появление голых сингулярностей.

С другой стороны, эти рассуждения не учитывают нестабильность, возникающую в 3-мерном распределении материи, обусловленную отрицательностью давления. В частности, в случае сферической симметрии, отрицательное радиальное давление приводит к тому, что слой конечной толщины будет стремиться сжаться. Значит, можно предполагать, что естественной свободной от нестабильности конфигурацией фантомной материи будет топкая оболочка. Возможно ли исчезновение описанных выше патологий в этом случае? Ответ на этот вопрос дан в работе [36]. Оказывается, что в этом случае, не возникает патологий в эволюции системы, и аккреция фантомной материи напоминает аккрецию обычного вещества с увеличением массы черной дыры. Доказательство основано на построенной полной классификации возможных эволюционных сценариев для оболочки.

Другой интересной задачей является изучение моделей, в которых гравитирующая материя представлена более, чем одной тонкой оболочкой. В этом случае возможно пересечение оболочек. Впервые такая задача была рассмотрена в работах [37, 38]. Авторы изучали пересекающиеся изотропные оболочки и получили соотношение между доо-компонентами метрик для областей, которые ограничивают пересекающиеся оболочки:

Интерес к изучению пересекающихся оболочек возник опять в связи с некоторыми космологическими моделями с дополнительными измерениями, а также попытками квантования системы с несколькими оболочками [39−41].

Так, например, экпиротическая/пиротехническая космологическая модель [42, 43] предполагает, что видимая вселенная представлена (3+1)-мерной браной/оболочкой в объемлющем 5-мерном пространстве-времени. Эта брана неупруго сталкивается с другой (3+1)-мерной браной, движущейся через объемлющее пространство-время. В момент столкновения некоторое количество релятивистской материи (излучения) рождается на видимой бране за счет кинетической энергии двигавшейся браны. Таким образом, начальные условия для горячей Вселенной Фридмана получаются за счет столкновения бран, и первоначально плоская видимая Вселенная начинает расширяться.

С другой стороны, в цитированных выше работах по квантованию оболочки, квантование производилось в системе отсчета, связанной с оболочкой. В связи с этим возникает вопрос: каким образом можно получить какую-либо физическую информацию о гравитационном поле вне оболочки? Введение в рассмотрение второй оболочки должно, в принципе, играть роль пробной массы в поле первой оболочки. В сферически-симметричном случае это действительно так, потому что оболочка может влиять только на часть пространства-времени. Если квантовая модель системы двух оболочек будет построена, тогда, вероятно, можно будет получить информацию о гравитационном поле первой оболочки, например, из квантового состояния исходящей на бесконечность второй оболочки.

Однако прежде, чем пытаться квантовать модель, необходимо изучить законы сохранения, работающие в классической системе, которые будут нетривиальными из-за наличия нескольких оболочек. Изучение этих законов сохранения одна из целей данной работы.

Из [10] известно, что движение одной сферически-симметричной са-могравитирующей оболочки можно описывать как движение релятивистской частицы с гамильтонианом, кинетическая часть которого неквадратична по импульсу. Это позволяет предположить, что в системе с несколькими оболочками возможно сформулировать закон сохранения, который можно интерпретировать как закон сохранения импульса. В диссертации показано, что такой закон сохранения импульса действительно выполняется и формула Дрея-т'Офта (1) является его реализацией в случае двух изотропных оболочек. С другой стороны, если пространство является асимптотически-плоским, то можно также получить закон сохранения энергии. По тем же причинам, о которых сказано выше, свойство асимптотической плоскостности необходимо для того чтобы понятие массы-энергии было хорошо определено.

Ещё одной интересной проблемой, для изучения которой можно применять метод тонких оболочек, стало исследования свойств изучения Хокипга [44, 45]. Как уже упоминалось выше, модель квантованной оболочки была использована для изучения механизма такого излучения. Однако, возможно также применить модель классической тонкой оболочки для исследования поведения излучения и температуры Хокинга на макроскопическом уровне. В частности, можно поставить вопрос о возможности «имитации» черной дыры. Под имитацией понимается следующая конструкция.

Рассмотрим систему, состоящую из сферически-симметричной черной дыры Шварцшильда или Райсснера-Нордстрема и окружающей её тонкой оболочки, расположенной на некотором фиксированном расстоянии от черной дыры. Считаем, что оболочка обладает идеальной теплопроводностью, т. е. отсутствует поток тепла через оболочку. Эффектом от введения оболочки является отличие температуры системы Т$уз на бесконечности от температуры Хокинга «голой» черной дыры Твн• Причина 'заключается в том, добавление массивной оболочки ведет к тому, что что временная координата внутри оболочки будет отличаться от координаты снаружи константным множителем. Следовательно, энергетический масштаб также изменится. Используя непрерывность метрики на оболочке можно вычислить эту константу, которая и изменяет температуру на бесконечности так что, ТдуБ < Гвн¦ Имитация черной дырыэто выполнение условия Т5У5 = Твн (твн + тБ), те- температура системы на бесконечности должна быть равна температуре Хокинга для «фиктивной» черной дыры, масса которой равна суммарной массе реальной черной дыры и оболочки. Значит, с точки зрения гравитационной физики, наблюдатель на бесконечности не в состоянии отличить реальную черную дыру от системы черной дыры окруженной оболочкой, в которой выполнено условие имитации.

Главной задачей в изучении имитации является, конечно, выяснение условий, при которых имитация возможна. Оказывается [46], что в случае описанной выше модели, имитация действительно возможна как для случая черной дыры Шварцшильда, так и для случая дыры Райсснера-Нордстрема.

С другой стороны, можно попытаться расширить модель, исправив её очевидное ограничение — необходимость искусственно удерживать оболочку на фиксированном радиусе. Оказывается, что возможно создать тонкую оболочку, способную удерживаться на фиксированном радиусе только посредством гравитационного взаимодействия [47]. Такие оболочки были названы оболочками с орбитальными составляющими.

В ньютоновой гравитации орбитой точечной массы, движущейся в центральном поле, является эллипс, в одном из фокусов которого находится центральная масса создающая гравитационное иоле. Если теперь рассмотреть ансамбль частиц с одинаковым отношением углового момента к массе, то эти частицы будут иметь одинаковые значения пе-рицетра и апоцетра. Представим, что в начальный момент времени все эти частицы распределены однородно по поверхности сферы с радиусом, равным расстоянию от гравитирующего центра до точки перицентра и начинают двигаться одновременно (с одинаковым абсолютным значением скорости, но в разных плоскостях). Тогда такой ансамбль будет образовывать сферически-симметричную тонкую оболочку, осциллирующую между перицентром и апоцентром. Такая оболочка и будет называться оболочкой с орбитальными составляющими. Подчеркнем, что полный угловой момент для такой оболочки равен нулю. Аналогичные рассуждения будут справедливы для релятивистского случая с тем отличием, что орбиты не являются замкнутыми.

Используя такую оболочку в модели, можно попытаться реализовать естественную имитацию черной дыры без введения искусственных внешних сил. Оказывается, однако, что естественная имитация в этой модели невозможна [48]. Проблема кроется в том, что значение «радиуса стационарности» т. е. радиуса на котором оболочка может находиться неограниченно долго, зависит от уравнения состояния двумерного газа частиц составляющих оболочку. В случае, если радиус стационарности совпадает с радиусом на котором становится возможной естественная имитация, уравнение состояния для оболочки становиться более жестким чем уравнение состояния для фотонного газа, что невозможно в случае модели с орбитальными составляющими.

Наконец, как уже упоминалось выше, интересно изучение моделей тонких оболочек когда размерность пространства-времени больше четырех. Первоначально интерес к таким теориям возрос в связи с возможностью объяснения в некоторых из этих моделей проблемы иерархии взаимодействий [49−54]. В последствии эти модели стали изучаться и с точки зрения космологии [55−85]. Ковариантный формализм был рассмотрен в работах [58, 86, 87].

Интерес к глобальной геометрии в таких моделях связан, прежде всего, с тем фактом, что увеличение количества измерений ведет к увеличению числа геометрических степеней свободы. А именно, в 4-мерном пространстве-времени, в определении глобальной геометрии существенным фактором является наличие 2-мсрной сферической симметрии. Это позволяет использовать «2+2» -разложение метрики на 2-мерную пространственно-временную часть и метрику на 2-мерной сфере. Однако, уже при добавлении одного пространственного измерения возрастает количество симметрий для которых мы можем ввести «2+((1−2)» -разложение и, соответственно, определить понятия Я-, Т-областей. В случае космологических моделей, требования однородности и изотропии на оболочке (бране) предполагают, что кроме сферической геометрии необходимо рассматривать также гиперболическую и плоскую геометрии. Как следствие, классификация возможных типов эволюции оболочки (браны) даже в простых моделях должна быть существенно нетривиальной. Важность изучения такой классификации следует из следующих соображений.

В работе [88] было проведено квантование оболочки в 5-мерном пространстве-времени с отрицательной космологической постоянной. Один из интересных результатов этой работы является условие квантования для эффективной 4-мерной космологической постоянной.

А (з+1) = -^2, (2) где £-плотность массы-энергии на оболочке/бране, а п = 1, 2, .-квантовое число. Естественным расширением модели [88] могло бы стать добавление второй браны, причинно несвязной с первой (т.е. браны отделены друг от друга горизонтами). Для того, чтобы выяснить возможно ли это, важным предварительным этапом должно стать построение классификации возможных типов эволюции одной браны, что и сделано в диссертации для случая вакуумной оболочки.

Если описанная конструкция реализуема, то эволюция первой браны классически не отличается от эволюции в модели с единственной браной, однако квантово-механически браны могут взаимодействовать. Как результат, спектр уже не будет описываться выражением (2), а будет зависеть от второго квантового числа, описывающего вторую оболочку. Отсюда следует, что такую конструкцию можно попытаться применить для объяснения иерархии взаимодействий т.к. плотность энергии на бране может включать в себя постоянную тонкой структуры.

Диссертация состоит из введения, пяти глав основного текста и заключения.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.

Изучена аккреция фантомной материи на черную дыру Шварц-шильда с учетом обратной реакции на гравитационное поле в случае, когда материя представлена в виде тонкой оболочки. Показано, что такая система является замкнутой в том смысле, что на физически интересной стороне моста Эйнштейна-Розена эволюция фантомной материи всегда происходит в конечном объеме. Как следствие, масса черной дыры в такой системе не может уменьшаться.

Получен закон сохранения импульса в системе нескольких пересекающихся тонких сферически-симметричных оболочек. Для этого были использованы результаты, полученные ранее в гамильтоно-вом подходе к механике одной самогравитирующей тонкой оболочки. Также получен закон сохранения энергии в случае, когда области пространства-времени между оболочками — это части пространства-времени Шварцшильда.

Исследована возможность имитации черной дыры в системе черной дыры и окружающей её тонкой оболочки, покоящейся на определенном расстоянии от неё. Показано, что существует значение радиуса, при котором имитация возможна. Этот результат справедлив как для черной дыры Шварцшильда, так и для черной дыры Райсснера-Нордстрема. Исследована также возможность естественной имитации черной дыры с помощью оболочки с орбитальными составляющими. Показано, что в этой модели имитацию нельзя осуществить, так как уравнение состояния 2-мерного газа частиц составляющих оболочку должно быть более жестким чем уравнение состояния для 2-мерного фотонного газа. Другими словами, физика не запрещает возможности естественной имитации, но в рамках модели оболочки с орбитальными составляющими это невозможно. Получены космологические решения уравнений Эйнштейна в (N+1)-мерном пространстве-времени, с материей сосредоточенной на ]М-мерной бране. Построена классификация возможных типов эволюции^мерной оболочки/браны, движущейся в объемлющем (N+1)-мерном пространстве-времени.