Полный инвариант диффеоморфизмов Морса-Смейла на многообразиях размерности большей, чем 3

Предмет исследования. Настоящая диссертация посвящена топологической классификации структурно устойчивых дискретных динамических систем, заданных на замкнутых ориентируемых многообразиях размерности большей трех, и охватывает исследования автора 2002;2008 годов.

Актуальность темы

Данная работа относится к одному из важнейших разделов качественной теории дифференциальных уравнений — топологической классификации структурно устойчивых динамических систем на замкнутых многообразиях.

Топологическая классификация динамических систем включает в себя следующие направления:

• нахождение топологических инвариантов для класса рассматриваемых динамических систем;

• доказательство полноты множества найденных инвариантов, то есть доказательство того, что совпадение топологических инвариантов является достаточным условием топологической эквивалентности (сопряженности) двух динамических систем;

• построение по заданному множеству топологических инвариантов стандартного представителя в каждом классе топологически эквивалентных систем.

Приведем краткую информацию о результатах по топологической классификации гладких динамических систем, заданных на замкнутых многообразиях. Более подробную информацию об этом можно найти в книгах [65], [51], а также в обзорных статьях [3], [4], [7], [8], [6], [82], [22].

На двумерной сфере задача топологической классификации структурно устойчивых непрерывных динамических систем (потоков) была полностью решена в работах А. А. Андронова, Е. А. Леон-тович, А. Г. Майера, JI. С. Понтрягина ([1], [58], [59]). Фундаментом для этого явились идеи А. Пуанкаре и И. Бендиксона, связанные с выделением тех траекторий, знание и взаимное расположение которых однозначно задает качественную структуру разбиения фазового пространства динамической системы на траектории, а также идея грубости, принадлежащая А. А. Андронову и Л. С. Понтряги-ну (см. [1]).

Следующим шагом была топологическая классификация дискретных структурно устойчивых динамических систем (каскадов) на окружности, полученная вначале А. Г. Майером в [61] и затем независимо В. И. Арнольдом и В. А. Плиссом ([9], [73]).

Существенным продвижением в классификации структурно устойчивых потоков на поверхностях, отличных от двумерной сферы, явились работы [69], [70] М. Пейкшото. В частности, для таких потоков он нашел полный топологический инвариант, называемый теперь графом Пейкшото. Фактически, этот инвариант обобщает понятие схемы потока, введенной Е. А. Леонтович и А. Г. Майером для потоков на сфере, и сводит проблему топологической классификации к решению комбинарных задач. Достигнутый прогресс в классификации структурно-устойчивых потоков на поверхностях обусловлен тем, что эти потоки имеют конечное число гиперболических состояний равновесия и замкнутых гиперболических траекторий которые вместе с сепаратрисами седловых состояний равновесия однозначно определяют разбиение несущей поверхности на траектории.

При переходе к диффеоморфизмам на многообразиях размерности большей единицы или к потокам на многообразиях размерности большей двух становится возможным существование гомоклиниче-ских траекторий у структурно устойчивых систем, что приводит к существованию счетного множества периодических траекторий.

Этот феномен, обнаруженный в работах [2], [81] Д. В. Аносова и С. Смейла в 60-х годах, привел к-выделению и интенсивному изучению важного класса систем — динамических систем с гиперболической структурой неблуждающего множества, а также систем, не являющихся гиперболическими в строгом смысле, но обладающих предельными множествами с хаотическим поведением траекторий. Этой тематике посвящены работы таких математиков как Д. В. Аносов, В. И. Арнольд, В. Н. Белых, В. 3. Гринес, Ю. С. Ильяшенко, JI. М. Лерман, Ю. И. Неймарк, В. А. Плисс, Р. В. Плыкин, Е. А. Са-таев, Я. Г. Синай, А. М. Степин, А. Н. Шарковский, JI. П. Шильни-ков, Хр. Бонатти, Р. Боуэн, А. Каток, Р. Мане, Ш. Ньюхаус, Д. Орн-стейн, Дж. Пали, Я. Песин, Р. Робинсон, Д. Рюэль, А. Санами, С. Смейл, Д. Сулливан, Ф. Такенс, У. Терстен, Дж. Френке, М. Шуб и многих других (см., например, [3], [4], [5], [6], [7], [8], [10], [19], [64], [74], [78], где содержится обширная библиография по данной тематике) .

В то же время С. Смейл ввел класс динамических систем (потоков и диффеоморфизмов), аналогичных грубым потокам на поверхностях (см. [82]). Неблуждающее множество таких систем (получивших впоследствии название систем Морса-Смейла) состоит из конечного числа гиперболических периодических движений, устойчивые и неустойчивые многообразия которых пересекаются трансверсаль-но. И хотя потоки (диффеоморфизмы) Морса-Смейла не являются типичными на многообразиях размерности большей двух (большей единицы), они представляют класс структурно устойчивых динамических систем, имеющих важное значение в качественной теории и ее приложениях, связанных с адекватным описанием процессов, в которых отсутствуют хаотические явления.

Следует отметить, что новые проблемы в топологической классификации систем Морса-Смейла связаны с тем, что блуждающее множество потока (диффеомрфизма) на многообразии размерности большей двух (большей единицы) устроено, вообще говоря, значительно сложнее, чем в соответствующих динамических системах на многообразиях меньшей размерности. Так, В. С. Афраймович и JI. П. Шильников в [11] доказали, что ограничение многомерных потоков Морса-Смейла на замыкание множества гетероклинических траекторий сопряжено с надстройкой над марковской цепью.

К настоящему времени имеются весьма законченные результаты по топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла на двумерных многообразиях, полученные в работах В. 3. Безденежных, Е. А. Боревич, И. Ю. Власенко, В. 3. Грине-са, X. Бонатти и Р. Ланжевена (см. [14]-[18], [28], [32], [45], [27]). Одним из основных инвариантов для перечисленных классов топологической сопряженности является некоторый граф, аналогичный графу Пейкшото, снабженный дополнительной информацией, описывающей структуру множества гетероклинических траекторий.

Что касается вопроса топологической классификации потоков Морса-Смейла на многообразиях размерности большей двух, то здесь имеется небольшое число законченных результатов. Среди них отметим результат Ж. Флейтаса, который на языке диаграмм Хегора дал классификацию полярных потоков на замкнутых 3-многообразиях, то есть потоков Морса-Смейла, неблуждающее множество которых состоит в точности из одной стоковой, одной источ-никовой и 2к, к > 2 седловых особых точек (см. [41]). Я. JI. Уман-ским в [90] найдены необходимые и достаточные условия топологической эквивалентности потоков Морса-Смейла с конечным множеством особых траекторий на трехмерных ориентируемых многообразиях. Топологический инвариант Я. JI. У майского является обобщением схемы динамической системы, введенной Е. А. Леонтович и А. Г. Майером. С. Ю. Пилюгин в [71] полностью решил задачу классификации для потоков Морса-Смейла на сфере Sn размерности п > 3, в предположении, что эти потоки не имеют замкнутых траекторий и гетероклинических пересечений. Инвариантом для таких потоков является граф, аналогичный графу Пейкшото.

В неавтономном случае системы типа Морса-Смейла изучались Л. М. Лерманом и Л. П. Шильниковым, которые построили инварианты равномерной сопряженности таких систем (см. [60]).

Как стало ясно сравнительно недавно, классификация диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на многообразиях размерности 3 и выше, является принципиально более сложной по сравнению с классификацией аналогичных потоков или диффеоморфизмов на двумерных многообразиях. В частности, из работы [21] следует, что уже в классе диффеоморфизмов трехмерной сферы с неблуждающим множеством, состоящим из четырех неподвижных точек: седла, одного источника и двух стоков, существует счетное множество топологически несопряженных диффеоморфизмов (при этом их графы Пейкшото изоморфны). Этот результат связан с возможностью дикого вложения инвариантных многообразий седловых периодических точек. На рис. 1, изображены инвариантные многообразия двух топологически не сопряженных диффеоморфизмов /, /', принадлежащих данному классу. Замыкание двумерной сепаратрисы и одной из одномерных сепаратрис седловой неподвижной точки а' диффеоморфизма /' являются дикими сферой и дугой соответственно.

Отметим, что примеры диких вложений кривых и двумерных сфер были открыты в работах Дж. Александера (1924 г.), Е. Артина и Р. Фокса (1948 г.), а их существование в качестве замыкания инвариантных многообразий структурно устойчивых диффеоморфизмов было обнаружено Д. Пикстоном (см. [72]).

Построению топологических инвариантов для диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на многообразиях размерности 3, в предположениях различной общности посвящены работы Хр. Бо-натти, В. 3. Гринеса, В. С. Медведева, Е. Пеку и О. В. Починки [21], [23], [24], [25], [26]. Топологические инварианты, введенные в этих работах, представляют собой комбинацию классических комбинаторных инвариантов, аналогичных графу Пейксото, с новыми топологическими инвариантами, описывающими вложение сепаратрис.

В диссертации выделен важный класс Gi (Mn) диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных па ориентируемых многообразиях размерности большей чем 3, для которого удалось доказать, что полным топологическим инвариантом диффеоморфизмов из G (Mn) вновь является граф Пейкшото (с заданным на нем автоморфизмом).

Доказательство этого результата существенно основано на полученных относительно недавно фактах из топологии многообразий высших размерностей, не имеющих места в размерности 3. Наиболее важными из них являются результаты Дж. Кантрелла, А. В. Чер-навского и Р. Давермана о вложении в многообразие размерности п > 3 дуг и многообразий коразмерности 1 (см. [35], [87] и [38]), следствием которых явилась невозможность дикого вложения замыкания сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизмов Морса-Смейла из рассматриваемого в диссертации класса.

Пусть G (Mn) — класс сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на связном замкнутом гладком ориентируемом многообразии Мп размерности п > 4 и таких, что любой / е Gi (Mn) удовлетворяет следующим условиям:

1) неустойчивое многообразие любой седловой периодической точки из множества является одномерным;

2) неустойчивые и устойчивые многообразия различных седловых периодических точек из не пересекаются.

Цель работы состоит в топологической классификации диффеоморфизмов из множества G (Mn), то есть нахождению полного топологического инварианта и построению стандартного представителя каждого класса топологической сопряженности.

Методы исследования. Используются топологические и геометрические методы исследования нелокальных свойств динамических систем на многообразиях.

Научная новизна. Диссертация посвящена развитию важного направления в теории динамических систем на многообразиях — отысканию топологических инвариантов, определяющих глобальное поведение траекторий дискретных динамических систем на гладких замкнутых ориентируемых многообразиях размерности большей трех и применению этих инвариантов к решению проблемы топологической классификации.

Автором решены следующие задачи, определяющие новизну работы:

1) Изучена топология вложения замыканий сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизмов, принадлежащих классу G (Mn). Установлено отсутствие дикого вложения замыкания сепаратрис седловых периодических точек. В частности, доказано, что замыкание сепаратрисы размерности (п — 1) седловой периодической точки диффеоморфизма / 6 G (Mn) является цилиндрически вложенной сферой Sn~l.

2) Установлено, что для любого диффеоморфизма класса G (Mn) несущее многообразие Мп является сферой Sn, а неблуждающее множество состоит в точности из одной отталкивающей точки, к > 1 седловых и к + 1 притягивающих точек.

3) Каждому диффеоморфизму / 6 G{Mn) поставлен в соответствие топологический инвариант, представляющий собой ориентированный граф Г (/), множество вершин которого изоморфно множеству неблуждающих точек Г2(/), а множество ребер изоморфно множеству сепаратрис седловых периодических точек. Граф Г (/) оснащен сохраняющим ориентацию ребер автоморфизмом P (f), индуцированным диффеоморфизмом /.

Установлено, что необходимым и достаточным условием топологической сопряженности двух диффеоморфизмов из G (Mn) является изоморфизм графов Г (/), Г (/') при помощи сохраняющего ориентацию ребер изоморфизма 77, сопрягающего автоморфизмы Р (/) и P (f'), то есть удовлетворяющего условию r]P (f) = P (f')r].

4) Решена проблема реализации диффеоморфизмов из класса Gi (Mn): a) выделено множество допустимых графов, оснащенных автоморфизмами, и установлено, что граф Г (/) любого диффеоморфизма / G G (Mn) является допустимымb) для любого допустимого графа Г и произвольного сохраняющего ориентацию ребер автоморфизма графа Р построен диффеоморфизм / G G (Mn), граф Г (/) которого изоморфен графу Г посредством изоморфизма сопрягающего автоморфизмы P (f) и Р.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и методы могут быть применены в теории гладких динамических систем при исследовании каскадов, заданных на многообразиях размерности большей чем 3, а так же при исследовании многомерных неавтономных периодических по времени систем дифференциальных уравнений и потоков, имеющих секущую размерности п > 3.

Апробация работы. По теме диссертации были сделаны следующие доклады на отечественных конференциях: на международной конференции «Дифференциальные уравнения и топология», посвященной 100-летию со дня рождения JI. С. Понтрягина (Москва 2008) — на международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль 2006, 2008) — на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной И. Г. Петровскому (Москва 2007) — на международных конферециях «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск 2005, 2006) — на международной конференции, посвященной столетию.

A. Н. Колмогорова (Москва 2003).

По теме диссертации были также сделаны следующие доклады: на научном семинаре отдела дифференциальных уравнений НИИ прикладной математики и кибернетики при нижегородском государственном университете (2008 г., руководитель проф. Л.П. Шильников) — на научном семинаре кафедры ТУиДМ факультета ВМК Нижегородского государственного университета им. Н. И. Лобачевского (в 2006 г, руководитель проф. А. А. Хентов и в 2008 г, руководитель проф. Г. В. Осипов) — на семинарах кафедры высшей математики Нижегородской сельско-хозяйственной академии (2006;2008 гг., руководитель проф.

B. 3. Гринес).

Публикации. Всего по теме диссертации автором опубликовано 16 работ, в том числе 2 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации диссертации (см.

список литературы

). Все основные результаты диссертации являются новыми и принадлежат автору. В работах, выполненных совместно, автору диссертации принадлежат доказательства всех основных результатов, В. 3. Гринесу принадлежит постановка задачи и общее руководство, B.C. Медведев являлся консультантом по вопросам многомерной топологии.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и методы могут быть применены в теории гладких динамических систем при исследовании конкретных неавтономных периодических по времени систем дифференциальных уравнений порядка п > 3, а также многомерных потоков, имеющих секщую размерности п > 3.

Структура диссертации: оглавление, введение и история вопроса, формулировка результатов, четыре главы, заключение, список литературы. Объем диссертации стр. 115, рис. 12, наименований литературы 111. Основные утверждения диссертации составляют теоремы 1, 2 и 3.

Формулировка результатов.

Основным результатом диссертации является получение необходимых и достаточных условий топологической сопряженности, а также построение стандартного представителя каждого класса топологической сопряженности на множестве G (Mn) сохраняющих ориентацию диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на замкнутом ориентируемом многообразии Мп размерности большей трех и таких, что для любого /? G (Mn) множество неустойчивых сепаратрис одномерно и не содержит гетероклинических орбит.

Классификация диффеоморфизмов из рассматриваемого класса имеет самостоятельное значение и нигде ранее не изучалась.

В первой главе приводится краткий обзор необходимых результатов многомерной топологии и доказывается ряд технических лемм, базирующихся на этих результатах.

Вторая глава состоит из трех параграфов. В параграфе 2.1 приводятся определения, необходимые для понимания работы.

В параграфе 2.2 описывается топология вложения сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизмов из Gi (Mn), в частности, доказывается следующая лемма. Пусть? — замыкание (п — 1)-мерной сепаратрисы седловой периодической точки. Лемма 2.2 Сфера? является цилиндрически вложенной.

В параграфе 2.3 доказывается следующая теорема, являющая основным результатом второй главы.

Теорема 1 Для любого диффеоморфизма f? G (Mn) (n > 4) несущее многообразие Мп является сферой Sn, а неблуэюдающее множество состоит в точности из одной отталкивающей точки, k > 1 седловых и к + 1 притягивающих точек.

Третья глава посвящена отысканию необходимых и достаточных условий топологической сопряженности диффеоморфизмов из класса Gi (Mn).

Поставим в соответствие каждому диффеоморфизму / Е G (Mn) ориентированный граф Г (/), множество вершин которого изоморфно множеству неблуждающих точек Г2(/), а множество ребер изоморфно множеству сепаратрис седловых периодических точек. На каждом ребре графа Г (/) зададим ориентацию следующим образом. Пусть, а и b — вершины Г (/), инцидентные ребру I. Тогда одна из этих вершин соответствует седловой периодической точке, а другая — притягивающей или отталкивающей периодической точке диффеоморфизма /. Если вершина, а соответствует седловой периодической точке, а вершина b — притягивающей периодической точке, то ориентируем ребро I от, а к Ь. Если вершина, а соответствует седловой периодической точке, а вершина b — отталкивающей периодической точке, то ориентируем ребро I от b к а. Граф Г (/) будем называть графом диффеоморфизма /. Диффеоморфизм / индуцирует автоморфизм P (f) графа Г (/).

Пусть /,/' Е Gi (Mn) и существует сохраняющий ориентацию ребер изоморфизм 77 графов Г (/), Г (/') такой, что r) P (f) = P (f')r7. Будем говорить, что точка р Е изоморфна точке р' Е (сепаратриса I изоморфна сепаратрисе I'), если точки р, р' (сепаратрисы.

I') соответствуют изоморфным при отображении т] вершинам (ребрам) графов Г (/), Г (/').

Пусть w, и)' — изоморфные стоковые периодические точки диффеоморфизмов /, f соответственно, и т. п. — период точек to, и/. Обозначим через Ws (uj) устойчивое многообразие точки си и через Lw = множество всех сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизма /, принадлежащих множеству Ws[u). Из условий, определяющих класс G{Mn), следует, что для любого г Е {1, сепаратриса 1ги принадлежит одномерному неустойчивому многообразию некоторой седловой периодической точки.

В первом разделе третьей главы доказываются следующие важные леммы, составляющие первый этап доказательства топологической сопряженности диффеоморфизмов /, /'.

Лемма 3.1 Существует цилиндрически вложенная сфера SС W8{uS), ограничивающая открытый шар В&tradeD ш, такая, что:

1) Г К" 1) С В&trade—.

2) для любого i? {1,., к} пересечение 1гш П состоит из единственной точки zl;

3) кольцо К&trade- = В&tradefm (B%) гомеоморфно комбинаторному коль.

ЦУ.

Пусть сфера S^ С Ws (u) обладает всеми свойствами, перечисленными в лемме 3.1. Обозначим через В^ открытый шар такой, что шев*ъдв* = S*. Положим Si = fm (S%), Кш =.

Обозначим через SВS^, и Кш> аналогичные объекты для диффеоморфизма /'.

Лемма 3.2 Существует гомеоморфизм G^^i: Кш —)• Кш< такой, что:

1) Gu, bj'fm = /mGV;

2) G^uj'ili П К и) = II, П для любого ll ?

Следствие 3.1.1 Пусть — стоковые периодические точки периода т, принадлео1сащие одной орбите диффеоморфизма f, ии’ъ — стоковые периодические точки диффеоморфизма f такие, что для любого г? {1, ., т —1} точки uji, и> изоморфны. m—1.

Тогда существует гомеоморфизм G,: U Ws{uji) —.

1Л—з.

U VKs (o—) такой, что: г=1 г=1.

U и.

1 t=l.

2) для любых г? {1, ., га — 1}- j? {1,имеет место равенство G",, AIL) = I3.,!.

Следующим этапом в построении гомеоморфизма Н: Мп —у Мп, сопрягающего диффеоморфизмы /, /', является продолжение гомеоморфизмов вида GQ l у построенных для каждой стоковой орбиты, на (п — 1)-мерные сепаратрисы седловых периодических точек. Принципиальная возможность такого продолжения доказывается в лемме 3.3 (являющейся основным результатом разделов 3.23.3). Метод доказательства состоит в переходе к пространству орбит ограничению диффеоморфизма / на некоторую окрестность (тт. —Замерной сепаратрисы и применении ряда нетривиальных топологических фактов.

Итогом лемм 3.1−3.3 является следующая теорема.

Теорема 2 Диффеоморфизмы /, f? G (Mn) (n > 4) топологически сопряжены тогда и только тогда, когда существует сохраняющий ориентацию ребер изоморфизм rj графов Г (/), Г (/') такой, что r, P{f) = P (f')rj.

Четвертая глава состоит из двух параграфов. В параграфе 4.1 вводится множество допустимых графов Г. Связный ориентированный граф Г принадлежит множеству Г, если множество Г° его вершин можно представить в виде трех непустых непересекающихся подмножеств Г®- = {а*}, Г!] = {а^—-,^}"^з = {а^,., аз+1} таких, что: а) для любого i Е {1, .,&} вершина, а инцидентна ровно трем ребрам: одно ребро соединяет вершину, а с вершиной, а и два ребра соединяют вершину аг2 с различными вершииами из множества Г®— б) не существует ребер, соединяющих между собой вершины из множества Г3 и ребер, соединяющих вершину а} с вершинами из множества Г®— в) для любого j Е {1, .,&} ребро (а},^) ориентировано от а* к а32 — г) для любой пары г Е {1,., к}, j Е {1,., к + 1} такой, что вершины аг2, а33 являются смежными, ребро (а^аз) ориентировано от аг2 к азд) граф Г aj является связным.

Основным результатом параграфа 4.1 является следующая лемма.

Лемма 4.1 Пусть диффеоморфизм f Е G (Mn), тогда Г (/) Е Г.

В параграфе 4.2 доказывается следующая теорема реализации.

Теорема 3 Пусть Р — произвольный сохраняющий ориентацию ребер автоморфизм графа Г Е Г. Тогда существует диффеоморфизм f Е Gi (Mn) такой, что граф Г (/) изоморфен графу Г посредством изоморфизма?: Г (/) —> Г, такого, что? P (f) = PC,.

Заключение

.

В диссертации исследована актуальная задача топологической классификации диффеоморфизмов Морса-Смейла, заданных на многообразиях размерности большей трех.

Рассмотренный в диссертации класс G (Mn) диффеоморфизмов представляет интерес, так как, с одной стороны, для него удалось найти полную систему топологических инвариантов, а с другой стороны, привлеченные для исследования методы качественной теории динамических систем, топологии и геометрии, могут быть использованы в дальнейшем для анализа более общего класса диффеоморфизмов и потоков Морса-Смейла на многомерных многообразиях.

Работа носит теоретический характер. Основной научный результат состоит в топологической классификации диффеоморфизмов из класса G (Mn).

Основные научные результаты являются новыми и заключаются в следующем:

1) Изучена топология вложения замыканий сепаратрис седловых периодических точек диффеоморфизмов, принадлежащих классу G{Mn). Установлено отсутствие дикого вложения замыкания сепаратрис седловых периодических точек. В частности, доказано, что замыкание сепаратрисы размерности (п — 1) седловой периодической точки диффеоморфизма / 6 G{Mn) является цилиндрически вложенной сферой Sn~l.

2) Установлено, что для любого диффеоморфизма класса G (Mn) несущее многообразие Мп является сферой 5П, а неблуждающее множество Q (f) состоит в точности из одной отталкивающей точки, к > 1 седловых и к + 1 притягивающих точек.

3) Каждому диффеоморфизму / Е G (Mn) поставлен в соответствие топологический инвариант, представляющий собой ориентированный граф Г (/), множество вершин которого изоморфно множеству неблуждающих точек, а множество ребер изоморфно множеству сепаратрис седловых периодических точек. Граф Г (/) оснащен сохраняющим ориентацию ребер автоморфизмом Р (/), индуцированным диффеоморфизмом /.

Установлено, что необходимым и достаточным условием топологической сопряженности двух диффеоморфизмов из G{Mn) является изоморфизм графов Г (/), Г (/') при помощи сохраняющего ориентацию ребер изоморфизма rj, сопрягающего автоморфизмы P (f) и P (f'), то есть удовлетворяющего условию rjP (f) = P (f')rj.

4) Решена проблема реализации диффеоморфизмов из класса Gi (Mn): a) выделено множество допустимых графов, оснащенных автоморфизмами, и установлено, что граф Г (/) любого диффеоморфизма /? G (Mn) является допустимымb) для любого допустимого графа Г и произвольного сохраняющего ориентацию ребер автоморфизма графа Р построен диффеоморфизм /? G (Mn), граф Г (/) которого изоморфен графу Г посредством изоморфизма сопрягающего автоморфизмы P (f) и Р.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при исследовании конкретных многомерных неавтономных периодических по времени систем дифференциальных уравнений, а также при исследовании потоков, имеющих секущую размерности п > 3.

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы специалистами МИ РАН им. В. А. Стеклова, МГУ, ЛГУ, НГУ и др.

Диссертация является существенным продвижением в направлении глобальной классификации динамических систем Морса-Смейла на многообразиях размерности большей чем три.

Всего по теме диссертации опубликовано 16 работ (из них 2 в изданиях, рекомендованных ВАК РФ для публикации диссертаций), при этом основные научные результаты, вошедшие в диссертацию, являются новыми и принадлежат автору.