Максимальные действия торов на момент-угол многообразиях

О теме диссертации.

Теория действий тора имеет длинную историю развития и образует важную область алгебраической топологии. За последние 15 лет на стыке эквивари-антной топологии, алгебраической и симплектической геометрии, комбинаторики, коммутативной и гомологической алгебры возникла новая область исследований — торическая топология, которая быстро привлекла внимание большого числа исследователей и активно развивается в настоящее время. Во> второй половине прошлого века в алгебраической геометрии возникло важное направление исследований — торическая геометрия, центральным объектом которой являются торические многообразия. Она является богатым источником явных примеров алгебраических многообразий и имеет яркие приложения в таких областях, как теория особенностей и математическая физика. В, работе М. Дэвиса и Т. Янушкевича [31] были введены квазиторические многообразия — топологические аналоги торических многообразий из алгебраической геометрии, а также малые накрытия — вещественные аналоги квазито-рических многообразий. Квазиторическое многообразие М2п снабжено действием п-мерного тора Тп, локально имеющего вид стандартного действия Тп на Сп, причём пространством орбит является простой многогранник Рп, комбинаторика которого тесно связана с топологией многообразия, например числа Бетти (32к (М2п) равны /г-числам Нь (Рп). Квазиторические многообразия и малые накрытия дают большой набор примеров многообразий с богатой геометрией. Например, В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов и Н. Рэй [8, 29] показали, что в размерностях, больших двух, каждый класс комплексных кобордизмов содержит связное квазиторическое многообразие с естественной стабильно комплексной структурой, согласованной с действием тора, а.

А. А. Гайфуллин [11] показал, что каждый класс гомологий топологического пространства X реализуется с некоторой кратностью образом фундаментального цикла малого накрытия над пермутоэдром.

Для построения квазиторических многообразий Дэвису и Янушкевичу потребовалась конструкция (га + п)-мерного многообразия Яр с каноническим действием тора Тт, таким что простой многогранник Рп с га гипергранями является пространством орбит. Эта конструкция является обобщением известной конструкции Э. Б. Винберга [10]. В. М. Бухштабер и Т. Е. Панов в [5, 6] показали, что многообразие Яр, названное момент-угол многообразием, обладает канонической гладкой структурой и на основе его конструкции ввели функтор из категории симплициальных комплексов в категорию пространств с действием тора. Эти работы положили начало торической топологии как нового направления исследований. Диссертация посвящена развитию теории момент-угол многообразий и её приложениям.

Основным объектом изучения в диссертации является инвариант, харак- -теризующий действие тора на момент-угол многообразии. Квазиторические многообразия получаются как факторпространства момент-угол многообразия Яр по свободному действию (га — п)-мерного тора Тт~п С Тт. Размерность га — п является максимальной возможной размерностью тора Тг С Тт, свободно действующего на Яр, и не для всякого многогранника она достигается. Многообразие Яр зависит только от комбинаторного типа многогранника Р, что даёт возможность исследовать комбинаторику многогранника при помощи топологии момент-угол многообразия и наоборот (например, имеет место изоморфизм градуированных групп П.* (Яр) ~ Тог^,.^] (ЩКр, Ъ), следовательно, кольцо В* (Яр) имеет биградуированную структуру и биграду-ированные числа Бетти ?3~д, 2р (Р) являются комбинаторными инвариантами многогранника Р.) На основании этого В. М. Бухштабер ввел комбинаторный инвариант в (Р) простого многогранника Р как максимальную размерность подгрупп Н ~ТГ С Тт, действующих свободно на Яр. Этот инвариант получил название число Бухштабера. В некотором смысле число я (Р) является мерой симметрии момент-угол многообразия. В 2002 году В. М. Бухштабер [7] поставил проблему найти алгоритм вычисления числа з (Р) по комбинаторике многогранника Р. Так как конструкция многообразия Яр распространяется на любой симплициальный комплекс таким образом, что Zp — Zkp, где Кр = дР* - граница двойственного симплициального многогранника, то аналогичная проблема формулируется для произвольного симплициального комплекса К.

Инвариант Бухштабера изучается с 2001 года. Так И. В. Изместьев [12] показал, что s (P) ^ т —7(Р), где 7(Р) — хроматическое число многогранника, то есть наименьшее число цветов, для которого существует такая раскраска гиперграней, что любые две пересекающиеся гиперграни имеют разный цвет. М. Йосвиг [46] показал, что 7(Р) = п тогда и только тогда, когда каждая двумерная грань имеет чётное число рёбер. Мы покажем, что на самом деле верна более сильная оценка s (P) ^ т — 7 (Р) + s (A^Ii), откуда возникает задача нахождения числа Бухштабера остовов симплексов. А. А. Айзенберг [1, 2, 15] показал, что s (K) ^ т — [log2(7(К) + 1)], где т — |vert (K)|, причём если К — граф, то имеет место равенство. Он также предложил универсальный подход к построению комбинаторных инвариантов симплициаль-ных комплексов, обобщающих хроматическое число многогранника. Рассмотрим последовательность симплициальных комплексов {Lk}k^i с заданными невырожденными симплициальными отображениями Lk —> Lk+. Положим L (K) — наименьшее число к, такое что существует невырожденное симпли-циальное отображение К —> LkЕсли Lk = Afc1, то L (K) = 7{К), если*. Lk = Ад!0, то L (K) = dim К, если же Lk = Uk — универсальный комплекс Дэвиса-Янушкевича, вершинами которого являются векторы из Zfc {0}, а симплексами — наборы векторов, образующие часть некоторого базиса в то ЦК) = |vert (if)| - s (K).

Одним из подходов к изучению числа s (P) является рассмотрение его вещественного аналога sk (P). В этом случае sr (P) = m — п тогда и только тогда, когда над многогранником существует хотя бы одно малое накрытие. Легко показать, что s (K) ^ s^(K), причём А. А. Айзенбергом был придуман пример 3-мерного симплициального комплекса К, для которого неравенство строгое. Мы показываем, что если г = 1,2,3, то s{K) ^ г тогда и только тогда, когда s&(K) ^ г.

В работе М. Масуды и Ю. Фукукавы [38] были получены значительные результаты о вычислении числа svt (m, p) = sr (A™Ii). Они переформулировали задачу как задачу целочисленного линейного программирования следующим образом. Существует такой набор чисел {гпк{Ь)}к², ь⁰: что Б^т^р) = к тогда и только тогда, когда тпк+{р — 1) < га < тк (р — 1), причём число тк (Ъ) равно максимальному целому значению, которой принимает линейная функция ]С"е (г2)*{о} ®"/ на множестве ау) <Е %№ 2)к{0}: а&bdquo- ^ Ъ для каждого и € {Ъ2)к {0}}. и, у)=0.

Ими был получен следующий результат. Пусть Ь = (2к~г — 1 +В, где ф, Д — неотрицательные целые числа, такие что 0 ^ Д ^ 2к~1 — 2, и пусть 0 ^ I < к — 2 — такое целое число, что г*" 1 — 2*-1-' < Д < 2к~1 — г*" 1″ ^). Тогда.

2к — 1) д + Д + 2*-1 — < тЦЬ) ^ (2* - 1) д + 2Д, причём нио/сняя оценка достигается тогда и только тогда, когда, Д — (2к~г — 2к~1~1) ^ к — I — 2, а верхняя — тогда и только тогда, когда Д = 2к~г — 2к~1~1. На основе многочисленных вычислений М. Масуда и Ю. Фукукава предложили гипотезу о том, что тк ((2к~1 — 1) д + Д) = (2* - 1)<Э + тк{Я), и доказали её для «достаточно больших» 6, а именно:

Пусть Ъ ^ (2*-1 — 1)(2к~2 — 1). Тогда тк (2к~1 — 1 + Ъ) = 2к — 1 + тк (Ъ).

А. А. Айзенбегом были придуманы примеры графов и Г2, таких что 5(Г1*Г2) ф в (Г1) + в (Г2) и аналогично для вещественного числа Бухштабера. Им был также построен аналог хроматического многочлена для в^К).

Целью настоящей работы является построение теории инварианта Бухштабера: развитие методов вычисления, анализ связи с другими инвариантами, исследование поведения инварианта относительно операций и структур, связанных с простыми многогранниками, вычисление значения для специальных классов многогранников и симплициальных комплексов.

Легко показать, что любой простой го-мерный многогранник с га = п + 2 гипергранями проективно эквивалентен прямому произведению симплексов. Таким образом, первый нетривиальный случай возникает, когда га = п + 3.

Полная комбинаторная классификация таких многогранников была получена в книге Б. Грюнбаума [44] при помощи так называемых «звёздных» диаграмм, а также М. Перлесом на основе диаграмм Гейла, который также получил формулу для числа комбинаторных типов. Б. Грюнбаумом была получена формула для изменения чисел граней при добавлении одной звезды в звёздную диаграмму. При помощи этой формулы можно найти все числа граней в виде сумм по всем звёздам диаграммы. Результаты В. М. Бухшта-бера и Т. Е. Панова [29] позволяют применить теорему Лопе де Медрано [49] о пересечении квадрик к момент-угол многообразиям и получить, что для многогранника Р" ст = п + 3 многообразие 2р является либо прямым произведением трёх сфер нечётной размерности, либо связной суммой прямых произведений сфер, причём их количество и размерности определяются диаграммой Гейла многогранника. В диссертации рассмотрены многогранники с т = п + 3 с точки зрения максимальных действий торов: вычислены число Бухштабера и биградуированное кольцо когомологий многообразия Др, показано, что в этом случае число Бухштабера з (Р) определяется биградуиро-ванными числами Бетти {(3~д, 2р (Р)}. Кроме того, мы получаем компактную формулу для /¿—полинома в терминах диаграммы Гейла.

В диссертации рассмотрены также задачи, важные для развития связей торической топологии с другими актуальнымиразделами математики, такими как комбинаторика симметрической группы, теории алгебр Хопфа и квазисимметрических функций.

Простой многогранник называется флаговым, если любой набор его попарно пересекающихся гиперграней имеет непустое пересечение. Можно показать, что для флаговых многогранников я (Р) ^ Г12^] И3 соотношений Дена-Соммервилля следует, что для любого простого многогранника его /¿—полином к{Р)(а, ?) = ДР)(а -*,*) = («- *)п + !п-г{а — 1) п~Н + • • • + /04п, где /г- - число г-мерных граней, является симметрическим, поэтому его можно представить в виде.

Н{Рп)(а, г) = то (а + 1) п + ъ (оЛ)(а + ¿-)п~2 + • • • + 1[ч]{афа +.

Нас интересует следующая известная задача: что можно сказать о /-векторе 8 простого флагового многогранника? (Можно также ставить более общий вопрос о /-векторе произвольной флаговой триангуляции сферы.) В работе [39] С. Р. Гал придумал контрпример к гипотезе Т. Янушкевича о том, что все корни /¿—полинома флагового многогранника являются вещественными. В связи с этим он поставил вопрос, какой геометрический или комбинаторный смысл имеют числа ^ и в качестве гипотезы предположил, что они неотрицательны для флаговых многогранников.

В работе [3] В. М. Бухштабер заметил, что.

КР) = = г=0 г=0 где (до, ди '' • ,?[§]) = (/?0, Ы — • • •, %] - %]-1) ~^{-вектор} простого многогранника, и как следствие получил, что:

1) Я = Е Ш-Л^У, Но т (1п) = - С¹ > 0 при 0 ^ г ^ §, поэтому.

3=О неотрицательность 7-вектора влечёт условие Макмюллена — неотрицательность^{-вектора.} г. .

2) 7 г = (—.1)гЕ (—Таким образом, условие неотрицательного сти 7-вектора можно записать в виде системы линейных неравенств в пространстве <?-векторов, что в силу д-теоремы ([59, 23]) даёт описание всех /-• векторов простых многогранников с условием 7, ^ 0. К примеру, 71 = т—2п, где ш-число гиперграней многогранника, 72 = дч — (п — 3) д + С22 (отсюда при 71 ^ 0,72 ^ 0 обязательно <72 ^) ^.

Таким образом, 7г- - это коэффициенты разложения полинома Ь (Р) по Н-полиномам кубов. Гипотеза Гала гласит, что они неотрицательны для флаговых многогранников. Числа ^ - это коэффициенты в разложении полинома /¿-(Р) по /¿—полиномам симплексов. Они всегда неотрицательны согласно ¿-/-теореме. В. М. Бухштабер сформулировал более общую задачу: какой геометрический или комбинаторный смысл имеют коэффициенты в разложении полинома /¿-(Р) по /¿—полиномам произвольной серии простых многогранников по одному в каждой размерности (например, серии ассоциэдров или перму-тоэдров), и, в частности, что означает их неотрицательность.

Гипотеза Гала предлагает достаточное условие для неотрицательности 7вектора, но уже в трёхмерном случае нетрудно найти нефлаговый много9 гранник, у которого 71 — га — б ^ 0, где га-число гиперграней. Например, треугольная призма со срезанной вершиной.

В работах А. Постникова [53] и Е. Фейхтнер и Б. Штурмфельса [37] был введён важный класс простых многогранников, называемых нестоэдрами. Как было показано А. Зелевинским [65], любой нестоэдр является многогранником Дельзанта. С точки зрения. максимальных действий торов из этого следует, что в{Р) — т — п. А. Постников, В. Райнер и Л. Вильяме [54] показали, что гипотеза Гала верна для нестоэдров, отвечающих так называемым хордовым производящим множествам. Мы рассматриваем нестоэдры РР) Ч, отвечающие полным двудольным графам Крл. Для них производящее множество не является хордовым. Развивая подход этих авторов, заключающийся в том, что вершинам нестоэдра сопоставляется некоторые перестановки так, что Ъ,-полином можно представить в виде производящей функции числа «спусков» этих перестановок, мы показываем, что для многогранников Ррл гипотеза Гала также верна. Этот же результат был независимо получен другим методом-. А. Фенном [34]. Отметим, что гипотеза Гала для произвольных нестоэдров была доказана В. Д. Володиным [9]. Его метод отличается от предыдущих и заключается в том, что, как оказалось, любой флаговый нестоэдр можно1 получить из куба последовательной срезкой граней коразмерности 2.

Ещё одна задача, рассмотренная, в диссертации связана с дифференциальным кольцом выпуклых многогранников, введённым В. М. Бухштабером [3, 67]. Это кольцо позволило исследовать комбинаторику чисел граней простых многогранников при помощи дифференциальных уравнений и комбинаторику флаговых чисел произвольных выпуклых многогранников методами теорий алгебр Хопфа и квазисимметрических функций. В частности, была построена производящая функция флаговых чисел многогранников со значениями в кольце полиномов от переменной, а с коэффициентами квазисимметрическими функциями, которая мультипликативна относительно прямого произведения. Был описан образ отображения при помощи функциональных уравнений и показано, что над <0> он является кольцом полиномов. Возникла задача интерпретации различных известных конструкций, связанных с многогранниками, в терминах кольца многогранников. В диссертации получена алгебраическая конструкция гомоморфизма (7 градуированного кольца.

А с А0 = А в кольцо полиномов А[ск, ?] = А[а-1, €?2,. — • •] по градуированной деформации умножения в А, то есть кольцевому гомоморфизму Ф: А —" А[а,?], Ф (а-0,0) = а. Конструкция функториальна в том смысле, что если Ф^: А —" А[а.,?, Фв'- В —> В[сх.,€ - градуированные деформации умножений и АА —> В — гомоморфизм градуированных А-алгебр, такой что АФ, а = Ф5Л, то = Св А. Найдено применение этой конструкции для модулей Хопфа над свободной ассоциативной алгеброй Хоп-фа 2 = ^2,.) с коумножением AZk = Yli+j=к ^ ® ^^ В частности для алгебры Рота-Хопфа И, частично упорядоченных множеств (см. [45]) и джойн-кольца многогранников это даёт торический д-полином (см. [60, 19]), а для кольца квазисимметрических функций Ойуга — д-полином квазисимметрической функции [22]. Преимуществом полученной нами конструкции является то, что из неё напрямую следует, что торический /¿—полином выпуклого многогранника является возвратным, а торический р-полином мультипликативен относительно джойна.

Р. Эренборгом [33] был построен гомоморфизм Р алгебры Рота-Хопфа в кольцо квазисимметрических функций, являющийся производящей функцией флаговых чисел частично упорядоченных множеств. Пользуясь сюръ-ективностью этого отображения, Л. Биллера, С. Хсиао и С. ван Виллен-берг [22] построили р-полином квазисимметрической функции, такой чтодозугп (?(Т)) = д (Т), и доказали его мультипликативность. Из нашей конструкции следует более простое и явное построение р-полинома квазисимметрических функций, а также его мультипликативность, при этом соотношение до3утп (^{Т)) = д (Т) следует из функториальности.

В х-кольце многогранников дифференцирование задаётся формулой.

11Рп = ^^ сумма всех гиперграней. гг-1 ср

В. М. Бухштабером [3] было показано, что на подкольце простых многогранников для /-полинома имеет место соотношение /(<1Р)(о-, ?) = ?), что позволило доказывать некоторые результаты (например, соотношения Дена-Соммервилля) при помощи дифференциальных уравнений по индукции. Оказалось, что если рассматривать последовательности простых многогранников, то в некоторых случаях производящая функция их /-полиномов.

11 удовлетворяет фундаментальным уравнениям в частных производных. Например, для последовательности многогранников Сташефа Asn производящая функция As (x, a, t) = Yln^o /(Asn)a-n+2 удовлетворяет уравнению Бюр-герса Ast = AsAsx. Мы получаем уравнения, которым удовлетворяют производящие функции простых многогранников Cn (m)*, двойственных к циклическим.

Краткий перечень результатов.

Основными результатами настоящей работы являются следующие.

1. Показано, что максимальная размерность s (P) торических подгрупп, действующих свободно на момент-угол многообразии Др, удовлетворяет следующим свойствам: a) s (P) = 1 тогда и только тогда, когда Р = Ап. b) Если 2 ^ т — п ^ то s (Cn (m)*) = 2. В частности, для любого к ^ 2 существует многогранник Р, такой что т —п = к и s (P) = 2. c) s (P) ^ т—7(jP)+s (A^Ii). Эта оценка улучшает результат И. В. Из-местьева. d) s (P) + s (Q) < s (P x Q) < s (P) + s (Q) + min{mi — щ — s (P), i7i2 — П2 — s (Q)}- В частности, s (P x Q) = < (mi+m2) —(гах+пг), если s (P) < mi — ni или s (Q) < 777,2 — n2. e) s (P) + s (Q) ^ s (P#VjWQ), где P#v, wQ ~ связная сумма многогранников вдоль вершин. f) Пусть [m] = u) i U • • • U cur, причём f) = 0 для каждого I? [г]. i? Ui.

Тогда s (P) ^ г. В частности s (P) ^ [?fj] • g) Если многогранник Q получается из многогранника Р при помощи г-перестройки, 2 ^ г < п — 1, то |s (P) — s (Q)| < 1. Кроме того, s (P) + 1 ^ s (PjjAn) ^ з (Р) + 2..

2. С точки зрения торической топологии исследован первый нетривиальный случай простых п-мерных многогранников с т = п + 3 гипергранями. Известно, что любой такой многогранник комбинаторно описывается при помощи правильного (2к — 1)-угольника Мчъс центром О и сюръективного отображения множества всех гиперграней в множество уег1-(М2*-1), причём гиперграни Рх,., Рг,., Рд,., Р*,., Рп+з пересекаются в вершине тогда и только тогда, когда 0 лежит внутри, треугольника, образованного образами гиперграней Рг, Р<-, Рг. В диссертации показано, что з (Р) = 3, если к ^ 4, и я (Р) = 2, если к ^ 5. На основе этого результата приведён пример двух многогранников Р и Я, таких что ДР) — ¡-(Я), 7(Р) = 7(д), но з (Р) ф з{Я). При помощи «-перестроек получена компактная формула для /г-полинома. Вычислено биградуированное кольцо когомологий Н*'*(Др). Как следствие получено, что Н*'*(Др) = Н*'*(Яд) тогда и только тогда, когда Р~д, 2р (Р) = (3~д, 2р (С2) для всехр, д, и получен пример жестких (в смысле [30]) многогранников. Получено, что 2к — 1 = Р~1,2р (Р), откуда следует, что для простого многогранника Рст^п + 3 число Бухшта-бера в (Р) может быть вычислено при помощи биградуированных чисел Бетти момент-угол многообразия 2р. Для т > п+3 этот вопрос остаётся открытым..

3. Доказана гипотеза Гала о числах граней флаговых многогранников для нестоэдров, отвечающих полным двудольнымграфам на основе развития метода А. Постникова, В. Райнера и Л. Вильямса [54] описания комбинаторики нестоэдров в терминах группы перестановок..

4. Получена функториальная алгебраическая конструкция кольцевых гомоморфизмов, которая в случае алгебры частично-упорядоченных множеств и, джойн-кольца выпуклых многогранников даёт торический д-полином, в случае кольца квазисимметрических функций — р-полином квазисимметричекой функции, а в случае кольца простых многогранников — отображение Рп —> /о (Р)?п, где /о (Р) — число вершин многогранника..

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [67, 68, 69, 70]..

13.

Содержание работы.

Здесь мы кратко опишем структуру работы. Диссертация разбита на главы, главы — на разделы, некоторые разделы — на подразделы. Теоремы, предложения, примеры, замечания и т. д. нумеруются в пределах раздела, а уравнения—в пределах главы. В конце введения мы приводим соглашения, которые используются в работе и список наиболее часто встречающихся обозначений..

1. А. А. Айзенберг, Курсовая работа, мехмат МГУ, 2009..

2. А. А. Айзенберг, Экспоненциальный закон для К-степени, УМН, 64:4(388) (2009), 175−176..

3. В. М. Бухштабер, Кольцо простых многогранников и дифференциальные уравнения, Труды математического института им. В. А. Стеклова, т.263, 2008, 1−26..

4. В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, Алгебра операторов на кольце многогранников и квазисимметрические функции, УМН, 65:2(392) (2010), 197—198..

5. В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Действия тора и комбинаторика многогранников, Труды МИРАН им. Стеклова, 225, 1999, 96−131.6.' В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Действия торов, комбинаторная топология и гомологическая алгебра, УМН, 55:5(335) (2000), 3—106..

6. В. М. Бухштабер, Т. Е. Панов, Торические действия в топологии и комбинаторике, М.: МЦНМО, 2004..

7. В. М. Бухштабер, Н. Рэй, Торические многообразия и комплексные кобордизмы, Успехи мат. наук 53 (1998), вып. 2, с. 139−140..

8. В. Д. Володин, Кубические реализации флаговых нестоэдров и доказательство гипотезы Гола для них, УМН, 65:1(391) (2010), 183−184..

9. Э. Б. Винберг, Дискретные линейные группы, пороэ! сдённые отражениями, Известия АН СССР, сер. матем. 35 (1971), 1072−1112..

10. А. А. Гайфуллин, Явное построение многообразий, реализующих заданные классы гомологий, Успехи математических наук, т. 62 (2007), № 6, с. 167−168..

11. И. В. Изместьев, Трехмерные многообразия, определяемые раскраской граней простого многогранника, Матем. заметки, 69:3 (2001), 375−382..

12. M. Aguiar, N. Bergeron, F. Sottile, Combinatorial Hopf Algebras and Generalized Dehn-Sommerville relations, Compositio Mathematica, 142(1)-, 2006, 1−30- arXiv: math/31 0016vl math.CO]..

13. A. Ayzenberg, The problem of Buchstaber number and its combinatorial aspects, arXiv:1003.0637vl math.CO]..

14. A. Bahri, M. Bendersky, F. R. Cohen, and S. Gitler, An infinite family of toric manifolds associated to a given one, manuscript..

15. A. Bahri, M. Bendersky, F. R. Cohen, S. Gitler, A new topological construction of infinite families of toric manifolds implying fan reduction, arXiv:1011.0094v2 math. AT]..

16. A. Baker, B. Richter, Quasisymmetric functions from a topological point of view, Math. Scand., 103, 2008, 208−242..

17. M. M. Bayer and R. Ehrenborg, The toric h-vector of partially ordered sets, Trans. Amer. Math. Soc., 352, 2000, 4515−4531. (electronic)..

18. M. M. Bayer, A. Klapper, A new index for polytopes, Discrete Comput. Geom., 6, 1991, 33−47..

19. M. M. Bayer and C. W. Lee, Combinatorial aspects of convex polytopes, in Handbook of convex geometry, Vol. A, B, North-Holland, Amsterdam, 1993, 485—534..

20. L. Billera, S. Hsiao, S. van Willigenburg, Peak quasisymmetric functions and Eulerian enumeration, Adv. Math, bf 176 (2003), no. 2, 248−276, arXiv: 0706.3486vl math.CO], 24 June 2007..

21. L. Billera, C. Lee, A proof of sufficiency of McMullen’s conditions for f-vectors of simplitial polytopes, J.Combin.Theory, Ser. A, 1981, V31, № 3, R237−255..

22. L. Billera, N. Liu, Non-commutative enumeration in graded posets, Journal of Algebraic Combinatorics, 12, 2000, 7−24..

23. F. Bosio, L. Meersseman, Real quadrics in C", complex manifolds and convex polytopes, Acta Math. 197 (2006), 53−127..

24. A. Bronsted, An introduction to convex polytopes, New York: Springer-Verlag, 1983. (Graduate Texts in Mathematicsv. 90)..

25. V. M. Buchstaber, N. Yu. Erokhovets, Ring of Polytopes, Quasi-symmetric functions and Fibonacci numbers, arXiv: 1002.0810 vl math.CO], 3 Feb 2010..

26. V. M. Buchstaber, N. Yu. Erokhovets, Polytopes, Hopf algebras and Quasi-symmetric functions, arXiv:1011.1536vl math.CO], 6 Nov 2010..

27. V. M. Buchstaber, T. E. Panov, N. Ray, Spaces of polytopes and cobordism of quasitoric manifolds., Moscow Math. J., v. 7, N 2, 2007, 219−242- arXiv: Math AT/609 346..

28. S. Choi, TPanov and D. Y. Suh, Toric cohomological rigidity of simple convex polytopes, Journal of the London Math. Society, II Ser. 82 (2010), no.2, 343−360- arXiv:0807.4800..

29. M. Davis, T. Januszkiewicz, Convex polytopes, Coxeter orbifolds and torus actions, Duke Math. J., 1991. V.62, N2, P.417−451..

30. M. Davis, J. Dymara, T. Januszkiewicz and B. Okun, Weighted L2-cohomology of Coxter groups, arXiv: math. GT/402 377..

31. R. Ehrenborg, On Posets and Hopf Algebras, Advances in Mathematics, 119, 1996, 1−25..

32. A. Fenn, Generating Functions of Nestohedra and Applications, arXiv:0908.0605vl math.CO].

33. J. Fine, A complete h-vector for convex polytopes, Preprint, arXiv: 0911.5722 v 1 math.CO], 30 Nov 2009..

34. J. Fine, A complete g-vector for convex polytopes, Preprint, arXiv: 1001.1562 v 1 math.CO], 10 Jan 2010..

35. E.-M. Feichtner, B. Sturmfels, Matroid polytopes, nested sets and Bergman fans, Portugaliae Mathematica 62 (2005), 437-^68..

36. Y. Fukukawa, M. Masuda, Buchstaber invariants of skeleta of a simplex, Osaka J. Math. Volume 48, Number 2 (2011), 549−582- arXiv:0908.3448v2 math. AT],.

37. S. R. Gal, Real root conjecture fails for fiveand higher-dimensional spheres, Discrete Comput. Geom. 34 (2005), no.2, P. 269−284..

38. I. M. Gel’fand, D. Krob, A. Lascoux, B. Leclerc, V. S. Retakh, J. -Y. Thibon, Noncommutative symmetric functions, Adv. Math., 112 (1995), 218—348, arXiv: hep-th/940 7124vl..

39. I. M. Gessel, Multipartite P-partitions and inner products of skew Schur functions, Contemp. Math. 34 (1984), 289−301..

40. S. Gitler, S. Lopes de Medrano, Intersections of quadrics, moment-angle manifolds and connected sums, arXiv: 0901.2580vl math. GT] 16 Jan 2009..

41. M. Hazewinkel, The Algebra of Quasi-Symmetric Functions is free over integers, Advances in Mathemetics, 164, 2001, 283−300..

42. B. Grunbaum, Convex Polytopes, Vol. 221 of Graduate Texts in Mathematics, SpringerVerlag, New York, Second ed., 2003..

43. S. Joni, G.-C. Rota, Coalgebras and bialgebras in combinatorics, Stud. Appl. Math., 61, 1979, 93−139..

44. M. Joswig, Projectivities in simplicial complexes and colorings of simple polytopes, Math. Z., 2002, V.240, N2, p.243−259- arXiv: math/10 2186v3 math.CO]..

45. G. Kalai, A new basis for polytopes, J. Combinatorial Theory, Ser. A, 49, 1988, 191—208..

46. Carl W. Lee, Sweeping the cd-Index and the Toric h-Vector, 2009, preprint: http://www.ms.uky.edu/ lee/cd.pdfarXiv: 1011.2264 vl math.CO], 10 Nov 2010..

47. S. Lopez de Medrano, The topology of the intersection of quadrics in Rn, Lecture Notes in Mathematics 1370 (1989), 280−292..

48. C. Malvenuto and C. Reutenauer, Duality between quasi-symmetric functions and the Solomon descent algebra, J. Algebra, 177, 1995, 967−982..

49. P. McMullen, The numbers of faces of simplitial polytopes, Israel J.Math. 1971, V9, P. 559−570..

50. S. P. Novikov,' Various doublings of Hopf algebras. Operator algebras on quantum groups, complex cobordisms, Russian Mathematical Surveys, 47:5, 1992, 198−199..

51. A. Postnikov, Permutohedra, associahedra, and beyond, arXiv: math.CO/507 163..

52. A. Postnikov, V. Reiner, L. Williams, Faces of generalized permutohedra, arXiv: math/609 184 v2 math.CO] 18 May 2007..

53. N. Ray, W. Schmitt, Combinatorial models for coalgebraic structures, Advances in Mathematics, v. 1, 138, Issue 2, 1998, 211−262..

54. W. Schmitt, Antipodes and incidence coalgebras, Journal of Combinatorial Theory, A, 46, 1987, 264−290..

55. W. Schmitt, Incidence Hopf Algebras, J. Pure Appl. Algebra 96, 1994, 299−330..

56. R. P. Stanley, Ordered structures and partitions, Memoirs of the American Mathematical Society, No. 119, American Mathematical Society, 1972..

57. R. Stanley, The number of faces of simplitial convex polytope, Advances in Math. 1980. V.35, № 3, P.236−238..

58. J. R. Stembridge, Enriched P-partitions, Trans. Amer. Math. Soc. 349 (1997), no. 2, 763−788..

59. C. Stenson, Relationships among flag f-vector inequalities for poly topes, Discrete and Computational Geometry, 31, 2004, 257−273..

60. J. -Y. Thibon, B. -C. -V. Ung, Quantum quasi-symmetric functions and Hecke algebras, Journal of Physics A 29 (1996), 7337−7348..

61. Yu. Ustinovsky, Doubling operation for polytopes and torus actions, UMN, 2009, V.64, Issue 5(389)..

62. A. Zelevinsky, Nested complexes and their polyhedral realizations, Pure and Applied Mathematics Quarterly 2 (2006), 655−671..

63. G. M. Ziegler, Lectures on Polytopes, Springer-Verlag, New York, 2007..

64. В. М. Бухштабер, Н. Ю. Ероховец, Многогранники, числа Фибоначчи, алгебры Хопфа и квазисимметрические функции, УМН, 66:2(398) (2011), 67−162..

65. Н. Ю. Ероховец, Момент-угол многообразия простых п-мерных многогогранников с п + 3 гипергранями, УМН, 63:5(383) (2011), 187−188..

66. Н. Ю. Ероховец, Гипотеза Гола для нестоэдров, отвечающих полным двудольным графам, Тр. МИАН, 266, МАИК, М., 2009, 127−139..

67. Н. Ю. Ероховец, Инвариант Бухштабера простых многогранников, УМН, 63:5(383) (2008), 187−188.Работы автора по теме диссертации..