Математическое моделирование движения и теплопереноса в плоском кольце вязкой жидкости со свободными границами

Актуальность работы. В данной работе рассматривается задача о движении плоского кольца вязкой капиллярной жидкости и о влиянии динамических параметров этого процесса на поле температур. Аналогами изучаемого объекта при ряде ограничений могут быть срезы вихревых колец, которые, в свою очередь, являются одной из самых распространенных форм вихрей. Например, они появляются при истечении воды или газа из сопла, или в турбулентном слое при обтекании газом крыла самолета (см. приложения 1 и 2). Таким образом, знание закономерностей поведения вихревых колец необходимо во многих областях знаний, и, как очень верно заметили Karim Shariff и Anthony Leonard в своей статье «Vortex Rings»: «Для того, что бы заинтересовать инженера в изучении вихревых колец достаточно сказать, что пустотные кольца используются в подводном бурении [80], а так же то, что с помощью них имеется потенциальная возможность тушения пожаров нефтяных скважшг [75]. «[103]. Интересен так же тот факт, что дельфины надувают вихревые кольца и плавают через них ради своего развлечения [94]. j.

Помимо этого существует ряд объектов, которые в срезе образуют кольца. Например, кольца на льде озера Байкал, образовавшиеся в результате вихря поднявшегося со дна озера [71], торнадо [8][9]. Более того, если перейти к макромасштабам, то окажется, что форму колец имеют оклозвездные диски- [64], планетарные образования [97], некоторые галактики, которые принято называть кольцевыми (см. приложение 3). И при наличии ряда ограничений их динамику также можно моделировать, используя математические модели, рассматриваемые в данной работе.

В связи с тем, что все вышеописанные объекты, как правило, обладают двумя свободными границами, осевой симметрией и, кроме того, могут изменять свою топологию, то для описания их поведения в данной работе используется адекватная математическая модель, построенная с учетом осевой симметрии. Ранее задачей связанной с отысканием поля скоростей кольца жидкости занимались В. О. Бытев [15], В. В. Пухначев [55][58], О. М. Лаврентьева [44][45], более подробно их работы будут рассмотрены в первой главе.

Целый ряд исследователей, считает, что для адекватного описания поведения жидкости необходимо использовать нессиметричный тензор напряжений [73]. При этом жидкость остается изотропной, но, наряду, со сдвиговой' вязкостью и вязкостью объемного расширения, появляется ещё один параметр, который авторы трактуют как вращательная вязкость. Похожие результаты получены Листровым А. Т. в своей работе [92], посвященной построению" моделивязкой жидкости с антисимметричным тензором напряжений.

В работах В. О: Бытева, БьД. Аннина, С. И. Сенашова, В. К. Андреева, В. В. Бублика [4][6][77], на основе теории групп была' предложена новая форма связи тензора напряжений и тензора скоростей деформации. В этой новой зависимости вместо обычной динамической! вязкости появляется кососимметричная матрица вязкости. Как будет показано в третьей главе, в задаче о движении кольца с радиальным и осесимметричным воздействием давления на границах возникает тангенциальная составляющая в скорости движения частиц, в том числе ина границах. Похожие эффекты имеют место в неклассической теории упругости, разрабатываемой И. В. Слезко, В. О. Бытевым [23], что приводит к дискуссиям по поводу справедливости данных неклассических теорий.

Ещё одно понятие дополнительной вязкости широко используется для описания магнитных жидкостей [87]. В работе Carlos Rinaldi [98] изучается приложение антисимметричного тензора напряжений для описания поведения магнитной жидкости, и наблюдаются эффекты, связанные с дополнительной вязкостью в переменных и вращающихся магнитных полях. Отметим, что авторы называют дополнительную вязкость вращательной. 5.

Таким образом, многим авторам наличия одной вязкости кажется недостаточным, они вводят свои различные, дополнительные вязкости, но не предлагают механизма их измерения. В связи с этим, встает вопрос об описании эффектов которые возникают при различных значениях новой вязкости.

Отметим также тот факт, что при изучении кольца жидкости рассматривалась задача только динамики движения, но не о распределении поля температур. Совершенно очевидно, что в результате вязкого трения температура кольца будет повышаться и, соответственно, встает вопрос о распределении поля температур внутри кольца жидкости, который, безусловно, является актуальным.

Целью данной работы является аналитическое и численное исследование динамики кольца жидкости и процессов теплопереноса в нем. Анализ влияния < физических и геометрических характеристик кольца, на его динамику. Поиск эффектов появляющихся в рамках неклассической модели. Реализация^ соответствующих алгоритмов в виде программного комплекса:

В связи с тем, что исследование поведения рассматриваемого объекта интересно при различных начальных возмущениях, а аналитическое решение отсутствует, то возникает необходимость использования численных методов для поиска решения. Таким образом, в рамках данной работы впервые, с помощью численных методов, была решена задача о движении кольца жидкости (с помощью авторского' программного пакета «Ring vl. l») и о распределении поля температур внутри кольца жидкости (с помощью программного пакета «Ring vl.2»). В результате численного моделирования поведения кольца классической жидкости были установлены некоторые новые эффекты.

Первая глава является обзорной и обобщающей, в ней содержится необходимая теоретическая информация, представлена техника получения математической модели, описывающей поведение кольца жидкости, обладающего двумя свободными границами. Поставлена обобщенная задача 6 о движении кольца жидкости. Суть обобщения заключается в возможности задания произвольного давления на внутренней и внешней границах кольца жидкости. Помимо этого, описаны ограничения, накладываемые на основные параметры рассматриваемой задачи. Проиллюстрированы возможности авторского пакета «Ring vl. l», на примере одного известного частного решения рассматриваемой задачи. Приведены предпосылки постановки сквозной задачи тепломассопереноса.

Вторая глава посвящена постановке сквозной задачи тепломассопереноса, заключающейся в поиске сначала поля скоростей, а затем поля температур. В данной главе описаны причины рассмотрения задачи о динамике кольца с учетом недиссипативной вязкости и показано, что неклассическая модель гидродинамики является обобщением классической модели. Сквозная задача тепломассопереноса поставлена в рамках неклассической модели. Доказана теорема существования и единственности решениям для неклассической задачи о движении кольца жидкости, при условии адиабатического закона изменения газа внутри полости кольца. Решение сквозной задачи основано на применении численных методов, и осуществляется с помощью программного пакета «Ring vl.2». В параграфах 2.5−2.6 приведены результаты тестирования данного пакета на известных частных аналитических решениях задачи о динамике кольца и сквозной задачи.

Третья глава содержит все основные результаты, полученные в рамках данной работы. В результате серий численных расчетов, в рамках классической* модели, были обнаружены затухающие периодические колебания кольца жидкости. Отметим, что этот результат численного эксперимента, качественно совпадает с результатами других исследователей [40], в работе которых изучались колебания вихревых колец. В связи с этим поставленная задача о движении кольца жидкости, в дальнейшем рассматривалась, как задача о поведении динамической системы. В данной главе показано, что данная динамическая система имеет фокус. Помимо 7 этого представлена классификация колебаний, по причинам их возникновения. Проанализировано влияние размеров кольца и физических характеристик жидкости на частоту колебаний. Обнаружены некоторые общие закономерности связанные с влиянием поля скоростей на поле температур кольца жидкости. Параграф 3.7 целиком посвящен неклассической модели гидродинамики и тем эффектам, которые появляются в результате рассмотрения задачи с учетом новой вязкости.

Результаты численных расчетов проводимых, с использованием программных пакетов «Ring vl. l» и «Ring vl.2», визуализировались с помощью специально разработанных для них модулей, а также с помощью приложения «Makegraph».

В приложениях № 1 и № 2 приведены эксперименты, при которых встречается кольцо жидкости или кольцо газа. В приложении № 3 приведены несколько фотографий известных кольцевых галактик. Приложения № 4 и № 5 содержат описание алгоритмов решения системы уравнений Навье-Стокса и уравнения теплопроводности, основанных на использовании разностных схем, и реализованных в программных пакетах «Ring vl. l» и «Ring vl.2>>.

Заключение

.

В рамках данной диссертационной работы был получен ряд новых результатов. К ним относятся:

Новый метод математического моделирования динамики кольца вязкой жидкости со свободными границами, заключающийся в том, что уравнения гидродинамики используемые в качестве математической модели этого объекта преобразованы к уравнению нелинейного осциллятора.

Приближенные формулы для инженерных расчетов, для частоты колебаний, логарифмического декремента затухания колебаний и для поиска координат стационарного состояния динамической системы. Полученные формулы согласуются с численным экспериментом с точностью от 1% до 10%.

Анализ механизмов возникновения и классификация колебаний жидкого кольца.

Описание эффектов, появляющихся в неклассической модели гидродинамики жидкого кольца.

Разработанные и протестированные численные методы, которые впервые применялись для решения задачи о движений плоского кольца вязкой жидкости.

Разработанные проблемно-ориентированные программные пакеты «Ring vl. l» и «Ring vl.2». Созданный комплекс программ, включающий в себя программные пакеты «Ring vl. l» и «Ring vl.2>>, а так же дополнительные программные модули и приложение «Makegraph».

Благодарность.

Автор данной диссертационной работы с глубоким почтением вспоминает своего первого научного руководителя В. О. Бытева, поставившего задачу об исследовании движения кольца жидкости в рамках разрабатываемой им неклассической модели гидродинамики.

Список трудов автора.

Публикации в центральных изданиях, включенных в перечень периодических изданий ВАК РФ.

1. Бытев В. О., Гербер Е. А. Динамика кольца двухвязкостной жидкости // Вестник Самарского государственного университета 2010 / 4 (78) — с.115−123.

2. Гербер Е. А., Кутрунов В. Н., О механизме и закономерностях периодических движений кольца капиллярной жидкости // Вестник, ТюмГУ. Тюмень. 2011. № 7. с. 136−142.

3. Гербер Е. А., Кутрунов В. Н., • О движении кольца вязкой несжимаемой капиллярной жидкости // Научно-технический вестник Поволжья № 1 2011 — Казань: Научно-технический вестник Поволжья, 2011 — с. 105−109.

4. Бытев В. О., Гербер Е. А. Распределение температуры внутри кольца неклассической жидкости с двумя свободными границами // Изв. Сарат. унта. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2011. Т. 11., вып. 3, 4.2. С. 81−86.

5. Бытев В. О., Гербер Е. А. Численный эксперимент по определению температуры внутри вращающегося по инерции жидкого кольца со свободными границами // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2011 Вып. 1 — Тула: изд-во ТулГУ, 2011 — с. 103−112.

Публикации в других изданиях.

6. Бытев В. О., Гербер Е. А., О восстановлении точного решения и о распространении температуры в жидком кольце // Современные проблемы математического и информационного моделирования решений. Перспективы разработки и внедрения инновационных 1 Т — Тюмень: Издательство «Вектор Бук», 2009. 117с.

7. Бытев В. О., Гербер Е. А. Об одной задаче с двумя свободными границами // Современные проблемы в математике и их прикладные аспекты -2010. Пермь 2010;с. 100.

8. Бытев В. О., Гербер Е. А. Влияние недиссипативной вязкости на динамику жидкого кольца // Математические Методы в Технике и Технологиях — ММТТ- 23 — Саратов, изд-во СГТУ 2010 — с 96−99.

9. Бытев В. О., Гербер Е. А. Численное моделирование динамики жидкого кольца // XIV Молодежная научная конференция «Наукоемкие информационные технологии». Переславль-Залесский: изд-во «Университет горда Переславля», 2010 — с. 109−115.

10i Бытев, В.О., Гербер Е. А. Изучение поведения кольца несжимаемой жидкости путем численного моделирования // Современные проблемы математического и информационного моделирования решений. Перспективы разработки и внедрения инновационных IT. Тюмень: изд-во «Вектор Бук», 2010;с. 68−73.

11. Гербер Е. А., Кутрунов В. Н., Движение кольца вязкой капиллярной жидкости // Всероссийская конференция’Нелинейные волны: теория и новые приложения, посвященная памяти чл.корр. РАН В. М. Тешукова и приуроченная к 65 летию со дня его рождения. Тезисы докладов. Новосибирск. Изд-во ИГиЛ СО PAHJ2011 — с. 22−23.

12. Гербер Е. А., Кутрунов (В. Н Периодическое движение жидкого кольца // Математические Методы в Технике и Технологиях — ММТТ- 24 — Саратов, изд-во СГТУ 2011 — с 1−26−128.

Свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ.

13. Бытев В. О., Гербер Е. А. «Ring vl. l» // Свидетельство государственной регистрации программы для ЭВМ № 2 010 614 880.

14. Гербер Е. А., Кутрунов В. Н. «Ring vi.2» // Свидетельство государственной регистрации программы для ЭВМ № 2 011 613 120.