Мультипольная модель направленного излучателя и ее применение для изучения источников гидроакустических полей

Изучение основных свойств звуковых колебаний и источников звука в океане, развитие соответствующих модельных представлений и математических методов осуществляется примерно с середины двадцатого столетия. Опыт, накопленный исследователями к настоящему времени, обобщен и систематизирован в основополагающих работах ряда крупных отечественных и зарубежных авторов [1] - [25]. Особую роль в развитии гидроакустики сыграли работа С. Л. Пекериса [1], монографии С.Н. Ржев-кина [2], И. Толстого и К. Клея [4], Л. М. Бреховских [7] и [16], В. А. Зверева и Е. Ф. Орлова [9], Е. Скучика [10], В. Ю. Завадского [11], Е. Л. Шендерова [13], Р.Дж. Урика [15], М. А. Исаковича [17], коллективная монография группы сотрудников АН СССР, выпущенная в 1974 году под редакцией Л. М. Бреховских [19], а также монографии Л. М. Бреховских и Ю. П. Лысанова [22], В. А. Зверева [25].

Практически важным инструментом изучения звуковых полей и источников звука в морских условиях являются различные измерительные системы. Чаще всего они представляют собой стационарные многокомпонентные пространственно развитые антенные устройства, имеющие вертикальные и горизонтальные участки. Гидроакустические антенны после установки в морских условиях подвергаются аттестации, для проведения которой используются низкочастотные источники звука. Однако такие источники, в свою очередь, должны быть откалиброваны. Калибровка низкочастотных излучателей может быть успешно выполнена на глубоководных участках моря. Однако расходы на ее выполнение в этом случае будут достаточно велики. Поэтому возникает практически важная задача разработки модельных представлений, которые могут быть эффективно использованы для создания методов, способов, алгоритмов и программ калибровки низкочастотных излучателей в условиях мелкого моря. Кроме калибровки излучателей, которые затем используются в аттестационных работах, такие модельные представления, алгоритмы и программы могут быть использованы и для описания некоторых классов подводных шумовых источников, излучающих звук на низких частотах.

Для описания гидроакустических источников и изучения созданных ими полей чаще всего используется модель точечного ненаправленного излучателя, который обычно называют монополем. Потенциал скоростей поля звукового давления фа монополя в неограниченном однородном пространстве имеет вид.

Фо (г, в,<�р) = (1) где г, в, ср — координаты точки наблюдения в сферической системе, центр которой совмещен с источником звука, к = ш/с — волновое число, ш — круговая частота излучателя, с — скорость звука в среде.

Потенциал поля в выражении (1) зависит только от расстояния г между излучателем и точкой наблюдения и не зависит ни от каких других координат. Однако реальные гидроакустические источники в большей или меньшей степени оказываются направленными, то есть амплитуда и фаза создаваемого ими в среде звукового давления оказываются зависящими от направления на точку наблюдения. Этот факт обсуждался уже в ранних работах Р. Самсела, Г. Генри, Дж. Пахнера, С. Нортона, Р. Боббе-ра и ряда других авторов [26]—[29], в которых рассматривались вопросы теоретического и экспериментального определения интенсивности источников звука в океане. Немного позднее М. А. Исакович [30] теоретически исследовал нелинейные эффекты, которые сопровождают излучение, возникающее при гармонических колебаниях малой сферы вдоль некоторой оси. В работе показано, что акустическое поле такого источника сильно отличается от поля ненаправленного источника, которое описывается потенциалом в виде (1), что оно имеет характер дипольного излучения, содержащего квадрупольную составляющую.

В упомянутых выше и во многих других работах было убедительно показано, что направленность излучения присуща почти всем гидроакустическим источникам. Причем направленность оказывает существенное влияние на звуковое поле, которое формируется в содержащей рассматриваемый источник области. В связи с этим обычно используемая для описания источника монопольная модель не всегда может быть признана хорошим приближением к действительности. Поэтому возникла проблема построения таких моделей, которые учитывают и адекватно описывают направленные свойства реальных гидроакустических источников.

Для описания направленности гидроакустических источников, а также для расчета создаваемых ими полей, исследователями предложено большое количество различных моделей и методов расчета. Так, В. Велхо-витс [31] предложил моделировать реальные источники дискретной или непрерывной группой точечных монопольных излучателей, распределенных вдоль некоторой линии или поверхности, а получаемую при этом диаграмму направленности, то есть зависимость давления от направления на точку наблюдения, аппроксимировать полиномами Чебышева Р (в) = Т2т (хо сое (0/2)), где Р — давление, 0 — угол в плоскости расположения источников. Константы т ж хо выбираются исходя из экспериментальных данных. Г. Эйстрейхер [32] использовал для представления поля звукового источника произвольной формы и размеров разложение функции влияния (1) в ряд Тейлора относительно расстояния между некоторой фиксированной точкой на поверхности или внутри источника и текущей точкой на его поверхности. Вблизи поверхности источника измеряются значения потенциала и его нормальной производной, а затем, на основании измеренных значений с помощью формулы Грина и полученного ранее разложения, рассчитывается потенциал в любой точке пространства. Н. Каваи [33] для некоторых специфических типов источников применяет модельные представления, в соответствии с которыми звуковое поле создается монопольными излучателями, распределенными некоторым образом на тонкой бесконечно длинной ленте. При этом потенциал поля записывается в виде разложения по гипергеометрическим функциям. В работе [34] изучаются направленные свойства излучения поршнеобразных гидроакустических источников, при этом предлагается интенсивность излучения от такого рода источников рассчитывать на основе измерений, выполненных вдоль оси источника. Э. Л. Виноградова и В. В. Фурдуев [35] рассматривают направленный источник как дискретную группу расположенных на прямой линии монопольных излучателей и исследуют коэффициент направленности такой системы. В. П. Пугач [36] предлагает аппроксимировать характеристику направленности произвольной группы акустических преобразователей алгебраическим полиномом некоторой степени. В работах [37, 38] М. И. Карновский, В. П. Лозовик, И. Л. Обозненко и В. П. Пугач рассматривают бесконечный круговой цилиндр и сферический источник со смешанными граничными условиями: на одной части поверхности источника задается нормальная скорость, а остальная его часть считается абсолютно мягкой. Для таких источников формулируется краевая задача, которая решается численно. В. Б. Галаненко и М. И. Карновский в работе [39] рассматривают суперпозицию полей элементарных диполей, распределенных по некоторой поверхности или по объему тела, как модель плоского или объемного излучателя. М. Л. Обозненко и др. в [40] в качестве модели источника используют экваториальный сферический пояс и рассчитывают создаваемое им поле. В. П. Шарфарец в [41] изучает взаимосвязь представления поля излучателя двухмерным интегралом Фурье с его диаграммой направленности и делает вывод о том, что поле произвольного источника вне слоя, заключающего в себе этот источник, совпадает с полем некоторой эквивалентной плоской мембраны. В. И. Ильичев и Ю. В. Хоха [42] для описания звукового поля движущейся излучающей области конечных размеров используют в качестве модели ограниченное по пространству объемное распределение когерентных узкополосных излучателей нулевого порядка — монополей. М. С. Янгер [43] рассматривает условия и механизмы формирования корабельных шумов. Показано, что шумы обусловлены колебаниями кормовой оконечности корабля, кавитационными шумами гребных винтов и работой вспомогательных машин и механизмов. Делается вывод о том, что корабль в целом может быть аппроксимирован комбинацией монополя и диполя с осью в вертикальной или горизонтальной плоскости. Особенности модели, основанной на трех эквидистантно расположенных монополях, рассматривают A.C. Бе-логорцев и Е. В. Шаркина [44]. В работе [45] М. Г. Имхоф изучает поле, создаваемое несколькими совместно действующими мультиполями. Ю. И. Бобровницкий и Т. М. Томилина [46] обсуждают модель, на которой построен метод эквивалентных источников, т. е. модель распределенных по сфере монополей. А в работах [47, 48] Ю. И. Бобровницкий подробно анализирует ближнее поле различных элементарных мультиполей, а также их математические и физические модели. Г. И. Быковцев и Г. Н. Кузнецов [178, 184] рассматривают поле параметрической точечной модели направленного излучателя в различных волноводах. Г. Н. Кузнецов и Г. М. Глебова [49] предлагают схему эксперимента и методику оценки параметров многокомпонентного излучателя, которые основаны на статистической обработке измерений, выполненных системой векторно-скалярных приемных устройств.

Из приведенного обзора основных модельных представлений видно, что для описания направленных свойств гидроакустических источников используются как непараметрические, так и параметрические модели. В непараметрических моделях рассматривается непрерывное распределение монопольных или дипольных излучателей по поверхности или объему реального источника акустических колебаний. Эти модели имеют очевидное неудобство — в общем случае исходный источник, а точнее функцию распределения монополей или диполей по занятой источником области, сложно описать с помощью некоторой, относительно компактной системы числовых характеристик. Параметрические модели основаны на дискретном размещении небольшого количества монопольных излучателей вдоль некоторой линии, по некоторой поверхности или по какому-либо объему.

В качестве параметров таких моделей обычно выступают мощности отдельных монополей и геометрические характеристики их расположения в пространстве. Однако в результирующие выражения для полей таких модельных источников в различных областях часть из этих параметров входит нелинейным образом, что значительно затрудняет решение обратных задач, которые связаны с определением параметров моделей на основании измерений амплитуды и фазы создаваемых ими полей. Таким образом, по-прежнему актуальной является задача построения или выбора таких модельных представлений, с помощью которых можно было бы эффективно решать как прямые, так и обратные задачи гидроакустики, связанные с источниками звука.

Наряду с проблемой выбора удобной и адекватной модели источника, очень важное значение имеет задача практического измерения или расчета амплитудно-фазовых диаграмм направленности гидроакустических источников, которые представляют собой наглядную и достаточно часто используемую форму описания их направленных свойств. Среди применяющихся на практике методов построения диаграмм направленности следует указать традиционный метод [8, 50, 51], основанный на непосредственном сканировании давления в нескольких горизонтальных плоскостях.

Трудности в реализации способов непосредственного измерения диаграмм направленности привели к разработке целого ряда методов, основанных на производимых в водоеме измерениях и выполняемых затем дополнительных расчетах. Дело в том, что диаграмма направленности, по существу, является характеристикой источника в дальнем поле. Однако для низких частот непосредственное измерение диаграммы направленности по традиционной методике оказывается связанным с необходимостью проведения измерений на очень больших расстояниях. Поэтому развитие получили алгоритмы, основанные на проводимых в ближнем поле источника измерениях и последующем пересчете на дальнее поле. Здесь также предлагаются различные методики. Например, Р. Мак Киннон и др. [52] предлагают методику, позволяющую путем расчетов на ЭВМ с использованием приближения лучевой акустики определять интенсивность звука, который распространяется от монопольного излучателя в горизонтально однородной среде. Метод обработки экспериментальных данных включает в себя подбор эмпирической кривой, хорошо согласующейся с опытными данными, и численное интегрирование двух систем обыкновенных дифференциальных уравнений.

Однако наибольшее распространение получили алгоритмы построения диаграмм направленности, основанные на интегральном соотношении Гельмгольца [54]-[65]. Это соотношение связывает давление и его нормальную производную на замкнутой «контрольной» поверхности которая содержит внутри себя изучаемый источник звука, с давлением в произвольной точкой наблюдения вне поверхности где х — любая точка вне поверхности S (точка наблюдения), Р (у) — давление в точке у на контрольной поверхности S, пу —нормаль к поверхности S в точке у, г = х — жо| — расстояние между находящимся в точке хо источником звука и точкой наблюдения х. Таким образом, зная значение амплитуды и фазы давления и его нормальной производной на некоторой окружающей источник замкнутой поверхности S, можно по результатам наблюдений, выполненных в ближнем поле т. е. на поверхности S, рассчитать диаграмму направленности в дальнем поле. Известны методики, основанные на прямом измерении как давления, так и его нормальной производной. Этот способ был предложен и развит в работах Дж. Пахнера [27], С. Нортона, Г. Иннеса [54], Д. Д. Байкера [55, 56], Г. Д. Малюжинца [57] и некоторых других авторов, причем в [54] отмечается хорошее совпадение расчетных и экспериментальных данных. Д. Беккер и K.M. Мак Кормик [55, 56] предложили метод, основанный на замене нормальной производной ее приближенным значением, которое является точным в случае плоской волны. Экспериментальная проверка этой методики, проведенная на пяти различных типах больших гидроакустических преобразователей, также показала хорошее совпадение расчетных и экспериментальных данных. В [58] и [59] обсуждаются некоторые ограничения на использование методики Пахнера, а в работах [60, 61] рассматриваемая методика обобщена на негармонические излучатели. В этом случае предлагается использовать общее решение скалярного волнового уравнения с произвольной зависимостью от времени. Метод может быть использован для сигналов, являющихся произвольными функциями времени, в том числе и для случайных шумов. Как частный случай получается методика Пахнера. Г. Шенк [62] предложил метод, основанный на определении нормальной производной давления на контрольной поверхности с помощью численного решения соответствующего интегрального уравнения.

IIФШуо, у) ds = Ыу0) — II P (y)d^^-ds, (2).

S S 0ПУ где е%Цш-у дР (у).

Ц (уо, У) = ^ = у о — фиксированная точка поверхности S. Таким образом, предложен метод, не требующий непосредственного измерения нормальной производной, метод который позволяет выполнить расчет диаграммы направленности только по измеренным амплитуде и фазе давления на контрольной поверхности. Причем в качестве контрольной обычно выбирается поверхность, совпадающая с фундаментальной поверхностью системы координат, которая допускает разделение переменных в уравнении Гельмголь-ца. В работах A.B. Римского-Корсакова, И. Е. Цукерникова и С. М. Пуховой [63]—[65] на примерах полей, созданных монопольным источником и линейной группой из 5 таких источников, оцениваются ошибки расчета диаграммы, которые связаны с вычислением градиента давления с помощью интегрального уравнения (2). В качестве контрольной поверхности авторы выбрали цилиндрическую поверхность, замкнутую полусферами или плоскостями. Показано, что для определения диаграммы направленности с точностью 1−2 децибела в описанной методике достаточно трех точек измерения на полупериод осцилляции давления на контрольной поверхности. А JT.H. Захаров, В. А. Гордиенко и Е. О. Ермолаев в работе [66] предлагают для повышения точности определения диаграммы направленности при использовании этой методики использовать векторно-фазовые измерения.

Анализ рассмотренных выше приемов и методов построения диаграмм направленности показывает, что обычно они трудно реализуемы на практике в связи с необходимостью так или иначе выполнять измерения на замкнутой контрольной поверхности, окружающей изучаемый источник. Эти трудности становятся почти непреодолимыми в случае экспериментального изучения гидроакустических источников, которыми трудно или невозможно нужным образом управлять.

Если оценку направленности гидроакустического источника или измерение его диаграммы направленности требуется выполнять вблизи каких-либо отражающих акустические колебания тел или поверхностей, то в методики расчета необходимо вносить изменения, учитывающие наличие отраженных сигналов. Изучению отражения и преломления сигналов на границах раздела двух сред посвящены работы [67]-[85]. H.H. Андреев, Л. М. Бреховских и Л. Д. Розенберг в [67, 68] изучают поле ненаправленного точечного излучателя вблизи поверхности водоема и оценивают влияние глубины погружения. Результаты экспериментов по изучению поля низкочастотного излучателя в глубоком море, когда можно учитывать влияние только поверхности водоема, приведены в [69]. В. А. Баранов и Ю. В. Хоха в [70] описывают методику экспериментального определения диаграммы направленности источников при наличии отраженных от поверхности водоема сигналов. А H.H. Нефедов [71] предлагает оригинальный метод расчета поля монопольного излучателя, не требующий знания отражающих свойств границы, вблизи которой он находится.

В связи с несовпадением сферической симметрии волны и симметрии обычно плоской отражающей поверхности, вблизи которой находится источник звука, при теоретическом исследовании чаще всего прибегают к преобразованию Фурье и с его помощью приходят к интегральному представлению для потенциала поля (1). Указанное представление фактически является разложением потенциала в совокупность плоских волн, поведение которых на границах раздела хорошо изучено. J1.M. Бреховских в работах [72, 73] приводит широко используемое разложение потенциала сферической волны ненаправленного, монопольного излучателя в совокупность плоских волн.

7г/2—гоо.

Фо {r:0,ip) = lJ H? kpsm?3)eikWC0SI3smf3d/3, (3).

7г/2+гоо где Нукр sin /3) — функция Ханкеля первого рода порядка 0, р = г cos О и z = г sin в — соответственно горизонтальное расстояние до точки наблюдения и горизонт ее положения. В работе [74] изучается поле, которое создано мультиполями, полученными с помощью разложения потенциала монополя в ряд Тейлора. Предложен метод расчета поля таких источников вблизи абсолютно твердой границы. Метод сводится к определению звукового поля от источника и его зеркального изображения, замене точного выражения для поля асимптотическим для больших расстояний и интегрированию полученного выражения для плотности излучаемой энергии по полусфере, опирающейся на плоскость и содержащей внутри себя рассматриваемый источник. JI.M. Лямшев [75] приводит основанное на (3) разложение в совокупность плоских волн потенциала движущегося монопольного излучателя в прямоугольной и сферической системах координат. Ю. П. Лысанов [76] дифференцируя (3) находит интегральное представление для поля точечного дипольного излучателя над плоской границей двух сред. Ван Мурхен [77] исследует отражение сферической гармонической звуковой волны от плоской поверхности. Давление звуковой волны автор представляет в виде двойного разложения Морза-Ингарда по полиномам Лежандра Pn (cos 0) и обратным степеням расстояния г {в — угол между нормалью к поверхности и прямой, соединяющей мнимое изображение источника и точку наблюдения). При этом на завершающем этапе приходится решать бесконечную систему алгебраических уравнений, которая получается для неизвестных коэффициентов разложения в результате подстановки найденного выражения для давления в граничные условия и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях г. Г. Джохстоун [78] изучает дифракцию волн, излучаемых гармоническим, произвольно ориентированным, направленным источником на жестком полубесконечном экране. Сначала анализируется точное классическое решение Макдональда задачи дифракции для случая, когда источником является монополь. Посредством дифференцирования этого решения по трем координатам выводится выражение для поля, соответствующего дипольным источникам. В работе [79] выводится асимптотическое выражение для потенциала звукового поля точечного гармонического излучателя, находящегося над поглощающей плоскостью с постоянным нормальным импедансом. Точное представление в виде разложения по плоским волнам преобразуется в сумму интеграла по перевальному пути, к которому добавляются вычеты в полюсах подынтегрального выражения. В. П. Андреевым и A.A. Шабровым [80] методом граничной коллокации решена задача определения направленности акустического поля точечного излучателя, находящегося вблизи конечного круглого экрана. Дж. Море-ланд в [81] аналитически и экспериментально исследует направленность источника, который представлен цепочкой точечных синфазных излучателей, расположенных над отражающей плоскостью. Показано, что изменение уровня давления при изменении направления линии наблюдения может достигать 12 децибел. В статье [82] теоретически рассматривается поле акустического давления, генерируемого точечным источником, который находится над импедансной плоскостью. Получено рекуррентное соотношение для членов асимптотических рядов Тейлора. A.B. Генералов в работах [83, 84] рассматривает интегральное представления поля мультиполей ТУ-го порядка, находящихся вблизи локально реагирующей бесконечной поверхности, а также вблизи тонкой бесконечной пластины. При этом поле мультиполя рассчитывается с помощью соответствующего дифференцирования представления (3) для монополя, а затем находится асимптотически равномерное приближение для рассматриваемого поля с помощью модифицированного метода перевала для двойной седловой точки. В [85] авторы также исследуют поле произвольно ориентированного мультиполя, но он находится вблизи плоской поверхности с конечным импедансом.

Как видно из этого обзора работ, посвященных изучению полей ненаправленных и направленных точечных излучателей вблизи различных поверхностей раздела, основным способом, позволяющим найти решение рассматриваемой задачи, является переход к такому интегральному представлению потенциала (1), которое фактически представляет его разложение в совокупность плоских волн. При этом направленность излучателя учитывается с помощью разложения потенциала (1) или выражения, связанного с этим потенциалом, в ряд Тейлора. Для мультиполей до первого порядка включительно при этом можно получить удобные выражения для поля. Но в связи с тем, что разложение в ряд Тейлора представляет собой разложение по системе линейно зависимых функций, использовать эти выражения при решении обратных задач для излучателей, соответствующих мультиполям начиная со второго порядка, достаточно сложно.

Большое количество работ [86]-[95] посвящено теоретическому и экспериментальному изучению полей, которые создаются в различного рода однородных и неоднородных плоскопараллельных, цилиндрических, клиновидных и т. д. областях. Интегральное представление поля точечного источника в однородном и неоднородном плоскопараллельных волноводах рассматривается в работах Л. М. Бреховских [86]—[89] и Ю. Л. Газаряна [90]. И. Д. Иванов [91] обобщает интегральное представление Л. М. Бреховских (3), рассматривая направленный точечный излучатель, который находится в неоднородном плоскопараллельном волноводе. М. Уилдис и О. Моварди в [92] рассматривали волновую картину от направленного точечного источника в жестком клине. При этом направленность источника описывалась разложением в ряд Тейлора функции Грина G (r, г') уравнения Гельмгольца.

AC (r, г') + k2G (r, г') = -6(г — г'), (4) где, А — оператор Лапласа, 8{г — г') — дельта-функция. В работах [93, 94] предлагается метод расчета поля монопольного излучателя в клиновидной области и находится его асимптотическое представление. JI.H. Захаров, В. А. Киршов и др. в [95] описывают результаты эксперимента с монопольным источником, находящимся в клиновидной области мелкого водоема.

Для вычисления акустического поля, создаваемого источниками в волноводах, применяется самые разные подходы. Так, в работах М. И. Явор и B.C. Булдырева [96, 97] обосновывается возможность применения для расчета поля низкочастотного источника в слоисто-неоднородной среде асимптотических методов, связанных с выделением большого параметра, который естественным образом выделяется из определяющей поле системы дифференциальных уравнений. Рассчитываются поправки для случая, когда вертикальный профиль скорости имеет один минимум. Метод приводит к простым и удобным для практического использования формулам. А Б. А. Касаткин и Е. А. Купцов в [98] проводят численный анализ фазовой структуры звукового поля в двухслойном жидком волноводе. Д. Бер-ман [100] рассматривает традиционно используемые для описания распространения звуковых колебаний уравнение Гельмгольца и параболическое уравнение и предлагает новое, на его взгляд «оптимальное», уравнение параболического типа, которое, с одной стороны, при определенных условиях переходит в уравнение Гельмгольца, а с другой — в параболическое уравнение. Простой численный способ решения «оптимального» волнового уравнения позволяет выполнять расчет поля в различных случаях. Ю. А. Кравцов, В. Г. Петников и Б. Г. Кацнельсон в работе [101] дают обобщенный анализ различных методов расчета поля в горизонтально неоднородных волноводах с податливой границей.

Наибольшее распространение получили методы, которые основаны на том, что при использовании интегрального представления для поля рассматриваемого источника в неограниченном пространстве поле в изучаемой ограниченной области обычно можно выразить также с помощью контурного интеграла. Но точное вычисление значений получаемых контурных интегралов возможно только в редких случаях, поэтому на практике используются различные приближенные методы их вычисления. К ним относятся вычисление с помощью теории вычетов, что приводит к представлению поля в виде совокупности так называемых нормальных волн, и вычисление с помощью метода перевала, который дает простые вычислительные соотношения и неплохую точность.

В работах J1.M. Бреховских [72, 86], В. Ю. Завадского и В. Д. Крупина [102], H.H. Войтовича и А. Д. Шатрова [103] разложение по нормальным волнам используется для изучения поля монопольного излучателя в различных волноводах и при различных граничных условиях. Теория нормальных мод для направленного источника конечных размеров в плоскопараллельном стратифицированном волноводе разработана в работах А. Хауга и др. [104, 105]. Для получения представления поля в виде разложения по нормальным волнам в этих работах использована стандартная техника построения функции Грина. Неоднородное волновое уравнение, в правой части которого находится описывающая точечный источник дельта-функция, записывается в цилиндрической системе координат и его решение получается с помощью метода разделения переменных. При этом зависящая от вертикальной координаты часть решения должна удовлетворять граничным условиям на поверхностях, ограничивающих волновод. Искомая функция Грина получается в виде разложения по собственным функциям (которые в гидроакустике обычно называют «нормальными волнами» или «нормальными модами») сформулированной таким образом задачи Штурма-Лиувилля. Окончательное решение получается с помощью интегрирования построенной функции Грина по объему, занятому источником.

Особенности использования разложения по нормальным волнам в различных частных случаях волноводов, содержащих ненаправленные и направленные источники, рассматриваются в работах В. Н. Кулакова, Н. Е. Мальцева [106], Н. С. Агеевой, В. Д. Крупина [107], Б. П. Шарфарца [108, 109], К. Клея и др. [110], О. В. Лебедева, Н.В. Прончатова-Рубцова и др. [111, 112], А. И. Белова [113], Б. А. Кацнельсона, В. Г. Петникова [114].

Зачастую подынтегральная функция имеет в области интегрирования не только полюса, соответствующие нормальным волнам, но и точки ветвления. В этих случаях кроме дискретного спектра нормальных волн задачи необходимо учитывать и наличие сплошного спектра, который проявляет себя в виде боковой волны. Изучению различных аспектов расчета боковой волны посвящены работы Н. Маршалла [115], O.A. Година [116, 117], С. П. Аксенова [118], В. И. Ильичева, B.C. Рабиновича, Е. А. Ривелиса, Ю. В. Хохи [119], A.B. Кондратова, К. А. Пестова, О.С. Тонака-нова [120], В. Д. Крупина [121].

Следует заметить, что получаемые с помощью обсуждаемого подхода выражения для поля сложно использовать при решении обратных задач, в которых необходимо определять направленные свойства излучателей по создаваемым ими полям. Эта сложность обусловлена тем, что, как уже было отмечено ранее, для интегрирования по занятой источником области необходимо каким-то образом задавать функцию распределения монопольных излучателей с потенциалом в виде (1) для источника произвольной формы и размеров. Кроме того коэффициенты возбуждения нормальных волн оказываются зависящими не только от свойств излучателя, но и от граничных условий, что, вообще говоря, не позволяет найти независящее от граничных условий описание источника.

С другой стороны, каждый из традиционно используемых методов расчета полей кроме очевидных преимуществ имеет и определенные недостатки. В частности, при использовании теории вычетов положение полюсов чаще всего приходится определять с помощью приближенного решения нелинейного алгебраического уравнения или системы из двух таких уравнений, что само по себе может оказаться непростой задачей. Кроме того, нормальные моды могут формироваться только в волноводах, толщина которых превышает четверть длины волны звукового давления. Следовательно, приходится использовать разные методы вычисления поля для волноводов разной толщины. Далее, необходимо учитывать точки ветвления подынтегральных функций и каким-то образом вычислять значения интегралов по берегам разрезов, проводимых от этих точек. Как показано в [16], в случае источника, который находится в волноводе Пе-кериса — однородном плоскопараллельном волноводе с идеальной верхней и неидеальной нижней границей, вычисление боковой волны даже в случае применения монопольной модели представляет собой достаточно сложную задачу, особенно в направлениях близких к углу полного внутреннего отражения. Проблема учета точек ветвления возникает и при использовании более простого метода перевала, который, как следует из теоретических соображений, может применяться только на больших расстояниях от источника кг 1. Поэтому при использовании этого метода необходимо учитывать расстояние от источника до точки наблюдения и использовать разные алгоритмы для ближнего и для дальнего поля. Но основным недостатком рассматриваемых методов вычисления полей является неконтролируемая и плохо оцениваемая точность выполнения расчетов. Вместе с тем существует альтернативный способ расчета полей, который, по крайней мере теоретически, позволяет выполнять расчеты с необходимой точностью — это способ прямого численного определения значений контурных интегралов, образующих обсуждаемые интегральные разложения. Прямое численное интегрирование не требует изучения положения и характера особых точек у подынтегральных функций, не требует дополнительного вычисления интегралов по берегам разрезов, не требует разных алгоритмов для волноводов разной толщины — все возможные факторы учитываются автоматически при прямом приближенном вычислении значений контурных интегралов. Основным препятствием на пути практического применения этого метода являются вычислительные сложности, возникающие при реализации алгоритмов прямого расчета контурных интегралов на ЭВМ. В работах Г. Г. Алексеева, Ф. Р. Ди Наполи и др., A.M. Плоткина и Н. Е. Мальцева [122]-[127] обсуждаются некоторые методы и алгоритмы вычисления поля ненаправленного излучателя в слоисто-неоднородном океане с помощью прямого численного интегрирования функции Грина рассматриваемой задачи.

Весьма важное практическое значение имеют законы спадания интенсивности звуковых полей акустических источников в океанических волноводах в зависимости от расстояния между излучателем и точкой наблюдения. Первым результам по изучению звуковых полей в подводных звуковых каналах посвящена работа JI.M. Бреховских [128]. Д.Е. Весто-ну [129, 130] удается получить зависимость усредненной интенсивности поля от расстояния г до излучателя для ряда модельных регулярных звуковых каналов. В работах Г. Н Кузнецова [133] и Г. А. Грачева [131], Б. Г. Кацнельсона и А. Г. Кулапина [132], Р. Н. Денхайма [134], В.Г. Петнико-ва и И. В. Гиндлера [135] Н. К. Абакумовой и О. П. Галкиной [136] и ряда других авторов рассматриваются различные аспекты изучения законов спадания интенсивности звука. Как правило, в работах выбирается монопольная модель излучателя. Вместе с тем очевидно, что направленность источников не может не отразиться и на законах спадания акустических полей.

Работы [137]-[146] посвящены решению обратных задач, связанных с определением производительности ненаправленных и направленных гидроакустических источников в присутствии отражающих поверхностей. М. К. Миллер в работе [137] предлагает для вычисления интенсивности источника звука и горизонтальной дальности до него вместо обычно применяющейся аппроксимации профиля скорости звука некоторой интегрируемой функцией выполнять численное интегрирование соответствующих дифференциальных уравнений. Л. Н. Захаров и С. Н. Ржевкин в [138] отмечают, что создание малогабаритных векторных приемников, позволяющих измерять компоненты вектора колебательной скорости и разности их фаз со звуковым давлением, привело к возможности решения целого ряда обратных задач гидроакустики, заключающихся в определении акустических и геометрических параметров излучателей путем проведения векторно-фазовых измерений поля. Здесь же предложены методы определения производительности источников, расстояния до источника и глубины его погружения. М. Д. Бронтвейн, Л. Н. Захаров и др. в [139] описывают метод определения объемной скорости монополя, находящегося в плоскопараллельном волноводе с неидеальными границами. Метод основан на измерении полного потока акустической мощности через контрольную замкнутую поверхность. В работе [140] продолжается обсуждение вопроса об определении акустической производительности монополя в плоскопараллельном волноводе и предлагается модификация метода, позволяющая определять мощность монополя, находящегося вблизи отражающей границы. При этом не требуется знание отражающих свойств второй поверхности, ограничивающей волновод. В статье [141] теоретически исследуется поле акустического излучателя, рассматриваемого как система неподвижных точечных сингулярностей с периодической интенсивностью и заданным порядком мультипольности. Представлены основы метода вычисления локальной акустической мощности периодического по времени источника, который базируется на решении неоднородного волнового уравнения и интегрировании потока энергии вдоль удаленной поверхности с заданными структурными свойствами. Этот же автор в [142] развивает метод вычисления выходной мощности сосредоточенных и распределенных источников, который не требует использования асимптотических выражений для дальних полей излучения. H.H. Нефедов в [71, 143] рассматривает ненаправленный источник в случае невыполнения условий свободного пространства и предлагает способ определения характеристик дальнего поля по измерениям в ближнем поле. Этот метод основан на выделении прямого и отраженного сигналов из сигнала принятого. В результате получается алгоритм, в котором не требуется знание отражающих свойств границ области. В работе Г. В. Алексеева [144] обсуждается решение обратной задачи восстановления плотности источников звука по заданной информации о сформированном ими поле. Показано, что существует бесконечное множество решений обратной задачи. Однако нормальное решение, то есть решение с минимальной нормой — единственно. Г. И. Ерохин [145] рассматривает некорректную задачу восстановления правой части волнового уравнения, которое описывает движущийся вдоль некоторой прямой точечный источник. Развиваются методы регуляризации на ЭВМ и показывается, что в общем случае для получения решения необходим учет влияния боковой волны. Применение метода наименьших квадратов для нахождения оценок величин, характеризующих акустические источники, описано в статье [146]. A.A. Пудовкин в [147] рассматривает задачу идентификации источника по наблюдениям сигнала в стохастическом волноводе.

В упомянутых работах показано, что даже относительно небольшая неопределенность в геометрических параметрах рассматриваемой задачи, неточность в задании координат приемника или источника акустических колебаний могут очень сильно повлиять на результаты вычислений. Обратные задачи, в которых определяются или уточняются геометрические параметры рассматриваются в работах М. И. Карновского., И.Л. Обознен-ко, Ю. А. Писаченко [152], В. А. Елисеевнина [159] и ряда других авторов.

148]—[158]. В них предложено большое количество различных теоретических и экспериментальных методов оценивания либо координат, либо глубины погружения, дальности и направления на источник.

Как видно из приведенного выше обзора работ, посвященных изучению направленности гидроакустических источников, эта проблема в различных ее аспектах достаточно хорошо изучена отечественными и зарубежными учеными. Вместе с тем анализ полученных разными авторами результатов показывает, что в этой области исследований существует целый ряд проблем, которые все еще требуют своего разрешения.

Цель и задачи исследования

Целью диссертационной работы является построение и развитие теоретических основ таких модельных представлений, которые можно эффективно использовать при решении как прямых, так и обратных задач, связанных с исследованием характеристик направленных гидроакустических источников, находящихся в различных водоемах, а также разработка и реализация численных методов и алгоритмов вычисления полей, создаваемых такими источниками, в том числе методов и алгоритмов получения оценок параметров характеризущих направленность источников. Для достижения поставленной цели в работе следует:

— построить теоретическое обоснование использования многопараметрической точечной (мультипольной) модели излучателя для адекватного описания направленных свойств некоторых классов реальных гидроакустических источников, а также определить границы применимости этой модели;

— получить точное интегральное представление для потенциала поля мультипольного излучателя в неограниченном пространстве;

— сформулировать и решить краевые задачи для полупространства, а также для идеального и неидеального плоскопараллельных волноводов, содержащих внутри себя мультипольный излучатель;

— построить алгоритмы решения обратных задач оценки мультиполь-ных моментов — параметров, описывающих мультипольный излучатель по результатам измерения амплитуды и фазы создаваемого им давления в различных областях;

— реализовать в виде пакета прикладных программ алгоритмы решения перечисленных прямых и обратных задач;

— провести серию вычислительных экспериментов, которые позволят оценить эффективность разработанных алгоритмов и программ, а также рекомендовать оптимальные условия для выполнения натурных экспериментов, проводимых с целью последующего определения параметров направленности реальных источников;

— проверить возможность использования обсуждаемых методов, алгоритмов и программ по данным натурного эксперимента.

Развиваемые в настоящей работе подходы основаны на замене реальных гидроакустических источников достаточно произвольной формы и размеров модельным — эквивалентным точечным направленным излучателем, функция влияния которого в неограниченном пространстве представлена разложением в ряд по мультиполям. Но, в отличие от наиболее часто используемого тейлоровского, разложение выполняется в ряд по сферическим мультиполям, которые образуют систему линейно независимых функций. Коэффициенты этого разложения, представляющие собой мультипольные моменты, описывают направленные свойства модели. Это позволяет, ограничившись в разложении конечным числом членов, получить параметрическую модель направленного точечного излучателя.

Оказывается, что и в свободной области и в волноводах различных типов поле давления может быть представлено в виде выражения, линейно зависящего от параметров модели. Это создает основу для использования единой методики при решении обратных задач как для оценки неизвестных параметров модели, так и для оценки неизвестных геометрических величин, таких как расстояние до излучателя и глубина его погружения. Базовым для этой методики является метод максимального правдоподобия, естественный для определения оценок неизвестных параметров задачи по экспериментальным данным. Предлагаемый подход позволяет отказаться от измерений, выполняемых на замкнутой контрольной поверхности, которая содержит внутри себя исследуемый источник. В построенных алгоритмах измерения вдоль замкнутой контрольной поверхности, охватывающей источник, заменяются измерениями, которые выполнены с помощью некоторой системы неподвижных приемников, в то время как изучаемый источник определенным образом перемещается в рассматриваемой области. Можно считать, что замкнутая контрольная поверхность заменяется ее разверткой, полученной с помощью движения источника звука относительно неподвижной системы приемных устройств.

Будем считать, что изучаемые источники звука являются низкочастотными и узкополосными. Эти условия являются весьма существенными для применимости на практике развиваемых в настоящей работе модельных представлений, методов и алгоритмов.

Кроме того, будем считать, что скорость движения источника, время наблюдения или длина рассматриваемого участка его траектории удовлетворяют определенным ограничениям, позволяющим пренебречь влиянием эффекта Доплера. Как известно, движение источника звука относительно приемника приводит к доплеровскому сдвигу частоты. Этот сдвиг в рассматриваемой ситуации можно записать в виде ш = о-0/(1 + Мсовв), где ш — принимаемая частота, щ — излучаемая частота, М = у/с — число Маха, V — линейная скорость движения источника, с — скорость звука в среде, в — угол между вектором скорости источника и направлением на приемник. Доплеровский сдвиг частоты не будет оказывать существенного влияния на волновую картину, если вызванный сдвигом дополнительный набег фазы за период наблюдения Т будет достаточно малым шш0 хГ" 1.

Последнее соотношение может быть записано в виде ограничения на период наблюдения 1 + М cos 9.

Т —, ujqM cos 9 ' а также в виде ограничения на длину наблюдаемого участка трассы L.

1 + М cos 9.

L.

В дальнейших рассуждениях будем считать, что число Маха М, время наблюдения Т или длина траектории L удовлетворяют сформулированным ограничениям, и эффектом Доплера в теоретических построениях и разрабатываемых алгоритмах будем пренебрегать.

Методы исследования. Основным методом исследования в настоящей работе является строгое математическое доказательство, опирающееся на аппарат, развитый в теории функций комплексного переменного, теории специальных функций и теории краевых задач дифференциальных уравнений в обыкновенных и частных производных [160, 165]. Обсуждаемые численные методы и алгоритмы опираются на результаты современной теории регуляризации, развитой в работах А. Н. Тихонова и его коллег [167, 168], а также на методы вычислительной и линейной алгебры [169]. Алгоритмы и программы оценивания неизвестных параметров задачи, основанные на широко известных методах статистического оценивания и моделирования [170]—[174], проверены с помощью большого количества вычислительных экспериментов и в натурных условиях.

Научная новизна полученных в работе результатов вытекает из вышеизложенного достаточно подробного обзора научной литературы, посвященной рассматриваемым проблемам. В частности, новизна результатов заключается в:

— теоретическом обосновании использования мультипольной модели направленного излучателя для адекватного описания низкочастотных монохроматических гидроакустических источников конечных размеров и определении пределов применимости развиваемых модельных представлений;

— сформулированном критерии разделения ближней и дальней зон для мультипольной модели, учитывающем объемность излучающего тела;

— полученном в работе точном интегральном представлении потенциала поля мультипольного излучателя в неограниченном пространстве;

— формулировке предельного краевого условия у мультипольного излучателя;

— формулировке, решении и доказательстве единственности краевых задач, возникающих при изучении полей, создаваемых мультиполь-ным излучателем в различных областях, а также полученных приближенных решениях указанных краевых задач;

— обобщении законов спадания интенсивности звука в волноводе Пе-кериса на мультипольные излучатели;

— разработанных способах и алгоритмах вычисления полей излучателей прямым численным интегрированием;

— предложенных и реализованных в виде пакета прикладных программ алгоритмах вычисления полей и определения оценок неизвестных параметров задач;

— результатах вычислительных и натурного экспериментов.

Практическая ценность работы заключается в предложенном наборе методов, алгоритмов и программ решения часто возникающих на практике задач определения полей реальных излучателей, а также задач оценивания неизвестных параметров направленности и положения реальных гидроакустических источников, возниукающих в различных методиках калибровки низкочастотных излучателей. В возможности предварительного выбора с помощью проведения вычислительных экспериментов наиболее эффективных условий проведения реальных измерений в океане, которые позволят выполнить оценивание с высокой точностью. Этот предварительный вычислительный эксперимент позволяет дать практические рекомендации, выработать и оптимизировать требования к измерительным системам и волноводу, в котором следует проводить измерения в целях изучения или калибровки гидроакустических источников.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. При исследовании направленности, измерении приведенной шумнос-ти и калибровке объемных низкочастотных гидроакустических источников более эффективной в сравнении с известными является разработанная модель эквивалентного точечного мультипольного излучателя.

2. Существует критерий разделения ближней и дальней зон для муль-типольной модели, учитывающий объемность излучающего тела и обеспечивающий решение обратных задач как в линейной, так и в нелинейной постановках. Критерий позволяет установить для муль-типольных источников диапазон расстояний, на которых следует производить измерения чтобы обеспечить линейность задачи.

3. Интегральное представление потенциала мультипольного излучателя в неограниченном пространстве совместно с граничным условием у мультипольного излучателя, замыкающим постановку краевых задач и позволяющим перейти от решения неоднородного к решению однородного уравнения Гельмгольца, обеспечивают возможность получения точного решения прямых задач определения поля муль-типольного излучателя в полупространстве, идеальном и реальном волноводах.

4. Краевые задачи для мультипольного излучателя в полупространстве, идеальном и реальном волноводах имеют единственное решение.

5. Известные аппроксимирующие законы ф2 ~ г-3/2, г-5/2, г-7/2 спадания интенсивности сигнала ф2 монопольного излучателя в волноводе Пекериса, применимые только на относительно малых расстояниях г от источника, дают удовлетворительные результаты и при аппроксимации полей мультипольных излучателей всех остальных разновидностей. На больших расстояниях от источника более эффективным является аппроксимация полей мультипольных излучателей цилиндрическим законом с экспоненциальным затуханием.

6. Для выбора геометрии эксперимента, апертуры антенн и других условий оценки приведенной шумности и калибровки гидроакустических источников с учетом их направленности необходимо совместное использование числа обусловленности матрицы системы линейных уравнений, которая служит для оценки мультипольных моментов, и статистических методов оценки помехоустойчивости.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на:

II Республиканской конференции «Гидроакустические информационно-измерительные системы», Киев, сентябрь 1982; Всесоюзном семинаре по акустике мелкого моря, Акустический институт АН СССР, Москва, декабрь 1982; X Всесоюзной акустической конференции, Москва, июнь 1983; Всесоюзной школе-семинаре «Методы гидрофизических исследований», Солнечногорск, октябрь 1983; I Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии», Кисловодск, апрель.

1997; I международном семинаре «Нелинейное моделирование и управление», Самара, июнь 1997; II Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии», Кисловодск, апрель 1998; Всероссийской школе «Современные проблемы механики и прикладной математики», Воронеж, май 1998; III Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии», Кисловодск, апрель 1999; IV Всероссийском симпозиуме «Математическое моделирование и компьютерные технологии», Кисловодск, апрель 2000; II международном семинаре «Нелинейное моделирование и управление», Самара, июнь 2000; научно-технической конференции «Проблемы метрологии гидрофизических измерений (ПМГИ-2001)», Москва, май 2001.

По теме диссертации опубликована 27 работ [178]—[204].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти.

Основные результаты работы:

1. Выведены аналитические выражения для потенциала эквивалентного мультипольного излучателя в различных волноводах, составляющие эффективную модель объемных низкочастотных гидроакустических источников для расчетов уровней и направленности излучения.

2. Доказано, что решение обратной задачи по оценке мультипольных моментов, характеризирующих величину и направленность изучаемого поля давления, возможно в линейной и нелинейной постановке. Для обеспечения линейности необходимо выполнение измерений на расстояниях г, которые удовлетворяют условиям Ь/г < Ае/{1 + е) и кЬ < ?2, где Ь — характерный линейный размер теля, к — волновое число, А «1/7 для кг > 1 и, А рз 1/3 для кг «1, Е = 0,12-^0,41, е2 = 0, 08 Ч- 0,16. В противном случае для определения оптимального центра приведения необходим перебор по трем координатам. Эти условия составляют критерий разделения ближней и дальней зон для мультипольной модели, учитывающий объемность излучающего тела и обеспечивающий решение задач в линейной постановке.

3. Для обеспечения необходимых для применения мультипольной модели условий расстояние между источником и точкой наблюдения следует выбирать в 3−7 раз больше, чем в случае применения монопольной модели.

4. Получено точное интегральное представление для потенциала мультипольного излучателя, которое обобщает известные представления потенциала поля монопольного излучателя. На его основе решены краевые задачи определения поля мультипольного излучателя в полупространстве, идеальном и реальном волноводах.

5. Сформулировано предельное краевое условие у мультипольного излучателя, которое замыкает постановку краевых задач для такого излучателя в различных областях и обеспечивает единственность их решения.

6. На основе полученных точных и приближенных решений краевых задач разработаны алгоритмы и программы решения прямых и обратных задач, связанных с определением поля мультипольного излучателя в волноводе.

7. Показано, что известные аппроксимирующие зависимости интенсивности звука монополя в волноводе вида ф2 яа г-3/2, г-5//2, г-7/2, соответствующие различным глубинам и Н2 излучателя и используемые только для расстояний 7г2/(кН)2 <С ^ < 1, где параметр 5 зависит от частоты и глубины волновода /г, могут использоваться и для аппроксимации полей мультипольных излучателей всех остальных типов, а для расстояний 6 г > 1 более эффективным является использование наблюдаемого экспериментально цилиндрического закона спадания с экспоненциальным затуханием ехр (—7г)/г и коэффициентом затухания 7, зависящим от типа мультиполя.

8. При выборе геометрии эксперимента, определении числа приемников и апертур приемных горизонтальных и вертикальных антенн, используемых для оценки приведенного к свободному пространству звукового давления сложного источника с учетом направленности его излучения, необходимо определять обусловленность матрицы решаемой системы линейных уравнений и обеспечивать минимум числа обусловленности матрицы. Увеличение числа галсов и числа приемников, с использованием которых производятся измерения, приводит к увеличению точности расчетов и уменьшает дисперсию оцениваемых мультипольных моментов.

9. Проведенная обработка данных натурного эксперимента подтвердила возможность оценки направленных свойств низкочастотных гидроакустических излучателей в процессе их калибровки и основные количественные результаты, полученные в ходе вычислительных экспериментов.

Вместе с тем следует отметить, что дальнейшего исследования требуют такие вопросы, как определение порядка мультипольности модели, который без существенного увеличения количества параметров обеспечит необходимую точность описания направленных свойств модели и вместе с тем сохранит возможность надежного определения этих параметров при решении обратных задачразвитие эффективных приближенных методов решения задач в неоднородных волноводахдальнейшее развитие методов прямого численного интегрирования, которые, по-видимому, имеют хорошие перспективы в связи с нарастающей мощностью вычислительных машинразвитие теоретического аппарата, соответствующих ему алгоритмов и подключение к пакету подсистемы, обеспечивающей решение обратных задач, основанных на использовании при измерениях векторных приемников звука, а также некоторые другие вопросы, ответы на которые позволят увеличить эффективность обсуждаемых методик и алгоритмов.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

.