Анализ предприятия с использованием регрессивного анализа

Содержание:.

I. Введение.

II. Теоретическая часть.

1. Основные производственные показатели предприятия (организации).

2. Основные понятия корреляции и регрессии.

3. Корреляционно-регрессионный анализ.

4. Пример для теоретической части.

III. Расчетная часть.

IV. Заключение.

V. Список использованной литературы.

I. Введение.

Полная и достоверная статистическая информация является тем необходимым основанием, на котором базируется процесс управления экономикой. Принятие управленческих решений на всех уровнях — от общегосударственного или регионального и до уровня отдельной корпорации или частной фирмы — невозможно без должного статистического обеспечения.

Именно статистические данные позволяют определить объемы валового внутреннего продукта и национального дохода, выявить основные тенденции развития отраслей экономики, оценить уровень инфляции, проанализировать состояние финансовых и товарных рынков, исследовать уровень жизни населения и другие социально-экономические явления и процессы.

Статистика — это наука, изучающая количественную сторону массовых явлений и процессов в неразрывной связи с их качественной стороной, количественное выражение закономерностей общественного развития в конкретных условиях места и времени.

Для получения статистической информации органы государственной и ведомственной статистики, а также коммерческие структуры проводят различного рода статистические исследования. Процесс статистического исследования включает три основные стадии: сбор данных, их сводка и группировка, анализ и расчет обобщающих показателей.

От того, как собран первичный статистический материал, как он обработан и сгруппирован, в значительной степени зависят результаты и качество всей последующей работы. Недостаточная проработка программно-методологических и организационных аспектов статистического наблюдения, отсутствие логического и арифметического контроля собранных данных, несоблюдение принципов формирования групп в конечном счете могут привести к абсолютно ошибочным выводам.

Не менее сложной, трудоемкой и ответственной является и заключительная, аналитическая стадия исследования. На этой стадии рассчитываются средние показатели и показатели распределения, анализируется структура совокупности, исследуется динамика и взаимосвязи между изучаемыми явлениями и процессами.

Используемые на всех стадиях исследования приемы и методы сбора, обработки и анализа данных являются предметом изучения общей теории статистики, которая является базовой отраслью статистической науки. Разработанная ею методология применяется в макроэкономической статистике, отраслевых статистиках (промышленности, сельского хозяйства, торговли и прочих), статистике населения, социальной статистике и в других статистических отраслях.

II. Теоретическая часть.

1. Основные производственные показатели предприятия (организации).

Статистика промышленности — одна из отраслей экономической статистики. Она изучает промышленность, происходящие в ней явления, процессы, закономерности и взаимосвязи.

На основе статистического изучения производственно-хозяйственной деятельности промышленных предприятий вырабатываются стратегия и тактика развития предприятия, обосновываются производственная программа и управленческие решения, осуществляется контроль за их выполнением, выявляются резервы повышения эффективности производства, оцениваются результаты деятельности предприятий, его подразделений и работников.

В статистике промышленности применяют методологию системного статистического анализа основных экономических показателей результатов деятельности предприятия, характерных для рыночной экономики. Проводят анализ основных статистических показателей по различным направлениям производственно-хозяйственной деятельности предприятия: производство продукции, трудовые ресурсы и уровень их использования, основные фонды и производственное оборудование, оборотные средства и предметы труда, научно-технический прогресс, себестоимость промышленной продукции.

1. Статистика производства продукции.

Продукция промышленности — прямой полезный результат промышленно-производственной деятельности предприятий, выраженный либо в форме продуктов, либо в форме производственных услуг (работ промышленного характера).

Для характеристики результатов деятельности отдельных предприятий, объединений, отраслей промышленности и всей промышленности в целом используется система стоимостных показателей продукции, включающая в себя валовой и внутризаводской обороты, товарную и реализованную продукцию.

2. Статистика рабочей силы и рабочего времени.

Использование трудовых ресурсов в промышленности — одна из основных проблем, значение которой будет возрастать в связи с напряженным трудовым балансом. Вместе с тем, контроль за уровнем использования трудовых ресурсов — одна из важнейших задач статистического анализа результатов деятельности промышленных предприятий.

3. Статистика производительности труда.

Производительность труда — качественная его характеристика, показывающая способность работников к производству материальных благ в единицу времени.

Уровень производительности труда характеризуется количеством продукции, создаваемой в единицу времени (выработка — прямой показатель), или затратами времени на производство единицы продукции (трудоемкость — обратный показатель). Прямые и обратные показатели используются для характеристики уровня производительности труда.

4. Статистика заработной платы.

Заработная плата представляет собой часть общественного продукта, поступающего в индивидуальное распоряжение работников в соответствии с количеством затраченного ими труда. Статистика промышленности рассматривает номинальную заработную плату, выраженную суммой денег, начисленной работнику, без учета их покупательной способности.

5. Статистика основных фондов и производственного оборудования.

Основные фонды представляют собой средства труда, которые целиком и в неизменной натуральной форме функционируют в производстве в течение длительного времени, постепенно перенося свою стоимость на произведенный продукт.

В статистике промышленности различают следующие характеристики стоимости основных фондов: полная первоначальная стоимость; первоначальная стоимость за вычетом износа (остаточная первоначальная стоимость); полная восстановительная стоимость; восстановительная стоимость за вычетом износа (остаточная восстановительная стоимость).

6. Статистика оборотных средств и предметов труда.

6.1 Статистика оборотных средств.

Оборотные средства — это выраженные в денежной форме оборотные фонды и фонды обращения, авансируемые в плановом порядке для обеспечения непрерывности производства и реализации продукции.

6.2 Статистика предметов труда По своему происхождению предметы труда подразделяются на сырье и материалы. Сырьем называют продукты сельского хозяйства и добывающей промышленности; материалы — продукты обрабатывающей промышленности.

7. Статистика научно-технического прогресса Основными направлениями научно-технического прогресса являются: электрификация, механизация, автоматизация и химизация производства; освоение и внедрение новых видов машин, аппаратов, приборов и новых технологических процессов; внедрение изобретений и рационализаторских предложений: углубление специализации и кооперирования.

8. Статистика себестоимости продукции Под себестоимостью продукции понимают сумму выраженных в денежной форме затрат, связанных с выпуском определённого объема и состава продукции. Себестоимость — обобщающий качественный показатель работы предприятия. Ее уровень служит основой для определения цен на отдельные виды продукции.

2. Основные понятия корреляции и регрессии.

Исследуя природу, общество, экономику, необходимо считаться со взаимосвязью наблюдаемых процессов и явлений. При этом полнота описания так или иначе определяется количественными характеристиками причинно-следственных связей между ними. Оценка наиболее существенных из них, а также воздействия одних факторов на другие является одной из основных задач статистики.

Формы проявления взаимосвязей весьма разнообразны. В качестве двух самых общих их видов выделяют функциональную (полную) и корреляционную (неполную) связи. В первом случае величине факторного признака строго соответствует одно или несколько значений функции. Достаточно часто функциональная связь проявляется в физике, химии. В экономике примером может служить прямо пропорциональная зависимость между производительностью труда и увеличением производства продукции.

Корреляционная связь (которую также называют неполной, или статистической) проявляется в среднем, для массовых наблюдений, когда заданным значениям зависимой переменной соответствует некоторый ряд вероятных значений независимой переменной. Объяснение тому — сложность взаимосвязей между анализируемыми факторами, на взаимодействие которых влияют неучтенные случайные величины. Поэтому связь между признаками проявляется лишь в среднем, в массе случаев. При корреляционной связи каждому значению аргумента соответствуют случайно распределенные в некотором интервале значения функции.

Например, некоторое увеличение аргумента повлечет за собой лишь среднее увеличение или уменьшение (в зависимости от направленности) функции, тогда как конкретные значения у отдельных единиц наблюдения будут отличаться от среднего. Такие зависимости встречаются повсеместно. Например, в сельском хозяйстве это может быть связь между урожайностью и количеством внесенных удобрений. Очевидно, что последние участвуют в формировании урожая. Но для каждого конкретного поля, участка одно и то же количество внесенных удобрений вызовет разный прирост урожайности, так как во взаимодействии находится еще целый ряд факторов (погода, состояние почвы и др.), которые и формируют конечный результат. Однако в среднем такая связь наблюдается — увеличение массы внесенных удобрений ведет к росту урожайности.

По направлению связи бывают прямыми, когда зависимая переменная растет с увеличением факторного признака, и обратными, при которых рост последнего сопровождается уменьшением функции. Такие связи также можно назвать соответственно положительными и отрицательными.

Относительно своей аналитической формы связи бывают линейными и нелинейными. В первом случае между признаками в среднем проявляются линейные соотношения. Нелинейная взаимосвязь выражается нелинейной функцией, а переменные связаны между собой в среднем нелинейно.

Существует еще одна достаточно важная характеристика связей с точки зрения взаимодействующих факторов. Если характеризуется связь двух признаков, то ее принято называть парной. Если изучаются более чем две переменные — множественной.

Указанные выше классификационные признаки наиболее часто встречаются в статистическом анализе. Но, кроме перечисленных различают также непосредственные, косвенные и ложные связи. Собственно, суть каждой из них очевидна из названия. В первом случае факторы взаимодействуют между собой непосредственно. Для косвенной связи характерно участие какой-то третьей переменной, которая опосредует связь между изучаемыми признаками. Ложная связь — это связь, установленная формально и, как правило, подтвержденная только количественными оценками. Она не имеет под собой качественной основы или же бессмысленна.

По силе различаются слабые и сильные связи. Эта формальная характеристика выражается конкретными величинами и интерпретируется в соответствии с общепринятыми критериями силы связи для конкретных показателей.

В наиболее общем виде задача статистики в области изучения взаимосвязей состоит в количественной оценке их наличия и направления, а также характеристике силы и формы влияния одних факторов на другие. Для ее решения применяются две группы методов, одна из которых включает в себя методы корреляционного анализа, а другая — регрессионный анализ. В то же время ряд исследователей объединяет эти методы в корреляционно-регрессионный анализ, что имеет под собой некоторые основания: наличие целого ряда общих вычислительных процедур, взаимодополнения при интерпретации результатов и др.

Поэтому в данном контексте можно говорить о корреляционном анализе в широком смысле — когда всесторонне характеризуется взаимосвязь. В то же время выделяют корреляционный анализ в узком смысле — когда исследуется сила связи — и регрессионный анализ, в ходе которого оцениваются ее форма и воздействие одних факторов на другие.

Задачи собственно корреляционного анализа сводятся к измерению тесноты связи между варьирующими признаками, определению неизвестных причинных связей и оценке факторов оказывающих наибольшее влияние на результативный признак.

Задачи регрессионного анализа лежат в сфере установления формы зависимости, определения функции регрессии, использования уравнения для оценки неизвестных значении зависимой переменной.

Решение названных задач опирается на соответствующие приемы, алгоритмы, показатели, применение которых дает основание говорить о статистическом изучении взаимосвязей.

3. Корреляционно-регрессионный анализ.

Для выявления наличия связи, ее характера и направления в статистике используют методы: приведения параллельных данных; аналитических группировок; графический, корреляции.

Корреляционно-регрессионный анализ включает в себя измерение тесноты, направления связи и установление аналитического выражения (формы) связи (регрессионный анализ).

Одним из методов корреляционно-регрессионного анализа является метод парной корреляции, рассматривающий влияние вариации факторного признака x на результативный y. Аналитическая связь между ними описывается уравнениями:

прямой.

параболы.

гиперболы и т. д.

Оценка параметров уравнения регрессии осуществляется методом наименьших квадратов, в основе которого лежит требование минимальности сумм квадратов отклонений эмпирических данных y_i от выравненных (теоретических) y_xi.

Система нормальных уравнений для нахождения параметров линейной парной регрессии имеет вид:

Для оценки типичности параметров уравнения регрессии используется t-критерий Стьюдента. При этом вычисляются фактические значения t-критерия для параметров. Полученные фактические значения сравниваются с критическим, которые получают по таблице Стьюдента с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы.

Полученные при анализе корреляционной связи параметры уравнения регрессии признаются типичными, если t фактическое больше t критического.

По приведенным на типичность параметрам уравнения регрессии производится синтезирование (построение) математической модели связи. При этом параметры примененной в анализе математической функции получают соответствующие количественные значения: один параметр показывает усредненное влияние на результативный признак неучтенных (не выделенных для исследования) факторов, а другой параметр — на сколько изменяется в среднем значение результативного признака при изменении факторного на единицу его собственного измерения.

Проверка практической значимости синтезированных в корреляционно-регрессионном анализе математических моделей осуществляется посредством показателей тесноты связи между признаками x и y.

Для статистической оценки тесноты связи применяются следующие показатели вариации:

1. общая дисперсия результативного признака, отображающая общее влияние всех факторов;

2. факторная дисперсия результативного признака, отображающая вариацию y только от воздействия изучаемого фактора, которая характеризует отклонение выровненных значений y_x от их общей средней величины y;

3. остаточная дисперсия, отображающая вариацию результативного признака y от всех прочих, кроме x факторов, которая характеризует отклонение эмпирических (фактических) значений результативного признака y_i от их выровненных значений y_xi..

Соотношение между факторной и общей дисперсиями характеризует меру тесноты связи между признаками x и y.

Этот показатель называется индексом детерминации (причинности). Он выражает долю факторной дисперсии, т. е. характеризует, какая часть общей вариации результативного признака y объясняется изменением факторного признака x. На основе предыдущей формулы определяется индекс корреляции R:

Используя правило сложения дисперсий, можно вычислить индекс корреляции.

При прямолинейной форме связи показатель тесноты связи определяется по формуле линейного коэффициента корреляции r:

Для оценки значимости коэффициента корреляции r применяется t-критерий Стьюдента с учетом заданного уровня значимости и числа степеней свободы k.

Если, то величина коэффициента корреляции признается существенной.

Для оценки значимости индекса корреляции R применяется F-критерий Фишера. Фактическое значение критерия F_R определяется по формуле:

где m — число параметров уравнения регрессии.

Величина F_R сравнивается с критическим значением F_K, которое определяется по таблице F — критерия с учетом принятого уровня значимости и числа степеней свободы k₁=m-1 и k₂=n-m.

Если F_R> F_K, то величина индекса корреляции признается существенной.

По степени тесноты связи различают количественные критерии оценки тесноты связи.

С целью расширения возможностей экономического анализа используются частные коэффициенты эластичности:

Он показывает, на сколько процентов в среднем изменится значение результативного признака при изменении факторного на 1%.

4. Пример для теоретической части.

Имеются следующие данные о производстве молочной продукции и стоимости основных производственных фондов по 15 предприятиям Московской области. Произведем синтез адекватной экономико-математической модели между изучаемыми признаками на базе метода наименьших квадратов. С экономической точки зрения сформулируем выводы относительно исследуемой связи.

Зависимость y от x найдем с помощью корреляционно-регрессионного анализа. Рассмотрим прямолинейную форму зависимости y от x:

Параметры этого уравнения найдем с помощью метода наименьших квадратов и, произведя предварительные расчеты, получим:

Получаем следующее уравнение регрессии:

Далее определим адекватность полученной модели. Определим фактические значения t-критерия для a₀ и a₁.

Из полученного уравнения следует, что с увеличением основных производственных фондов на 1 млн руб., стоимость молочной продукции возрастает в среднем на 1,311 млн руб.

III. Расчетная часть.

Имеются исходные выборочные данные по организациям одной из отраслей хозяйствования в отчетном году (выборка 20%-ная, бесповторная) о результатах производственной деятельности организаций:

Задание 1.

По исходным данным табл. Х:

1. Построить статистический ряд распределения организаций по уровню производительности труда, образовав пять групп с равными интервалами.

2. Постройте графики полученного ряда распределения.

3. Рассчитайте характеристики ряда распределения: среднюю арифметическую, среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации..

4. Вычислите среднюю арифметическую по исходным данным (табл. Х), сравните её с аналогичным показателем, рассчитанным в п. 3 настоящего задания. Объясните причину их расхождения.

Сделайте выводы по результатам выполнения Задания.

Выполнение Задания 1..

1. Решение:.

Для построения интервального ряда распределения определяем величину интервала h по формуле:

,.

где — наибольшее и наименьшее значения признака в исследуемой совокупности, k - число групп интервального ряда.

При заданных k = 5, x_max = 360 тыс.руб. и x_min = 120 тыс.руб..

При h = 48 тыс. руб. границы интервалов ряда распределения имеют следующий вид (табл. 1):

Определяем количество организаций, входящих в каждую группу, используя принцип полуоткрытого интервала [), согласно которому организации со значениями признаков, служащие одновременно верхними и нижними границами смежных интервалов (168, 216, 264, 312 и 360), будем относить ко второму из смежных интервалов.

Для определения числа организаций в каждой группе строим таблицу 2.

На основе групповых итоговых строк «Всего» табл. 2 формируем итоговую таблицу 3, представляющую интервальный ряд распределения организаций по уровню производительности труда..

Приведем еще три характеристики полученного ряда распределения — частоты групп в относительном выражении, накопленные (кумулятивные) частоты S_{j, получаемые путем последовательного суммирования частот всех предшествующих (j-1) интервалов, и накопленные частости, рассчитываемые по формуле}.

.

Вывод. Анализ интервального ряда распределения изучаемой совокупности организаций показывает, что распределение организаций по уровню производительности труда не является равномерным: преобладают организации с уровнем производительности труда от 216 до 264 тыс. руб. (это 12 организаций, доля которых составляет 40%); самая малочисленная группа организаций имеет уровень производительности труда от 120 до 168 тыс. руб., которая включает 3 организации, что составляет 10% от общего числа организаций.

2. Решение:.

По данным таблицы 3 (графы 2 и 3) строим график распределения организаций по уровню производительности труда.

Рис. 1. График полученного ряда распределения.

Мода (Мо) — значение случайной величины, встречающееся с наибольшей вероятностью в дискретном вариационном ряду — вариант, имеющий наибольшую частоту. Наибольшей частотой является число 12. Этой частоте соответствует модальное значение признака, т. е. количество предприятий. Мода свидетельствует, что в данном примере чаще всего встречаются группы предприятий, входящие в интервал от 216 до 264.

В интервальных рядах распределения с равными интервалами мода вычисляется по формуле:

где х_{Мo — нижняя граница модального интервала,}.

h — величина модального интервала,.

f_{Mo — частота модального интервала,}.

f_{Mo-1 — частота интервала, предшествующего модальному,}.

f_{Mo+1 — частота интервала, следующего за модальным.}.

Вывод. В данном случае наибольший процент предприятий по уровню производительности труда приходится на интервал от 216 до 264, а само значение средней характеризуется 246 (тыс.руб.).

Медиана (Ме) — это вариант, который находится в середине вариационного ряда. Медиана делит ряд на две равные (по числу единиц) части — со значениями признака меньше медианы и со значениями признака больше медианы. Чтобы найти медианы, необходимо отыскать значение признака, которое находится в середине упорядоченного ряда.

Определяем медианный интервал, используя графу 5 табл. 4. Медианным интервалом является интервал 216−264 тыс. руб., т.к. именно в этом интервале накопленная частота S_j=19 впервые превышает полу-сумму всех частот.

.

В интервальных рядах распределения медианное значение (поскольку оно делит всю совокупность на две равные по численности ряды) оказывается в каком-то из интервалов признака х. Этот интервал характерен тем, что его кумулятивная частота (накопленная сумма частот) равна или превышает полу-сумму всех частот ряда. Значение медианы вычисляется линейной интерполяцией по формуле:

Вывод: Полученный результат говорит о том, что из 30 организаций половина организаций имеют уровень производительности труда менее 247 тыс. руб., а вторая свыше.

3. Решение:.

Для расчета характеристик ряда распределения, у, у2, V_{у на основе табл. 4 строим вспомогательную таблицу 5 (x'j — середина интервала).}.

Средняя арифметическая взвешенная — средняя сгруппированных величин x₁, x₂, …, x_n — вычисляется по формуле:

Среднее квадратическое отклонение — это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Рассчитаем среднее квадратическое отклонение, которое равно корню квадратному из дисперсии:

Рассчитаем дисперсию:

у2 = 54,1405²=2931,2.

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение средне квадратического отклонения к средней арифметической.

Рассчитаем коэффициент вариации:

Вывод. Анализ полученных значений показателей и у говорит о том, что средняя величина уровня производительности труда составляет 248 тыс. руб. отклонение от этой величины в ту или иную сторону составляет 54,1405 (или 21,83%), наиболее характерный уровень производительности труда находится в пределах от 194 до 302 тыс. руб. (диапазон).

Значение V_у = 21,83% не превышает 33%, следовательно, вариация уровня производительности труда в исследуемой совокупности организаций незначительна и совокупность по данному признаку однородна. Расхождение между значениями незначительно (=248 тыс. руб., Мо=246 тыс. руб., Ме=247 тыс. руб.), что подтверждает вывод об однородности совокупности организаций. Таким образом, найденное среднее значение уровня типичной производительности является типичной, надежной характеристикой исследуемой совокупности организаций.

4. Решение:.

Для расчета средней арифметической по исходным данным по уровню производительности труда применяется формула средней арифметической простой:

.

Причина расхождения средних величин, рассчитанных по исходным данным (247 тыс. руб.) и по интервальному ряду распределения (248 тыс. руб.), заключается в том, что в первом случае средняя определяется по фактическим значениям исследуемого признака для всех 30-ти организаций, а во втором случае в качестве значений признака берутся середины интервалов х_{j' и, следовательно, значение средней будет менее точным. Вместе с тем, при округлении обеих рассматриваемых величин их значения совпадают, что говорит о достаточно равномерном распределении уровня производительности труда внутри каждой группы интервального ряда.}.

Задание 2.

По исходным данным необходимо выполнить следующее:

1. Установить наличие и характер корреляционной связи между признаками фондоотдача и уровень производительности труда, образовав пять групп с равными интервалами по каждому из признаков, используя метод аналитической группировки;

2. Измерить тесноту корреляционной связи, между фондоотдачей и уровнем производительности труда с использованием коэффициента детерминации и эмпирического корреляционного отношения.

Сделать выводы.

Выполнение Задания 2:.

По условию Задания 2 факторным является признак Фондоотдача, результативным — признак Уровень производительности труда.

1. Решение:.

Аналитическая группировка строится по факторному признаку Х и для каждой j-ой группы ряда определяется средне групповое значение результативного признака Y. Если с ростом значений фактора Х от группы к группе средние значения систематически возрастают (или убывают), между признаками X и Y имеет место корреляционная связь.

Используя разработочную таблицу 2, строим вспомогательную таблицу 6 для проведения в дальнейшем аналитической группировки.

Используя таблицу 6, строим аналитическую группировку, характеризующую зависимость между факторным признаком Х — Фондоотдача и результативным признаком Y — Уровень производительности труда.

Групповые средние значения y_{j получаем из таблицы 6 (графа 5), основываясь на итоговых строках «Всего». Построенную аналитическую группировку представляет табл. 7.:}.

Вывод. Анализ данных табл. 7 показывает, что с увеличением фондоотдачи от группы к группе систематически возрастает и средний уровень производительности труда по каждой группе организаций, что свидетельствует о наличии прямой корреляционной связи между исследуемыми признаками.

2. Решение:.

Коэффициент детерминации характеризует силу влияния факторного (группировочного) признака Х на результативный признак Y и рассчитывается как доля межгрупповой дисперсии признака Y в его общей дисперсии:

где — общая дисперсия признака Y, — межгрупповая (факторная) дисперсия признака Y.

Общая дисперсия характеризует вариацию результативного признака, сложившуюся под влиянием всех действующих на Y факторов (систематических и случайных) и вычисляется по формуле.

.

где y_{i — индивидуальные значения результативного признака;}.

— общая средняя значений результативного признака;

n — число единиц совокупности.

Межгрупповая дисперсия измеряет систематическую вариацию результативного признака, обусловленную влиянием признака-фактора Х (по которому произведена группировка) и вычисляется по формуле:

.

гдегрупповые средние,.

— общая средняя,.

— число единиц в j-ой группе,.

k — число групп.

Для расчета показателей и необходимо знать величину общей средней, которая вычисляется как средняя арифметическая простая по всем единицам совокупности:

Значения числителя и знаменателя формулы имеются в табл. 7 (графы 3 и 4 итоговой строки). Используя эти данные, получаем общую среднюю :

Для расчета общей дисперсии применяется вспомогательная табл. 8.

Рассчитаем общую дисперсию:

Для расчета межгрупповой дисперсии строим вспомогательную таблицу 9. При этом используются групповые средние значения из табл. 7 (графа 5).

Рассчитаем межгрупповую дисперсию:

Определяем коэффициент детерминации:

Вывод. 93,53% вариации уровня производительности труда обусловлено вариацией уровня фондоотдачи, а 6,47% - влиянием прочих неучтенных факторов.

Эмпирическое корреляционное отношение оценивает тесноту связи между факторным и результативным признаками и вычисляется по формуле:

Рассчитаем показатель :

Для оценки тесноты связи с помощью корреляционного отношения используется шкала Чэддока (см. теоретическую часть стр. 14):

Вывод: согласно шкале Чэддока связь между средним уровнем производительности труда и фондоотдачей по организациям является весьма тесной.

Задание 3.

По результатам выполнения Задания 1 с вероятностью 0,683 определите:

1. ошибку выборки среднего уровня производительности труда и границы, в которых будет находиться средний уровень производительности труда в генеральной совокупности.

2. ошибку выборки доли организаций с уровнем производительности труда 264 тыс. руб. и более и границы, в которых будет находиться генеральная доля.

Выполнение Задания 3..

1. Решение:.

Применяя выборочный метод наблюдения, необходимо рассчитать ошибки выборки (ошибки репрезентативности), т.к. генеральные и выборочные характеристики, как правило, не совпадают, а отклоняются на некоторую величину е.

Принято вычислять два вида ошибок выборки — среднюю и предельную .

Для расчета средней ошибки выборки применяются различные формулы в зависимости от вида и способа отбора единиц из генеральной совокупности в выборочную.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора средняя ошибка для выборочной средней определяется по формуле.

.

где — общая дисперсия изучаемого признака,.

N — число единиц в генеральной совокупности,.

n — число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная средняя:

.

.

где — выборочная средняя,.

— генеральная средняя.

Предельная ошибка выборки кратна средней ошибке с коэффициентом кратности t (называемым также коэффициентом доверия):

Коэффициент кратности t зависит от значения доверительной вероятности Р, гарантирующей вхождение генеральной средней в интервал, называемый доверительным интервалом.

Наиболее часто используемые доверительные вероятности Р и соответствующие им значения t задаются следующим образом (табл. 10):

Таблица 10.

По условию Задания 2 выборочная совокупность насчитывает 30 организаций, выборка 20% бесповторная, следовательно, генеральная совокупность включает 150 организаций. Выборочная средняя, дисперсия определены в Задании 1 (п. 3). Значения параметров, необходимых для решения задачи, представлены в табл. 11:

Таблица 11.

Рассчитаем среднюю ошибку выборки:

Рассчитаем предельную ошибку выборки:

Определим доверительный интервал для генеральной средней:

Вывод. На основании проведенного выборочного обследования с вероятностью 0,683 можно утверждать, что для генеральной совокупности организаций средняя величина среднего уровня производительности труда находится в пределах от 239 до 257 тыс. руб.

2. Решение:.

Доля единиц выборочной совокупности, обладающих тем или иным заданным свойством, выражается формулой.

.

где m — число единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

n — общее число единиц в совокупности.

Для собственно-случайной и механической выборки с бесповторным способом отбора предельная ошибка выборки доли единиц, обладающих заданным свойством, рассчитывается по формуле.

.

где w — доля единиц совокупности, обладающих заданным свойством;

(1-w) — доля единиц совокупности, не обладающих заданным свойством,.

N — число единиц в генеральной совокупности,.

n— число единиц в выборочной совокупности.

Предельная ошибка выборки определяет границы, в пределах которых будет находиться генеральная доля р единиц, обладающих исследуемым признаком:

По условию Задания 3 исследуемым свойством организаций является равенство или превышение среднего уровня производительности труда 264 тыс. руб..

Число организаций с данным свойством определяется из табл. 2 (графа 2):

m=12.

Рассчитаем выборочную долю:

Рассчитаем предельную ошибку выборки для доли:

Определим доверительный интервал генеральной доли:

Вывод. С вероятностью 0,683 можно утверждать, что в генеральной совокупности организаций региона доля организаций с средним уровнем производительности труда 264 тыс. руб. и более будет находиться в пределах от 32% до 48%.

Задание 4.

По результатам расчетов заданий 1 и 2 найдите уравнение корреляционной связи между фондоотдачей и производительностью труда, изобразите корреляционную связь графически.

Для определения тесноты корреляционной связи рассчитайте коэффициент корреляции. Сделайте выводы.

Выполнение задания 4..

Имеются данные по 30 предприятиям по уровню производительности труда и фондоотдачи.

Уравнение корреляционной связи (уравнение регрессии, модели) выражает количественное соотношение между факторным (x — фондоотдача) и результативным (y — уровень производительности труда) признаками. Рассмотрим прямолинейную форму зависимости y от x:

Поскольку для установления наличия корреляционной связи между признаками применялся метод аналитической группировки, то параметры для уравнения регрессии рационально определить по сгруппированным данным (табл. 7). В таком случае система нормальных уравнений для уравнения прямой будет иметь вид:

где — групповые средние результативного признака, x — середина интервалов факторного признака. Используя данные табл. 7 строим расчетную таблицу 10, чтобы получить численные значения параметров уравнения регрессии а₀ и а₁:

Итак, получилось, что а₀=1,494, а а₁=227,431. Нас интересует именно параметр а₁, показывающий изменение результативного признака при изменении факторного признака на единицу.

Итак, уравнение корреляционной связи между фондоотдачей и производительностью труда выглядит так:

График 2. Графическое изображение корреляционной связи.

Теперь вычислим линейный коэффициент корреляции, который называется линейным коэффициентом детерминации. Из определения коэффициента детерминации очевидно, что его числовое значение всегда заключено в пределах от 0 до 1, т. е.. Степень тесноты связи полностью соответствует теоретическому корреляционному отношению, которое является более универсальным показателем тесноты связи по сравнению с линейным коэффициентом корреляции.

Составим расчетную таблицу 11, которая будет иметь вид:

Для практических вычислений линейный коэффициент корреляции удобнее исчислять по формуле:

Вывод: Факт совпадения и несовпадения значений теоретического корреляционного отношения и линейного коэффициента корреляции используется для оценки формы связи. В нашем случае несовпадение этих величин говорит о том, что связь между изучаемыми признаками не прямолинейна, а криволинейна. Итак, можно сделать вывод, что связь между уровнем производительности труда и фондоотдачей по организациям является весьма тесной криволинейной.

IV. Заключение.

Итак, в заключение хочется отметить, что понятия «корреляция» и «регрессии» тесно связаны между собой. В экономических исследованиях корреляционный и регрессионный анализ нередко объединяют в один — корреляционно-регрессионный анализ. Подразумевается, что в результате такого анализа будет построена регрессионная зависимость (т.е. проведен регрессионный анализ) и рассчитаны коэффициенты ее тесноты и значимости (т.е. проведен корреляционный анализ).

Практическая реализация корреляционно-регрессионного анализа включает следующие этапы:

1. Постановка задачи — определяются показатели, зависимость между которыми подлежит оценке, формулируется экономически осмысленная и приемлемая гипотеза о зависимости между ними;

2. Формирование перечня факторов, их логический анализ — выбирается оптимальное число наиболее существенных переменных факторов, влияющих на зависимый показатель;

3. Спецификация функции регрессии — дается конкретная формулировка гипотезы о форме зависимости;

4. Оценка функции регрессии и проверка адекватности модели — определяются числовые значения параметров регрессии, вычисляется ряд показателей, характеризующих точность проведенного анализа;

5. Экономическая интерпретация — результаты анализа сравниваются с гипотезами, сформулированными на первом этапе исследования, оценивается их правдоподобие с экономической точки зрения, делаются аналитические выводы.

Следует заметить, что традиционные методы корреляции и регрессии широко представлены в разного рода статистических пакетах программ для ЭВМ. Исследователю остается только правильно подготовить информацию, выбрать удовлетворяющий требованиям анализа пакет программ и быть готовым к интерпретации полученных результатов. Алгоритмов вычисления параметров связи существует множество, и в настоящее время вряд ли целесообразно проводить такой сложный вид анализа вручную. Вычислительные процедуры представляют самостоятельный интерес, но знание принципов изучения взаимосвязей, возможностей и ограничений тех или иных методов интерпретации результатов является обязательным условием исследования.

Анализ отчетности не замыкается на специфических, разработанных в его рамках приемах, но активно использует самые разнообразные методики, творчески переработав их применительно к собственным требованиям. В частности, использование корреляционно-регрессионного анализа позволяет более эффективно решать задачи прогнозирования доходов организации и планирования ее будущего финансового состояния, в связи с чем, данный математический метод рекомендуется использовать более активно.